岩石非定常Burgers蠕变模型及其参数识别

岩石流变性态与岩石工程长期稳定性密切相关，因而对其进行准确描述与预测尤为重要。元件组合模型因能较好地反映岩石流变力学特性，且概念清晰明确，而得到了广泛的研究与应用。但传统模型由线性元件组合而成，仅能反映衰减蠕变与稳态蠕变特性，而对于非线性蠕变特征明显的加速蠕变则无法描述。因此，为了完整描述岩石蠕变的三个阶段，特别是加速蠕变阶段，许多研究者构建了不同的非线性蠕变模型。其方法主要有两种。一是新建立一种非线性元件与传统模型相结合，如Sterpi等[1]在Kelvin-Voigt模型基础上串联了一个黏塑性元件，构成了非线性弹黏塑性蠕变模型。而Fahimifar等[2]针对Sterpi模型在预测低应力条件下发生稳态蠕变的不足，又在其基础上串联了同样满足Mohr-Coulomb准则的塑性元件。国内外许多研究者[3－8]针对不同岩石的特性，提出了相应的非线性黏塑性元件，并与传统的线性黏弹性模型串联，形成了非线性黏弹塑性模型，均能较好地模拟岩石的三阶段蠕变特征。肖世武等[9]利用可以统一表征弹性与黏壶元件的 Koeller弹壶元件构建了分数阶导数固体流变模型。二是对线性模型的蠕变参数进行非定常化，得到改进的非线性蠕变模型，如康永刚等[10－11]考虑了黏滞系数的时间效应及应力的影响，建立了改进的非定常蠕变模型；熊良宵等[12]将Burgers模型中串联的Maxwell黏滞体替换为与时间、应力相关的非线性黏滞体，得到了修正的变参数蠕变模型；丁志坤等[13]基于定常H-K体参数拟合结果，将其中弹性模量设为非定常函数，并推导出非定常 H-K体的蠕变方程；罗润林等[14]分别将Burgers模型中Maxwell黏滞系数与Kelvin弹性模量假定为时间的函数，构建了非定常Burgers模型。另外，孙钧[15]归纳了对非线性流变问题的三种求解方法，并认为将黏滞系数η作为非定常参数的方法较为理想。但由于修正后的黏弹性系数为时间、应力状态的函数，计算较为困难，因此多数研究者仅仅将原线性方程中的参数替换为非定常参数，形成隐函数形式的蠕变方程。但隐式的蠕变方程较难从理论上分析各参数变化的影响，同时也不便于模型在数值模拟中的应用。因此，选择简化的非定常参数，并推导非线性蠕变方程是非常有必要的。

基于此，本文同时考虑 Burgers模型中两个黏滞系数的时间效应，以构建非定常Burgers蠕变模型，推导其一维蠕变方程，并分析蠕变参数的影响，进而将方程推广至三维应力状态，分别得到了基于非定常Burgers模型的等围压条件下轴向与径向蠕变显式方程。同时，基于向家坝挤压破碎带岩石的蠕变试验结果，采用Levenberg-Marquardt算法分别辨识各应力水平下 Burgers模型与非定常 Burgers模型参数，分析比较两种模型的拟合效果，验证非线性模型的适用性与合理性。

1 Burgers模型非定常化

1.1 非线性黏壶元件

蒲成志[16]、张强勇[17]、蒋昱州[18]等从岩石蠕变损伤角度，假定损伤演化呈时间的负指数函数形式，构建了蠕变损伤本构模型。许宏发[19]、高文华[20]等由岩石蠕变试验曲线拟合得到弹性模量E与时间t的负指数关系方程，并由弹性模量变化定义损伤变量，进而得出损伤变量D与时间t的负指数关系。

蠕变参数的非定常化，其实质是对蠕变过程中岩石损伤劣化的描述。因而可借用上述损伤变量的时间函数关系对黏壶元件的黏滞系数进行修正，构成非线性黏壶元件，如图1所示。其满足：

式中：为应力；为蠕变速率；为初始黏滞系数；为待定常数。

对黏滞系数h(t)求导可得：

由于

即黏滞系数随时间衰减，可描述蠕变的损伤软化；则当即黏滞系数不随时间变化，为常规线性黏壶元件；则当即黏滞系数随时间增大，可描述蠕变硬化。因此可以通过参数改变非线性黏壶的性质，以满足不同阶段的蠕变特性。亦能表现出范庆忠等[21]指出的岩石蠕变过程中损伤与硬化并存的机制。

图1 非线性黏壶元件
Fig.1 Nonlinear viscous element

1.2 非定常参数Burgers模型的建立

传统的线性 Burgers模型由 Maxwell体与Kelvin体串联构成，如图2所示。

其一维蠕变本构方程为[22]：

式中：EM为瞬时弹性模量；EK为黏弹性模量；与为黏滞系数。

图2 Burgers蠕变模型
Fig.2 Burgers creep model

分别将M体与K体中的黏壶替换为上述非线性黏壶元件，构成图3所示非定常Burgers蠕变模型。

图3 非定常Burgers蠕变模型
Fig.3 Non-stationary Burgers creep model

其中，由得修正的M体弹性元件蠕变柔量为：

修正的M体黏滞系数为：

式中：为初始黏滞系数；为常数。

黏壶状态方程为：

分离变量求定积分：

并得蠕变柔量：

修正的K体黏滞系数为：

式中：为初始黏滞系数；为常数。

修正的K体状态方程为：

分离变量求定积分：

并得蠕变柔量：

根据元件串联时应变叠加原理有：

则非定常Burgers模型蠕变柔量为弹簧、非线性黏壶以及修正后K体的蠕变柔量之和，即：

因而，非定常Burgers模型一维蠕变方程为：

由式(15)分别讨论参数对蠕变方程的影响：

1) 当时，有：

则蠕变方程为：

即非定常蠕变模型退化为传统Burgers模型，这与直接将分别代入式(5)、式(9)相一致。

2) 当时，有：

则与Burgers模型类似，可以描述衰减蠕变与稳态蠕变。时，这与传统Burgers模型中的K体性质相同，而时，表明时，修正后的K体有硬化特征，并通过反映其硬化程度，即随着减小，硬化程度越高。

3) 当时，无论取何值，修正后K体的蠕变应变均收敛于某一定值，而随时间t加速增大，因而可用于描述加速蠕变阶段。

4) 当时，有此时模型总蠕变应变趋于定值，因而可以描述岩石在低应力状态下的衰减蠕变。特别，当

此时蠕变方程类似于广义Kelvin模型。

1.3 三维蠕变方程

在三维应力状态下，岩石的应力张量σij可分解为偏应力张量Sij与球应力张量σm，相应的应变张量εij亦可分解为偏应变张量eij与球应变张量即：

式中：ijd为Kronecker函数；球应力张量与应变张量为：

三维应力条件下，弹性元件满足广义虎克定律：

式中：G为剪切模量；K为体积模量。

通常考虑应力偏量仅引起蠕变变形，球应力引起弹性变形，同时假定岩石为各向同性体，则Bugers模型三维蠕变方程为：

非定常Burgers模型三维蠕变方程为：

常规三轴压缩蠕变试验时，满足将其代入式(22)得 Burgers模型在等围压条件下轴向与径向蠕变方程：

将式(24a)、式(24b)分别代入式(23)得非定常Burgers模型在等围压条件下轴向与径向蠕变方程：

2 非定常模型验证及参数识别

2.1 三轴压缩蠕变试验

为验证非定常模型的适用性与合理性，基于Zhang等[24]对向家坝挤压破碎带岩石的三轴压缩蠕变试验结果，分别采用传统 Burgers模型与非定常Burgers模型进行拟合对比与参数辨识。文献[24]中试验采用陈氏加载法，轴压分为9级，加速破坏前各级均保持48 h，围压恒为2 MPa。试验获得了岩石试件的轴向与径向蠕变阶梯曲线，但并未进行处理。因此根据玻尔兹曼叠加原理可得到岩石分别在各级应力水平下轴向与径向的蠕变曲线，如图4所示。

图4 各应力水平下岩石蠕变曲线
Fig.4 Creep curves of rock under different stress levels

从图4可以看出，在前8级应力条件下径向蠕变量随应力增大而缓慢增加，但小于同等应力条件下的轴向蠕变，而在破坏应力下径向蠕变迅速增大，在加速蠕变阶段其蠕变量已大于轴向蠕变。

2.2 模型参数识别

目前最为常用的曲线拟合方法是最小二乘法，但对于非线性问题的求解，其存在初值选取困难、收敛速度较慢以及易收敛于局部极小点等问题[25]。因此，为克服以上缺陷，采用Levenberg-Marquardt算法对蠕变试验曲线进行拟合与参数辨识。

为了便于参数识别，将式(24)与式(25)中常数项进行合并，即：

式中，A1与A2为待定常数。

通过拟合蠕变曲线，可辨识得到A1、A2，再根据关系式：

分别求出体积模量K与剪切模量G，其中泊松比假定为0.4[24]。

根据轴向与径向各级蠕变曲线反演得到的模型参数分别如表1和表2所示。

表1 基于轴向应变辨识得到的模型参数
Table 1 Parameter values of model identified by axial strain

轴压/MPa围压/MPa非定常Burgers模型参数 Burgers模型参数K/GPaGM/GPa 0Mh/(GPa·h)GK/GPa 0Kh/(GPa·h)λ1 λ2 R K/GPaGM/GPaηM/(GPa·h)GK/GPaηk/(GPa·h)R3.0 2.0 0.622 0.133 12.127 0.501 0.098 -0.070 -1.674 0.9802 0.586 0.126 60.938 0.591 0.639 0.9506 3.8 2.0 0.842 0.181 16.039 0.749 0.650 -0.052 -0.529 0.9885 0.827 0.177 60.514 0.685 1.361 0.9767 4.8 2.0 1.095 0.235 14.175 0.626 0.491 -0.064 -0.623 0.9926 1.033 0.221 71.303 0.645 1.476 0.9733 5.8 2.0 1.270 0.272 11.790 0.622 0.555 -0.069 -0.589 0.9956 1.181 0.253 69.783 0.612 1.689 0.9804 6.8 2.0 1.390 0.298 9.502 0.608 0.443 -0.073 -0.633 0.9976 1.249 0.268 63.610 0.566 1.728 0.9836 7.8 2.0 1.455 0.312 10.526 0.513 0.569 -0.065 -0.493 0.9980 1.331 0.285 58.738 0.506 1.485 0.9891 8.8 2.0 1.522 0.326 7.847 0.480 0.469 -0.085 -0.518 0.9987 1.359 0.291 70.090 0.441 1.321 0.9887 9.8 2.0 1.566 0.336 7.892 0.400 0.498 -0.072 -0.450 0.9990 1.397 0.299 52.674 0.385 1.198 0.9915 10.8 2.0 1.433 0.307 0.083 0.182 0.538 0.789 -0.186 0.9968 1.600 0.343 3.832 0.385 0.305 0.9540

由表1和表2可知，非定常Burgers模型拟合曲线的相关系数R均大于Burgers模型，表明采用非定常Burgers模型可以获得较高的拟合精度。

两种模型所辨识的体积模量K与剪切模量GM、GK随应力变化的趋势相一致。其中轴向辨识参数K与GM随应力增大而增加，径向辨识参数K与GM随应力增大而减小。剪切模量GK在轴向与径向均随应力增大而先增加后减小。

模型参数在前8级应力下均为负值，且变化很小，而在第9级应力下为正值，反映了达到破坏应力时岩石损伤劣化突增，而在低于阀值应力水平下则并不显著。模型参数均为负值，但有随应力水平增加而增大的趋势，表明模型中K体有硬化特征，且随应力增大而减弱。

相比而言，由非定常Burgers模型辨识得到的轴向与径向蠕变参数有一定偏差，但较为接近，而由 Burgers模型辨识得到的轴向与径向蠕变参数相差很大。参数的差异主要是因为两个模型的蠕变方程均假定岩石为各相同性材料，而实际试件内部组成复杂，并非完全各向同性体。非定常 Burgers模型反演所得的参数相差较小，是因其方程中考虑了蠕变参数的时间效应，能够较好地反映岩石蠕变参数的变化。这在一定程度上也体现了所建立非线性模型的合理性。另外，为了简化推导，非定常参数并没有考虑应力-应变状态的影响，所以轴向与径向辨识的结果仍存在一定差异。

表2 基于径向应变辨识得到的模型参数
Table 2 Parameter values of model identified by axial strain

轴压/MPa 围压/MPa非定常Burgers模型参数 Burgers模型参数K/GPaGM/GPa 0Mh/(GPa·h)GK/GPa 0Kh/(GPa·h)λ1 λ2 R K/GPaGM/GPaηM/(GPa·h)GK/GPaηk/(GPa·h)R3.0 2.0 0.742 0.159 7.802 0.358 0.085 -0.356 -3.352 0.9820 0.570 0.122 2848.434 0.571 0.122 0.9694 3.8 2.0 3.009 0.645 8.381 0.413 0.141 -0.346 -3.715 0.9842 1.736 0.372 1076.151 0.825 0.437 0.9636 4.8 2.0 1.963 0.421 15.504 0.837 0.361 -0.155 -1.622 0.9946 1.694 0.363 277.910 1.011 0.962 0.9799 5.8 2.0 1.875 0.402 24.501 0.850 0.455 -0.076 -0.648 0.9973 1.691 0.362 132.609 0.858 0.948 0.9872 6.8 2.0 1.663 0.356 18.408 0.646 0.432 -0.085 -0.546 0.9988 1.505 0.322 119.329 0.644 0.853 0.9911 7.8 2.0 1.410 0.302 20.713 0.490 0.411 -0.052 -0.469 0.9994 1.299 0.278 70.516 0.515 0.720 0.9945 8.8 2.0 1.179 0.253 8.373 0.349 0.263 -0.107 -0.576 0.9993 1.042 0.223 84.542 0.350 0.539 0.9930 9.8 2.0 1.011 0.217 7.294 0.213 0.220 -0.060 -0.451 0.9998 0.887 0.190 31.042 0.223 0.407 0.9949 10.8 2.0 0.731 0.157 0.087 0.049 0.136 1.344 -0.289 0.9990 0.800 0.171 0.926 0.155 0.109 0.9139

图5和图6分别是轴压为5.8 MPa、9.8 MPa和10.8 MPa时非定常Burgers模型与Burgers模型对轴向和径向应变的拟合曲线图。

图5 轴向蠕变试验拟合曲线
Fig.5 Fitting curves of axial creep

图6 径向蠕变试验拟合曲线
Fig.6 Fitting curves of radial creep

从图5和图6可以看出Burgers模型与非定常Burgers模型对蠕变前 2个阶段拟合的曲线较为接近，但从径向蠕变拟合曲线能明显发现非定常Burgers模型在衰减蠕变阶段与试验数据更为吻合。

另外，破坏应力下的拟合曲线表明非定常Burgers模型能够描述加速蠕变阶段，而Burgers模型不能反映。总体而言，非定常Burgers模型对蠕变曲线拟合的效果更好，既能准确反映衰减蠕变与稳态蠕变特性，也能较好地描述岩石的加速蠕变。因此，所建立非线性模型较传统线性模型具有更优的拟合效果，且能够由统一的方程对蠕变全过程进行完整描述。

3 结论

(1) 考虑岩石蠕变参数呈时间的负指数函数形式，对 Burgers模型中两个线性黏壶元件进行非线性化，建立了非定常Burgers模型，并推导了一维蠕变方程。

(2) 讨论了模型参数和对蠕变方程的影响，通过其取值的不同可以描述蠕变的各个阶段。特别在与均为零时，非定常Burgers模型退化为传统Burgers模型。

(3) 进行了非定常 Burgers模型的三维蠕变方程推广，并基于Lenvenberg-Marquardt算法对向家坝挤压破碎带岩石三轴压缩蠕变曲线进行拟合及参数识别。辨识得到的参数与可以反映出岩石损伤与硬化情况。向家坝岩石在前8级应力水平下损伤增加不明显，而在破坏应力下损伤急剧增大。

(4) 拟合结果表明非定常 Burgers模型拟合效果优于Burgers模型，能更准确地描述包括加速蠕变在内的蠕变三阶段。

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