近年来，建筑结构在非预期荷载作用下的连续性倒塌问题引起了社会各界学者的广泛关注，取得了丰富的研究成果[1－4]。
迄今为止，国内外的研究成果主要集中在框架结构体系，而针对大跨度空间结构倒塌问题的研究则相对较少[5－6]。究其原因，一方面是因为连续性倒塌的事故多来源于框架结构；另一方面，基于对大跨度空间结构具有较高超静定次数的认知，认为其拥有较高的冗余特性，部分杆件的失效不足以削弱整体结构的承载能力[1]。但是近年来关于大跨度空间结构的倒塌事故却屡见不鲜[2－3]。如马来西亚苏丹米占再纳阿比丁体育场钢桁架倒塌、荷兰的特温特体育场钢屋盖倒塌，美国哈特福特市中心体育馆网架坍塌、明尼苏达州维京人队体育场倒塌、德国巴特赖兴哈尔溜冰场屋盖结构倒塌等，造成了大量的人员伤亡。尽管此类事故的直接诱因各式各样，但是究其根本原因却是没能阻止初始破坏的连续性扩展。频发的大跨度空间钢结构倒塌事故说明，尽管此类结构具有较高的超静定次数，但是某些关键杆件的失效仍然极易引起连续性倒塌。
合理考虑非线性和动力效应是进行结构连续性倒塌分析的难点和关键所在，通常采用线性静力、非线性静力和非线性动力的分析方法进行连续性倒塌分析。当采用静力方法进行分析时，如何正确评估结构的连续性倒塌动力效应，并确定静力分析的动力放大系数是研究中的一项重要课题。胡晓斌、钱稼茹[7]采用瞬时加载法对中柱失效的单层平面钢框架进行了动力反应分析，提出动力放大系数的变化趋势。聂世杰等[8]分析了多层钢框架结构的连续倒塌动力效应，给出影响动力效应的因素。杜永峰等[9]以一系列不同布置形式的竖向不规则 RC框架为对象，研究底层柱失效时建筑形式与动力放大系数之间的关系。Ruth等[10]认为连续性倒塌非线性静力计算中，动力放大系数取2.0是偏于保守的。
虽然GSA 2013[11]及DoD 2013[12]给出了动力放大系数的取值，但是该方法主要适用于框架结构。迄今为止，大跨度空间结构的动力效应研究相对较少，且大多都集中在桁架、张弦结构体系，比较典型的是王磊等[13]研究了动力效应对桁架结构体系极限承载力的影响。蔡建国等[14]、朱奕锋等[15]分别基于应力比值法和初始条件法对张弦结构的动力放大系数进行了研究，提出此类结构荷载放大系数的建议取值范围。
因此，本文构建单层空间网格结构抗连续性倒塌的单自由度子结构模型，通过理论推导研究考虑初始状态下子结构在线弹性、弹塑性阶段的动力放大原理，评估结构的连续性倒塌动力效应。此外，提出适用于单层空间网格结构的连续性倒塌动力效应简化模拟方法，并给出荷载动力放大系数的建议取值范围，为大跨度单层空间网格结构抗连续性倒塌静力分析提供理论依据。
1 单层空间网格结构简化模型
由于单层空间网格结构往往以三角形、四边形网格为基本单元(图 1)，因此可将此类结构简化为图2所示的子结构模型，着重考察该简化模型在单根杆件失效后的动力效应(实际子结构的边界是介于铰接与固接之间的弹性边界，为简化起见，采用固接研究动力效应。此外，图2仅显示平面图，“×”表示构件失效，中间节点的竖向标高既可以与周边节点相同，也可以高于周边节点，前者在小变形情况下杆件以受弯矩和剪力为主，当中心节点挠度较大时，杆件的轴拉力占主导地位；后者杆件内力主要为轴压力)。
图1 基本单元
Fig.1 Basic unit of single-layer spatial grid structures
图2 子结构模型
Fig.2 Model of sub-structures
局部构件失效后的子结构可等效为一个单自由度体系，如图3所示。即在某根重要构件瞬时失效后，中心节点发生介于初始状态(
)与动力最大位移状态(
)之间的自由振动，最终达到静力平衡状态(
)。
图3 结构单自由度分析模型
Fig.3 Single degree of freedom model for structure
1.1 线弹性分析
以静力平衡状态为标准位移点，则单自由度体系自由振动的动力平衡微分方程为[16]：
式中：
为竖向位移；
为阻尼比；
为圆频率。
单层空间网格结构的阻尼比可取 0.02或0.03[17](小于 1)，且初始条件为
此时微分方程式(1)的解为：
令
可得
为自然数。当
时中心节点位于初始平衡状态，即
当n=1时中心节点到达动力最大位移状态，动力最大位移
，如图4(a)所示。将式(4)求导两次可得：
当中心节点到达动力最大位移状态时
，惯性力为
如图4(b)所示。
图4 动力放大系数与阻尼比的关系
Fig.4 Relationship between dynamic magnification factor and damping ratio
若
=0.02，则
，如图4(b)中的虚线。此时，静力位移
因动力效应增大了
。由于
动力效应产生的惯性力
即等价于荷载
增加了
则位移与荷载的动力放大系数(RD、RL)可分别表示为：
式中：
通过以上研究，在进行连续性倒塌分析时，放大系数与初始状态密切相关，初始状态
必须考虑(若不考虑初始状态，位移与荷载将放大 0.94倍，与文献[7]结果相符)。此外，惯性力F与节点质量无关(但是节点质量的增大会使自振频率减小，因此荷载P应仍以质量的形式施加到结构上)。
1.2 弹塑性分析
结构进弹塑性阶段后，弹性阶段的动力效应理论解法不再适用，由能量守恒原理可以给出结构弹塑性阶段动力效应的理论分析。在重要构件失效之后，结构释放的重力势能W转化为动能E和应变能U，达到动力最大位移状态时：
将承载力位移曲线简化为图5所示的双折线形式，以此反映结构弹塑性阶段的性能。图中W、U可分别表示为式(7)、式(8)：
图5 动力放大原理
Fig.5 Principle of dynamic magnification
式中，S1、S2、S3分别表示区域 1、2、3的阴影面积，由式(6)、式(7)、式(8)可得图中静力平衡状态S对应的动力最大位移状态D。
由图5可知，弹性阶段下位移动力放大系数与荷载动力放大系数保持一致，随着结构塑性的发展，位移动力放大系数逐渐增大，荷载动力放大系数逐渐减小。
使用需求能力比 DCR反映结构所受荷载的相对大小，以不同 DCR状态下的子结构模型进行备用荷载路径法(AP法)分析，进一步说明连续性倒塌动力放大原理。
式中：P为结构所受荷载；Pu为子结构的极限承载力。而对于整体结构，Pu为在微小荷载增量下位移显著增加引起结构倒塌的荷载组合。
1.3 算例分析
为检验上述理论的合理性，采用图2所示的子结构模型进行验证。以0°、30°(杆件与水平面夹角)的三角形网格子结构为例，采用有限元软件ABAQUS的梁单元建模，通过在中心节点突加荷载的方式间接模拟杆件失效(模型中建立虚拟密度梁单元施加节点荷载：在节点位置增设梁单元，并设置虚拟的密度属性控制节点质量，此时虚拟密度梁单元的质量中心及刚度中心应与节点相重合，避免节点扭转，如图6所示)。子结构的跨度为4 m，Q235钢材，各杆件的截面规格均选用
阻尼比取0.02。0°、30°子结构的极限承载力分别为：
分别施加不同 DCR值对应的节点荷载，即可得到动力过程中子结构承受的荷载P。在此三角形网格子结构算例中，假定每根杆件平均承担荷载且剩余子结构承受的荷载为Ps，则杆件失效后剩余子结构的动力效应等效为剩余子结构在5Ps/6的基础上突加Ps/6的荷载。由于剩余子结构不对称，为研究单自由度体系下结构的动力响应，在原子结构的基础上模拟假想的第7根杆件失效，因此形成初始状态的荷载和突加的荷载分别为 6Ps/7和Ps/7。按照上述方式施加荷载，可以使不同子结构模型在同一DCR状态下进行动力分析，便于比较。
图6 虚拟密度梁单元示意
Fig.6 Beam element of virtual density
上述过程可以采用荷载传递功能实现，将Standard中获取的初始状态传递到 Explicit中，增加节点密度实现瞬时施加节点荷载，完成后续动力分析。通过分析，给出不同 DCR对应的中心节点竖向位移时程曲线、承载力位移曲线分别如图 7、图8所示(图7中，D-m表示DCR=m时对应的位移时程曲线；S表示不同DCR对应的静力平衡状态)，动力效应分析计算结果如表1所示。需要特别说明的是：文中未给出30°子结构在DCR=1.0情况下的计算结果，这是由于此时子结构已发生整体失稳破坏的缘故。
图7 不同DCR对应的位移时程曲线
Fig.7 Displacement history curves corresponding to various DCRs
图8 承载力-位移曲线
Fig.8 Load-displacement curves
表1 动力效应分析的计算结果
Table 1 Results of dynamic effect analysis
对比位移时程曲线发现：当子结构进入弹塑性阶段，结构的振动不再以静力平衡状态为中心自由振动，振动的平衡位置远大于弹塑性静力计算得到的位移。由于采用质量的形式施加荷载，DCR的增加使子结构的自振周期明显变长，因此，在DCR较大情况下，构件失效引起的结构自由振动会明显变缓，此外，30°子结构的结构刚度显著的大于0°子结构，因此自振频率增大较多。30°子结构的杆件以受轴向压力为主，最大动力位移约为0°子结构的1/4，因此，此类受力情况的破坏常为突然的失稳破坏。
此外，由表1计算结果可知：
1) 当子结构处于弹性阶段时，不考虑初始状态下的位移动力放大系数、荷载动力放大系数与理论分析结果吻合较好，且二者保持一致。
2) 子结构进入弹塑性阶段，随着DCR的增加，二者不再相等，位移动力放大系数逐渐增大，而荷载动力放大系数逐渐减小，与理论分析结果吻合较好。
3) 考虑初始状态后，虽然位移动力放大系数、荷载动力放大系数在线弹性阶段与弹塑性阶段的变化趋势未发生改变，但两个动力放大系数值均显著减小，与理论分析结论一致，因此必须考虑初始状态的影响。
2 连续性倒塌动力效应简化模拟
2.1 简化模拟方法
连续性倒塌的动力效应可以直接采用动力方法进行分析，但是这种方法的计算量较大，费时费力。为了方便设计人员快速评估结构抗连续性倒塌性能，也可采用荷载动力放大系数RL间接模拟动力效应。
对于框架结构，动力效应的荷载放大是通过移除重要底层柱，再放大相邻跨楼面荷载并进行非线性静力计算实现。对于单层空间网格结构，由于其受力特性与框架结构存在较大差异(传力路径受曲面形式的影响较大)，且移除的重要构件不同于框架结构的承重柱(承重柱主要承受的是竖向荷载，而空间网格结构的杆件常为拉结或承受压力，方向多变)，因此上述针对框架结构的动力效应荷载放大方法不能直接应用。
为此，本文提出适用于单层空间网格结构的连续性倒塌动力效应简化模拟方法：首先计算得到结构的初始平衡状态，然后用杆件内力替换重要构件，再反向施加拟放大的杆件内力。此时，若简化模拟方法得到的静力位移状态与非线性动力AP法得到的动力最大位移状态一致，则说明动力效应简化模拟方法是正确的。
采用该方法进行数值分析时，需要确定荷载放大系数RL的具体取值：采用考虑施工效应的非线性静力AP法[2]进行分析，以杆件内力放大2倍为目标，设置合理大小的增量步，得到不同增量步(即不同RL)对应的静力位移状态，与考虑施工效应的非线性动力最大位移状态进行比较，最终确定RL的取值。对于不同DCR荷载状态，RL的取值存在较大差异，因此本文将对不同荷载状态的单层网壳结构进行分析，给出RL的合理取值范围。
2.2 方法验证
为检验上述方法的合理性，采用图9所示的单层网壳模型[球面网壳(跨度40 m，矢跨比1/5)、柱面网壳(跨度15 m，矢跨比1/5)、双曲抛物面网壳(跨度 40 m，矢跨比 1/5)]进行验证。三种网壳均选用Q235钢，且采用双线性等向强化本构模型进行分析(强化段切线模量Et=0.01E)。杆件自重通过有限元软件ABAQUS自动计算，节点自重取杆件重量的25%，屋面覆盖材料(1.5 kN/m2)及活载(0.5 kN/m2)均等效为节点荷载施加于结构上，荷载组合采用1.2恒载+0.5活载[11－12]，具体杆件尺寸如表2所示(杆件截面规格选自文献[18])。
图9 单层网壳模型
Fig.9 Models of Single-layer reticulated shell structures
表2 杆件参数 /mm
Table 2 Parameters of members
以第1组杆件截面规格为例进行分析，给出上述荷载状态下静、动力位移云图及荷载动力放大系数RL的取值如图10、图11、图12所示(为充分展现单层网壳结构在连续性倒塌过程中的动力效应，图中动力最大位移云图依据各节点在整个动力过程中的最大位移绘出，且左图均为动力最大位移云图，右图均为静力位移云图)。限于篇幅，图13仅给出在移除重要构件①时动力(达到最大应力时刻)及相应静力应力云图，进一步说明简化方法的可靠性(左图均为动力应力云图，右图均为静力应力云图)，其余杆件移除情况与此类似。重要构件的选取方法见文献[19]。
由图10～图13可知：
1) 不同高斯曲率的单层网壳在移除不同重要构件时，均能找到与动力最大位移云图基本一致的静力位移云图(即放大荷载RL倍)。尽管存在少数动、静力位移云图的分布模式存在些许差别，但位移最大位置均吻合较好。
2) 动力过程中的最大应力云图与相应RL情况下的静力应力云图吻合较好，杆件最大应力接近一致。说明通过对比位移云图确定RL的取值是合理的，在位移云图基本一致的前提下，杆件最大应力及塑性分布也可吻合。
3) 该连续性倒塌动力效应简化模拟方法准确可靠，可用于单层空间网格结构的连续性倒塌分析。
4) 对于球面网壳，与失效构件邻近的位移放大较多，而柱面网壳与双曲抛物面网壳的位移放大位置主要集中在结构的跨中，说明荷载放大区域与失效构件没有直接的关系(即适用于框架结构的荷载放大方法不再适用于单层网壳结构)。此外，上述计算结果可以充分体现单层球面网壳结构的优异性能，在构件失效后仅局部区域受到影响，有足够的备用路径分配不平衡荷载。
此外，为验证将屋面覆盖材料及活载等效为节点荷载的合理性，同样以①杆移除为例，给出以线荷载形式施加与节点荷载形式施加的对比结果如表3所示。
图10 球面网壳计算结果
Fig.10 Results of spherical latticed shell
图11 双曲抛物面网壳计算结果
Fig.11 Results of hyperbolic parabolic latticed shell
图12 柱面网壳计算结果
Fig.12 Results of cylindrical latticed shell
图13 应力分布对比
Fig.13 Contrast of stress distribution
表3 不同荷载形式计算结果
Table 3 Results of different load forms
由表3可知，采用线荷载形式施加屋面覆盖材料及活载时，动力过程中的最大位移显著减小。这是由于不平衡荷载转移到周边杆件，导致动力效应减弱。因此采用等效节点荷载形式计算能够得到一个较为保守的计算结果。两种荷载形式下的荷载动力放大系数RL吻合较好，误差在7%以内，说明采用等效节点荷载形式的计算结果具有通用性。
3 荷载动力放大系数的取值范围
为了得到荷载动力放大系数RL的合理取值范围，本文采用2.1节动力效应简化模拟方法对表2算例中不同曲面形式、杆件截面规格、重要构件失效以及荷载状态的单层网壳结构进行了大量计算，给出图14所示的计算结果(不同DCR对应的RL)。
通过以上分析，可得以下结论：
1) 尽管杆件截面规格、结构形式和失效构件不同，荷载动力放大系数RL随DCR的变化趋势大体一致：在DCR较小时，RL基本保持不变；当DCR较大时，RL随着DCR增大而逐渐减小。需要特别说明的是：双曲抛物面网壳③、④、⑤杆件的RL始终保持在较低水平，且上述杆件均位于跨中位置，说明双曲抛物面网壳跨中位置刚度较低，动力效应有限。而柱面网壳的杆件④和⑦在结构中主要起拉结作用，杆件是否移除对结构位移及应力分布影响较小，没有RL减小的过程。
2) 当杆件截面规格改变时，各构件荷载动力放大系数RL的趋势基本没有发生变化，说明本文方法具有适用性。
3) 对于单层网壳结构，当DCR<0.7时，荷载动力放大系数RL的计算结果基本分布在1.7和1.9之间，因此建议RL取1.7～1.9；当DCR>0.9时，此时结构接近倒塌，塑性发展较为充分，动力效应较小，故建议RL取1.4～1.6。
图14 荷载动力放大系数计算结果
Fig.14 Results of load dynamic amplifying factors
4 结论
(1) 构建了单层空间网格结构抗连续性倒塌的单自由度子结构模型，通过理论推导，提出考虑初始状态下子结构在线弹性、弹塑性阶段的动力放大原理。
(2) 不考虑初始状态时，弹性阶段下的位移动力放大系数、荷载动力放大系数趋势保持一致；弹塑性阶段下，随着塑性的发展，荷载动力放大系数逐渐减小，位移动力放大系数逐渐增大。考虑初始状态后，虽然位移动力放大系数、荷载动力放大系数在线弹性阶段与弹塑性阶段的变化趋势未发生改变，但两个动力放大系数值均显著减小，与理论分析结论一致，因此必须考虑初始状态的影响。
(3) 提出适用于单层空间网格结构的连续性倒塌动力效应简化模拟方法，该方法准确可靠，可用于单层空间网格结构的连续性倒塌分析。
(4) 给出荷载动力放大系数的建议取值范围：对于单层网壳结构，当DCR<0.7时，荷载动力放大系数RL的计算结果基本分布在1.7～1.9，因此建议RL取1.7～1.9；当DCR>0.9时，此时结构接近倒塌，塑性发展较为充分，动力效应较小，故建议RL取1.4～1.6。
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