桥梁结构时变可靠度计算的新方法

叶新一1,王 草2,李全旺1

(1.清华大学土木工程系,北京 100084;2.悉尼大学土木工程学院,悉尼,澳大利亚2006)

摘 要:为提高桥梁结构时变可靠度的计算效率,该文提出了新的计算方法。该方法基于结构时变可靠度分析的基本理论,利用Taylor级数展开,将可靠度计算从传统的积分运算形式转换为代数运算的形式,从而简化计算过程,提高计算效率。为了考虑桥梁初始承载力和衰减过程的不确定性,该文基于全概率方法,给出了计算劣化结构时变可靠度的显式公式。通过将该文方法应用于某钢筋混凝土桥梁进行时变可靠度分析,并与Monte Carlo模拟方法进行对比,表明了该文方法的准确性和高效性。

关键词:桥梁工程;新方法;Taylor展开;时变可靠度;劣化桥梁

我国现行的桥梁设计规范基于经典的结构可靠度理论[1-2],即假设结构在服役期内承载力不随时间变化。在役桥梁结构在服役过程中,碰撞损伤、介质入侵等因素会导致其承载力的降低[3-4],由此带来的运营安全隐患不容忽视。为了保证桥梁结构的正常服役,考虑到结构承载力的衰减和车载过程的随机性,需要在可靠度的框架下对其剩余寿命期内的安全性进行评估[5-7]

考虑时间段(0,T]内的桥梁结构可靠度L(T)。假设在t1,t2,…,tn时刻分别发生了一系列相互独立的荷载事件,对应的荷载效应分别为S1,S2,…,Sn,则结构的可靠度为[8]

其中:Pr{ }表示括号中事件的发生概率;R1,R2,…,Rn分别为t1,t2,…,tn时刻结构的承载力。如果在(0,T]时间内结构的承载力(R)不随时间变化,即R1=R2=…=Rn=R,则式(1)可以写作:

其中,Smax=max{S1,S2,…,Sn}。式(2)表明,如果忽略结构承载力的衰减,则结构的时变可靠度可以转化为经典的可靠度问题[9],相关的计算手段可参阅文献[9―10]。否则,需要开发新的计算方法来考虑桥梁承载力的衰减对结构可靠度的影响。

对在役桥梁进行可靠度分析时,为了考虑结构承载力的衰减,Mori和Ellingwood[8]提出了一种新的计算模型。模型中用平稳Poisson过程来描述(0,T]时间内车载的发生,Poisson强度为λ(即单位时间内发生一次荷载的概率为λ),并假定各荷载独立同分布(荷载效应的累积密度函数为FS(s))。由此得到结构的时变可靠度L(T)为:

式中:R0表示结构的初始承载力;g(t)为承载力衰减函数(=t时刻的承载力R(t)与R0的比值)。

式(3)在众多研究中得到应用[11―13],并被国际《在役结构评估规范》所推荐(ISO 13822-2010(E))。Akiyama等[11]研究了海工环境下既有混凝土结构在氯离子侵蚀作用下的时变可靠度;Bhargava等[12]基于式(3)系统研究了衰减函数的随机性对时变可靠度结果的影响;张建仁等[13]在式(3)的基础上,结合Monte Carlo模拟的方法编制了计算结构时变可靠度的实用程序。另有学者[14]用平稳Bernoulli过程来描述车载过程,并给出了时变可靠度的计算公式。然而该公式过于繁琐,难以应用。

一方面,由于式(3)中包含了积分项,计算效率不高;另一方面,桥梁的初始承载力以及承载力的衰减过程往往具有不确定性,而式(3)中的初始承载力R0和衰减函数g(t)是确定的,不能反映真实情况。

本文利用Taylor级数展开的手段,给出了桥梁结构时变可靠度计算的新方法。利用该方法,可以将式(3)中的积分运算转化为代数运算,从而大大提高计算效率。在此基础上,考虑到桥梁初始承载力以及承载力衰减过程的随机性,本文基于全概率理论,给出了可靠度计算的显式公式。利用该公式,本文对某混凝土桥进行了时变可靠度分析,说明了本文提出的计算方法的准确性和高效性。

1 承载力衰减和荷载效应概率模型

1.1 承载力衰减模型

在役混凝土桥梁的衰减函数g(t)可由损伤机理研究或实验数据拟合等手段得到[8,15―17]。文献[8]中建议了g(t)的形式如式(4)所示。其中,a为表征衰减速率的随机变量,α为表征衰减形状的定值,由衰减机制确定。比如,α=1代表以锈蚀为主因的衰减过程。

王建秀等[15]从劣化机理出发,考虑了氯离子侵蚀和混凝土碳化对公路桥梁承载力的影响。对于矩形截面钢筋混凝土梁的抗弯承载力,当受力钢筋因锈蚀而影响承载力时:

式中:R0为初始抗弯承载力;As(t)表示t时刻的有效钢筋面积;fy为纵筋的抗拉强度;h0为钢筋群截面形心到梁顶端的距离;fc为混凝土的轴心抗压强度;bT梁翼缘的宽度。

Enright等[16]基于实测数据拟合,给出了混凝土桥梁承载力衰减函数g(t)关于劣化时间t(年)的表达:

其中,k1k2为劣化速度参数。记Ti表示退化起始时间(年),则对应不同的退化速率,这些参数为:

考虑到衰减过程的随机性,假定k1服从变异系数为0.2的正态分布,k2Ti为定值。由于式(6)在研究中应用广泛[18―19],故在下文的算例分析中采用式(6)来描述混凝土桥梁承载力的衰减。对于式(6)中的“慢速”和“中速”两种退化情形,g(t)为关于劣化时间t的线性函数;而对于“快速”退化(或诸如式(5)等其他退化模型),g(t)关于t不再是线性函数,但可用多段线性函数逼近之。

1.2 荷载效应概率模型

选取合适的概率模型刻画随机变量,是可靠度评估的基础。对于桥梁承受的车载效应,已有研究[3,8,20]或规范[21]中认为可用极值I型分布来描述。

若变量X服从极值I型分布,均值和标准差分别为msd,则X的累积密度函数FX(x)为:

其中,μσ分别为位置参数和形状参数,且:

其中,γ为Euler常数,γ=0.577215…。

2 时变可靠度计算新方法

考虑时间段(0,T]内结构的时变可靠度L(T)。首先,假定衰减函数g(t)关于时间t线性衰减,即g(t)=1 –kt,其中k为常数,则式(3)可改写为:

如图1所示,用极值I型分布来描述图中各车载效应,其位置参数和形状参数分别为μσ,将式(8)代入式(10)中,并注意到指数函数xe有如下Taylor展开式:

图1 时变承载力和荷载过程
Fig.1 Time-variant resistance and load process

则式(10)可改写为:

式中:

注意到式(12)中包含无穷项求和,但在实际工程应用中,由于|ξ1|>>|ξ2|>>|ξ3|>>…,则只需取ξ1即可满足精度要求。比如,考虑一个简单的例子:假设荷载的均值是承载力的一半,变异性(即标准差与均值的比值)为0.2,则在一个10年的服役周期里,ξ2约为ξ1的0.001倍而ξ3约为ξ1的10-6

因此,式(12)可简化为:

式(14)即为本文提出的时变可靠度计算新方法。比较式(14)与式(3)则不难发现,本文提出的计算方法中不包含积分项,从而大大提高计算效率。式(14)的提出有望促进时变可靠度计算在我国相关规范中的推广应用。

进一步地,考虑初始承载力R0和衰减过程g(t)的随机性,则利用全概率公式,式(14)改写为:

式中:fR(r)表示R0的概率密度函数;fK(k)表示参数k的概率密度函数。

式(15)即为考虑初始承载力R0和衰减过程g(t)随机性的可靠度计算公式。

需要说明的是,式(14)及式(15)建立在线性衰减的假设基础上,对于式(6)中“慢速”和“中速”两种退化情形适用;而对于非线性衰减过程,可以用多段折线来逼近衰减过程,这将在下文的算例中体现。

3 算例分析

本节结合实际工程算例来说明公式(15)的准确性。某在役钢筋混凝土梁式桥,其横断面如图2所示。主梁采用 T型截面,如图 3所示。梁体采用C30混凝土,纵筋为HRB 335,计算跨径15.5 m。

图2 某桥梁横断面示意图 /cm
Fig.2 Cross section of an illustrative bridge

依据《公路桥梁承载能力检测评定规程》[22],考虑桥梁的实际劣化状态,评出当前状态的承载能力R0为 2530 kN•m。考虑到R0的不确定性,根据文献[20]的研究,认为承载力R0服从对数正态分布,变异系数为0.15。由此得到其概率密度函数fR(r)为:

图3 T梁跨中截面示意图
Fig.3 Cross section of a T beam at the middle span

该桥所在道路上安装了动态称重系统。利用测得的60 d 20万个车载数据,得到每天通行车辆数和日荷载效应最大值,再根据基于 GPD(广义普拉特分布)模型的极值外推方法[23],得出一年一遇(即:λ=1/年)跨中截面最大弯矩的均值和标准差分别为1020 kN•m和240 kN•m。假定最大车载效应服从极值I型分布,其累积密度函数则为:

考虑从当前时刻开始 20年内该桥梁的时变可靠度,由式(15)给出。其中,承载力的衰减函数g(t)用式(6)描述。g(t)的随机性由参数k1的随机性体现,k1服从正态分布,变异系数为0.2。

首先,对于“慢速”和“中速”两种退化情形,将式(6)、式(16)和式(17)代入式(15)计算得到结构的时变可靠度如图4所示。为了方便表示,图中纵坐标为失效概率,pf(T)=1–L(T)。从图中可以看到,桥梁承载力衰减越快,则失效概率越大,可靠度越小。

为了验证式(15)的准确性,借助多次 Monte Carlo模拟给出时变可靠度的数值解,并以此逼近“精确解”。对于L(T),模拟步骤叙述如下:

1)随机生成初始承载力R0的一个样本值r0,服从式(16)所示的对数正态分布。

2)随机生成一个Poisson数N,其均值为λT;然后生成N个在(0,T]上均匀、独立分布的时刻t1t2<…<tN

3)随机生成一个衰减参数k1的样本k1,s,服从正态分布,变异系数为0.2。

4)对应于ti时刻,i=1,2,…,N,随机生成一个车载效应样本值si,服从如式(17)所示的极值 I型分布。

5)如果对于所有的i=1,2,…,N,均有r0×g(ti)≥si,则说明结构安全,否则结构失效。

6)重复步骤(I)~(V)K次,其中结构安全的次数记为k,则当K足够大时,k/K趋近于L(T)。

对于每个T值,分别通过 100万次的 Monte Carlo数值模拟,得到L(T)的模拟解如图4所示。从图中可见,Monte Carlo模拟的结果与式(15)的计算结果完全重合,由此证明了本文公式的正确性。以pf(20)为例,对于“慢速”和“中速”两种退化情形,两种方法给出的结果分别相差0.9%和0.7%。在应用式(15)进行计算时,采用简单的黎曼积分,分别将R0k1的积分域分为100等份。以此法计算消耗的时间是模拟方法的1/30。需要说明的是,如果采用其他积分技术(诸如 Simpson积分法等),则可以进一步缩短式(15)的计算时间。

图4 “慢速”和“中速”衰减时的时变可靠度
Fig.4 Time dependent reliability with low and medium deteriorations

下面考虑承载力非线性衰减的情形,即对应于式(6)中的“快速”退化。对于L(20),将考虑的时间段(0,20](年)拆分为:D1=(0,10]和D2=(10,20]。假设在D1D2时间内承载力线性衰减,且结构可靠度分别为L(D1)和L(D2),则由式(15):

其中:

式(20)中,r′表示D2时间内的“初始”承载力,r'=r·g(10);式(19)和式(20)中的kd1kd2分别表示D1D2时间内承载力衰减的等效速度参数:

由式(18)可以得到“快速”退化情形对应的L(20)。类似地,可分别计算得L(1),L(2),…,L(19);这些结果如图5所示。

图5 “快速”衰减时的时变可靠度
Fig.5 Time dependent reliability with high deterioration

为了验证式(15)的准确性,由Monte Carlo模拟给出的近似数值解也绘制于图5中。从中可以看到本文提出的改进方法的准确性。以pf(20)为例,两种方法给出的结果相差0.3%。另外,从图4和图5中可以看到,20年内“快速”退化时的失效概率是“中速”退化的1.75倍,是“慢速”退化的2.93倍。

4 结论

本文给出了在役桥梁时变可靠度计算的新方法,并结合算例表明了该方法的准确性。

(1)若不考虑初始承载力和衰减过程的随机性,则利用本文的方法可以使得现有的可靠度计算式中的积分运算在保证计算精度的前提下转变为代数运算,从而大大提高计算效率。该方法有望促进时变可靠度计算在我国相关规范中的推广应用。

(2)考虑到初始承载力和衰减过程的不确定性,本文给出了时变可靠度计算的显式公式。算例表明了该公式的准确性和高效性。利用该公式给出的可靠度计算结果与Monte Carlo模拟给出的“精确”相比,误差不超过 1%,但计算时间仅为模拟方法的1/30。

(3)本文方法中认为荷载效应服从极值 I型分布,对于其他分布类型则不适用,这是本文方法的局限性。在进一步的研究中,需要考虑当荷载效应服从其他分布时的时变可靠度改进计算方法。

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NEW METHOD FOR CALCULATION OF TIME-DEPENDENT RELIABILITY OF RC BRIDGES

YE Xin-yi1,WANG Cao2,LI Quan-wang1
(1.Department of Civil Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China;2.School of Civil Engineering,The University of Sydney,Sydney NSW 2006,Australia)

Abstract:A new method was proposed to improve the calculation efficiency of time-dependent reliability analysis for bridges.Based on the basic theory of structural reliability,the proposed method utilizes the Taylor expansion to simplify the traditional formula in an integration expression as a new formula in an algebraic expression,which essentially improves the calculation efficiency.In order to consider the uncertainties associated with the initial resistance and the degradation process,an explicit formula for time-dependent reliability analysis was also presented using a total probabilistic theorem.The proposed method was applied to the time-dependent reliability analysis of an RC bridge,and the results were compared with that associated with Monte Carlo simulation method to demonstrate the accuracy and high efficiency of the new method.

Key words:bridge engineering; new method; Taylor expansion; time-dependent reliability; deteriorating bridges

王 草(1993―),男,江苏人,博士生,主要从事结构可靠度研究(E-mail: cao.wang@sydney.edu.au).

叶新一(1993―),男,广东人,硕士生,主要从事结构耐久性研究(E-mail: ye-xy16@mails.tsinghua.edu.cn);

作者简介:

通讯作者:李全旺(1975―),男,天津人,副教授,博士,主要从事结构可靠度研究(E-mail: li_quanwang@tsinghua.edu.cn).

基金项目:国家自然科学基金项目(51778337)

收稿日期:2017-09-01;修改日期:2018-01-04

文章编号:1000-4750(2018)11-0086-06

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2017.09.0667

文献标志码:A

中图分类号:U441+.4