气动伺服弹性(ASE, aeroservoelasticity)问题是一门涉及柔性飞行器结构、非定常气动力以及飞行控制系统三者相互作用的多学科技术[1]。现代高增益飞行控制系统在有效改善飞机的动力学性能，提高飞行员复杂任务完成率的同时，也更容易诱发不良ASE耦合[2－3]，产生加速结构疲劳的循环载荷以及影响飞行员正常操纵的有害振荡，某些飞行条件下还会产生极限环振荡甚至破坏性的颤振。实际工程中，在飞控系统反馈回路中增加结构陷幅滤波器是解决不良ASE耦合的有效手段。然而陷幅滤波器在降低飞控反馈回路中特定弹性振动信号幅值的同时，还会引起反馈信号相位延迟，导致飞控系统带宽下降，对飞机的操稳特性产生不利影响[4－5]。此外，由于飞机动力学特性和飞控系统状态在不同飞行条件下各不相同，因此ASE问题在飞行包线内的任何位置都有可能发生[6]，加之不同燃油重量与外挂构型下，飞机的固有频率和模态可能存在较大差异，导致ASE耦合频率及耦合程度亦随飞行状态而各不相同。因此，在开展结构陷幅滤波器设计时，必须综合考虑陷幅滤波器所引入的系统相位滞后与飞机 ASE耦合特性变化的影响。针对飞机ASE耦合特性随飞行状态变化的特点，Levin等[7－9]通过在线辨识ASE系统的耦合特征，开展了参数自整定ASE设计研究，Paul等[10]提出了一种基于自适应空间滤波器的飞机ASE设计方法，Brian等[11]提出了一种ASE自适应模态分离与阻尼抑制方法。然而这些ASE设计方法高度依赖于系统辨识手段，且除飞控系统自带的惯性传感器之外，还需配置一些外部传感器，增加了工程实现的难度与代价。
本文针对飞机 ASE耦合频率低且随飞机构型变化大，增加结构陷幅滤波器改善飞机ASE稳定性易于影响飞机操稳特性的问题，基于多目标遗传算法建立了一种结构陷幅滤波器优化设计方法，以ASE系统的弹性模态频响峰值最小作为优化目标，设计罚函数修正个体适应度对陷幅滤波器的频率与阻尼参数进行优化，在保证ASE稳定裕度满足设计要求的同时，最大限度降低陷幅滤波器对飞机刚体飞行力学特性的影响。
1 飞机ASE系统建模
忽略刚体运动与弹性振动耦合效应飞机的ASE系统反馈关系如图1所示[12]。
图1 飞机气动伺服弹性系统
Fig.1 Aircraft aeroservoelasticity system
从基于线化小扰动假设所建立的广义气动伺服弹性运动方程中，可以得到飞机结构弹性响应yE对作控制面偏角输入δ的传递函数
其中：
M、C、K和A分别为广义质量、广义阻尼、广义刚度和广义气动力影响系数矩阵，Mδ为控制面刚体偏转与机体弹性振动之间的耦合质量矩阵，Aδ为对应控制面刚体偏转的气动力影响系数矩阵，δ为控制面刚体偏角，ΦS为传感器安装位置处的模态矩阵。
从刚体飞机的线化小扰动状态空间方程出发，可以得到飞机刚体响应yR对作控制面偏角输入δ的传递函数：
其中：AR状态矩阵；I为单位对角阵；BR和CR分别为与输入δ和输出yR相关的列向量和行向量；
为与yR相关的前馈系数，详见参考文献[14]。
于是可以得到图1所示ASE系统的开环传递函数：
式(3)中：
为增稳控制系统传递函数；
为飞控传感器传递函数；
为作动器传递函数；
为陷幅滤波器传递函数，形式如下：
式(4)中ωn为陷幅中心频率，其与阻尼比ζn和ζd共同决定了陷幅滤波器的频响特性，如图2所示，显然陷幅滤波器会在低频段产生相位滞后。
图2 陷幅滤波器频响特性
Fig.2 Frequency characteristic of the notch filter
通过式(3)求得开环系统频响特性后，便可应用Nyquist法[15]对有控飞机的ASE稳定性进行评价。
2 结构陷幅滤波器优化设计
2.1 优化问题描述
成功设计的结构陷幅滤波器应具有两个特征：一是能够减弱结构振动与飞控系统之间的不利耦合，确保飞机在整个包线内拥有合理的ASE稳定裕度；二是结构陷幅滤波器的引入不应对飞机的操稳特性产生负面影响。
由于陷幅滤波器对ASE响应的抑制能力越强，其所引起的反馈信号相位滞后越大，对飞机操稳特性的影响也更为严重，而飞行包线内不同位置处的ASE系统动力学特性各不相同，因此可以将飞机的结构陷幅滤波器设计转化为多目标优化问题：
式(5)中：Vmin表示各优化目标极小化；Δ为增加结构陷幅滤波器后，所允许的飞机刚体模态频响特性最大相对变化量；x为由形如式(4)的α个陷幅滤波器的频率与阻尼参数组成的优化变量：
对于陷幅滤波器β，其阻尼参数满足如下关系：
式(5)中优化目标
为ASE系统在第r个设计点处的弹性模态频响峰值：
式(8)中：
为给定的ASE系统幅值裕度；ωEs和
分别为飞机弹性模态频率区间的上、下界。
加入结构陷幅滤波器后，ASE系统在第j个设计点处的开环频响函数曲线在复平面上将发生改变。因此，可以将加入陷幅滤波器前、后，刚体模态频率区间内，ASE系统开环频响函数曲线绕复平面原点所形成曲边扇形面积
之间的相对改变量，间接等效为陷幅滤波器引起的反馈信号相位滞后。于是，式(5)中的设计约束
可表示为：
下标j为设计点编号；ωRs和ωRe分别为飞机刚体模态频率区间的上、下届。
2.2 优化方法
多目标优化区别于单目标优化的本质就是最终解不是一个解，而是一组非劣均衡解(Pareto解集)，多目标优化方法的关键是如何获取分布均匀的Pareto 解集[16]。
对于多目标优化问题，改进的非支配排序遗传算法NSGA-II[17]优势明显。对于2.1节所描述的多目标优化问题，基于NSGA-II算法的结构陷幅滤波器参数优化步骤如下：
Step1：利用式(6)初始化种群P0，计算第p个体xp的第k个目标函数值
设计罚函数并根据个体xp对约束的满足程度，修正个体适应度；
a) 根据式(8)计算基于个体xp所建立ASE系统在设计点k处的弹性模态频响峰值：
b) 根据式(9)计算个体xp对应的约束函数值：
c) 设计罚函数χ，并根据个体对约束的满足程度求解罚函数值：
d) 利用罚函数修正目标函数，得到个体xp对目标
的适应度：
Step2：将P0中的个体按照其适应度进行非支配排序，并计算个体之间的拥挤度；
Step3：采用规模为2的随机联赛选择方法，根据非支配层级和个体的拥挤度从P0中选择一半的个体组成种群P1；
Step4：对种群P1中的个体进行交叉、变异操作，生成个体规模与P0相同的新种群Q0；
Step5：计算种群Q0中个体的目标函数值，采用Step1方法计算种群Q0中个体的适应度；
Step6：种群P0和Q0合并组成新种群Q1，并对Q1中的个体进行非支配排序和拥挤度计算，并根据非支配层级和个体拥挤度，从Q1中选择一半的个体组成种群Q2；
Step7：判断是否达到终止条件，达到则算法结束，否则令P0=Q2，转到Step3。
3 算例
以图 3所示某通用运输机 General Transport Aircraft(以下简称GTA飞机)作为研究对象，其横航向回路增稳控制律结构如图4所示。以下将采用第2节所述方法为该机ASE耦合最为严重的横向增稳控制反馈回路设计结构陷幅滤波器以改善其 ASE稳定性。需要说明的是，本文所给出的频率均为无量纲频率比。
图3 GTA飞机外形示意图
Fig.3 Appearance of GTA aircraft
图4 横航向回路控制律结构
Fig.4 Lateral-directional control scheme
3.1 飞机ASE耦合特性分析
选取GTA飞机4种典型重量构型在其增稳控制律增益最大的5 km高度左飞行包线边界点作为设计点，分别建立编号为M1～M4的ASE系统模型。依次将图4中参与副翼控制指令解算的滚转角速率
与滚转角φaδ反馈信号置零，得到航向控制回路闭合状态下，ASE系统横向回路在弹性模态频率范围内的开环幅频特性曲线，如图5和图6所示。可见当滚转角速率参与副翼舵控指令解算时，所有设计点均存在至少 3个弹性模态响应峰值超过了-6 dB，个别设计点存在4个响应峰值超过-6 dB线，表明有 4支弹性模态与飞控系统发生了明显耦合，这4支参与ASE耦合的弹性模态频率随飞行重量的变化情况见表1。然而，当仅存在滚转角反馈信号参与副翼舵控指令解算时，ASE系统横向开环响应峰值均低于-8 dB。
显然，滚转角速率信号中的弹性振动分量进入飞控系统参与副翼舵偏指令解算是导致 GTA飞机横向回路发生ASE耦合的根本原因。
图5 弹性飞机横向回路幅频特性,
Fig.5 Lateral loop frequency characteristic of the elastic aircraft,
图6 弹性飞机横向回路幅频特性,φaδ=0
Fig.6 Lateral loop frequency characteristic of the elastic aircraft,φaδ=0
表1 ASE耦合模态频率
Table 1 ASE interaction modal frequency
3.2 优化模型建立
根据GTA飞机横向回路的ASE耦合特点，对副翼控制通道的滚转角速率信号
进行陷幅滤波。虽然有4支弹性模态参与ASE耦合，但由图6和表1可知，机翼反一弯与发动机反俯仰两支模态频率非常接近，因此在
信号通道共设置3个陷幅滤波器
其中
用于抑制
信号中的机翼反一弯与发动机反俯仰模态响应分量，
则分别用于抑制平尾反一弯与机翼反二弯模态响应分量。
在图 4所示
信号通道中串入陷幅滤波器
更新 3.1节所建立的ASE系统模型M1～M4，便可以得到结构陷幅滤波器参数优化模型。
3.2.1 设计变量
由于陷幅深度和宽度主要取决于阻尼比ζn和ζd的相对比值，为提高计算效率，对陷幅滤波器固定阻尼比
选择陷幅中心频率
和阻尼比
作为优化变量，其中
的值主要根据不同构型下的结构模态频率变化范围确定，各设计变量的取值范围见表2。
表2 优化变量取值范围
Table 2 Range of optimization variables
3.2.2 约束条件
取刚体模态频率范围区间的上界和下界分别
约束条件为增加结构陷幅滤波器后，任一设计点处的飞机刚体模态频响变化量不高于10%，即取Δ=10。
3.2.3 目标函数
给定ASE系统的幅值裕度
取弹性模态频率范围区间的上界和下界分别为
和
优化目标为增加结构陷幅滤波器后，飞机弹性模态频响峰值最小，参见式(8)。
3.3 滤波器参数优化及结果分析
采用2.2节方法对陷幅滤波器参数进行优化，取种群规模为40，经60代进化后，得到对应于4个优化目标的Pareto前沿的三维空间投影如图7所示，从中可见非劣解分布较为均匀。Pareto前沿对应的滤波器参数是一组非劣解集，从中选择哪组设计参数作为最终解取决于各目标的相对重要度和决策人的偏好。
要求GTA飞机ASE稳定裕度不低于8 dB，并定义：
如图8所示，首先从Pareto解集中排除Δm＞10%或fm＞-8 dB的31组解，从剩余的9组解中，选择对应fm最小的一组设计参数xo作为最终解。
图7 经60代进化后的Pareto前沿面
Fig.7 Pareto front of the 60th generation
图8 优化结果决策
Fig.8 Optimal design solution decision
最终所得优化结果见表3，图9对增加陷幅滤波器前、后，GTA飞机典型设计状态横向回路在弹性模态频率范围内的开环幅频曲线进行了对比，从中可见，弹性模态响应峰值均不高于-8 dB，参与耦合的弹性模态响应得到了有效抑制，飞机的ASE稳定裕度得到了极大改善。
表3 优化结果
Table 3 Results of optimization
图9 弹性飞机横向回幅频特性
Fig.9 Lateral loop frequency characteristic of the elastic aircraft
刚体飞机典型设计状态在增加陷幅滤波器前、后的频响特性如图10所示，表4对引入陷幅滤波器所导致的刚体飞机稳定储备变化进行了比较，可见其幅值稳定裕度(gain margin，GM)相对改变量不大于2%，相位稳定裕度(phase margin，PM)相对改变量不大于0.02%。
图11对增加陷幅滤波器前后，GTA飞机在驾驶盘输出横滚指令δcmd作用后的滚转角速率与滚转角响应历程进行了比较，可见陷幅滤波器的引入，并未对飞机的操纵响应特性产生明显影响。
表4 刚体飞机稳定储备
Table 4 Stabilization storage of rigid aircraft
图10 刚体飞机横向回路频响特性
Fig.10 Lateral loop frequency characteristic of the rigid aircraft
图11 刚体飞机响应历程
Fig.11 Response of rigid aircraft
4 结论
针对利用结构陷幅滤波器改善飞机气动伺服弹性稳定性易于影响刚体飞机操稳特性的问题，以气动伺服弹性系统的弹性模态频响峰值最小作为优化目标，以气动伺服弹性系统在飞机刚体模态频率范围内的频响特性变化量作为设计约束，通过设计罚函数修正个体适应度，建立了一种基于NSGA-II算法的结构陷幅滤波器优化设计方法。算例结果表明多目标优化设计可以兼顾飞机的气动伺服弹性稳定性与刚体飞行力学特性，有利于充分利用高增益数字电传飞行控制提升飞机性能，能够为工程设计提供参考与指导。
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