高频测力天平(high-frequency-force-balance,HFFB)方法在1983年由Tschanz和Davenport[1]正式提出。该方法规避了多点同步测压方法需要压力积分的问题，能够快速有效地获得结构基底风荷载。HFFB方法在高层结构风荷载及风致响应评估中具有非常重要的作用[2]，国内具有代表性的超高层建筑如上海金融中心、广州西塔和深圳京基金融中心等均采用HFFB方法确定和研究了结构风荷载及风致响应[3－5]。其在输电塔等特种结构基底风荷载确定方面也有广泛应用[6―7]。
HFFB方法仅对结构基底总荷载进行测试。Tschanz和Davenport[1]指出对于线性振型结构，水平向风荷载荷载模态力与基底弯矩相等，因此HFFB方法能够准确计算线性振型结构模态响应。对于非线性振型结构，需要对结构振型与结构荷载分布进行假设。目前主要有两种非线性振型结构模态力计算的方法，一种是振型修正系数法，另一种是层荷载假设法。Holmes[8]在假设结构振型为指数分布的前提下，推导并推荐了在荷载弱相关条件和强相关条件下的振型修正系数，该修正系数计算公式简洁，但实际使用时需要对强、弱相关条件进行选择。Xu和Kwok[9]假设层荷载正比于来流平均风速或风速的平方同样推导了振型修正系数。Holmes和 Chen等[8,10―11]从振型修正系数的角度考虑了三维模态的耦合和结构层质量中心偏移。Lam和Li[12]对方形高层建筑进行了多点同步测压试验，从而直接获得层荷载时程，验证了线性与指数非线性振型下修正系数可以较好的与实验结果吻合，但该结果也仅针对外形为方形且沿高度分布均匀的结构。另一种评估非线性振型结构风振响应的方法是 Xie等[13―14]提出的假定层荷载分布的方法。该方法假设层风荷载沿高度为线性分布，采用结构真实振型计算模态力从而获得风振响应。该方法能够计算振型非线性程度较强的结构，并且适用于考虑多模态与模态耦合，但层荷载沿高度线性分布的假设需要更进一步的验证[15]。在Holmes和Tse[16]进行的国际标准试验研究中发现国际上不同研究单位在评估耦合非线性模态结构的风致响应结果时相较于线性结构存在更大的偏差。因此目前也有针对复杂结构HFFB分析时的不确定性分析[17―18]。
输电铁塔等格构式结构和具有附属结构的高层建筑在同步测压试验中难以进行准确的压力积分，在确定与评估上述结构风荷载和风振响应时，HFFB方法的重要性尤为突出。又由于上述结构往往具有明显的振型非线性，而以往对于非线性振型结构的响应计算方法中不同程度的对振型和层荷载分布进行了假设，如假设振型和层荷载均为指数分布[8]，这些假设已不再完全适用于上述结构，因此有必要对HFFB试验中非线性振型的影响及非线性振型模态力的改进计算方法进行研究，并检验由于层荷载分布的不确定性引起的误差。
本文采用准定常假定，假设结构所受层水平风荷载为阵风风压乘以对应层的面积，扭转荷载与层转动惯量成正比，据此获得层荷载分布。考虑结构真实振型，推导并给出了结构模态力计算方法。对某格构式高耸结构进行了HFFB试验。采用本文提出的模态力计算方法在线性振型、弱非线性振型和强非线性振型下对结构的模态力和风致响应进行计算，并在弱非线性和强非线性振型情况下研究了层力分布的不确定性引起的结构响应误差。拓展了HFFB试验方法的适用性，能够用于质量分布和刚度分布很不均匀的高耸结构，如输电铁塔、电视塔等风振响应及等效静力风荷载的确定。值得注意的是，本文研究对象为具有非线性振型的结构，其并不具有结构非线性，因此本文仍然讨论的是线性结构的风致响应。
1 HFFB试验计算方法及改进
1.1 线性化振型法
对于任意竖向结构，振动方程可以在模态坐标下展开成式(1)形式：
式中：jq、jζ、jn、jP、jM分别为第j阶模态的模态位移响应、模态阻尼比、自振频率、模态力与模态质量。
结构模态力与模态质量可分别由式(2)、式(3)获得：
式中：
分别为第j阶模态x、y和扭转向振型；
为质量、转动惯量与回转半径；H为结构总高；
为结构各高度扭矩。
对于一般高层结构，可只考虑三阶主导振型，假设这三阶振型不耦合，分别为x、y、θ方向振型，则式(2)可以简化为：
假设一阶振型x方向，二阶振型y方向沿高度线性分布，即
三阶振型扭转方向沿高度均匀分布，即
则前三阶模态力可表述为式(5)形式：
式中： M y、 M x和Tθ分别为试验时获得的基底 y向弯矩、x向弯矩和扭矩；
为平均回转半径。
若结构需要考虑模态耦合，则对各阶模态分别按线性振型假定计算三个方向的模态力，并对扭转向进行折减。扭转向折减系数一般可取为0.7[19]。
获得模态力时程后，通过式(6)计算模态力谱：
由模态力谱按式(7)得到模态位移和加速度响应均方根值：
式中， H j (n)为频响函数，按式(8)计算：
最终模态响应通过SRSS法或CQC法进行模态组合计算结构风振响应。
1.2 层荷载阵风风压分布法
在层荷载分布未知的情况下，若要获得模态力，必须假设振型为线性振型，通过基底弯矩换算模态力。若采用真实振型计算模态力，则需要层荷载分布。对于高层或高耸结构，一般认为其所受顺风向风荷载符合准定常假定，其横风向荷载一般不符合准定常假定，但在不发生横风向共振的情况下，顺风向风荷载往往占主导作用。本文假设计算过程中结构所受风荷载满足准定常假定，则水平层荷载分布与阵风风压分布一致。假设扭转角度沿高度均匀变化，则扭矩按层转动惯量分配。具体计算过程如下。
各层水平风荷载按下式(9)计算：
式中：g zlβ、s lμ、z lμ、0w、lS分别为阵风系数，层体型系数、风高系数、基本风压和层迎风面积，下标l表示结构第l层。g zlβ、z lμ可按建筑结构荷载规范(BG 50009―2012)[20]内容确定。
由于通过试验已经获得基底总荷载，因此层荷载可以通过式(10)计算：
式中，F为对应方向基底力。
假设扭转角度沿高度均匀变化，则扭矩在各层之间按转动惯量进行分配，因此第l层扭转方向荷载按式(11)计算：
将式(10)、式(11)代入式(2)即可计算模态力。由于直接采用式(2)计算模态力，计算中选用的振型数不受限制，因此可以考虑结构的多阶真实振型。
1.3 层体型系数取值
如1.2节所述，在确定层水平荷载分布时，需要获得各层的体型系数，本节对体型沿高度分布较为均匀、附属结构高层结构和一般高层结构的层体型系数的选用进行讨论。
对于体形沿高度不变的结构，可假设各层体型系数相等，即
对于任意l均成立。由式(10)可简化为：
将式(11)、式(12)代入式(2)，得到模态力计算公式：
式中，N为总楼层数。
对于具有附属结构的情况，由于附属结构与主结构在体型上往往具有较大差别，因此分别假设附属结构的体型系数s 1kμ与主结构的体型系数s 2kμ，其中结构1至m层为附属结构。利用层荷载和基底荷载的关系可以建立式(14)～式(17)。通过上述4个方程可以求解附属结构体型系数s 1kμ和主结构体型系数s 2kμ共4个未知量。
对于一般高层结构，可在HFFB试验时逐段减去上部结构，以获得各段的体型系数。为减小端部三维流效应的影响，在测试下部结构体型系数时可适当安装顶部盖板。也可利用其他试验或参考有关规定确定各层的体型系数。
2 某高耸结构风洞试验及计算工况
2.1 试验情况
试验在浙江大学ZD-1边界层风洞中进行。试验段为闭口式，长18 m，截面宽4 m、高3 m，风洞最高风速 55 m/s。模型采用轻质塑料和木片按1∶100缩尺比制作，试验阻塞比小于5%。试验模型如图 1所示，模型总高 75 cm，对应实际高度75 m，结构可分为 65 m以下的塔身主体和其上的附属部分，其中需要加速度控制的最高位置位于50.4 m的检修层。计算加速度响应时结构阻尼比采用1.5%，峰值因子为2.5。
试验风向角范围为0°～360°，间隔为15°。基底脉动风荷载采用高频动态测力天平进行测量，模型采样频率为 500 Hz。试验段参考点高度为0.6 m，参考点风速为9.5 m/s。试验采用地貌类型为A类地貌，基本风压采用0.35 kN/m2。如图2所示，试验风剖面与规范剖面吻合良好。
图1 风洞试验模型
Fig.1 Wind tunnel test model
图2 试验风场
Fig.2 Wind field simulation in the experiment
2.2 半刚性模型修正
由于格构式结构的模型刚度往往较小，需要对试验得到的基底力时程进行半刚性模型修正。本文采用了郜良浩[21―22]的半刚性模型荷载谱修正方法对结构水平向基底荷载进行修正。按式(18)～式(19)进行计算：
式中：S F0（ω）为修正前的基底水平向荷载谱；
为修正后的水平向荷载谱；ζ1和ω1分别为模型水平主轴向一阶振型阻尼比和圆频率；H为模型高度。典型修正结果如图3所示。
图3 典型模态力的半刚性模型修正
Fig.3 Typical sem i-rigid model modify of modal force
2.3 计算工况设置
本文在结构外形与荷载不变的前提下设置线性振型、弱非线性振型和强非线性振型三种工况。其中强非线性振型为原工程结构真实振型，弱非线性振型选用我国荷载规范中规定的高耸结构振型。三种振型情况如图4所示。
图4 第一阶归一化振型对比
Fig.4 Comparison of the first normalized mode shapes
3 层荷载阵风风压分布法计算结果与对比分析
3.1 线性振型下计算方法对比
线性化振型的HFFB法在线性振型工况条件下为准确解，以此工况来检验本文方法的精度。图 5所示为本文方法与线性化振型法计算得到的不同风向角下模态力均方根值相对误差，由图5(a)、图5(b)可知两种方法在前两阶模态力均方根的计算上相对误差低至10-4，可以认为本文方法能准确计算前两阶水平向模态力。由图5(c)可知，本文方法对扭转向模态力的估计在一定程度上偏高但各风向角下误差均在 4%以内，与线性振型法结果基本一致。上述对比说明了本文方法在线性振型条件下的具较高的计算精度。
图5 模态力均方根值相对误差
Fig.5 Relative error of mean square root value of modal force
3.2 非线性振型下的层荷载不确定性分析
本文基于准定常假定计算了层荷载分布，由于准定常假定不完全适用于横风向风荷载，因此层荷载分布假设存在一定的误差。本文采用Monte-Carlo方法[23]研究层荷载假设的不确定性引起结构响应结果的误差。假设层荷载在式(9)的基础上存在±2 0%的随机误差，即按式(20)进行计算：
式中：lη为由Monte-Carlo方法生成的随机数，且
(-0 .2,0.2)为区间[-0.2,0.2]的矩形分布。在对lη大量独立取样的情况下，假设计算得到的结构响应误差满足正态分布，则样本结构响应的均值与真实的均值之间的存在式(21)关系：
式中：Z为真实响应；μz与σ分别为计算得到的响应样本的均值与标准差；M为计算的样本数量。Herrador[23]认为一般普遍适用的样本数量为 1 05 ，但是受限于计算能力，本文对ηl进行1000次采样并计算对应的结构各层最大加速度响应，通过后文分析结果可知 1000次的采样数量已足够说明误差大小。
弱非线性结构各风向角下计算所得各高度顺风及横风最大加速度结果均值及标准差如图 6所示，对于均值而言其最大值出现在楼层最高处，最大值约为 0 .4 m/s2对应的最大标准差值约为
即样本均值相对真实均值的偏差在
数量级，因此对于弱非线性结构，层力假设的不确定性导致的结构响应的误差可以忽略。如图 7所示，对于采用真实振型的强非线性结构，最大加速度响应在结构顶部较弱非线性结构增大，加速度提高部分为真实结构中顶部附属结构部分，对于65 m以下的主体结构而言其加速度与弱非线性结构接近。由图7结果不难发现强非线性振型下最大加速度响应结果同样对层荷载假设的不确定性不敏感。上述结果说明了本文对于层荷载分布假设的不确定性引起的结构加速度响应误差很小，验证了本文方法的适用性。
3.3 非线性振型下计算结果对比
在弱非线性和强非线性振型下，采用线性化振型法和本文方法分别进行计算，并对比检修层顶部50.4 m位置处的最大加速度。
如表1所示，对于弱非线性振型情况，线性化振型方法较本文方法偏大约40%。对于强非线性振型情况，本文方法仍然能够准确计算加速度响应，而线性化振型法计算结果明显增大。由于在弱非线性振型和强非线性振型工况，本文仅改变了结构振型，未改变结构风荷载与其他结构特性，而由线性化振型法计算强非线性振型下的加速度结果显著增大，体现了线性化振型方法对于结构振型形状的敏感性。
图6 考虑层力分布不确定性的弱非线性振型加速度响应均值与标准差
Fig.6 The mean value and standard deviation of weak nonlinear mode acceleration response considering the uncertainty of the force distribution
图7 考虑层力分布不确定性的强非线性振型加速度响应均值与标准差
Fig.7 The mean value and standard deviation of strong nonlinear mode acceleration response considering the uncertainty of the force distribution
4 结论
本文提出了一种在高频测力天平方法中考虑非线性振型计算模态力的层荷载阵风风压分布法，利用某工程实例，分别在线性振型、弱非线性振型和强非线性振型下进行计算，并将计算结果与其他方法进行对比，同时通过非线性振型下的层荷载分布的不确定性分析，验证了本文方法的适用性。本文方法对结构振型与体型无明显限制，能够适用于格构式结构和具有附属结构的高层结构，且相应计算结果受层荷载分布假设的影响较小。本文主要得到了以下结论：
表1 50.4 m位置处最大加速度响应对比
Tabel 1 Comparison of maximum acceleration responses at 50.4 m
振型类型 计算方法 顺风向加速度/(m/s2) 横风向加速度/(m/s2)弱非线性 线性化振型法 0.3282 0.2910本文方法 0.2230 0.2532强非线性 线性化振型法 0.5972 0.5306本文方法 0.2381 0.2823
(1) 对于接近规范高耸结构振型的弱非线性振型结构，采用线性化振型方法计算得到最大加速度响应值较层荷载假设法结果偏大可达到40%。
(2) 假设层荷载分布的方法对于线性振型、弱非线性振型和强非线性振型结构都具有较好的适用性，因此适用于质量分布和刚度分布很不均匀的高耸结构，如输电铁塔、电视塔等。
(3) 层荷载阵风分布的假设关于荷载分布的不确定性导致结构响应计算的误差很小。
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