以网架、网壳和索穹顶等结构类型为典型代表的空间结构被广泛应用于各类公共建筑^{[1 − 3]}。空间结构具有覆盖面积大、服务人数多的特点，其破坏往往导致严重后果。因此，有必要对空间结构及时展开健康监测以保障其安全运营^[4]。一般采用动力测试法^[5]对空间结构实施健康监测。由于规模庞大，空间结构的模态识别、模型修正和损伤识别等监测工作往往需要大量的测试信息。然而囿于成本，每次动力测试所能布置的传感器数量非常有限。为了增加可用测试信息，利用少数测点的实测响应来重构其他非测点的动力响应成为主要解决思路。

动力响应重构(或称扩展、预测)方法可大致分为频域法和时域法两类。由于时域-频域-时域的多次转换，频域法^{[6 − 7]}存在一定截断误差且计算效率较低，因而大部分研究采用时域法^{[8 − 12]}进行动力响应重构。其中，模态叠加法备受研究者关注。比如，ZHANG等^{[8 − 9]}在模态分析基础上建立两组时域响应的模态转换矩阵，并结合归一化方法，完成了结构应变、位移响应重构；HE等^[10]和WAN等^[11]拓展了该重构方法，先基于间歇准则与经验模态分解得到实测响应的各单频时域响应，再利用模态传递矩阵完成各单频响应的重构，最后通过模态叠加法得到非测点的动力响应；邹云峰等^[12]提出一种将有限元基础上的响应重构拓展到超单元，并将模态综合法和带有间歇准则的经验模态分解法相结合的动力响应重构方法；SENGUPTA等^[13]提出一种改进的模型缩聚策略来构造不包含刚度信息的转换矩阵，从而仅利用模态响应和质量信息就能实现动力响应的重构。近年来也发展了一些新型时域方法，比如SUN等^[14]采用物理坐标代替模态坐标，利用主成分分析得到重构位移响应后再利用卡尔曼滤波对重构响应进行降噪处理。现有研究大多以简单构件或结构(如梁、板、平面框架等)作为研究对象，且重构误差机理不够明确，难以判断非测点的重构精度。

实际上，模态识别、模型修正和损伤识别等监测工作总是希望引入高精度的测试信息。这就需要有效甄别各个非测点的重构精度，以避免后续监测工作引入误差过大的非测点。为此，伍晓顺等^[15]提出一种考虑贡献模态叠加的网架结构动力响应重构方法，在展开重构误差分析后利用一种相关系数指标来筛选高精度非测点；对于文中算例，该方法可以可靠筛选出3.5倍~5倍测点数量的高精度非测点。但该研究还存在一定不足：FIR低通滤波后的信号依然包含较多非贡献模态和测量噪声的干扰；相关系数指标计算较为复杂；研究对象为未包含参数偏差的理想结构。

针对文献[15]的不足加以改进，提出一种采用有限冲激响应(Finite Impulse Response, FIR )低通滤波、变分模态分解(Variational Mode Decomposition, VMD)与奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)进行信号处理和贡献模态叠加的动力响应重构方法，以及基于重构响应幅值的高精度非测点筛选策略。依次介绍了基于贡献模态叠加的动力响应重构方法基本理论，阐述了基于FIR、VMD和SVD的实测信号联合处理方法，解释了动力响应重构误差的构成机理，提出了基于重构响应幅值的高精度非测点筛选策略，最后以包含随机参数偏差的某Geiger型索穹顶结构为例来阐述方法实施流程，并进行蒙特卡洛分析来验证方法有效性。本文方法的优点体现在重构精度得到提升，重构误差机理清晰，响应幅值指标计算简单，能可靠筛选高精度非测点且适用于包含随机参数偏差的实际结构。

1   结构的自由衰减振动

索穹顶结构属于索杆张力结构，最早在汉城奥运会场馆建设中得到工程应用^[16]。对于具有n个自由度的索杆张力结构，其在任意平衡构型下的切线刚度矩阵可表达为^[17]：

式中：${{\boldsymbol{K}}_{\text{T}}}$(n×n)为结构的切线刚度矩阵；${{\boldsymbol{K}}_{\text{E}}}$(n×n)为结构线弹性刚度矩阵，由材料特性、节点坐标和杆件拓扑共同决定；${{\boldsymbol{K}}_{\text{G}}}$(n×n)为结构几何刚度矩阵，由预应力分布、节点坐标和杆件拓扑共同决定。式(1)同样适用于网架、网壳等刚性结构，但${{\boldsymbol{K}}_{\text{G}}}$=0。

索杆张力结构的无阻尼动力模态方程为：

式中：K(n×n)和M(n×n)分别为系统的刚度矩阵与质量矩阵；ω_j为第j阶模态无阻尼角频率；${{\boldsymbol{\theta }}_j}$为对质量矩阵归一化后的第j阶模态振型；0为n×1维零向量。

阶跃激励适用于空间结构的人工激振，具有加载方便且可被主动优化以激发特定模态的优点。对结构施加阶跃激励可以产生具有初始位移的自由衰减振动。具体而言，在少数加载点施加重物荷载，待结构静力位移稳定后同步释放这些重物，则结构随后产生的位移响应为^[18]：

式中：${\omega _{{\text{d}}j}} = {\omega _j}\sqrt {1 - \zeta _j^2}$为模态j的有阻尼角频率；${\zeta _j}$为模态j的阻尼比；${\varphi _j}$为模态j的初始相位；${\alpha _j}$为结构在荷载p的作用下产生的广义静力位移；t代表时间。

文献[19]推导了索杆张力结构的静力位移在特定荷载作用下基于贡献模态近似表达的统一公式：

式中，E_p为结构的贡献模态集合，具体选取方法见文献[19]。式(4)表明：对于没有参数偏差的理想结构和包含随机参数偏差的任意实际结构，在相同荷载p作用下它们的静力位移都可以用少数贡献模态的线性叠加来近似表达。贡献模态由理想结构的模态分析得到，不会因为结构发生随机参数变化(如预应力偏差、构件损伤等)而发生改变。

相应地，阶跃激励下结构位移响应也可以贡献模态叠加的形式近似表达为：

式中：${q_j}\left( t \right) = {\alpha _j}{{\rm e}^{ - {\zeta _j}{\omega _j}t}}\cos ( {{\omega _{{\text{d}}j}}t + {\varphi _j}})$为模态j在t时刻的广义坐标。

与式(5)相似，结构的速度响应$\dot u(t)$和加速度响应$\ddot u(t)$也可用少数贡献模态进行线性表达，组合系数分别为$\dot q(t)$和$\ddot q(t)$。对于包含随机参数偏差的任意结构，其位移、速度和加速度响应的贡献模态均相同。

2   动力响应的重构

根据式(5)，只要根据测点响应计算出贡献模态广义位移时程，就能得到所有非测点的重构响应。可以通过优化测点位置来实现贡献模态广义位移时程的无偏估计。

文献[20]采用有效独立法对静力位移扩展的测点位置进行了优化。该方法通过不断删除对Fisher信息矩阵贡献最小的自由度来筛选最优测点位置。由于任意时刻的动力响应均表达为贡献模态的线性叠加，因此可以参照文献[20]进行动力响应重构的测点位置优化。

定义Fisher信息矩阵为${\boldsymbol{\varLambda }} = \overline {\boldsymbol{\theta }}_{\text{c}}^{\text{T}}\overline {\boldsymbol{\theta }}_{\text{c}}^{}$，其中$\overline {\boldsymbol{\theta }}_{\text{c}}^{}$为贡献模态组成的矩阵。自由度k对Fisher信息矩阵的贡献可表示为：

式中：${S_k}$为自由度k对Fisher信息矩阵的贡献值；${( {\overline {\boldsymbol{\theta }}_{\text{c}}^{}} )_k}$表示$\overline {\boldsymbol{\theta }}_{\text{c}}^{}$的第k行。

为了使重构误差足够小，应当让测点对应的自由度对Fisher信息矩阵的贡献足够大。通过如下迭代策略来实现测点的筛选：

1)计算保留自由度的${S_k}$和${\boldsymbol{\varLambda }}$；

2)将贡献最小的自由度删除；

3)保留自由度的数目达到预期数量m则停止迭代，否则返回第1)步。

最后保留的自由度即为最优测点位置，其数量不应小于贡献模态数(一般取贡献模态数加1)。此时基于最优测点实测响应的贡献模态广义位移无偏估计值为：

式中：${\boldsymbol{\hat q}}(t)$为实测广义时程位移；$\overline {\boldsymbol{\theta }}_{{\text{cm}}}^{}$为仅保留测点自由度振型的贡献模态矩阵；${{\boldsymbol{\hat u}}_{\text{m}}}(t)$为测点实测响应。根据式(5)、式(7)可以得到重构以后的动力响应${\boldsymbol{\hat u}}(t) = \displaystyle\sum\nolimits_{j \in {{\boldsymbol{E}}_{\text{p}}}} {{{\boldsymbol{\theta }}_j}{{\hat q}_j}\left( t \right)}$。值得指出的是，由于特定阶跃激励下动力响应的贡献模态是固定不变的，因此任意时刻的测点优化结果都相同。

3   实测信号的预处理

根据式(5)、式(7)可知，动力响应重构只利用了贡献模态的信息，但测点响应却同时受到测量噪声和非贡献模态的污染。为了提高动力响应重构精度，应设法使测点响应变得更加纯净。本文采用先FIR低通滤波，再采用VMD与SVD联合降噪的信号处理方法对实测信号进行预处理。

限于篇幅， FIR低通滤波、VMD与SVD联合降噪的基本原理请参考文献[21 − 22]。实测信号的预处理流程为：

1)设定FIR低通滤波器的阶数和截止频率，对实测信号进行低通滤波以得到中低频信号。

2)设定惩罚因子α并优化分解层数K，继续对信号进行VMD。提取最优分解层数下的各本征模态分量(Intrinsic Mode Function, IMF)，并将频率曲线较为光滑的IMF分量视作有效激发的模态分量。

3)针对每一个激发的模态分量，构建Hankel矩阵并对其进行奇异值分解，根据文献[23]，按奇异值差分谱单边极大值保留有效阶数，得到进一步降噪后的模态分量。

4)将降噪后的各模态分量进行叠加，最终得到仅包含贡献模态信息的预处理信号。

在对信号进行VMD时，K值按下述迭代过程进行优化^{[24 − 25]}：1) 分解层数K取2；2) 对信号进行VMD；3) 提取各IMF分量中心频率；4) 计算各相邻IMF分量中心频率的差值以及这些差值的平均值；5) 若最小差值小于平均值的10%，则存在过分解现象，最优K值取K_opt=K−1，并退出迭代过程；否则K=K+1，并返回第2)步继续迭代。

4   高精度非测点的筛选

4.1   重构误差机理分析

信噪比是信号功率与噪声功率的比值，用于衡量信号被噪声污染的程度^{[26 − 27]}。自由度i(包括测点或非测点)响应的信噪比可表达为：

式中：${\boldsymbol{u}}_i^*$为自由度i真实响应时程行向量；${\boldsymbol{N}}_i^{}$为相应的噪声行向量。一般认为SNR越大则信号被噪声污染的程度越低。

利用预处理信号并根据式(5)、式(7)计算各个非测点的重构响应。不难发现，自由度i(为非测点)在t时刻的重构响应可表达为：

式中：${\hat u_i}\left( t \right)$为自由度i在t时刻的重构响应；${\theta _{ij}}$为模态j在自由度i的振型位移值；${\overline {\boldsymbol{\theta }}_{{\text{c}}i}}$为由贡献模态在自由度i的振型位移值构成的行向量；${\hat q_j}\left( t \right)$为模态j在t时刻的广义坐标实测值。

由式(9)可知，任意非测点自由度i的重构响应${{\boldsymbol{\hat u}}_i}$可以表示为贡献模态广义位移时程实测值${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$$\left( {j \in {{\boldsymbol{E}}_{\text{p}}}} \right)$的线性组合，组合系数为贡献模态在该自由度的相应振型位移值${\theta _{ij}}$。在某次动力测试中，${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$的信噪比是未知但固定的。由于贡献模态在自由度i的振型位移值分布${\overline {\boldsymbol{\theta }}_{{\text{c}}i}}$是固定不变的，因此${{\boldsymbol{\hat u}}_i}$的信噪比由${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$的信噪比和${\overline {\boldsymbol{\theta }}_{{\text{c}}i}}$共同决定。当高信噪比的${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$具有相对较大的${\theta _{ij}}$时，则${{\boldsymbol{\hat u}}_i}$的信噪比也往往较大。实际上，贡献模态在各个非测点自由度的振型位移值分布不尽相同，这将造成各个非测点重构响应的信噪比可能差别较大。

4.2   高精度非测点筛选

在后面的算例分析中发现，具有较大幅值的${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$往往具有更高的信噪比。显然，若具有较大幅值的贡献模态广义位移时程实测值${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$和相应的组合系数$\left| {{\theta _{ij}}} \right|$均较大，则对应自由度i重构响应的信噪比和幅值也往往较大。因此，通过判断重构响应幅值的相对大小可以定性判断重构响应的信噪比大小。具体做法为：1)提取所有非测点重构响应的幅值，将其对最大值归一化后得到幅值指标A_i；2) 设定合适的阈值A_u；3) 若A_i≥A_u，则自由度i的重构响应信噪比较大，自由度i可判断为高精度非测点。

5   算例分析

5.1   模型参数

以如图1所示100 m跨Geiger型索穹顶结构^[19]为例展开数值分析。该结构由62个节点和121个单元构成，周边12个节点均三向铰接于外围刚性环梁。考虑结构自重和预应力共同作用的平衡构型如图2所示。索和杆的密度均为7850 kg/m³。索穹顶的杆件组号、截面积、弹性模量以及平衡构型下的预应力等信息如表1所示。此时的结构模型没有参数偏差，可称为理想结构。

为简化计，仅考虑构件自重来组集结构的质量矩阵。针对理想结构，经模态分析后提取结构前54阶自振频率f(后文分析可知最高阶贡献模态为51阶)列于表2。由表2可知该结构频率非常密集。

图  1  索穹顶结构示意图

Figure  1.  Schematic diagram of the cable dome structure

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图  2  索穹顶侧立面示意图(杆件边数字为杆件所在组号，长度和标高单位均为m)

Figure  2.  Side facade of the cable dome structure (the number near a member means the group number to which the member belongs, and the units of length and elevation are meters (m))

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表  1  索穹顶相关参数

Table  1.  Related parameters of the cable dome

构件分组	构件号	截面积/mm2	轴力/kN	等效构件长度误差euk/mm
1	1	16 512	−2140	5
2	2~13	20 225	8597.7	15
3	14~25	11 785	6130.0	15
4	26~37	12 849	7432.7	15
5	38~49	6651	4160.8	15
6	50~61	3516	2324.9	15
7	62~73	11 063	4699.4	15
8	74~85	6232	3235.9	15
9	86~97	3091	1800.6	15
10	98~109	16 585	−1505.6	10
11	110~121	6208	−650.7	10

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表  2  理想结构前54阶自振频率

Table  2.  The first 54 natural frequencies of the ideal structure

模态	自振频率f/Hz		模态	自振频率f/Hz		模态	自振频率f/Hz
1	1.1256		19	3.4382		37	4.7506
2	1.8503		20	3.4382		38	4.7506
3	1.8503		21	3.4462		39	4.8232
4	2.0189		22	3.4462		40	4.9249
5	2.4183		23	3.4592		41	5.9159
6	2.4185		24	4.1151		42	5.9160
7	2.4236		25	4.1152		43	6.8007
8	2.4236		26	4.6273		44	7.0104
9	2.4241		27	4.6273		45	7.0104
10	2.4243		28	4.7166		46	8.1167
11	2.4244		29	4.7170		47	8.1168
12	2.4244		30	4.7193		48	8.9594
13	2.4244		31	4.7193		49	8.9594
14	2.4514		32	4.7196		50	9.2784
15	2.4514		33	4.7196		51	9.9654
16	2.6133		34	4.7200		52	15.0002
17	2.7826		35	4.7202		53	15.0002
18	2.7827		36	4.7202		54	18.0934

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5.2   结构激振与响应拾取

假设在20号、22号、40号、42号、60号、62号节点各自施加10 kN的重物荷载来产生阶跃激励。根据文献[19]，取阈值γ_u=0.01，基于理想结构得到贡献模态集合E_p= {23, 39, 43, 50, 51}。可见贡献模态分布不均匀且阶次较高。将测点数量设为6(大于贡献模态数量5)，根据第3节给出的迭代策略得到测点最优位置{1z, 11z, 12z, 19z, 59z, 62z}。加载点与测点的位置如图3所示，它们分别用实心圆和方块表示。

图  3  加载点与测点位置示意图

Figure  3.  Schematic diagram of loading points and measured points

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采用等效构件长度误差e_u来模拟具有随机预应力偏差的实际结构^{[19 − 20]}。构件k的等效长度误差e_uk如表1所示。假设各个等效构件长度误差均为独立变量，且服从均值为零的高斯分布。根据“3σ准则”，构件k的长度误差标准差为σ_k=e_uk/3。随机生成一组等效构件长度误差，将其引入理想结构有限元模型便得到所模拟的一个实际结构。假设实际结构各阶模态的阻尼比均为0.02，采样频率为100 Hz，采样时长为6 s，采样点数量为600。采用Newmark-β法进行动力响应计算，并提取所有自由度的真实信号。假设实测信号仅受白噪声干扰，且信噪比均为10 dB。随机生成一组白噪声添加到真实信号中，并基于该组含噪信号进行后续分析。

5.3   实测信号预处理

先采用FIR对实测信号进行低通滤波并作时延处理^[21]。FIR抽头数(又称阶数)取60，截止频率取10 Hz，滑窗采用Hamming窗，延迟时间等于FIR抽头数除以2倍的采样频率。该截止频率大于最高贡献模态(51阶)的9.97 Hz。以测点1z为例绘制滤波前后的动力响应时程曲线，如图5、图6所示。由图4、图5可知，低通滤波能够有效剔除实测信号中高阶模态和噪声的影响，含噪信号的信噪比也从10 dB提升到了14.61 dB。

图  4  测点1z低通滤波前后信号(真实值)

Figure  4.  Signals before and after low-pass filtering at measured point 1z ( real values)

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图  5  测点1z低通滤波前后信号(实测值)

Figure  5.  Signals before and after low-pass filtering at measured point 1z (measured values)

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图  6  低通滤波后测点1z实测信号的VMD结果及相应频域曲线

Figure  6.  VMD results of measured signals after low-pass filtering at measured point 1z and corresponding frequency domain curves

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继续对经FIR低通滤波后的实测信号进行VMD。以测点1z为例，不同K值下各IMF分量的中心频率如表3所示。当K=2~4时，各阶中心频率均较为分散；当K=5时，存在两个间距过小的频率0.091 Hz和0.096 Hz。故判断K=5时存在过分解现象，而K=4为最优分解层数。最优分解层数下测点1z的IMF分量时域及频域图如图6所示。

表  3  不同K值下各IMF分量的中心频率

Table  3.  Center Frequencies of IMFs under Different K Values

K	中心频率/Hz
2	0.035	0.095	−	−	−	−
3	0.034	0.067	0.096	−	−	−
4	0.009	0.034	0.067	0.096	−	−
5	0.009	0.034	0.067	0.091	0.096	−
6	0.008	0.033	0.034	0.067	0.092	0.096

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由图6可知，IMF1~IMF3具有明显的自由衰减运动特征，频域曲线有明显的尖峰；IMF4呈现无规律振动，频域曲线无明显尖峰。可判定IMF1~IMF3为被有效激发的模态分量，IMF4为噪声分量。根据时域曲线的幅值衰减规律以及频域曲线的光滑程度，可以发现IMF1~IMF3依然存在噪声污染。尤其对于IMF3，被噪声污染的程度较大。因此，有必要对这些激发的模态分量进行进一步的降噪处理。

进一步对IMF1~IMF3进行SVD降噪，降噪结果如图7所示。不难发现，在经过SVD降噪之后，IMF1~IMF3的自由衰减振动特征更加明显，受到的噪声干扰被有效消除，且频域曲线更为光滑。将它们叠加后最终得到高信噪比预处理信号。该预处理信号的信噪比也从FIR低通滤波后的14.61 dB增加到20.86 dB。实际上，其他5个测点的预处理信号信噪比也从低通滤波后的11.12 dB~16.11 dB增加为17.84 dB~21.90 dB。将这些高信噪比的预处理信号用于非测点的动力响应重构，显然有利于提高重构精度。

图  7  测点1z激发模态分量的SVD分解结果及相应频域曲线

Figure  7.  SVD results of triggered modal components at measured point 1z and corresponding frequency domain curves

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5.4   动力响应重构

利用6个测点的预处理信号，根据式(5)得到各阶贡献模态的实测广义位移时程${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$，如图8所示。${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$($j \in {{\boldsymbol{E}}_{\text{p}}}$)的信噪比介于8.21 dB~23.23 dB。不难发现，${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$的幅值越大，其信噪比往往也越大。将${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$代入式(9)，可以得到各个非测点的重构响应信号。以非测点2z(SNR=20.86 dB)和15z(SNR=3.74 dB)为例，将其重构信号分别绘于图9、图10。它们的信噪比分别为20.86 dB和3.74 dB，差别较大。在非测点2z处，5个贡献模态对应的振型位移值(已对最大值进行归一化)分别为−0.52、 0.00、0.74、0.00和1.00。可见，第1个、第5个贡献模态对重构信号贡献占优，而这两个贡献模态的${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$幅值和信噪比相对较大，因此非测点2z的重构响应具有较大的信噪比，与真实信号吻合较好。在非测点15z处，5个贡献模态对应的归一化振型位移值分别为−0.42、1.00、−0.69、−0.20和0.31。此时，第2个、第3个贡献模态对重构信号贡献占优，而这两个贡献模态${{\boldsymbol{\hat q}}_j}$的幅值和信噪比相对较小，因此非测点15z的重构响应具有较小的信噪比，与真实信号相差较大。实际上，各个非测点重构信号的信噪比差异巨大，其信噪比介于−3.09 dB~21.90 dB。将重构信号信噪比超过一定下限时的非测点数量列于表4，并与实测信号未经预处理和仅经FIR处理的两种方法的计算结果进行对比。相比另外两种方法，本文方法总体上更有利于提高重构信号的信噪比。比如，本文方法有45个非测点的重构响应信噪比大于16 dB，而其他两种方法分别仅有0个和3个。这表明本文采用的FIR-VMD-SVD联合处理实测信号的方法，有利于提高非测点重构信号的信噪比。实际上，各个非测点重构信号的信噪比差异巨大，其信噪比介于−3.09 dB~21.90 dB。将重构信号信噪比超过一定下限时的非测点数量列于表4，并与实测信号未经预处理和仅经FIR处理的两种方法的计算结果进行对比。相比另外两种方法，本文方法总体上更有利于提高重构信号的信噪比。比如，本文方法有45个非测点的重构响应信噪比大于16 dB，而其他两种方法分别仅有0个和3个。这表明本文采用的FIR-VMD-SVD联合处理实测信号的方法，有利于提高非测点重构信号的信噪比。

图  8  贡献模态的实测广义位移时程

Figure  8.  Measured generalized displacement time histories of contributing modes

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图  9  非测点2z的重构信号(SNR=20.86 dB)

Figure  9.  Reconstructed signals at unmeasured point 2z (SNR=20.86 dB)

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图  10  非测点15z的重构信号(SNR=3.74 dB)

Figure  10.  Reconstructed signals at unmeasured point 15z (SNR=3.74 dB)

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实际上，各个非测点重构信号的信噪比差异巨大，其信噪比介于−3.09 dB~21.90 dB。将重构信号信噪比超过一定下限时的非测点数量列于表4，并与实测信号未经预处理和仅经FIR处理的两种方法的计算结果进行对比。相比另外两种方法，本文方法总体上更有利于提高重构信号的信噪比。比如，本文方法有45个非测点的重构响应信噪比大于16 dB，而其他两种方法分别仅有0个和3个。这表明本文采用的FIR-VMD-SVD联合处理实测信号的方法，有利于提高非测点重构信号的信噪比。

表  4  重构信号信噪比超过一定下限时的非测点数量

Table  4.  Quantity of unmeasured points of which reconstructed signals have a larger SNR than a specified lower bound

信噪比下限/dB	未经预处理	FIR低通滤波	本文方法
−4	129	143	144
0	63	131	133
6	13	110	111
10	10	92	97
12	0	69	71
16	0	3	45
18	0	0	30

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由表4可知，本文方法重构信号信噪比超过10 dB的非测点数量为97，在所有非测点中占比97/144=67.36%。本文将重构信号信噪比超过10 dB(即实测信号的信噪比)的非测点视作高精度非测点。若能筛选出这些高精度非测点，则单次动力测试可以在不增加测点的情况下大幅增加可用测试信息。

5.5   高精度非测点筛选

针对上述重构结果，分别采用相关系数指标^[15]和本文第4.2节介绍的响应幅值指标来筛选高精度非测点，筛选结果如表5所示。表中筛选结果以“信噪比变化范围；筛选数量”的形式给出。比如，“−7.76 dB~10.63 dB；36”表示筛选出的非测点重构信号信噪比变化范围为−7.76 dB~10.63 dB，筛选出的非测点数量为36。两种筛选指标的取值范围均介于0~1之间。表中根据信号处理方式和筛选指标的不同定义了6种不同的方法。表头中C_u、A_u分别表示相关系数指标和响应幅值指标的阈值；表中方法2、方法6分别对应文献[15]方法和本文方法。不难发现，采用未经预处理信号的方法1、方法4筛选结果最差；采用FIR-VMD-SVD信号处理方式的方法3、方法6筛选效果最好。结合表4所示数据，可知方法1、方法2、方法4、方法5筛选结果较差的原因是这两种信号处理方式得到的重构响应精度相对较低。此外，无论从重构精度还是筛选数量进行衡量，方法6均优于方法2、方法3。可见，本文方法最有利于筛选高精度非测点，但需要设置合适的指标阈值。当A_u = 0.25时，本文方法可以筛选出17.88 dB~21.90 dB的高精度非测点26个，而文献[15]方法(C_u = 0.99)只能筛选出10.94 dB~16.11 dB的高精度非测点14个。

表  5  不同方法的高精度非测点筛选结果(1组样本)

Table  5.  Selection results of high-precision unmeasured points by different methods (one set of samples)

方法	信号处理方式	筛选指标	Cu = 0.96或Au=0.10	Cu = 0.97或Au=0.15	Cu = 0.98或 Au=0.20	Cu = 0.99或 Au=0.25
方法1	未经预处理	相关系数	−7.76~10.63 dB; 36	−7.76~10.63 dB; 25	−3.84~10.63 dB; 22	−3.84~10.63 dB; 16
方法2	FIR低通滤波	相关系数	−4.62~16.11 dB; 43	9.75~16.11 dB; 41	10.01~16.11 dB; 30	10.94~16.11 dB; 14
方法3	FIR-VMD-SVD	相关系数	−2.86~21.90 dB; 40	8.85~21.90 dB; 37	12.92~21.90 dB; 28	16.28~21.90 dB; 19
方法4	未经预处理	响应幅值	−3.71~10.63 dB; 44	−3.71~10.63 dB; 28	−3.71~10.63 dB; 26	−3.71~10.63 dB; 26
方法5	FIR低通滤波	响应幅值	4.12~16.11 dB; 64	9.82~16.11 dB; 54	10.05~16.11 dB; 32	10.10~16.11 dB; 26
方法6	FIR-VMD-SVD	响应幅值	3.74~21.90 dB; 64	10.52~21.90 dB; 54	17.32~21.90 dB; 32	17.88~21.90 dB; 26

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5.6   蒙特卡洛分析

为了考察随机参数偏差和随机噪声对高精度非测点筛选结果的影响，采用蒙特卡洛法进行抽样分析。每个样本均随机生成一组等效构件长度误差来模拟一个实际结构，并假设各个测点的实测响应信噪比均为10 dB(记为SNR_m)。共生成5000组样本进行统计分析，筛选结果如表6~表8所示。考虑到仅比较表5中定义的方法2、方法3、方法6便可判断本文方法的优劣，因此仅列出上述3种方法的筛选结果。表中：s为筛选出的非测点数量范围；SNR_min为筛选结果中信噪比最小值的范围；SNR_max为筛选结果中信噪比最大值的范围；R_s为每个样本筛选结果中信噪比超过SNR_m所占比例的范围；P_s为SNR_min超过SNR_m的概率。

由表6~图8可知，当C_u或A_u增大时，3种方法的s会减小，SNR_min、R_s和P_s均会不变或增大。可见适当提高阈值C_u可以更好地筛选出高精度非测点。从SNR_min和SNR_max判断，方法3、6的筛选结果明显好于方法2，这是因为FIR-VMD-SVD信号处理方式在整体上大幅提高了非测点的重构精度。尽管在C_u=0.98(方法3)和A_u=0.25(方法6)时，方法3、方法6都能可靠筛选出数量相当的高精度非测点，但此时本文方法的筛选结果具有更大的信噪比上下限和更稳定的高精度非测点数量。总体而言，方法6(即本文方法)比方法2、方法3表现更优。

表  6  方法2(文献[15]方法)非测点筛选结果(5000组样本)

Table  6.  Selection results of unmeasured points by the second method (method in literature [15] (5000 sets of samples)

阈值	Cu = 0.94	Cu = 0.95	Cu = 0.96	Cu = 0.97	Cu = 0.98	Cu = 0.99
s	43~45	43~44	41~43	37~42	30~38	14~30
SNRmin /dB	−4.71~-4.45	−4.71~-4.45	−4.71~9.44	−4.63~9.98	9.12~10.17	9.83~11.09
SNRmax /dB	11.43~16.49	11.43~16.49	11.43~16.49	11.43~16.49	11.43~16.49	11.43~16.49
Rs /(%)	66.67~93.02	68.18~93.02	69.77~93.02	73.17~97.56	76.32~100	96.65~100
Ps /(%)	0	0	0	0	0	0

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表  7  方法3(表5中定义)非测点筛选结果(5000组样本)

Table  7.  Selection results of unmeasured points by the third method defined in Table 5 (5000 sets of samples)

阈值	Cu = 0.94	Cu = 0.95	Cu = 0.96	Cu = 0.97	Cu = 0.98	Cu = 0.99
s	44~45	40~45	38~40	33~38	22~28	14~19
SNRmin /dB	−4.26~-4.08	−4.26~-4.08	−4.26~13.75	−4.19~14.20	12.02~17.77	13.60~18.18
SNRmax /dB	19.31~24.44	19.31~24.44	19.31~24.44	19.31~24.44	19.31~24.44	19.31~24.44
Rs /(%)	93.18~95.45	92.86~97.56	97.37~100	96.97~100	100	100
Ps /(%)	0	0	4.00	86.00	100	100

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表  8  方法6(本文方法)非测点筛选结果(5000组样本)

Table  8.  Selection results of unmeasured points by the sixth method (proposed method) (5000 sets of samples)

阈值	Au = 0.05	Au = 0.10	Au = 0.15	Au = 0.20	Au = 0.25	Au = 0.30
s	81~92	62~65	48~55	27~41	25~26	25~26
SNRmin /dB	2.89~4.61	3.08~4.61	9.33~10.98	9.53~18.23	13.91~19.21	13.91~19.21
SNRmax /dB	21.05~25.22	21.05~25.22	21.05~25.22	21.05~25.22	21.05~25.22	21.05~25.22
Rs /(%)	85.37~90.77	87.30~92.86	96.00~100	96.47~100	100	100
Ps /(%)	0	0	77.60	97.00	100	100

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当阈值C_u = 0.25时，本文方法筛选出的非测点数量为25~26，SNR_min在13.91 dB~19.21 dB变化，R_s和P_s均为100%。这表明每个样本筛选出来的非测点均为高精度非测点，且筛选出的高精度非测点数量较多(为25~26)，约为测点数量(为6)的4倍左右。可见，本文方法适用于含有随机参数偏差的实际结构，也大大提高了单次动力测试的工作效率。

6   结论

提出一种考虑阶跃激励的空间结构动力响应重构方法和相应的高精度非测点筛选策略，并以包含随机参数偏差的索穹顶结构为例展开数值分析。主要结论如下：

(1)提出的FIR、VMD和SVD联合处理实测信号的方法可以有效剔除高阶模态、测量噪声和低阶非贡献模态的干扰，使测点信号的信噪比得到大幅提升。这有利于提高非测点重构响应的信噪比。

(2)重构误差机理分析表明，若信噪比大的贡献模态广义位移时程在重构响应中的贡献占优(即具有较大的组合系数或振型位移绝对值)，则重构响应的信噪比也往往较大。

(3)贡献模态广义位移时程的幅值越大，其信噪比往往越大。当信噪比大的贡献模态广义位移时程对重构响应的贡献占优时，重构响应的幅值和信噪比也往往越大。

(4)采用幅值指标筛选高精度非测点的方法，适用于包含随机参数偏差的索穹顶实际结构。当取较大阈值(如0.25)时，该指标能可靠筛选出约为测点数量4倍的高精度非测点。

(5)本文方法的理论推导并未对结构类型做出限制，因而也适用于其他类型的空间结构，但其具体表现需要深入考察。如何利用筛选出的高精度非测点展开具体的监测工作将成为后续研究的重点。