工程结构受强动力荷载作用后的性能评估，并基于此对结构进行补强加固是土木工程领域紧迫的课题之一[1－2]。一般认为，结构损伤带来结构物理参数如刚度和阻尼的变化，进而引起结构特征值和特征向量的变化。通过结构频率或者振型参数的变化识别结构损伤的相关研究得到较大进展[3－5]。但这类基于结构特征值和特征向量的损伤识别方法严格来讲仅适用于线弹性系统。而工程结构损伤的发生和发展过程是一个典型的非线性过程，严格来讲，基于频率和振型信息的损伤识别方法不适用于非线性结构。正如通过滞回性能描述结构的抗震性能一样，结构非线性恢复力与位移的关系能直接表征结构损伤的发生发展过程，并可以用来直接定量计算耗能，所以对结构在强动力荷载作用后的非线性恢复力进行识别具有重要意义。
针对非线性动力系统的识别问题，Masri和Caughey等[6－7]最早提出了恢复力曲面法(Restoring Force Surface Method)，并对单自由度、多自由度系统的非线性参数进行了识别。由于实际工程结构的非线性恢复力的参数化物理模型往往难以事先准确预知，研究不依赖于非线性恢复力参数化模型的识别算法更具一般意义。许斌等[8－10]提出了基于幂级多项式和切比雪夫多项式的免模型(model free)非线性恢复力识别方法，并通过数值模拟和试验测量数据对含磁流变阻尼器和形状记忆合金(SMA)阻尼器的非线性多自由度结构的恢复力进行了有效识别。在该研究中使用了结构各自由度上的加速度响应以及由此积分而来的速度和位移响应。实际工程的结构动力响应中加速度响应最容易获取，研究仅利用部分自由度上加速度响应的非线性行为识别方法具有重要意义。
近年来，为处理部分响应未知的问题，国内外学者引入卡尔曼滤波算法(Kalman Filter, KF)。卡尔曼滤波算法是一种基于状态空间的递推最小方差估计方法，主要包括经典卡尔曼滤波，扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter, EKF)以及无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter, UKF)。Kalman[11]首次提出卡尔曼滤波方法，Jazwinski[12]提出了扩展卡尔曼滤波方法，Julier等提出无迹变换与无迹卡尔曼滤波之后 Wan等进行了进一步发展[13－14]。随后卡尔曼滤波类算法在结构参数识别和非线性领域得到了广泛的运用，何浩祥等[15]基于静动力凝聚和扩张卡尔曼滤波算法识别出连续梁桥不同位置的刚度和阻尼物理参数，参数识别结果具有较高精度和抗噪性。Liu等[16]提出一种部分观测结构加速度响应下未知模型的非线性结构系统的两阶段识别方法。Lei等[17]提出部分观测下运用等效线性和扩展卡尔曼滤波非线性免模型的识别方法。Lei等[18－19]还在激励未知的情况下对非线性系统参数识别方面做了很多研究。但目前国内外学者在对结构参数进行识别时，均需要假设质量已知。然而，实际工程结构的质量分布以及对其缩聚时往往无法避免带来误差，质量误差直接影响识别结果，对结构的质量进行识别也十分重要。
基于以上背景，本文提出一种基于 UKF方法和切比雪夫多项式，适用于结构仅部分自由度受激励且仅部分自由度上加速度响应已知一般情况的多自由度结构非线性恢复力和质量分布识别迭代方法。为了模拟结构非线性行为，在一个多自由度线性系统中引入磁流变阻尼器模拟非线性构件，形成一个非线性结构。首先假设结构的质量分布，利用UKF，预测结构速度和位移响应，利用最小二乘法对结构质量的分布进行识别。然后利用修正的结构质量分布，再次运用 UKF对切比雪夫多项式的系数进行识别，得到结构的非线性恢复力。数值模拟结果表明，所提出方法可有效识别结构非线性恢复力和质量分布。本研究对土木工程结构受强动力荷载作用后的灾后性能评估具有重要意义。
1 基于二重切比雪夫多项式的结构非线性恢复力识别
1.1 非线性恢复力的二重切比雪夫多项式表述
余弦函数的多倍角公式如下式所示：
由式(3)递推得到的多项式为第一类切比雪夫多项式，其前几阶可以表示为：
一个n自由度非线性动力系统在外激励f(t)作用下其运动平衡方程可写成下式：
式中：M为结构质量矩阵；
分别为结构加速度响应、速度响应和位移响应；Rnon(t)为结构非线性恢复力，一般可用结构的速度、位移响应和非线性参数来表示，如下式：
本文用切比雪夫多项式来近似表示结构的非线性恢复力，即将非线性恢复力仅用层间相对速度和相对位移以及切比雪夫多项式系数表示，避免使用任何参数化的结构非线性恢复力模型，从而实现结构非线性恢复力的免模型识别。
结构的非线性恢复力的切比雪夫多项式表达如下式：
其中
为结构第i个和第i-1个自由度之间的非线性恢复力；
为切比雪夫多项式的系数；k和q均为整数，本文取值为3；
和
是经过线性处理之后的相对速度和相对位移。由于切比雪夫多项式中自变量的定义域为[-1,1]，需要采用同比例缩小的方式进行归一化处理，由下式确定。
其中，α、β分别为常数，可以根据预估的结构的最大位移和最大速度取值。
1.2 基于无迹卡尔曼滤波算法的非线性系统响应与恢复力识别
实际工程结构各自由度上加速度响应往往难以全部得到，速度和位移响应更是难以直接测量获取，研究直接利用结构部分自由度上加速度响应测量的非线性恢复力识别具有重要意义。
赵博宇[20]提出了在结构输入信息未知，输出信息有限情况下结构参数和荷载的同步识别方法。何明煜[21]运用等效线性和UKF，基于幂级数多项式识别出结构非线性迟滞力。本文利用部分自由度上的加速度响应测量，基于 UKF算法和二重切比雪夫多项式识别出结构各自由度对应的位移和速度、结构质量分布和非线性恢复力。
UKF的中心思想就是采用确定性样本点，通过统计方法计算高斯随机变量非线性变化后的均值与方差，计算精度可达三阶，并且可避免 EKF中Jacobian矩阵和Hessian矩阵的计算。
对于一般n自由度动力系统，定义状态向量x：
其中：
表示第n个自由度的位移和速度；kn、cn表示第n个自由度的刚度和阻尼；cn,non,h,j为描述非线性恢复力的切比雪夫多项式的系数。状态向量x的均值为
，协方差为P，状态转移方程满足以下非线性方程：
其中，vk为观测噪声矩阵，其协方差为Rk。
通过 UKF对时间和量测过程的更新，识别状态向量的过程如下。
1) 计算观测样本点
在k-1时刻，
其中：
分别为计算样本点的均值和协方差权重；L为状态向量维数；γ=α2(L+κ) -L为比例参数，常数α决定样本点与均值点的距离，通常为较小的整数(10-4≤α≤ 1)，κ为第二个比例参数，通常设为0；β结合了状态x的分布先验知识，对高斯分布，优选
表示矩阵平方根第i列。
2) 时间更新过程
利用 UKF识别出结构的速度、位移以及切比雪夫多项式的系数，进而得到非线性恢复力的大小。
1.3 非线性系统恢复力与质量修正
采用最小二乘优化算法以及二重切比雪夫多项式，基于以上 UKF识别出的速度、位移，可对结构的质量分布进行修正。
更具一般性，将式(5)的运动方程改写为下式：
其中，
为总的非线性恢复力，由线性系统的弹性恢复力、粘性阻尼力以及非线性构件的非线性恢复力构成。同样，将
利用切比雪夫多项式来近似表示，即：
其中：
为结构第i个和第i-1个自由度之间的总非线性恢复力
为切比雪夫多项式的系数；k和q为整数，取值为 3；
是经过线性处理之后的层间速度和层间位移。由于切比雪夫多项式的定义域为[-1,1]，因此在质量识别与修正过程中，层间相对速度和层间相对位移需要进行标准化处理。vi′′,i-1和si′′,i-1通过下式确定：
其中：
为结构第i个和第i-1个自由度层间速度的最大值和最小值；
和
为结构第i个和第i-1个自由度之间位移的最大值和最小值。
考虑一般情况，即结构仅有部分自由度上作用有激励力。在这种激励条件下，以一个三自由度体系为例，假设外激励仅作用在第三个自由度上，该自由度加速度响应和激励已知，各自由度的运动平衡方程可表示为式(32)～式(34)。
根据以上识别出的结构位移和速度响应，对式(32)进行优化求解可以得到切比雪夫多项式的参数以及质量的识别值。
由牛顿第三定律可得：
根据识别出的结构位移和速度响应，对式(36)进行优化求解可以得到描述自由度1与2之间非线性恢复力的切比雪夫多项式的参数以及自由度2对应质量。同理，可得其他自由度对应的非线性恢复力和质量。
1.4 非线性系统恢复力与质量识别迭代算法
图1表示本文提出的在结构质量分布、非线性恢复力模型未知，仅利用部分自由度上加速度响应进行结构非线性恢复力和质量分布识别的流程图。首先假设结构质量分布，利用结构部分自由度上加速度观测值和已知激励信息，运用 UKF识别出结构速度和位移响应以及切比雪夫多项式系数，基于最小二乘优化算法对结构运动方程进行优化求解，对质量和切比雪夫多项式系数进行修正，直到满足收敛准则。基于二重切比雪夫多项式的系数得到结构的非线性恢复力。
图1 非线性恢复力与质量识别流程
Fig.1 Flowchart for identifying nonlinear restoring force and mass
2 数值算例
2.1 计算模型与参数
以一个具有4个集中质量的链式结构体系为例，在结构的第4层安装一个非线性构件磁流变阻尼器MR (Magneto Rheological)模拟结构非线性行为，如图 2所示。线性结构各层参数取值如下：质量mi=300 kg ，阻尼ci=0.2 kN·s/m，刚度ki=240 kN/m，(i=1,2,3,4)。假设外激励仅作用在结构的第三个自由度上，方向为水平方向，其他集中质点上不施加荷载。
MR阻尼器有各种参数化数值计算模型，在本文数值模拟中采用修正的 Dahl模型[22]。其表达式为：
式中：
为MR阻尼器所提供的非线性恢复力；K0和C0分别表示阻尼器刚度和粘滞阻尼系数；Fd表示根据电流强度确定的库仑摩擦力；s0和v0分别表示MR阻尼器的位移和速度；f0表示初始力；Z为无量纲滞回量，由下式确定。
式(38)中的参数σ用来控制阻尼器滞回曲线形状。在本文计算中，MR阻尼器的参数取值分别为σ=470、K0=0.02 kN/m、C0=0.4 kN·s/m、Fd=0.035 kN、f0=0。
图2 计算模型
Fig.2 Numerical model
实际工程结构中当结构某些部位发生损伤而产生非线性行为时，会出现较为明显的塑性变形或开裂等现象。为了简便，本文假定结构的非线性位置已知，为第四层。结构第一、第三、第四集中质点上的加速度响应为已知，并混入5%的观测噪声。第二质点上的加速度响应未知。外激励作用在第三质点上且认为已知。为表达方便，将式(7)中的多项式系数
表示成
。因此UKF的扩展状态向量可写成如下形式：
本文选用的外激励为随机激励，其时域图如图3所示。荷载作用时间和步长分别为4 s和0.002 s。结构响应采用Newmark-β法计算。
2.2 工况1
取四个自由度质量的初始值为真实值的 90%，基于 UKF和切比雪夫多项式，识别出结构的质量分布的修正值。仅观测结构的第一、第三、第四个集中质点的加速度响应，而在利用切比雪夫多项式识别过程中，需要结构所有自由度的加速度响应。根据识别出的速度响应，利用下式计算第2层的加速度响应：
图3 结构随机外激励荷载时程
Fig.3 External excitation force time history
其中：ai为i时刻的加速度；vi和vi-1分别是i时刻和i-1时刻的速度；dt为时间步长。计算出的加速度值与真实值的比较如图4所示。第2层加速度的计算值与真实值拟合较好。
图4 第2层加速度响应识别值
Fig.4 Identified acceleration response on second floor
经过一次迭代，根据切比雪夫多项式识别出质量的分布为：m1=294.5 kg ，m2=294.1 kg，m3=300.0 kg，m4=303.4 kg。与真实值吻合较好，在含测量噪声的情况下，质量识别最大误差仅为2%。认为满足要求，迭代停止。
识别出的结构所有质点的位移和速度响应，并与真实值所得结果进行对比，如图5和图6所示。
图5 结构位移响应识别结果
Fig.5 Identified structural displacement responses
图6 结构速度响应识别结果
Fig.6 Identified structural velocity response
通过对结构质量分布的有效识别，再次利用UKF识别出非线性恢复力、结构刚度、阻尼以及所有质点的位移和速度响应。结构的刚度、阻尼参数识别结果及与真实值的比较见表1。
表1 结构参数识别结果
Table 1 Identified structural parameters
根据 UKF方法识别出的速度和位移响应后进行归一化处理，基于切比雪夫多项式模型对结构产生非线性部位的非线性恢复力进行识别。下式表示的是基于二重切比雪夫多项式的非线性恢复力识别结果：
图7所示的是第4层即发生非线性部位的非线性恢复力即MR阻尼力识别值与理论值的比较。结果表明部分测量下基于 UKF和切比雪夫多项式模型的非线性恢复力识别方法可有效识别多自由度链式结构的非线性恢复力。二者吻合良好。
图7 MR阻尼器恢复力识别结果
Fig.7 Identified MR damper restoring force
2.3 工况2
为了考虑质量初始值的影响，取四个自由度的质量初始值大于真实质量的10%，同样使用图3所示的随机激励。基于 UKF和切比雪夫多项式，仅经过一次迭代，识别出结构的质量分布为：m1=296.6 kg ，m2=296.1 kg，m3=300.1 kg，m4=302.4 kg。与真实值吻合较好，其最大误差仅为1.3%。同样，通过对结构质量分布的有效识别，再利用 UKF识别出非线性恢复力，结构的刚度、阻尼以及所有质点的位移和速度响应。在此仅列出识别出的结构刚度、阻尼以及非线性恢复力的识别结果。结构刚度和阻尼识别结果见表 2，非线性恢复力识别结果见图 8。可见，刚度与阻尼以及非线性恢复力均有比较好的识别效果。
表1 结构参数识别结果
Table 1 Identified structural parameters
图8 MR阻尼器恢复力识别结果
Fig.8 Identified MR damper restoring force
3 结论
本文提出了一种基于 UKF和二重切比雪夫多项式的结构非线性恢复力免模型识别法，该方法通过结构加速度响应的部分测量，在非完整激励下，对多自由度非线性结构的恢复力和质量进行识别。
通过在一个四自由度线性模型中引入MR磁流变阻尼器作为非线性构件，形成非线性结构，运用其在一个集中动力荷载作用下的部分自由度上的加速度响应，实现了对结构的非线性恢复力和结构质量分布进行识别。
数值模拟结果表明，本方法不需要已知结构质量以及结构非线性恢复力的参数化模型，仅利用作用在部分自由度上的外激励及其部分加速度响应信息，即可对结构的质量分布以及非线性恢复力进行识别，方法具有一般性。即使在结构加速度响应信息中含有一定噪声时，该方法也能较好识别出结构的质量分布以及非线性恢复力，算法具有较好的抗噪声能力。
结构非线性恢复力的识别结果可以直接描述结构构件在强动力荷载作用下的非线性行为的发生发展过程，而且可以用于定量计算结构构件的耗能，对工程结构在地震、爆炸等强动力荷载作用下的性能评估具有重要意义。
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