物理上，卫星天线收发电磁信号的增益系数与口径的平方成正比[1]。因此，天线口径越大其分辨率越高，这使得大型星载天线在灾难应急救援、国家信息安全等领域均有重要应用。美国在过去 20年间致力于星载天线的大型化和轻量化，通过研发环形网状可展天线，已将在轨天线口径从5 m提升至 15 m并定位下一代目标为30 m级[2-3]。如图 1所示的环形天线(也叫 Astromesh[4-6])面密度低、展收比大，代表当前空间大天线的前沿水平[7-8]。它发射时储存于火箭整流罩内，入轨后在零重力条件下展至工作态。10 m级的环形天线总重只有几百公斤但造价却与十几吨重的F35战斗机同量级，极端昂贵，因此天线能否在轨成功展开直接关系到巨额投资卫星的成败。为提高卫星通信能力，近年来我国也高度重视研发大型环形可展天线。
如图1(a)、图1(b)所示，环形天线由一个可展环梁支撑并带动展开，其中环梁是绳索驱动的周期性机构，单个周期为一个对角线长度可变的平行四边形杆件机构，称为一跨。有一驱动绳连续经滑轮穿过每跨的对角线，呈之字形。当环梁收拢时驱动绳最长，展开时驱动绳最短，因此电机收绳可展开环梁。设计时，假设环梁各部件均为刚性，由于同步铰内齿轮的啮合作用使相连的杆件转动角度相等，如图1(c)所示，展开时只有一个转动自由度，各跨构形一致，即同步展开[9]。此外，太空中天线在零重力条件下展开；而在地面实验时，需要设计卸载系统以抵消重力，理想情况是让重力在展开过程中的任意时刻做功都为零。如图1(b)所示，一种方案是将每个悬吊的上端与可在导轨上自由滑动的小车相固支，下端与环梁横杆的中点相连。各跨同步展开时，在任意时刻，每跨的重心到悬吊下端点的距离 恒定为纵杆长度的一半，因此整个环梁的质心在高度方向上保持恒定不变，达到理想卸载。
但实际上大型天线中环梁的杆件长度大、比刚度小、柔性显著，柔性变形使天线在展开时不是一个理想的单自由度系统。此外，驱动绳所经过的滑轮系统内存在摩擦，导致滑轮两侧的驱动绳张力存在比例衰减现象，多次过滑轮后张力幂次衰减导致有效驱动力大幅衰减[10]，电机远端比近端的驱动力小十几倍。柔性变形和摩擦共同导致了电机近端先展开、远端后展开的不同步展开现象。不同步性导致在展开过程中悬吊卸载系统的吊绳有的张紧有的松弛。如图1(c)所示，单跨和整个环梁在展开过程中的重心在高度方向上均有起伏，重力做功非零，因此卸载并不理想，会产生助力和阻力。其次，网面因为卸载困难，并没有采取任何重力补偿措施，其对展开的影响尚不清楚。最后，在地面有重力并含卸载系统条件下展开时的杆件受载和零重力展开时的杆件受载对比情况也尚不清楚。这些因素均导致天线的结构设计和实验设计均缺乏足够的理论依据。为此，本文致力于研究重力和卸载系统对天线展开动力学的影响。
图1 环形天线
Fig.1 The Astromesh antenna
大型环形天线是一个典型的柔体多体系统[11-12]。然而，尽管柔性多体系统动力学已提出有 20年的时间[13-16]，但对环形天线展开的动力学仿真研究却非常匮乏[9,17]，其根源可能在于缺乏高效的驱动绳与滑轮间摩擦的计算模型。直到最近，本文作者提出了一种高效的可考虑驱动绳及绳与滑轮摩擦的建模方法[17]，才让仿真全尺寸的天线展开模型成为了可能。本文基于文献[17]的建模方法，在第1节建立了大型环形天线在零重力和重力卸载两种工况下的全尺寸展开动力学模型。在第2节，根据仿真结果，比较了两种工况下在整个展开历程中环梁受载和驱动力的变化规律，指出重力工况下的载荷均大于零重力工况。在第3节，基于能量分析，半解析地研究了重力对驱动力的影响，指出目前零重力和重力卸载工况下驱动力不同的主要来源是网面没有卸载，最后在第4节用网面卸载仿真算例验证了分析结果。
1 零重力和重力卸载两种工况下环形天线的柔性多体动力学模型
1.1 天线系统组成
图2 悬吊卸载系统和环形天线的多体模型
Fig.2 Multibody model of an Astromesh and the corresponding gravity compensation system
如图2所示，环形天线由环梁、前网、后网、张力阵和金属网(未画出)组成[4,6]。前网和后网是由绳索剖分抛物面而组成的索网，它们背对背放置，其周边固定在环梁的上下边。前后网相应的每对节点间连接一根预紧的弹簧，称为张力阵，提供拉力使前后网张紧，保证网的抛物面构型。金属网固接在抛物面形状的前网上，用于发射和接收电磁信号。可展环梁是一个环向多跨周期性机构，由连接铰链(T型铰和同步铰)和杆件(横杆、纵杆、粗斜杆和细斜杆)组成。单跨是两横杆和两纵杆形成的平行四边形，其对角线长度可变以实现环梁的收展。为实现平行四边形构型及其对角线长度可变，横杆与连接铰链用转动副连接；纵杆与连接铰链固接；组成对角线的粗、细斜杆间可以互相滑动，并都与T型铰用转动副连接。当对角线最长时，环梁呈收拢态；当对角线最短时，平行四边形变成矩形，环梁完全展开。在完全展开态，粗细斜杆之间的锁定机构的锁定球滑入细斜杆的凹槽内，使斜杆间不再能发生相对滑动，锁定当前跨使矩形保持稳定。此外，同步铰内有一对啮合的齿轮，使连接的两横杆转动角度一致；一驱动绳连续经过T型铰内的滑轮并穿过中空的粗、细斜杆，呈之字型，环梁用电机收绳而展开。
1.2 系统控制方程
如图2所示，在环形天线的多体模型中，零重力工况只含有环形天线；重力工况下还包含悬吊卸载系统。在环形天线的多体模型中，前后网用柔性绳索单元[18]建模，环梁的横杆和纵杆用考虑大位移和大变形的几何精确梁单元[19-20]建模。T型铰和同步铰的刚度大，粗细斜杆主要受拉压、柔性可忽略，均用刚体单元[13-14]建模。驱动绳用变长度索单元建模。张力阵在物理上是绳索和弹簧的组合件，受拉不受压，这里用只抗拉的单向弹簧力代替，以节约计算量。锁定机构用球形的刚体和曲面间的赫兹接触模拟。这些体通过约束来组成一个系统，前后网与环梁周边的固定副、纵杆与T型铰和同步铰的固定副、横杆与T型铰和同步铰的旋转副、同步铰内齿轮啮合的旋转耦合副，均用约束方程[21]来描述。此外，金属网的质量等效地加在前网上，而其刚度由于比前网小很多而忽略。
悬吊缷载系统由辐射状导轨和悬吊组成。悬吊由中间一段弹簧和上下两根绳索组成，其上端与一滑动小车相连，可在导轨上自由滑动，下端与环梁的横杆中点固支。在多体模型中，绳索用柔性绳单元模拟，导轨和滑动小车用刚体单元，固定副和滑移副用约束建模。
刚体、绳、梁单元的控制方程、以及相关的约束方程已有比较多的研究[12-18]，可参考列出的专著和文献。下两小节将给出作者最新提出的变长度驱动绳及绳过滑轮摩擦的建模方法[14]。将这些控制方程和约束方程组合起来，得到基于第一类拉格朗日方程的多体系统动力学方程组[13-14]：
其中：q为待求解的系统广义坐标矢量；M为系统广义质量；
为包括外力、弹性力、科式力和离心力等广义力；C(q,t)为约束方程矢量；λ为拉氏乘子矢量。式(1)是指数为三的微分代数方程组，可以借助隐式求解算法如向后差分法来求解[22]。
1.3 驱动绳建模
环形天线由电机收驱动绳展开，在此过程中，绳的长度在缩短，同时绳过滑轮时的摩擦导致驱动力在衰减。传统建模方法中，通常用基于拉格朗日描述的索单元来划分驱动绳网格，用赫兹接触考虑绳与滑轮间的接触和摩擦。为能有效地模拟接触，这种方法要求索单元的长度与滑轮的尺寸相当，然而驱动绳的长度约百米，滑轮尺寸约10 mm，因此绳索需用细密网格来划分，广义坐标数目将达到百万，导致计算困难。这里，基于任意拉格朗日欧拉(Arbitrary Lagrange Euler)描述方法[23-25]，开发了变长度索单元来模拟驱动绳，用变长度索过渡单元及其与滑轮间的约束来模拟绳与滑轮的接触，然后再计算广义摩擦力来建模绳过滑轮间的摩擦。这种方法使绳可用粗网格划分，并避免了接触检测，大幅度地提高了计算速度。下面是具体的建模方法。
与传统的拉格朗日描述不同，在任意拉格朗日欧拉描述的索单元的节点广义坐标不仅包括节点的全局坐标r，还包含弧长坐标p，即起始点到节点的绳长，如图3所示。因此，两节点索单元的广义坐标为：
其中：下标 1、2表示节点编号。为描述单元内部任意物质点的位置，引入线性插值：
图3 变长度索单元
Fig.3 Variable-length cable element
其中
上标T表示矩阵或向量的转置；I为单位矩阵。注意与传统有限元不同，由于p1和p2随时间变化，形函数
也是随时间变化的函数。式(3)对时间求导，得到任意物质点的速度和加速度：
根据虚功原理[26]，所有惯性力、弹性力和外力在真实运动上所做的虚功之和为零，即：
这里上标撇表示对弧长坐标求导。将上式代入式(5)，得到变长度索单元的控制方程：
其中：
式中：Mele代表广义惯性质量；Qp是由长度变化引起加速度
的附加惯性力；Qe为广义弹性力；Qf为广义外力。
1.4 驱动绳过滑轮间摩擦建模
如图4(a)所示，驱动绳与滑轮间的摩擦使被动端绳张力T2比主动端张力T1小，其关系为：
其中：η≤1为张力的传动比。η是滑轮内的轴承与轴颈间、滑轮表面与绳索间的摩擦引起，与轴承类型、润滑、材料等有关，可通过实验表征唯象测得。
如图4(b)所示，驱动绳与滑轮接触的绳段用一个过渡单元来模拟，单元的节点分别与滑轮上相应的点在位置上相固结，约束方程为：
图4 滑轮过摩擦张力衰减
Fig.4 Cable tension loss passing through a pulley
通过式(8)，摩擦力ft为：
其中，t为节点i+1指向节点i的单位方向。摩擦力均布在过渡单元上为：
摩擦力看成外力，则根据式(7)，摩擦力产生的广义力为：
式(12)表明，摩擦力在每个节点的全局位置的广义力为ftt/2，在弧长坐标为-ft/2。
此外，在滑轮上还作用有摩擦反力，其大小相同、方向相反，即滑轮全局位置的广义合力为-ftt。同时过渡绳单元两节点的全局位置上的合力为
由于两节点与滑轮相固结，产生约束力，这两个大小相等，方向相反的广义合力将互相抵消，合并成为约束力的一部分。因此，摩擦力只在过渡单元的弧长坐标上产生等效广义外力为：
而在滑轮上没有摩擦广义力。
1.5 电机收绳的约束方程
如图5所示，电机在变长度驱动绳的节点k处收放绳，收放速度可能是随时间或驱动力变化的函数，用f(t,q)表示。约束方程则为节点k的位置与电机上相应的点通过球铰连接，同时节点的弧长坐标的速度为f(t,q)，即：
其中：rc为电机质心的全局位置；uf为节点k固结在电机上的相应点在电机局部坐标系下的位置。
图5 电机收驱动绳
Fig.5 Pay-out or reel-in of the driving cable
2 大型环形天线展开动力学仿真分析
基于上述柔性多体动力学方法，本节建立了参数如表1所示的环形天线模型。天线展开分为两步，第1步由储存在环梁内的弹性变形能使天线展开到约40%的口径；第2步再启动双电机对称收绳至天线完全展开。电机的收绳速度为：
其中：T表示驱动力，单位为N。驱动力越大，收绳速度越慢。由于展开主要发生在第2步，因此这里的仿真中只研究第2步。
表1 环形天线的参数
Table 1 Parameters of the Astromesh model
注：杆指横杆和纵杆。
下面先以重力工况为代表分析展开过程，然后再给出零重力工况的仿真结果。图6为重力环境下环形天线仿真的展开过程，电机从预展结束后的直径为4.9 m处开始收绳，历经647 s天线完全展开。图中显示了电机近端先展开、远端后展开的非同步展开过程。这个现象与文献[27]中图 6所示的地面实验结果相一致。
图6 重力工况下环形天线展开过程
Fig.6 The on-ground deployment of the Astromesh
天线的非同步展开表明相邻跨之间的平行四边形对角线长度不相等，由于同步齿轮的约束作用，会在环梁的杆件上产生弯矩。其中横杆弯矩主要发生在所在跨的平面内，纵杆弯矩主要在纵杆与天线相切的平面内，下面主要分析这两个弯矩。以第13跨纵杆为例，其纵杆最大弯矩发生在第13跨和第14跨斜杆距离最大时，如图7(a)所示。这时的杆件受力分布显示在图7(b)。纵杆和横杆在T型铰处的弯矩为0，在同步铰端的弯矩最大，这是因为在T型铰处转动自由，而在同步铰端的啮合齿轮可产生约束弯矩。此外，在同步铰处纵杆弯矩大约为横杆弯矩的两倍，原因在于展开过程较慢，为准静态过程，纵杆弯矩与相连的两个横杆的弯矩相平衡。图7(c)给出整个展开过程中各纵杆受到的最大弯矩，其左右两边对称，最大值发生在电机远端左右相邻第二跨，这是因为相邻最大斜杆长度差发生在那里，其值为61.9 N·m。
图9为电机驱动力随展开时间的变化曲线，电机驱动力在前500 s较小，随后100 s内迅速增大到最大值 392.5 N。而电机最远端的驱动力最大值只有29.3 N，这是由于驱动绳过滑轮摩擦的指数衰减效应，导致近端与远端的驱动力相差13倍以上。
图7 零重力工况下环梁受力分析
Fig.7 The internal forces of the ring truss members under the gravity
图8 零重力工况下展开过程的能量分析
Fig.8 Energy analysis of the unfolding process under zero-gravity conditions
零重力工况的非同步展开过程与重力工况比较类似，为减小篇幅，这里不再详细分析。工程中关心最大受载，零重力工况下纵杆的最大弯矩为42.2 N·m，最大驱动力为353.6 N，结果均比重力工况下的值小约12%。下面将从系统能量变化的角度来分析两种工况下驱动力产生区别的原因。
图9 重力工况下电机驱动力随时间变化
Fig.9 The driving force versus time under the gravity
3 天线展开过程的能量分析
3.1 零重力工况
环形天线的展开过程为将其从收拢构型转变到展开构形。以能量观点来看，除了克服驱动绳与滑轮的摩擦损失和系统的阻尼损失外，电机输入的其余能量都转化成环梁和索网储存的弹性势能，即：
其中，展开过程中的环梁和索网的弹性势能的变化如图8(a)所示。由于索网组件(前网、后网和张力阵)在展开前期是松弛状态，所以其势能几乎为零，直到最后30 s时才开始张紧，其势能迅速上升。相应的环梁和索网组件的能量变化率如图8(b)所示。
为评估过滑轮摩擦的影响，这里提出有效能量利用率γeff，为
令T、vm和vi分别表示驱动力、电机收绳速度和第i跨的展开速度(斜杆长度减小速度)，则
且第i跨驱动力为ηi-1T，则能量利用率为：
也称为有效速度。由仿真结果得到的电机速度、有效速度和有效能量利用率曲线如图8(c)所示，在最终展开时段，能量利用率只有7%，即有90%多的能量被驱动绳的摩擦所消耗。因此，综合得到驱动力为：
式(18)为驱动力的半解析表达式，是根据仿真数据计算得到，半解析计算结果和仿真结果如图8(d)所示，可以看出两者相一致。
3.2 重力卸载工况
与零重力工况不同，重力卸载工况下的展开过程中重力可能还会额外做功。模型中环梁质量为29.6 kg，索网组件质量为15.6 kg。展开过程中的环梁和索网的质心变化如图6(d)所示。由于环梁柔性变形导致的非同步展开使得环梁的重心高度有变化，但计算结果表明变化幅度不到10 mm，然而索网的重心变化有近 1 m，因此，相比较而言，网面的重力势能起伏比环梁重力势能的起伏大两个量级，因此下面只统计索网的重力势能变化。
仿照零重力工况下的能量分析过程，计算各部分能量变化率对驱动力的贡献。其中环梁和索网组件的弹性势能以及索网的重力势能变化如图 10所示，如图所示的驱动力半解析计算结果也与仿真结果相一致。图中纵轴为对数坐标，可见索网的重力势能变化比环梁和索网的弹性势能变化均高一个量级。因此，电机需要克服重力做更多的功，使驱动力比零重力工况下大，同时可能使环梁展开的非同步性加剧，导致纵杆弯矩增大。
图10 重力工况的能量变化和半解析驱动力
Fig.10 The curves of the energy and the semi-analytical driving force under gravity
4 网面卸载仿真验证
第3节的能量分析表明，重力卸载工况和零重力工况下天线展开力的主要差别在于索网重力的影响。因此，本节仿真一个重力条件下网面完全卸载(以下称网面卸载)的算例，即考虑环梁重力和卸载系统，而索网的重力不计。重力、零重力和网面卸载这三种仿真工况的驱动力过程和纵杆各跨最大弯矩比较如图 11所示，统计得到的最大受载如表2所示。结果表明驱动力和纵杆弯矩均是重力工况最大，而网面卸载与零重力工况较接近。因此，验证了索网组件卸载对展开有一定影响，地面实验中对网面进行卸载会更接近于太空中实际展开。此外，网面卸载比零重力工况的驱动力和纵杆最大弯矩小一些，可能是由于重力卸载中悬吊绳在展开特定时段有助力作用，具体定量分析不明。
表2 三种工况下驱动力和纵杆弯矩的最大受载
Table 2 Parameters of the Astromesh model
图11 有效速度和有效能量利用率
Fig.11 Curves of effective velocity and effective energy ratio
5 结论与讨论
本文基于柔性多体系统动力学方法，建立了大型环形天线在太空零重力和地面实验有重力两种工况下的全尺寸展开动力学仿真模型，得到以下主要结论：
(1) 重力工况下的计算结果复现了与地面实验相一致的非同步展开现象，验证了仿真模型的正确性；
(2) 以重力工况为例，系统地分析了所有杆件在整个展开历程中的受载规律，并用能量分析方法半定量地求解了展开过程的电机驱动力。结果表明，当最后展开阶段为电机最远端时，驱动绳过滑轮摩擦损失多、效率低，与此同时索网开始张紧、弹性势能迅速上升，导致最后展开阶段驱动力显著增大；
(3) 仿真结果显示重力工况下的环梁弯矩和电机驱动力均大于零重力工况。能量分析推断，产生区别的原因在于重力工况下索网组件没有卸载，其重力势能变化比天线的弹性势能变化大一个数量级，并用网面有卸载和无卸载两个算例验证了此推断。
针对最后两个结论，本文给出如下两个建议：
(1) 可以设计新的展开方案以减小最后展开阶段的驱动力。比如，可以用预紧的被动机构使最远端先展开，然后再启动电机展开剩余的靠近电机的部分，使最后展开阶段不在电机远端，从而减小过滑轮摩擦、提高效率和降低驱动力。
(2) 在地面实验条件下若能对网面充分卸载，可让地面重力展开的驱动力和杆件受载更接近在轨无重力展开。
本文提出的柔体多体动力学模型和研究方法可为其他大型网状天线的设计、优化以及地面实验设计提供参考和技术支撑。
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