基于双车接触点响应残差的桥梁模态参数识别方法研究

陈诚; 张静; 杜昌骏; 杨栋; 贺文宇

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2022.10.0913

基于双车接触点响应残差的桥梁模态参数识别方法研究

陈诚^1,,
张静^1,,
杜昌骏^1,,
杨栋^{2, 3, ,},
贺文宇¹

1.
合肥工业大学土木与水利工程学院，合肥 230009
2.
广州大学工程抗震研究中心，广州 510006
3.
工程抗震减震与结构安全教育部重点实验室，广州 510006

基金项目: 国家自然科学基金面上项目(52278303)；安徽省自然科学基金杰出青年基金项目(2208085J20)

详细信息

作者简介:
陈　诚(1996−)，男，安徽人，硕士生，主要从事桥梁安全监测研究(E-mail: 891080737@qq.com)

张　静(1984−)，女，安徽人，副教授，博士，主要从事桥梁安全监测与状态评估等研究(E-mail: zhangj@hfut.edu.cn)

杜昌骏(1998−)，男，重庆人，硕士生，主要从事桥梁安全监测与评估研究(E-mail: 13343852698@qq.com)

通讯作者:
杨　栋(1982−)，男，湖南人，副教授，博士，主要从事桥梁安全监测与评估研究(E-mail: yangd@gzhu.edu.cn)

中图分类号: O327；U441+.3
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出版历程
- 收稿日期: 2022-10-30
- 修回日期: 2023-03-19
- 网络出版日期: 2023-05-11
- 刊出日期: 2025-01-24

BRIDGE MODAL PARAMETERS IDENTIFICATION BASED ON THE CONTACT POINT RESPONSE RESIDUES OF TWO VEHICLES

1.
College of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China
2.
Earthquake Engineering Research & Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China
3.
Key Laboratory of Earthquake Resistance, Earthquake Mitigation and Structural Safety of Ministry of Education, Guangzhou 510006, China

摘要

摘要:
针对“车辆扫描法”在桥梁模态参数识别过程中存在对路面粗糙度和车辆速度过于敏感等问题，提出一种新的基于接触点响应的车辆扫描法识别桥梁模态参数(频率和振型)。在考虑相位差的前提下对两车的接触点响应作差，利用该残差识别结构各阶模态频率以及对应的模态振型；给出了基于双车接触点响应残差进行桥梁模态参数识别的流程，通过数值算例验证了其可行性，并系统讨论了车辆速度、质量以及路面粗糙度等因素对识别结果的影响。数值结果表明：该文所提出的方法简单有效，能够在有效剔除路面粗糙度影响的前提下准确识别桥梁结构的模态参数。
- 桥梁工程 /
- 模态参数识别 /
- 接触点响应 /
- 车-桥耦合振动 /
- 路面粗糙度
Abstract:
In order to solve the problem in which the ‘vehicle scanning method’ is too sensitive to road roughness and vehicle speed in the process of bridge modal parameter identification, a novel vehicle scanning method based on the contact point response is proposed to identify bridge modal parameters, i.e., frequency and mode shape. The contact point response residuals of the two vehicles are calculated considering the phase difference, and the mode frequencies and corresponding mode shapes can be obtained based on the residuals. This paper presents the process of bridge modal parameter identification based on the contact point response residuals of two vehicles. The feasibility of this method is verified by numerical case studies, and the effects of vehicle speed, mass and road surface roughness on the identification results are discussed systematically. The numerical results show that the proposed method is simple and effective, which can accurately identify the modal parameters of bridge structure on the premise of effectively eliminating the influence of road surface roughness.
- bridge engineering /
- modal parameter identification /
- contact point response /
- vehicle-bridge coupling vibration /
- road surface roughness

HTML全文

常规的桥梁健康监测须在结构上布置数量庞大且种类繁多的传感器及数据采集系统，但海量的监测数据、复杂的传感系统以及昂贵的建设成本导致这类系统仅适用于投资大且起命脉作用的大跨桥梁工程^[1-3]。现阶段，对于交通运输系统中占比最大的中小跨径桥梁的检测仍以人工巡检为主，难以及时获取桥梁的状态。针对这种情况，基于车辆响应的桥梁间接测量法近来正受到越来越多的关注，这类方法有望实现对中小型桥梁整体状态的快速评估，能够在费用较低的前提下大幅提高检测效率^[4]。

从20世纪90年代开始，YANG及其课题组围绕车-桥耦合问题进行了大量研究^[1-5]，揭示了移动车辆过桥时车辆与桥梁发生耦合振动，过桥车辆的动力响应中会包含桥梁结构信息，桥梁结构状态的改变将导致车辆响应受到影响，这正是桥梁间接测量法的理论基础。YANG等^[1]首次正式提出了间接测量法(也称“车辆扫描法”)这一概念，创新性地尝试从移动测试车辆的动态响应中提取桥梁的频率，并且通过理论推导给出了证明。随后LIN和YANG^[3]成功研制了测试车系统，并通过实桥实验验证了通过车辆响应识别桥梁模态信息的有效性。因该方法具有高效、快速、经济性好等优点，且机动性强，检测过程中无需封路中断交通，自提出起便受到国内外众多学者的广泛关注。针对该方法已开展了大量研究工作并取得了丰富成果，为中小桥梁状态快速检测和安全评估提供了全新的思路。

YANG和CHANG^[5]引入经验模态分解，首先将车体信号进行分解，获得各本征模态函数，然后进行快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)，通过筛选处理提高桥梁频率尤其是高阶频率的识别效果。类似的还有ZHU等^[6]采用了集合经验模态分解，YANG等^[7]引入极点对称模态分解，这些方法都能有效缓解经验模态分解的模态混叠现象，改善识别效果，提高识别效率^[8-9]。

上述研究大多忽视了路面粗糙度的影响，而在实际中，路面粗糙度是影响车辆扫描法桥梁模态参数识别的重要因素，因此，CHANG等^[10]推导给出了考虑路面粗糙度的车辆响应解析解，并从原理上分析了路面粗糙度对频率识别的影响机理^[11]，结果表明：路面粗糙度是影响桥梁参数识别的最主要因素。杨永斌等^[12]也在该方向的研究综述中明确提出，路面粗糙度仍是利用车辆扫描法进行桥梁模态参数识别和状态评估所面临的主要问题和挑战。

基于此，学者们尝试了多种方式降低路面粗糙度对基于车辆响应的桥梁模态识别方法的影响。YANG等^[13]提出了使用两相连但独立的车体组成的测量系统来降低路面粗糙度度的影响，其基本思路是在频域空间中对两车响应相减以去除路面粗糙度。此后，KONG等^[14-15]搭建了由牵引车和两台拖车组成的测量系统，通过对两辆拖车响应的时域差值进行短时傅里叶变换处理达到消除路面粗糙度影响的目的。

此类研究大多直接使用车辆响应，如位移响应、加速度响应等，这就难免受到车体频率的影响，因此YANG等^[16]提出了使用车辆的接触点响应进行测量的新方法，通过车辆响应反推接触点响应，因为接触点响应中不含车体频率，剔除了响应中车辆的影响，提高了测量的准确性^[7]。随后，ZHAN等^[17-18]使用两车分别两次过桥的接触点响应残差来消除路面粗糙度，利用接触点响应残差来提取结构的模态参数，并结合小波分析实现了简支梁和连续梁的损伤位置识别。

在对已有研究的总结中发现，现有研究提出的方法一定程度上能滤除路面粗糙度的影响，但当路面粗糙度较大时往往提取结果会出现较大偏差^[19]；同时，当测试车辆速度较高时也会影响结果的准确性^[20]。鉴于上述问题，对有效处理和去除路面粗糙度影响进行深入研究是十分有必要的。本文创新性地同时利用两辆固定间距的前后车过桥时的接触点响应来进行桥梁模态信息提取：首先，通过两车加速度信号计算其对应的接触点响应，并利用接触点响应残差滤除路面粗糙度的影响；进而，通过接触点响应残差的频谱分析、带通滤波和希尔伯特变换来进行桥梁模态参数的识别；最后，通过数值算例对所提出方法的准确性和有效性进行了验证，同时对关键影响参数进行了分析。

1 理论背景

1.1 车-桥耦合振动理论基础

车-桥耦合系统可以简化为所示的模型，车辆质量为 ${m_{\rm v}}$ ，由刚度系数为 ${k_{\rm v}}$ 的弹簧支撑。模型中，桥梁简化为长度为L的简支梁，简支梁的单位长度质量为 $\overline m$ ，抗弯刚度为EI，R是路面粗糙度，车辆以速度v通过桥梁。

图 1 车-桥耦合振动系统

Figure 1. Vehicle-bridge coupling vibration system

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车-桥系统的耦合振动方程如下^[1]：

$\overline m \frac{{{\partial ^2}{u_{\rm b}}(x,t)}}{{\partial {t^2}}} + EI\frac{{{\partial ^4}{u_{\rm b}}(x,t)}}{{\partial {x^4}}} = {f_{\rm c}}(t)\delta (x - vt)$

(1)

${m_{\rm v}}\frac{{{{\rm d}^2}{u_{\rm v}}(t)}}{{{\rm d}{t^2}}} = {k_{\rm v}}[{u_{\rm b}}(x,t){|_{x = vt}} + R(x){|_{x = vt}} - {u_{\rm v}}(t)]$

(2)

式中： $\overline m$ 为梁的单位长度质量； ${u_{\rm b}}$ 为桥梁的竖向位移； ${u_{\rm v}}$ 为该处车辆的竖直位移； ${f_{\rm c}}$ 为车与桥梁间的接触力； $\delta \left( x \right)$ 为狄利克雷函数， $\delta \left( {x - vt} \right)$ 用来描述单位点荷载在速度v下的移动。

由式(2)和平衡条件可解得接触力^[1]：

${f_{\rm c}} = {k_{\rm v}}\{ {u_{\rm v}}(t) - [{u_{\rm b}}(x,t){|_{x = vt}} + R(x){|_{x = vt}}]\} - {m_{\rm v}}g$

(3)

联立式(1)~式(3)，结合振型叠加法可以解得，桥梁的竖向位移 ${u_{\rm b}}$ ：

${u_{\rm b}}(x,t) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {[{\phi _i}(x) \cdot {Y_i}} (t)]$

(4)

式中： ${\phi _i}\left( x \right) = {\rm sin}\frac{{i\pi x}}{L}$ 为桥梁的第i阶振型； ${Y_i}\left( t \right)$ 为对应的振幅。如果车辆质量远小于桥梁质量，则振幅 ${Y_i}\left( t \right)$ 可以表示为：

${Y_i}(t) = \frac{{ - 2({m_{\rm v}}g + {k_{\rm v}}R(x){|_{x = vt}}){L^3}}}{{{{\rm i}^4}{\pi ^4}EI - {{\rm i}^2}{\pi ^2}{v^2}{L^2}\overline m }}\Bigg[\sin \frac{{{\rm i}\pi vt}}{L} - \frac{{{\rm i}\pi v}}{{L{\omega _{bi}}}}\sin ({\omega _{{\rm b}i}}t)\Bigg]$

(5)

式中， ${\omega _{{\rm b}i}} = \dfrac{{{{\rm i}^2}{\pi ^2}}}{{{L^2}}}\sqrt {\dfrac{{EI}}{{\overline m}}}$ 为简支梁的第i阶固有频率。由此可以得到桥梁的竖向位移 ${u_{\rm b}}\left( {x,t} \right)$ 为^[14]：

$\begin{split} {u_{\rm b}}(x,t) =& \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{{ - 2({m_{\rm v}}g + {k_{\rm v}}R(x){|_{x = vt}}){L^3}}}{{{{\rm i}^4}{\pi ^4}EI - {{\rm i}^2}{\pi ^2}{v^2}{L^2}\overline m }}} [\sin \frac{{{\rm i}\pi vt}}{L} - \\& \frac{{{\rm i}\pi v}}{{L{\omega _{{\rm b}i}}}}\sin ({\omega _{{\rm b}i}}t)]\sin \frac{{{\rm i}\pi x}}{L} \end{split}$

(6)

1.2 车辆的接触点响应

由模型可知车辆与桥梁接触点处的位移等于接触点处的桥梁竖向位移 ${u_{\rm b}}$ 与路面粗糙度R(x)之和^[15]，即：

${u_{\rm c}}(t) = {u_{\rm b}}(x,t){|_{x = vt}} + R(x){|_{x = vt}}$

(7)

式中， ${u_{\rm c}}$ 为接触点位移。接触点位移除了有式(8)的关系外，还可根据车辆与桥梁接触点组成的振动系统求解得到，即根据式(2)可得：

${u_{\rm c}}(t) = \frac{1}{{{\omega _{{\rm v}}^2}}}\frac{{{{\rm d}^2}{u_{\rm v}}(t)}}{{{\rm d}{t^2}}} + {u_{\rm v}}(t)$

(8)

${a_{\rm c}}(t) = \frac{1}{{{\omega _{{\rm v}}^2}}}\frac{{{{\rm d}^4}{u_{\rm v}}(t)}}{{{\rm d}{t^4}}} + \frac{{{{\rm d}^2}{u_{\rm v}}(t)}}{{{\rm d}{t^2}}}$

(9)

式中： ${\omega _{\rm v}}$ 为车辆的固有频率； ${a_{\rm c}}$ 为接触点的加速度响应。

根据式(8)和式(9)，只需车辆位移或加速度响应便可直接计算对应接触点的位移和加速度响应。若不考虑路面粗糙度 $R(x){|_{x = vt}}$ ，此时接触点位移，根据接触点处桥梁位移的理论解式(6)， ${u_{\rm b}}\left( {x,t} \right)$ 中包含桥梁的各阶模态信息 $\sin \dfrac{{{\rm i}\pi x}}{L}$ (注意x = vt)。虽然对于每一阶模态存在干扰项 $\sin \dfrac{{{\rm i}\pi vt}}{L}$ ，但 $\dfrac{v}{L}$ 一般取得很小，尤其对于低阶模态干扰项 $\sin \dfrac{{{\rm i}\pi vt}}{L}$ 可以忽略不计。故此时接触点位移可以近似看作低频调制信号 $\sin \dfrac{{{\rm i}\pi x}}{L}$ (注意x=vt)与高频载波信号 $\sin \left( {{\omega _{{\rm b}i}}t} \right)$ 相乘的调幅信号。调幅信号的频谱会在高频载波信号的频率 ${\omega _{{\rm b}i}}$ 两侧出现双峰，双峰距离中心频率 ${\omega _{{\rm b}i}}$ 的偏移值与调制信号 $\sin \dfrac{{{\rm i}\pi x}}{L}$ (注意x = vt)的频率正相关，而调幅信号的包络线与低频信号即桥梁振型 $\sin \dfrac{{{\rm i}\pi x}}{L}$ 一致，因此可以对接触点位移直接做傅里叶变换并绘制频谱，从频谱中找出对应结构各阶频率 ${\omega _{{\rm b}i}}$ 的峰值，进而设计滤波器对数据进行滤波处理，获取对应各阶频率的调幅信号，随后通过希尔伯特变换解调制各阶调幅信号绘制包络线(即各阶振型曲线)^[21-23]。

但路面粗糙度的存在，相当于在调幅信号 ${u_{\rm b}}\left( {x,t} \right)$ 中又加入一项无法忽略的噪声信号 $R\left( x \right)$ ，这种情况下信号的频谱被噪声污染，更加无法直接对信号进行解调制获取振型。针对这种情况，文章提出基于双车接触点响应残差的方法先去除路面粗糙度的影响，再识别桥梁频率和各阶振型。

2 基于双车接触点响应残差的模态参数识别

针对路面粗糙度在桥梁结构模态参数识别中的影响，文章提出一种新的基于前述单车过桥时桥梁位移的解析解和接触点响应的方法，即先剔除路面粗糙度的影响，再进行桥梁模态参数识别。如所示的含有2个过桥车辆的车桥耦合振动系统，同样将车辆简化为两个固定间距的移动簧上质量， ${m_{{\rm v}1}}$ 、 ${m_{{\rm v}2}}$ 是车辆 ${v_{{\rm e}1}}$ 、 ${v_{{\rm e}2}}$ 的质量， ${k_{{\rm v}1}}$ 、 ${k_{{\rm v}2}}$ 、 ${c_{{\rm v}1}}$ 、 ${c_{{\rm v}2}}$ 分别是两车的刚度和阻尼，两车间固定间距为s、梁长为L。

对所示系统进行动力分析时，假定梁体变形为小变形，根据线性系统的叠加原理，对于任何线性系统，在给定位置与时间，由2个或多个激励共同作用产生的总响应是由每个激励单独产生的响应之代数和，所以梁上任意一点振动响应为同一时刻分别由 ${v_{{\rm e}1}}$ 和 ${v_{{\rm e}2}}$ 在该点引起的振动响应之和^[24]，即：

${u_{\rm b}}(x,t) = \mathop \sum \limits_{i = 1}^2 {u_{{\rm b}i}}(x,t)$

(10)

式中： ${u_{{\rm b}i}}$ 为由第i辆车引起的响应：x为响应的位置；t为响应时刻。

图 2 双车车-桥耦合振动系统

Figure 2. Vehicle-bridge coupling vibration system with two vehicles

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则车 ${v_{{\rm e}1}}$ 的接触点位移 ${u_{{\rm c}1}}$ 可表示为：

${u}_{{\rm c}1}(x,t){|}_{x=vt}={u}_{{\rm b}1}(x,t){|}_{x=vt}+{u}_{{\rm b}2}(x,t){|}_{x=vt}+R(x){|}_{x=vt}$

(11)

由于两车存在固定间距s，显然在同一时刻t，车 ${v_{{\rm e}2}}$ 的接触点位移 ${u_{{\rm c}2}}$ 可表示为：

$\begin{split} & {u_{{\rm c}2}}(x,t){|_{x = vt - s}} = {u_{{\rm b}2}}(x,t){|_{x = vt - s}} + {u_{{\rm b}1}}(x,t){|_{x = vt - s}} + \\ &\qquad R(x){|_{x = vt - s}} \end{split}$

(12)

对于通过同一桥梁的车辆 ${v_{{\rm e}1}}$ 和 ${v_{{\rm e}2}}$ ，其接触点位移响应中的路面粗糙度R(x)是相同的，仅存在值为s的相位差。因此，可以利用式(8)和式(9)先求出两车在相同时刻的接触点位移 ${u_{{\rm c}1}}\left( {x,t} \right){|_{x = vt}}$ 、 ${u_{{\rm c}2}}\left( {x,t} \right){|_{x = vt - s}}$ 。

${u_{{\rm c}1}}(x,t){|_{x = vt}} = \frac{1}{{{\omega _{{\rm v}1}}^2}}\frac{{{{\rm d}^2}{u_{{\rm v}1}}(t)}}{{{\rm d}{t^2}}} + {u_{{\rm v}1}}(t) \;\;$

(13)

${u_{{\rm c}2}}(x,t){|_{x = vt - s}} = \frac{1}{{{\omega _{{\rm v}2}}^2}}\frac{{{{\rm d}^2}{u_{{\rm v}2}}(t)}}{{{\rm d}{t^2}}} + {u_{{\rm v}2}}(t)$

(14)

此时两车的接触点位移在x方向上存在值为s的相位差，因此可以简写为 ${u_{{\rm c}1}}\left( x \right)$ 、 ${u_{{\rm c}2}}\left( {x - s} \right)$ ，只需将序列 ${u_{{\rm c}2}}\left( {x - s} \right)$ 的值保持不变，将横坐标x全部增加s(即在 ${u_{{\rm c}2}}$ 中将t变为 $\left( {t + \dfrac{s}{v}} \right)$ )就可以得到 ${u_{{\rm c}2}}\left( x \right)$ 。

${u_{{\rm c}2}}(x){|_{x = vt}} = \dfrac{1}{{{\omega _{{\rm v}2}}^2}}\dfrac{{{{\rm d}^2}{u_{{\rm v}2}}\left(t + \dfrac{s}{v}\right)}}{{{\rm d}{t^2}}} - {u_{{\rm v}2}}\left(t + \dfrac{s}{v}\right)$

(15)

$\begin{split} & {u}_{\rm c}(x){|}_{x=vt}={u}_{{\rm c}1}(x){|}_{x=vt}-{u}_{{\rm c}2}(x){|}_{x=vt} =\dfrac{1}{{\omega }_{{\rm v}1}^{2}}\dfrac{{\rm d}^{2}{u}_{{\rm v}1}(t)}{{\rm d}{t}^{2}}+\\&\qquad {u}_{{\rm v}1}(t)- \dfrac{1}{{\omega }_{{\rm v}2}^{2}}\dfrac{{{\rm d}}^{2}{u}_{{\rm v}2}\left(t+\dfrac{s}{v}\right)}{{\rm d}{t}^{2}}- {u}_{{\rm v}2}\left(t+\dfrac{s}{v}\right) \end{split}$

(16)

这样获得的残余项 ${u_{\rm c}}\left( x \right)$ 中只剩下接触点x处的桥梁位移，在形式上与式(6)具有一致性，故可根据1.2节的原理来获得桥梁各阶频率和振型。

综上所述，在考虑路面粗糙度的双车辆-桥梁耦合振动系统中提取桥梁模态信息的步骤为：① 让两车保持固定间距先后通过桥梁，采集两车的加速度和位移响应；② 根据两车的位移和加速度分别计算其对应的接触点位移；③ 将两车的接触点响应信号去除相位差后相减；④ 对上一步获得的数据进行频谱分析，找到结构的各阶频率，然后设计滤波器，结合希尔伯特变换提取包络线获得结构的模态信息。详细过程如图3所示。

图 3 桥梁参数识别流程图

Figure 3. Flowchart of bridge information extraction

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3 数值算例验证

3.1 车桥耦合振动的有限元模型

第2节从理论角度阐述了利用双车接触点响应残差来识别桥梁模态参数的方法，并给出了解析解。为了验证所提出方法的有效性，本节采用有限元方法，通过数值模拟算例，对所提出方法进行验证并讨论各种参数对识别结果的影响。

对于图1所示桥梁模型，将其划分为若干个二维梁单元，每个梁单元具有4个自由度(2个竖直方向位移与2个转角)。对于不和车辆直接作用的梁单元可按照传统方法建模，其运动方程为^[25]：

${{{\boldsymbol{m}}_{\rm{b}}}} {{{\ddot {\boldsymbol{q}}}_{\rm{b}}}} + {{{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}} {{{\dot {\boldsymbol{q}}}_{\rm{b}}}} + {{{\boldsymbol{k}}_{\rm{b}}}} {{{\boldsymbol{q}}_{\rm{b}}}} = {\boldsymbol{0}}$

(17)

式中： ${{{\boldsymbol{q}}_{\rm{b}}}}$ 为位移向量； ${{{\boldsymbol{m}}_{\rm{b}}}}$ 、 ${{{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}}$ 和 ${{{\boldsymbol{k}}_{\rm{b}}}}$ 分别为桥单元的质量、阻尼和刚度矩阵。

对于和车辆有直接接触的梁单元，它们被描述为一个具有路面粗糙度的车桥耦合振动(vehicle-bridge interaction, VBI)单元，因此车桥耦合振动单元的运动方程可以表述为：

$\begin{split} & \left[\begin{matrix} {m}_{\rm{v}}& 0\\ 0& {\boldsymbol{m}}_{\rm{b}}\end{matrix}\right] \left\{\begin{matrix} {\ddot{u}}_{\rm{v}}\\ {\ddot{\boldsymbol{u}}}_{\rm{b}}\end{matrix}\right\}+ \left[\begin{matrix}{c}_{\rm{v}}& -{c}_{\rm{v}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}^{\rm{T}}\\ -{c}_{\rm{v}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}& \left[{c}_{\rm{b}}\right]+{c}_{\rm{v}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}^{\rm{T}}\end{matrix}\right] \left\{\begin{matrix}{\dot{u}}_{\rm{v}}\\ {\dot{{\boldsymbol{u}}}}_{\rm{b}}\end{matrix}\right\} +\\& \qquad \left[\begin{matrix} {k}_{\rm{v}}&-{c}_{\rm{v}}v{\dot{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}^{\rm{T}}-{k}_{\rm{v}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}^{\rm{T}}\\ -{k}_{\rm{v}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}} &{{\boldsymbol{k}}}_{\rm{b}}+{c}_{\rm{v}}v{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}{\dot{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}^{\rm{T}}+{k}_{\rm{v}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}^{\rm{T}} \end{matrix}\right] \left\{\begin{matrix} {u}_{\rm{v}}\\ {{\boldsymbol{u}}}_{\rm{b}}\end{matrix}\right\}=\\&\qquad \left\{\begin{matrix} {c}_{\rm{v}}v{R}_{\rm{c}}'+{k}_{\rm{v}}{R}_{\rm{c}}\\ -{c}_{\rm{v}}v{R}_{\rm{c}}'{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}-{k}_{\rm{v}}{R}_{\rm{c}}{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}-{m}_{\rm{v}}g{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}\end{matrix}\right\} \end{split}$

(18)

式中： ${u_v}$ 为车辆位移； ${R_{\rm{c}}}$ 为接触点位置x处的路面粗糙度； ${{\boldsymbol{u}}_{\rm{b}}}$ 为桥梁竖直方向位移向量； ${{\boldsymbol{m}}_{\rm{b}}}$ 、 ${{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}$ 、 ${{\boldsymbol{k}}_{\rm{b}}}$ 分别为桥单元的质量、阻尼和刚度矩阵； ${\boldsymbol{N}}$ 为3次厄米特插值函数向量。

将VBI单元与其他常规桥梁单元组合，就可以得到整个桥梁长度内系统的运动方程，然后用Newmark-β方法对运动方程进行求解，就可以得到所考虑时间步长下车辆单元和桥梁单元的动态响应。

车 ${v}_{e1}$ 和梁的振动方程可写为：

$\begin{aligned} & {m}_{{\rm{v}}1}{\dot{u}}_{{\rm{v}}1}+{c}_{{\rm{v}}1}\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}\left({u}_{{\rm{v}}1}-{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}{\boldsymbol{u}}_{\rm{b}}-{R}_{\rm{c}}\right)+ \\&\qquad {k}_{{\rm{v}}1}\left({u}_{{\rm{v}}1}-{{\boldsymbol{N}}}_{\rm{c}}{\boldsymbol{u}}_{\rm{b}}-{R}_{\rm{c}}\right)=0 \end{aligned}$

(19)

${\boldsymbol{m}}_{\rm{b}} {{{\dot {\boldsymbol{u}}}_{\rm{b}}}} + {{{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}} {{{\dot {\boldsymbol{u}}}_{\rm{b}}}} + {{\boldsymbol{k}}_{\rm{b}}} {{\boldsymbol{u}}_{\rm{b}}} = {f_{\rm{c}}}{ {\boldsymbol{N}} _{\rm{c}}}$

(20)

对所示的包含2个车辆的车桥耦合振动系统，车 ${v_{{\rm e}2}}$ 的振动方程与式(19)相同，将式(19)、式(20)与车 ${v_{{\rm e}2}}$ 的振动方程联立得到双车系统的车桥耦合振动方程组然后应用Newmark-β方法求解运动方程，就可以得到所考虑时间步长下车辆单元和桥梁单元的动态响应。路面粗糙度根据ISO 8608^[26]标准生成，该标准根据其功率谱密度将路面粗糙度分为A、B、C、D和E类，对应从非常好到非常差5个级别。

关于测试车辆的阻尼，XU等^[27]指出，测试车辆应被设计为具有尽可能低的阻尼，以便更好地接收桥梁所传递的振动。该文通过数值验证和实桥测试得到，较低的车辆阻尼不会影响桥梁模态信息的提取的结论。因此，本文为了简化理论公式和数值计算方程，将测试车辆的阻尼设置为0。

3.2 桥梁模态信息提取

为验证前文所提出方法的有效性，本节以图2所示模型进行数值验证。为使模拟结果更接近真实工况，根据实际桥梁使用的数据选择简支梁数据如下：长度L为30 m，弹性模量E为31.5 GPa，单位长度质量为2000 kg/m，惯性矩I为0.36 ${\mathrm{m}}^{4}$ 。采样间隔为0.001 s，采样频率1000 Hz。

3.2.1 不考虑路面粗糙度时的提取结果

采用本文所提出的方法识别模态参数时，建立桥梁的空间梁单元计算模型，有限元模型梁单元划分尺度为0.1m，共300个单元，并进行模态分析得到桥梁结构的前3阶频率为4.16 Hz、16.71 Hz、37.86 Hz。此工况下，两测试车辆 ${v_{{\rm e}1}}$ 和 ${v_{{\rm e}2}}$ 的基本参数如表1所示，车桥耦合数值仿真时程分析时间步长为0.001 s，采用课题组自编的车桥振动程序进行响应求解，算例采用参数不同的两辆车在理想情况下(即不考虑路面粗糙度)过桥以获取2组对应的接触点响应数据。算例及有限元建模参数等选取与文献[12]一致，文献中已通过模型试验对桥例有限元模型及动力分析结果正确性进行了验证，由此也可用于证明文章中建立的桥例有限元模型及动力特性分析结果的正确性。

表 1 车

${v_{{\rm e}1}}$ 和

${v_{{\rm e}2}}$ 的参数

Table 1. Parameters of vehicle

${v_{{\rm e}1}}$ and

${v_{{\rm e}2}}$

车辆编号	质量/kg	刚度/(kN/m)	固有频率/Hz	速度/(m/s)
${v_{{\rm e}1}}$	2000	154	8.77	2
${v_{{\rm e}2}}$	4000	154	6.20	2

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为采用车体加速度估计的两车接触点响应，二者的残差将作为参数识别的输入信号。取车辆 ${v_{{\rm e}1}}$ 的车体加速度响应频谱，结果如图5所示。可见，车体加速度频谱受干扰程度大，较难辨别出各阶固有频率，而接触点响应残差频谱可辨识度良好，如图6(a)所示，更加适合用于参数识别，表明所采用的接触点响应残差估计方法具有较好的辨识度，可继续用于后续识别分析。

图 4 两车的接触点位移响应

Figure 4. Contact point response of two vehicle

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图 5 车

${v_{{\rm e}1}}$ 加速度响应频谱

Figure 5. Acceleration spectrum for vehicle

${v_{{\text{e}}1}}$

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此处及后文都将用所展示的模态识别分析方法和流程，识别桥梁的模态参数，首先对两车的接触点响应残差 ${U_{\rm c}}$ 做快速傅里叶变换，绘出其频谱如所示，通过识别谱峰得到桥梁的前三阶频率 ${\omega _{{\rm b}1}}$ 、 ${\omega _{{\rm b}2}}$ 、 ${\omega _{{\rm b}3}}$ 。

再分别利用 ${\omega _{{\rm b}1}}$ 、 ${\omega _{{\rm b}2}}$ 、 ${\omega _{{\rm b}3}}$ 作为目标频率设计3个带通滤波器，利用三个滤波器分别对 ${U_{\rm c}}$ 滤波得到三组信号，使用希尔伯特变换对这三组信号解调制绘制其包络线得到第一阶、第二阶、第三阶振型曲线如图6(b)所示。

基于接触点响应残差的频谱分析结果，可识别得到前3阶频率，且高阶频率有明显双尖峰现象，关于双峰现象的解释见1.2小节。对接触点响应残差信号使用带通滤波器及希尔伯特变换识别得到桥梁振型。模态识别结果如图6(b)所示，识别频率相对误差及提取振型MAC值见表2，频率识别值与理论值相对误差较小，振型识别仅在支点处存在微小误差，考虑总体上MAC值在0.99以上，表明该识别结果可满足实际动力测试工程精度要求。

图 6 不考虑路面粗糙度识别的桥梁模态参数

Figure 6. Extracted results without considering the road roughness

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表 2 识别桥梁频率与提取振型的MAC值

Table 2. Identified bridge frequencies and MAC value

振型阶数	理论频率/Hz	识别频率/Hz	相对误差/(%)	MAC值
1	4.16	4.10	−1.44	0.9999
2	16.71	16.80	0.54	0.9997
3	37.86	38.00	0.37	0.9997

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3.2.2 考虑不同路面粗糙度等级

为了研究路面粗糙度等级对桥梁模态参数提取效果的影响，在此组工况下，分别设置路面粗糙度为C、D级，并使用相同的测试车辆在4 m/s速度下行驶，车辆基本参数同表1。生成的C级与D级路面粗糙度如图7所示，桥梁模态振型提取结果如图8所示。

图 7 C级与D级路面粗糙度

Figure 7. Road roughness of class C and class D

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图 8 C级和D级路面粗糙度下识别的前三阶振型对比

Figure 8. Comparison of the first three mode modes identified under road roughness of class C and class D

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表3为识别的桥梁振型的MAC值，从计算结果可以看出，在C级或D级路面粗糙度的工况下，所提取出的桥梁振型无明显差异，MAC值均能达到0.99以上，与理论值高度吻合，这说明路面粗糙度等级对提取结果的准确性影响很小，本文所提出的方法能够有效剔除路面粗糙度的影响。

表 3 不同路面粗糙度下提取桥梁振型的MAC值

Table 3. MAC values under different road roughness

粗糙度等级	MAC值
粗糙度等级	一阶振型	二阶振型	三阶振型
C	0.9999	0.9997	0.9997
D	0.9999	0.9996	0.9996

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3.2.3 考虑车辆不同速度

在此组工况下，将路面粗糙度等级统一设置为C级，并分别设置几组不同的测试速度为2 m/s、5 m/s、8 m/s。车辆基本参数同表1。

当测试车辆速度以2 m/s的速度驶过简支梁时，最终识别结果如图9所示。图9(a)为接触点响应残差的频谱，图9(b)是识别的前三阶振型。

图 9 车速为2 m/s时的提取结果

Figure 9. Extracted results at vehicle speed of 2 m/s

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当测试车辆以速度5 m/s的速度驶过简支梁时，识别结果如图10所示。图10(a)为接触点响应残差的频谱，图10(b)是识别的前三阶振型。

当测试车辆以8 m/s的速度驶过简支梁时，最终的识别结果如图11所示。图11(a)为接触点响应残差的频谱，图11(b)是识别的前三阶振型。

图 10 车速为5 m/s时的提取结果

Figure 10. Extracted results at vehicle speed of 5 m/s

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图 11 车速为8 m/s时的提取结果

Figure 11. Extracted results at vehicle speed of 8 m/s

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不同车速下桥梁频率识别结果的相对误差和提取振型的MAC值分别如表4和表5所示。

表 4 不同车辆速度下识别的桥梁频率

Table 4. Identified frequencies under different vehicle speeds

车辆速度/ (m/s)	频率/Hz			相对误差/(%)
车辆速度/ (m/s)	一阶频率	二阶频率	三阶频率	一阶频率	二阶频率	三阶频率
2	4.10	16.80	38.00	−1.44	0.54	0.37
5	4.15	16.75	37.50	−0.24	0.24	−0.95
8	4.25	16.85	38.10	2.16	0.84	0.63

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表 5 不同车速时提取桥梁振型的MAC值

Table 5. MAC values under different vehicle speeds

车辆速度/(m/s)	MAC值
车辆速度/(m/s)	一阶振型	二阶振型	三阶振型
2	0.9999	0.9997	0.9997
5	0.9996	0.9991	0.9990
8	0.9977	0.9991	0.9982

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从三组不同车速下的模拟结果可以看出，当车速提高时，频谱中对应桥梁频率的幅值会发生变化，频谱变得更为粗糙，双尖峰现象更加明显，根据1.2小节分析这主要是车辆的行驶频率v/L增大导致的，但仍可通过峰值位置识别各阶频率，双尖峰所在处中点位置仍然对应桥梁各阶固有频率。识别的桥梁频率误差随着车速提高而略微有增大，这主要是由于车速增大后车辆所采集到的响应信号长度变短、包含的桥梁振动信息变少所致，但三组车速下提取出的桥梁振型依然准确，提取的各阶振型MAC值均在0.99以上，均满足实际动力测试工程精度要求。

3.2.4 测试车辆质量变化时的提取结果

此工况下设置两组不同质量的测试车辆如表6所示。该工况下仍然将路面粗糙度等级设置为C级，识别的结果如图12和图13所示。两测试组的桥梁频率识别结果的相对误差和提取振型的MAC值分别如表7和表8所示。

表 6 两组工况的车辆信息

Table 6. Vehicle information of two scenarios

车辆	质量/kg	刚度/(kN/m)	固有频率/(Hz)	测试速度/(m/s)
${v}_{{\rm e}1}$ (工况1)	4000	154	6.2	3
${v}_{{\rm e}2}$ (工况1)	2000	154	8.7	3
${v}_{{\rm e}3}$ (工况2)	1000	154	7.3	3
${v}_{{\rm e}4}$ (工况2)	500	154	10.4	3

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图 12 工况1的提取结果

Figure 12. Extracted results of Scenario 1

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图 13 工况2的提取结果

Figure 13. Extracted results of Scenario 2

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表 7 不同质量车辆的桥梁频率识别结果

Table 7. Identified frequencies with different vehicle mass

工况	频率/Hz			相对误差/(%)
工况	一阶频率	二阶频率	三阶频率	一阶频率	二阶频率	三阶频率
工况1	4.10	16.80	38.00	−1.44	0.54	0.37
工况2	4.10	16.75	37.95	−1.44	0.24	0.24

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表 8 不同质量车辆提取桥梁振型的MAC值

Table 8. MAC value with different vehicle mass

工况	MAC值
工况	一阶振型	二阶振型	三阶振型
工况1	0.9999	0.9997	0.9997
工况2	0.9999	0.9996	0.9993

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从两组工况的提取结果中可以看出，无论测试车辆质量大小，在频谱图中都能准确识别出桥梁的前几阶固有频率，且依据此提取出桥梁模态振型与理论值相吻合，各阶振型的MAC值均大于0.99，满足实际动力测试工程精度要求。

由此可见，本文所提出的方法对于测试车辆质量的适应性好，车辆质量对模态参数的识别结果影响较小。

3.2.5 连续梁工况

如图14所示，采用双等跨连续梁，其桥梁特性参数与简支梁模型参数相同，使用有限元程序计算出的前三阶频率分别为16.62 Hz、25.97 Hz、66.50 Hz。所用车辆模型参数、采样频率和梁单元划分也与3.2.1节设置一致，粗糙度等级设为C级，车辆以5 m/s的速度驶过此连续梁。

图 14 连续梁示意图

Figure 14. Schematic diagram of continuous beam

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连续梁工况下的识别结果如图15所示。

图 15 连续梁的提取结果

Figure 15. Extracted results of the continuous beam

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从连续梁工况的提取结果可以看出，本文所提出的方法对于连续梁桥也能识别出其固有频率与振型，对于不同桥型有良好的适应性。对于复杂桥型下该方法的验证，将在后续研究中做更深入和详细的探讨。

4 结论

本文提出了一种基于两车接触点响应残差的桥梁模态参数识别方法，创新性地同时使用两过桥车辆的接触点响应来除去路面粗糙度的影响进而提取桥梁模态信息。为了验证所提出方法的有效性和鲁棒性，采用数值算例对其进行验证和参数分析。结果表明，在较低速度下对桥梁模态信息识别的精准度很高，随着车辆速度增大，准确性有所降低，但仍然能够有效识别模态参数，充分说明该方法对测试车辆速度的适应性很好；此外，本文方法对测试车辆的质量不敏感，使用不同质量的测试车辆皆可得到准确的识别结果。基于双车接触点响应残差的桥梁模态参数识别方法，考虑不同路面不平顺度等级、不同车辆速度以及不同车辆质量条件下都具有良好的适用性和鲁棒性，各阶振型的MAC值均大于0.99，满足实际动力测试工程精度要求，可实现桥梁多阶模态较高精度的识别。本文目前采用数值算例验证了所提出方法的有效性，后续将进一步通过试验和实际复杂桥型和车型对该方法的有效性进行验证。

图 1 车-桥耦合振动系统

Figure 1. Vehicle-bridge coupling vibration system

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图 2 双车车-桥耦合振动系统

Figure 2. Vehicle-bridge coupling vibration system with two vehicles

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图 3 桥梁参数识别流程图

Figure 3. Flowchart of bridge information extraction

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图 4 两车的接触点位移响应

Figure 4. Contact point response of two vehicle

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车 ${v_{{\rm e}1}}$ 加速度响应频谱

Acceleration spectrum for vehicle ${v_{{\text{e}}1}}$

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图 6 不考虑路面粗糙度识别的桥梁模态参数

Figure 6. Extracted results without considering the road roughness

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图 7 C级与D级路面粗糙度

Figure 7. Road roughness of class C and class D

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图 8 C级和D级路面粗糙度下识别的前三阶振型对比

Figure 8. Comparison of the first three mode modes identified under road roughness of class C and class D

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图 9 车速为2 m/s时的提取结果

Figure 9. Extracted results at vehicle speed of 2 m/s

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图 10 车速为5 m/s时的提取结果

Figure 10. Extracted results at vehicle speed of 5 m/s

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图 11 车速为8 m/s时的提取结果

Figure 11. Extracted results at vehicle speed of 8 m/s

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图 12 工况1的提取结果

Figure 12. Extracted results of Scenario 1

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图 13 工况2的提取结果

Figure 13. Extracted results of Scenario 2

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图 14 连续梁示意图

Figure 14. Schematic diagram of continuous beam

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图 15 连续梁的提取结果

Figure 15. Extracted results of the continuous beam

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车 ${v_{{\rm e}1}}$ 和 ${v_{{\rm e}2}}$ 的参数

Parameters of vehicle ${v_{{\rm e}1}}$ and ${v_{{\rm e}2}}$

车辆编号	质量/kg	刚度/(kN/m)	固有频率/Hz	速度/(m/s)
${v_{{\rm e}1}}$	2000	154	8.77	2
${v_{{\rm e}2}}$	4000	154	6.20	2

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表 2 识别桥梁频率与提取振型的MAC值

Table 2 Identified bridge frequencies and MAC value

振型阶数	理论频率/Hz	识别频率/Hz	相对误差/(%)	MAC值
1	4.16	4.10	−1.44	0.9999
2	16.71	16.80	0.54	0.9997
3	37.86	38.00	0.37	0.9997

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表 3 不同路面粗糙度下提取桥梁振型的MAC值

Table 3 MAC values under different road roughness

粗糙度等级	MAC值
粗糙度等级	一阶振型	二阶振型	三阶振型
C	0.9999	0.9997	0.9997
D	0.9999	0.9996	0.9996

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表 4 不同车辆速度下识别的桥梁频率

Table 4 Identified frequencies under different vehicle speeds

车辆速度/ (m/s)	频率/Hz			相对误差/(%)
车辆速度/ (m/s)	一阶频率	二阶频率	三阶频率	一阶频率	二阶频率	三阶频率
2	4.10	16.80	38.00	−1.44	0.54	0.37
5	4.15	16.75	37.50	−0.24	0.24	−0.95
8	4.25	16.85	38.10	2.16	0.84	0.63

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表 5 不同车速时提取桥梁振型的MAC值

Table 5 MAC values under different vehicle speeds

车辆速度/(m/s)	MAC值
车辆速度/(m/s)	一阶振型	二阶振型	三阶振型
2	0.9999	0.9997	0.9997
5	0.9996	0.9991	0.9990
8	0.9977	0.9991	0.9982

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表 6 两组工况的车辆信息

Table 6 Vehicle information of two scenarios

车辆	质量/kg	刚度/(kN/m)	固有频率/(Hz)	测试速度/(m/s)
${v}_{{\rm e}1}$ (工况1)	4000	154	6.2	3
${v}_{{\rm e}2}$ (工况1)	2000	154	8.7	3
${v}_{{\rm e}3}$ (工况2)	1000	154	7.3	3
${v}_{{\rm e}4}$ (工况2)	500	154	10.4	3

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表 7 不同质量车辆的桥梁频率识别结果

Table 7 Identified frequencies with different vehicle mass

工况	频率/Hz			相对误差/(%)
工况	一阶频率	二阶频率	三阶频率	一阶频率	二阶频率	三阶频率
工况1	4.10	16.80	38.00	−1.44	0.54	0.37
工况2	4.10	16.75	37.95	−1.44	0.24	0.24

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表 8 不同质量车辆提取桥梁振型的MAC值

Table 8 MAC value with different vehicle mass

工况	MAC值
工况	一阶振型	二阶振型	三阶振型
工况1	0.9999	0.9997	0.9997
工况2	0.9999	0.9996	0.9993

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参考文献(27)

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1 理论背景
1.1 车-桥耦合振动理论基础
1.2 车辆的接触点响应
2 基于双车接触点响应残差的模态参数识别
3 数值算例验证
3.1 车桥耦合振动的有限元模型
3.2 桥梁模态信息提取
3.2.1 不考虑路面粗糙度时的提取结果
3.2.2 考虑不同路面粗糙度等级
3.2.3 考虑车辆不同速度
3.2.4 测试车辆质量变化时的提取结果
3.2.5 连续梁工况
4 结论

1 理论背景
1.1 车-桥耦合振动理论基础
1.2 车辆的接触点响应
2 基于双车接触点响应残差的模态参数识别
3 数值算例验证
3.1 车桥耦合振动的有限元模型
3.2 桥梁模态信息提取
3.2.1 不考虑路面粗糙度时的提取结果
3.2.2 考虑不同路面粗糙度等级
3.2.3 考虑车辆不同速度
3.2.4 测试车辆质量变化时的提取结果
3.2.5 连续梁工况
4 结论

参考文献(27)

施引文献

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基于双车接触点响应残差的桥梁模态参数识别方法研究

通讯作者: 杨 栋(1982−)，男，湖南人，副教授，博士，主要从事桥梁安全监测与评估研究(E-mail: yangd@gzhu.edu.cn)

计量

出版历程

BRIDGE MODAL PARAMETERS IDENTIFICATION BASED ON THE CONTACT POINT RESPONSE RESIDUES OF TWO VEHICLES

1 理论背景

1.1 车-桥耦合振动理论基础

1.2 车辆的接触点响应

2 基于双车接触点响应残差的模态参数识别

3 数值算例验证

3.1 车桥耦合振动的有限元模型

3.2 桥梁模态信息提取

3.2.1 不考虑路面粗糙度时的提取结果

3.2.2 考虑不同路面粗糙度等级

3.2.3 考虑车辆不同速度

3.2.4 测试车辆质量变化时的提取结果

3.2.5 连续梁工况

4 结论

计量

出版历程

目录

1 理论背景

1.1 车-桥耦合振动理论基础

1.2 车辆的接触点响应

2 基于双车接触点响应残差的模态参数识别

3 数值算例验证

3.1 车桥耦合振动的有限元模型

3.2 桥梁模态信息提取

3.2.1 不考虑路面粗糙度时的提取结果

3.2.2 考虑不同路面粗糙度等级

3.2.3 考虑车辆不同速度

3.2.4 测试车辆质量变化时的提取结果

3.2.5 连续梁工况

4 结论

通讯作者:
杨　栋(1982−)，男，湖南人，副教授，博士，主要从事桥梁安全监测与评估研究(E-mail: yangd@gzhu.edu.cn)