地震具有极强的随机性和不可预测性，波及范围广，严重影响了人类的正常生产活动，威胁生命安全。以往震灾表明，建筑结构的破坏、倒塌是造成经济损失的直接原因。为了在不显著提高工程成本的前提下，使结构在地震作用下具有更好抗震性能，有必要寻找结构的薄弱部位及失效规律，并改善结构的不利失效模式。采用不同的优化方法，其计算效率及优化效果也相差甚远。因此，结构失效模式优化现已成为国内外抗震设计理论的研究热点。
欧进萍等[1]提出根据失效路径加强结构中薄弱构件的加固方法。Zacharenaki等[2]借助Pushover2IDA工具提出了基于性能的结构设计优化算法，并显著降低了一9层钢结构的成本费用。Vamvatsikos[3]借助静力弹塑性分析提出了公路桥梁的多准则抗震设计优化方法。Papadopoulos等[4]以结构损伤等级为约束准则，提出了一种基于随机易损性的结构优化设计方法。徐龙河等[5－6]以损伤和滞回耗能作为评价指标识别最不利地震动下的失效模式，并用基于性能的多目标优化方法提高结构的抗震性能。吕杨等[7]提出一种基于能量阈值的损伤准则，并基于构件等抗震性能原则对一9层钢框架及一 15层钢板剪力墙结构进行失效模式优化分析。吕大刚等[8]基于结构可靠度理论，对结构失效模式进行了研究。Beck等[9]基于可靠度理论，考虑结构和地震的随机性对一3层钢框架进行了多目标优化设计。
国内外学者对结构失效模式识别及结构体系可靠度分析的研究已经较为成熟，但关于失效模式优化方法的研究还较少，优化对象也多选用钢结构。本文首先利用IDA方法，通过数值计算，确定了结构的敏感地震动，并将其作为优化过程的地震动输入。考虑地震动的不确定性，又定义各极限状态的年超越概率用以评价优化效果。为了有效减小结构在地震作用下层及整体的损伤，本文以最大层间位移角及整体损伤指数作为结构的性能指标，并作为目标函数置入遗传算法内。以构件的截面及配筋作为优化变量，结构的材料用量作为约束条件，实现了对一10层钢筋混凝土框架-剪力墙结构的失效模式优化，优化后结构抗震性能显著提高，失效模式得到有效改善。该算法针对采用纤维梁单元建立的有限元模型，结合MATLAB可实现自动计算。
1 性能指标
1.1 结构整体损伤
为了准确量化结构在地震作用下的损伤程度及其演化规律，需要确定合适的损伤指数计算原则。结构的损伤可分为三个层次：材料损伤、构件损伤及结构整体损伤。材料损伤能从根本上描述结构性能劣化的微观过程；构件的损伤及破坏能够从宏观上反应结构的薄弱位置及失效路径，但单一构件的损伤不一定引起整个结构的倒塌破坏，对于由构件损伤集成总体损伤的研究还不够完善。整体损伤能从宏观上直接反应结构在地震持续时间内的损伤发展及性能退化过程，且形式简单，便于统计分析，因此，本文定义基于位移的损伤指标DI[10]，如下所示：
式中：δ为地震作用下结构的最大位移；δy是结构的屈服位移；δu是结构的极限位移；μ为结构最大延性系数；μu为极限延性系数。上述两个特征位移均可用静力弹塑性分析求出，其中δy等于结构初始刚度发生明显退化时的位移，δu等于结构承载力下降到最大承载力的80%时对应的位移。如果δ-δy＜0，令其等于0，即结构处于弹性受力阶段时，整体结构处于无损状态。
1.2 最大层间位移角
我国建筑抗震设计规范[11]通过限定层间位移角限值(max(θd))来确保结构的正常工作性能。针对框架-剪力墙结构，其弹性层间位移角限值为1/800，弹塑性层间位移角限值为1/100。根据上述规定，定义结构的第一极限状态LS1及第二极限状态LS2分别为：
1.3 极限状态年均超越概率
考虑地震动的不确定性，用各损伤状态的年超越概率(Mean Annual Frequency，MAF)来评价建筑物的抗震能力，更具有统计意义。MAF可用极限状态易损性曲线和地震危险性曲线的卷积计算。而根据 IDA分析结果回归即可得到各极限状态的易损性曲线，根据地震危害性的概率分析可得到地震危险性曲线，本文选用文献[12]中考虑场地土非线性效应的危险性曲线，根据全概率理论计算各极限状态的MAF，如下所示：
式中，P(LSi|IM=im)为地震强度参数(文中选用PGA)IM=im时极限状态LSi的超越概率，∣dν(IM)/dIM∣为地震危险性曲线的斜率绝对值。假设地震作用下层间位移角服从对数正态分布，那么条件概率P(LSi|IM=im)可根据下式计算：
式中：
及σ分别为max(θd)均值和标准差的极大似然估计值；Φ为正态分布的累积概率函数。本文选取有限个PGA进行IDA分析，将式(3)离散化近似计算各极限状态的MAF，如下式所示：
式中，ν(IM|Θ)为所选地震动强度Θ的发生概率。
2 优化流程及GA验证
2.1 失效模式优化
优化过程的目标函数如式(6)所示，目的在于减少原始结构的整体损伤，提高其抗震性能。优化变量选择为梁柱截面面积，采用配筋率不变原则确定钢筋面积。选取待优化构件材料用量作为优化过程的约束条件，如式(7)所示：
式中：Vk为第k代优化时的材料用量；VI为待优化构件的初始材料用量。
优化全过程为：
1) 对结构进行 IDA分析，确定结构主要失效模式，敏感地震动及对应IM值，并将该失效模式下关键层构件分组，k=1。
2) 用GA生成初代优化方案，并统计优化构件的截面及材料用量变化。
3) 如果结构满足规范设计要求且符合约束条件，则进入第4)步。
4) 对初始模型进行第k代修改并在不利地震动下进行弹塑性时程分析。根据式(6)选择第k代最优方案，并作为第k+1代的初始方案。
5) 若未达到收敛条件，令k=k+1，并返回第2)步进行下一代优化；若达到收敛条件，且MAF提高，那么返回第1)步，重新确定结构主要失效模式及敏感地震动；若达到收敛条件，且MAF降低，则优化结束。优化流程如图1所示。
图1 优化流程图
Fig.1 Optimization flow chart
其中GA优化子块的算法为：
1) 生成初始种群，即p行×q列的矩阵，p为第一代个体数目，q为个体的基因片段数，这里对应了分类后待优化构件截面的变化。本文中矩阵元素定义为1～5的随机整数，分别代表截面面积-10%、-5%、不变、+5%及+10%。
2) 录入初始结构待优化构件的截面面积及对应层高，并计算VI。
3) 对种群进行杂交(随机交换个体间的部分基因片段)及变异(随机改变个体的某基因片段)。
4) 集成各优化方案的截面尺寸及材料用量变化，并进行模型更新。对于不满足约束条件的方案，如果其显著提高结构性能指数，则不排除该方案[13]。
2.2 遗传算法验证
为了验证所编制算法的正确性，本文将一设防烈度为7度(0.1g)的5层钢筋混凝土框架结构简化为集中质量体系，简化模型如图 2所示，利用Simulink模拟其弹性时程分析过程，实现了对该结构失效模式自动优化。假设各层集中质量为该层楼板质量加上相邻各半层柱的质量，层间刚度为该层柱构件抗侧刚度之和，采用瑞利阻尼，阻尼比设为0.05。本文中的杂交概率pc=0.6；变异概率pm=0.05，本节中初始种群数取p=64；基因片段数q=3(1层、2层及5层柱的截面)。优化前后结构各层柱截面面积Aj(按初始1层截面归一化，j为层数)、各层最大层间位移角max(θd)j及种群数目如表1所示。算法收敛速度较快，进行4代优化后程序即终止。采用上节中提及的方法对违背约束条件的个体进行选择，有效保证了种群个数。优化后结构的材料使用量显著降低，虽部分层的层间位移角有些许提高，但是最大层间位移角降低了 7%，验证了算法的正确性。优化使得结构最大层间位移角从底层转移到第二层，薄弱层上移。
图2 混凝土框架简化模型
Fig.2 Simplified model of the RC frames
表1 优化前后构件面积及最大位移角对比
Table 1 Comparison of max(θd) and components’ areas before and after optimization
3 算例分析
3.1 模型建立
以一10层钢筋混凝土框架-剪力墙结构[14]为例进行优化分析，该模型底层高度 4.1 m，其余层高均为3.6 m，结构总高度为36.5 m。平面尺寸12 m×18 m，横向2跨，纵向3跨，跨度均为6 m，标准层平面图如图3所示。楼面活载2.0 kN/m2，屋面活载 0.5 kN/m2。楼板厚 150 mm，剪力墙厚160 mm。柱、梁、剪力墙及楼板的钢筋保护层厚度分别为35 mm、25 mm、20 mm及20 mm。抗震设防烈度为6度(0.05g)，场地类型Ⅱ类，设计地震为第一组。采用PKPM对其进行结构设计，构件截面尺寸如表2所示；将相同配筋的截面归类，配筋信息如表3所示。
图3 标准层平面图 /mm
Fig.3 Standard floor plan
表2 构件截面尺寸
Table 2 Sectional dimensions of components
采用ABAQUS建立结构三维有限元模型，如图4所示。梁、柱均采用纤维梁单元，楼板及剪力墙采用组合壳单元，各单元间均采用刚接，结构底部固接。剪力墙及楼板的混凝土采用塑性损伤模型，参考过镇海[15]提出的混凝土损伤本构；钢筋采用双线性塑性本构。梁柱的混凝土采用Concrete02[16]本构模型，能考虑混凝土受拉软化的线性加、卸载规则，并考虑初始开裂；钢筋采用Steel02本构模型。前4阶结构自振周期计算结果对比如表4所示，验证了所建立模型的正确性。
表3 原结构配筋
Table 3 Reinforcement of the primary structure
图4 结构有限元模型
Fig.4 The finite element model of structure
表4 前4阶结构自振周期对比
Table 4 Comparison of the first four natural frequencies
3.2 敏感地震动及结构失效模式
根据设计反应谱在PEER上选取15条地震波记录，将地震波PGA调幅至0.05g、0.074g、0.111g、0.247g、0.368g、0.549g、0.819g及1.22g共135种工况对结构进行IDA分析。各地震波基本信息如表5所示，事件后数字代表不同的站点对相同地震的记录。
按式(4)计算并拟合得到极限状态LS1及LS2的超越概率 IDA曲线如图 5所示(横轴采用对数坐标)。从图中可以看出：LS1的超越概率在 0.247g后基本稳定趋近于1，而LS2的超越概率在0.247g后进入快速上升段，因此选取PGA=0.247g为优化初始模型的地震输入IM值。图6为对应PGA为0.111g、0.368g、1.22g及12号波作用下结构的层间位移角包络图。根据 PGA大小及结构层间位移角包络形状将结构层变形分为3大类：1) PGA≤0.247g时，结构层间位移角由上至下逐渐减小；2)PGA=0.368g时，部分地震波作用下，结构中部出现薄弱层。3) PGA≥0.549g时，结构出现底部变形过大的失效模式。在各调幅地震波作用下，12号波使得结构层间位移角包络图几乎处于最右侧，不失一般性，定义其为敏感地震动，由图 1可以看出，该地震输入不一定唯一，若MAF不降低，则需要重新确立敏感地震动。
表5 地震波基本信息
Table 5 Basic information of seismic motions
图5 各极限状态的超越概率IDA曲线
Fig.5 IDA curve of exceeding probability for each limit state
图6 不同地震波及PGA下结构层间位移角包络曲线
Fig.6 Envelope of drift ratio under different earthquake with different PGA
同时对结构进行Pushover分析，按与一阶模态成比例原则施加水平推覆荷载，选择合理步长加快计算收敛性。得到其顶部位移-基底剪力曲线如图7所示。根据定义得到结构的屈服位移δy=43.0 mm极限位移δu=323.5 mm，并根据式(1)计算出12号波下结构的整体损伤发展曲线(考虑损伤的累积性，即图中红虚线)，如图8所示。
图7 顶点位移-基底剪力曲线
Fig.7 Curve of relationship between the roof displacement and the base shear force
3.3 优化分析
本节中初始种群数取p=168；基因片段数q=25，分别对应首两层和顶三层的角柱、中柱、纵向边柱、横向边柱及 KL4截面的变化。针对多目标优化问题，为了定义各优化代内的最优个体，需确定各目标函数间的权重关系。根据式(1)可以看出：结构的整体损伤指数DI与结构的顶部位移δ成正比。将经第一代方案优化后结构的最大层间位移角与顶部最大位移进行相关性分析。经计算，按第一代性能指标最大值归一化后的δ与max(θd)高度相关，互相关系数为0.865。假设在整个优化过程中，该关系保持不变，基于该假设本文提出一种多目标函数最小值优化的线性加权方法。设当代所有个体的第i个性能指标为ai(i=1,2,…，n)，初始模型的各性能指标为ajo，那么加权后的目标函数如下式所示：
式中，下标s表示按相应的最大值归一化。加权项ηi数学含义为：收敛速度越快的目标函数在该算法集成总目标函数时占优，表达式如下式所示：
可以验证各加权项的和为1。针对本文的优化问题，令n=2，a1=max(θd)，a2=DI。
图8 PGA为0.247g的12号波作用下结构整体损伤指数
Fig.8 The global damage index under 12th ground motion with PGA of 0.247g
由于第4代优化更新后结构的各性能指标均无显著改善，认定优化结束。优化算法的收敛速度较快，共历经 4代(654个随机样本的弹塑性时程分析)。计算得到优化过程中第1代～第4代最大层间位移角及整体损伤值的加权系数，如表6所示。结果表明：各性能指数的加权系数在1/2附近来回波动，随着基于遗传算法优化流程的进行，结构各性能指数的收敛速度逐渐接近，能较好实现结构多目标优化的目的。
以选定结构敏感地震动及对应 PGA为前提，各代最优个体的结构层间位移角包络与整体损伤值分别如图9、图10所示。由图9可以看出：在优化构件的材料用量不超过原构件材料用量 10%的前提下，随着优化的进行，结构的最大层间位移角逐渐降低，最终减少了16.3%。优化后结构层间位移角分布更加均匀，消除了结构薄弱层。第1代优化对层间位移角的改善最明显，且后续优化都是以上一代的最优个体为基础，确保了优势基因序列的传递。第3、4代优化虽没有明显降低结构最大层间位移角，但也使得结构中下部位移角分布状况得到明显改善。由图10可以看出：随着优化的进行，结构的最大整体损伤值明显降低，最终减少了20.8%。优化后部分结构损伤累积曲线位于原始结构损伤累积曲线的左侧，表明优化过程稍微加快了结构整体损伤的累积，但在第4代优化后，损伤累积速度又得到降低。分析原因可能是结构动力特性的改变使得其自振频率与敏感地震动的前部分频谱更加接近所致。优化后结构前三阶自振周期分别为1.1960 s、0.4952 s及0.3790 s，较原结构略微增大。
表6 性能指标加权系数
Table 6 Weighting coefficient of each performance index
图9 优化中层间位移角包络图
Fig.9 Envelope of drift ratio during optimization
以原结构截面尺寸为基准，对各代内最优个体的待优化构件截面尺寸进行归一化处理，结果如图11所示。从图中可以看出，随着优化的进行，各构件截面尺寸的离散性逐渐增大并趋于稳定，其标准差分别为0.038341、0.056964、0.07803及0.07891。优化全过程中，待优化截面面积增减一致的构件多达76% (19/25)，充分体现了遗传算法自适应环境下搜寻优势个体高效性。就第4代最优个体而言，截面明显增大的构件为10层角柱、纵向边柱及内柱，9层横向边柱及KL4，8层纵向边柱、横向边柱及KL4，1层横向边柱；截面明显减小的有10层横向边柱，9层角柱，8层角柱，2层横向边柱及一层内柱与KL4。由于约束条件的限制，优化过程中待优化构件的材料用量并未发生明显变化，总量如图12所示。
图10 优化中结构整体损伤指数
Fig.10 The global damage index during optimization
图11 各代最优个体截面归一化值
Fig.11 Normalized value of optimal individual section in every generation
图12 各代材料用量
Fig.12 Materials consumption of every generation
敏感地震动(PGA=0.819g)作用下，结构层间位移角处于弹塑性限值附近，即临界倒塌状态，对比该状态下结构优化前后的层间位移角分布。结构的失效模式从底部失效转变为顶部失效，能有效避免整体倾覆型倒塌，如图13所示。
图13 PGA为0.819g的12号波下位移角包络曲线
Fig.13 Envelope of drift ratio under 12th ground motion with PGA of 0.819g
对优化后结构进行IDA分析，计算得到各极限状态失效概率，优化后结构的LS1的IDA曲线变化不大，LS2超越概率IDA曲线位于优化前IDA曲线的下方，且随着 PGA的增大，其超越概率降低越明显，如图14所示。优化后结构的LS1及LS2的年超越概率均减小，如表7所示。优化前结构的抗倒塌储备系数(CMR)为5.6，优化后结构的CMR为5.74。
表7 各极限状态年超越概率
Table 7 MAF of each limit state
图14 LS1及LS2超越概率IDA曲线
Fig.14 IDA curve of exceeding probability for LS1and LS2
4 结论
(1) 本文以遗传算法为基础，将结构最大层间位移角及整体损伤指数作为优化流程的目标函数，以待优化构件的材料用量为约束条件，结合MATLAB实现了钢筋混凝土框架-剪力墙结构失效模式多目标优化。
(2) 通过IDA分析确立结构的敏感地震动及相应PGA，并提出一种多目标函数最小值优化的线性加权方法。
(3) 优化过程中，各目标函数的收敛速度几乎保持一致，且1代～4代中截面增减大体保持一致，体现了该优化算法的鲁棒性。优化后，结构的最大层间位移角及整体损伤值均显著降低，层间位移角分布更加均匀。临界倒塌状态附近结构的失效模式从底层失效转变为顶层失效，LS1的超越概率变化不明显，LS2的超越概率IDA曲线位于优化前的下方，且随着 PGA的增大，超越概率减小越明显。优化后结构的各极限状态年超越概率均减小，且CMR值提高，实现了在不明显增加工程造价的前提下提高结构的抗震性能的目的。
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