NUMERICAL STUDY ON OUT-OF-PLANE PUNCHING OF REINFORCED CONCRETE SLAB UPON LAYERED SHELL MODEL
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摘要:
分层壳模型是实现结构精细化高效模拟的强有力工具。然而，面外冲切效应是传统分层壳模型唯一无法模拟的受力状态。为了进一步对冲切的全受力过程进行研究，该文基于传统的分层壳单元，在已有试验的基础上对面外的非线性本构进行了定义，并根据冲切试验数据库标定了面外本构的参数，通过二次开发实现了冲切现象的模拟，分析了混凝土强度、抗冲切钢筋等对冲切破坏形态以及冲切承载力的影响规律，形成了可以模拟冲切效应的新型分层壳单元，并通过冲切数据库对考虑面外冲切效应的分层壳单元的模拟效果进行验证。
Abstract:The layered shell model is a potent tool for the precise and efficient simulation of structures. However, its out-of-plane punching effect remains the only loading condition that traditional layered shell models are incapable of simulating. To further investigate the complete force-bearing process of punching, this study, based on the traditional layered shell element, defines the nonlinear out-of-plane constitutive behavior on the basis of existing experimental data. The parameters of the out-of-plane constitutive behavior are calibrated according to a punching test database, enabling the simulation of punching phenomena through secondary development. The study analyzes the influence patterns of concrete strength and anti-punching reinforcements on the punching failure modes and punching bearing capacity, resulting in the formation of a novel layered shell element capable of simulating the out-of-plane punching effect. The simulation efficacy of the layered shell element considering the out-of-plane punching effect is validated through a punching database.
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钢筋混凝土板柱结构由于其结构形式简单、传力途径短捷、节约材料和降低工程成本等优越性，被广泛应用于水利、交通和工民建等建筑领域中[1 − 3]。但在集中或局部均布荷载与不平衡弯矩的共同作用下，荷载周围板内的混凝土处于典型的三维受力状态。一旦作用荷载超出材料的极限应力，板柱节点或荷载作用周围就会发生脆性冲切破坏。板的冲切破坏虽然只是一种局部破坏，但这种脆性破坏一旦发生容易引起连锁反应导致整体倒塌，造成巨大的经济损失。因此，板的冲切破坏已成为结构设计中着重考虑的问题[4 − 7]。
目前，学者对钢筋混凝土板的冲切破坏问题采用了试验研究、理论分析和数值模拟等方法进行研究，并提出了与实际破坏情况接近的理论模型以及相应的极限承载力计算方法[8 − 12]。当加入不同类型抗冲切钢筋之后，影响承载力的因素增加，板内的受力情况更加复杂，在此条件下冲切破坏机理的分析和极限承载力计算方法的给出更加困难，目前研究尚不充分。混凝土结构设计规范 (GB 50010−2010)[13]、美国规范(ACI318-14)[14]、欧洲规范(EN1992-1-1:2004)[15]和英国规范(BS 8110-97)[16]给出了配置抗冲切钢筋(箍筋和弯起钢筋)混凝土板的极限承载力计算方法，但大多计算公式为半理论半经验公式，且配置抗冲切钢筋混凝土板的计算公式与无抗冲切钢筋混凝土板的受冲切承载力计算公式还存在不连续等问题。
因此，为了进一步对冲切的全受力过程进行研究，本文在已有试验的基础上，通过子程序的编写实现了冲切现象的模拟，分析了混凝土强度、抗冲切钢筋等对冲切破坏形态以及极限承载力的影响规律。首先，本研究在基于分层壳模型单元的基础上，考虑面外非线性冲切效应，对通用有限元程序MARC的分层壳截面模型接口GENSTR进行了二次开发，实现了针对冲切板的高效准确且建模方便的分层壳单元。本文主要介绍单元的原理和实现过程。然后，根据大量试验研究成果，对国内外普通配筋的冲切板试验进行归纳总结，分析提炼了冲切板的关键特性，详细讨论了面外剪力与剪切变形关系，并通过冲切试验数据库对关键参数进行标定。最后，本文将所开发的单元应用于构件分析，对国内外不同设计参数的冲切板试件进行模拟，用以验证该模型的准确性。冲切板的剪切承载力和开裂后剪切刚度及极限曲线等关键参数的计算，无论对于本模型的精度还是对于工程设计均具有重要意义。本文基于国内外不同设计参数的冲切板试验数据对这些关键参数的计算公式进行了比较和验证，为冲切板的非线性分析中关键环节提供一种可靠高效的计算工具。
1 考虑冲切效应的分层壳本构开发
1.1 开发原理综述
本文在面内分层壳单元开发的基础上[17 − 19]，考虑面内应力分量与面外分量的综合作用，对工程中常见的板单元进行受力分析，具体如下：
壳单元的广义应变有8个分量，包括6个面内的分量和面外的两个剪切分量。d=[εx εy γxy φx φy φxy γxz γyz]T。各广义应变分量分别为x轴向应变，y轴向应变，xy方向的面内剪应变，x方向的曲率，y方向的曲率，面内剪切曲率，x平面(法方向x轴)的面外剪应变，y平面(法方向y轴)的面外剪应变。相对于广义应变，广义应力分量也有8个，即D=[Nx Ny Nxy Mx My Mxy Vxz Vyz]T。各广义应力分量分别为x方向的轴力，y方向的轴力，xy方向的剪力，x方向的弯矩，y方向的弯矩，面内的剪切弯矩，x平面(法方向x轴)的面外剪力，y平面(法方向y轴)的面外剪力。
利用分层壳单元的广义应变，分层壳的应变推导如式(1)所示，式中zi代表第i层距离中和面的z向距离。
{εix=εx+ziϕxεiy=εy+ziϕyγixy=γxy+ziϕxy (1) 分层需要满足对应材料的本构模型，代入第i层的应变可以计算该层的应力，叠加后得到壳的广义应力和分层应力的关系。对于每层的轴力，需要通过该层的应力乘以厚度得到；对于每层的弯矩，需要在该层的应力乘以厚度的基础上，再乘以到中和轴的距离。具体的广义应力与单层应力的关系推导如式(2)所示。
{Nx=∑σixtiNy=∑σiytiNxy=∑τixytiMx=∑σixtiziMy=∑σiytiziMxy=∑τixytiziVxz=GcγxzVyz=Gcγyz (2) 对于面内分量，将分层的应变代入面内的本构模型中，得到对应的应力值以及该层的切线刚度。对于面外的剪力与剪应变关系，采用宏观本构，直接得到面外剪力与面外剪应变的关系。在分析过程中，认为在z向剪应变一致且与平面内的应变互相独立，对面外的力学关系进行单独定义。
在MSC.MARC中，有面向对象的分层壳模型子程序GENSTR，可由用户自主实现分层过程的编写，材料本构的定义等过程，适用于面内弯曲、面内剪切、面外冲切等的分析。GENSTR子程序中关键分量的含义见表1。
表 1 GENSTR子程序参数变量表Table 1. Parameters of GENSTR变量名称 变量英文含义 变量含义 d generalized real stress strain law 切线刚度矩阵 etota total strain 整体应变 de increment of strain 整体应变增量 s stress 整体应力 t state variables 状态参量 dt increment of state variables 状态参量增量 ngens number of generalized stress 应力/应变分量数目 m user element number 用户定义单元数 nn integration point number 积分点数目 matus(1) user material number 用户定义材料数目 ht 板的厚度 在求解的过程中，关键在于得到分层的广义应力s与广义应变e之间的关系(即单元的广义本构关系)，通过MSC.MARC的子程序GENSTR接口进行计算。建模示意图如图1所示，选择75号单元，并采用UFORMS施加荷载。中部节点通过刚性杆位移加载，用户自定义约束UFORMS实现第i个自由度在j个节点中(B1到Bj)的均匀分配，并满足式(3)和式(4)中的位移协调方程。通过设置用户自定义约束，实现施加的外部压力荷载在加载区域节点之间的均匀分配，同时又可进行位移控制加载，可以模拟真实的冲切加载情况[17, 18]。
uAi=j∑m=1Si,i+6(m−1)uBmi=j∑m=1uBmi/j (3) {{\boldsymbol{S}}_{i,i}} = {{\boldsymbol{S}}_{i,i + 6}} = {{\boldsymbol{S}}_{i,i + 12}} = \cdots = {{\boldsymbol{S}}_{i,i + 6\left( {j - 1} \right)}} = 1/j (4) 此种建模方法可以考虑面内应力分量与面外分量的综合作用，从而对冲切效应进行模拟[20]。
MSC.MARC每次调用GENSTR函数时，传入单元广义应变etota以及单元广义应变增量de。通过子程序内部的计算以及本构的定义，传出切线刚度矩阵d以及广义应变s。进而通过MSC.MARC内部牛顿迭代法进行内力求解。GENSTR中各应力应变分量定义如表2所示。其中，第1~第3变量和第6~第8变量量为面内分量，第4和第5变量为面外分量。本文分层壳单元开发的关键便是对面内和面外应力-应变的本构关系分别进行定义。
表 2 GENSTR子程序应力应变对应关系表Table 2. Stress-strain correspondence of GENSTR变量序号 变形方向 etota(广义应变) s(广义应力) 1 x轴向 εx Nx 2 y轴向 εy Ny 3 面内剪切 γxy Nxy 4 x面外剪切 φx Mx 5 y面外剪切 φy My 6 x向弯曲 φxy Mxy 7 y向弯曲 γxz Vxz 8 x轴向 γyz Vyz 此外，如图2所示，在MSC.MARC中，二维壳单元分析有多处收敛准则需要进行设置，以保证较好的收敛性。此外，需要勾选矩阵的非正定计算以及每次迭代重新装配刚度矩阵。
1.2 面内剪切模型
对于冲切效应的研究，面外非线性是重点，混凝土板也发生以冲切为主的破坏。因此，为了收敛性考虑，面内主要考虑未开裂的混凝土本构。在混凝土未发生开裂时，由于泊松效应的存在，两个方向的主应变无法进行解耦处理，即固定裂缝模型尚无法进行应用。根据弹塑性力学理论，在考虑二维本构时利用损伤因子进行处理可以方便地体现双轴之间的关系，即损伤模型进行混凝土本构的定义。在主拉应变达到开裂应变前，若采用考虑泊松效应的双轴线弹性本构，需按照式(5)计算。
\left\{ \begin{aligned} & {\sigma _x^i = \frac{{E_{tk}'}}{{1 - {\mu ^2}}}( {\varepsilon _x^i + \mu \varepsilon _y^i} )} \\ & {\sigma _y^i = \frac{{E_{tk}'}}{{1 - {\mu ^2}}}( {\varepsilon _y^i + \mu \varepsilon _x^i} )} \\ & {\tau _{xy}^i = \frac{{E_{tk}'}}{{2( {1 + \mu } )}}\gamma _{xy}^i} \end{aligned}\right. (5) 式中：E_{tk}' 为第i层的弹性模量；μ为泊松比；\varepsilon _x^i 为第i层的x方向轴向应变；\varepsilon _y^i 为第i层的y方向轴向应变；\gamma _{xy}^i 为第i层的剪切应变；\sigma _x^i 为第i层的x方向轴向应力；\sigma _y^i 为第i层的y方向轴向应力；\tau _{x}^i 为第i层的剪切应力。
1.3 面外冲切模型
参考一维构件面外受剪参数标定方法[21, 22]，板单元面外冲切骨架曲线应该考虑在发生冲切破坏后刚度发生退化的情况，承载力也随之急剧下降。板单元在承受面外冲切集中荷载时受力分为以下几个阶段：开始时面外未发生冲切破坏，刚度即为初始的面外剪切模量，面外冲切剪力随剪应变的增大随着上升；在剪切应变达到开裂点后，承载力增加明显缓慢；当面外剪切应变达到峰值时，承载力下降，截面出现破坏。因此，需要在本构关系中标定开裂参数，极限参数等有关临界点。根据上述论述，面外本构定义为三折线格式，如图3所示。
骨架曲线中开裂应变，极限应变需根据试验数据标定。根据前文所述，冲切承载力、冲切刚度、极限剪应变等与混凝土材料参数、板的参数、加载区域的形状面积等多方面因素有关，从板的构造条件到外部的荷载特性都对冲切承载力有较大影响，因此在冲切参数计算时需要对以下几点进行考虑：
1)混凝土强度的影响。类似于梁的剪切破坏，冲切承载力计算时需要同时考虑混凝土受压强度与受拉强度的影响。
2)配筋率的影响。板的面外冲切与梁的抗剪类似，可据此推测板的冲切与钢筋的相关关系。这些影响因素主要包括：粗骨料之间的咬合作用、裂面混凝土的剪切应力等。相对于梁，与配筋率有关的是钢筋的抗剪效果。根据研究，在板中钢筋部分的贡献占最终承载力的20%~30%。
3)板的尺寸效应影响。在板的冲切效应中，尺寸效应为板的有效高度对冲切高度的影响。
4)加载区域的影响。在大量的地震破坏分析后，柱顶加设柱帽后可以有效地减少冲切破坏的发生。这正是体现了加载区域的周长对于冲切承载力的影响。一般而言，加载区域的周长越小，加载圈的单元承受的平均剪应力更大，更易发生冲切破坏。此外，加载区域不同会导致冲切面的不同。中心加载与偏心加载对结构的破坏情况相差较大，需在计算中重点考虑。
2 面外参数拟合
本文通过三折线模型进行板面外冲切模型的本构定义，需要标定板的面外冲切承载力、开裂荷载、初始刚度和开裂后的剪切刚度四个参数，从而确定三折线模型的具体形状。为了对四个重要参数进行拟合标定，本文建立了40个研究者共220组板受冲切破坏的试验数据库，其中159组试验包含加载点处的荷载-位移曲线。根据前文对冲切承载力影响参数的分析，对数据库中试件的参数进行整理，包括楼板的跨度尺寸、楼板的厚度、冲切荷载的加载方式和加载面的尺寸、边界条件、混凝土抗压强度指标、混凝土弹性模量、构件的配筋率和钢筋强度等。此外，对数据库中试件的荷载位移曲线进行提取用于本构模型的验证。对于有数据的试验曲线，可以直接对面外的荷载-位移曲线进行提取；对于只有曲线图的冲切数据，需要采用描点法对冲切数据进行标定。冲切数据库的建立方法如下：
首先，选取数据库中典型的试验数据进行拟合标定以确定三折线本构模型中的参数，参数的取值范围如下：正方形楼板跨度a=1000 mm~2350 mm，圆形楼板跨度d=725 mm~1775 mm；楼板的厚度h=90 mm~550 mm；加载面为正方形；加载面的边长b=50 mm~300 mm；边界条件对于正方形楼板为四周固定，对于圆形楼板为圆板周围的支撑点固定；混凝土的抗压强度f_{\mathrm{c}}' =20 MPa~80 MPa；混凝土弹性模量为2.7×104 MPa~5.5×104 MPa；为方便钢筋部分的计算，对于分层壳模型，构件的配筋率重新定义为整个横截面的钢筋面积与混凝土面积之比，配筋率ρ=0.49%~2.83%。上述典型试验数据包含了常见的工程中发生楼板冲切破坏的参数范围，试验的基本信息及具体的试件尺寸和加载方式等如附表所示，变形单位为mm，力为kN，应力为MPa，R代表圆形试件。表中包含了冲切板数据库中最重要的参数，为下文参数标定以及模型验算提供了重要的参考。各试验的基本情况说明如下。
1) Ozden试验[23]。Ozden在2006年报道了26组板的冲切破坏试验，试件为圆形试件，在试件的周围用12根拉杆进行支撑。试验中比较了普通和高强混凝土，钢筋配筋率，是否加入钢纤维，以及载荷的偏心加载对冲切试验结果的影响。试验结果表明，发生冲切破坏的临界失效裂缝总是位于距加载柱端部板的有效厚度的位置处。此外，混凝土的强度和配筋率对冲切有着关键性的作用。
2) Kevin试验[24]。Kevin在2000年报道了6组板的冲切破坏试验，试件为正方形试件，在试件四周用圆钢管进行支撑。板材的厚度为135 mm~ 550 mm，宽度为925 mm~1950 mm。根据试验结果，楼板的跨度和厚度对于楼板的冲切承载力有很大影响，同时，加载区域的大小也对冲切效应影响显著。此外，当楼板的厚度大于200 mm时会具有比较明显的尺寸效应。
3) Marzouk试验[25, 26]。Marzouk于1992年和1998年分别报道了17组和6组试验数据，均为正方形试件。通过对比混凝土强度，配筋率等影响因素，高强混凝土楼板的冲切破坏角在32~38度，在冲切破坏下的脆性更大，随着配筋率的增加，冲切承载力强度增加，但延性降低。
4)其他学者试验。除了上述学者的试验，本文在进行不同的参数拟合时，还会分别选择GHANNOUM等[27]、QIAN等[28]、HASSAN等[29]、KAKUTA等[30]、INÁCIO等[31]、MORENO等[32]、NARAYANAN等[33]、OLIVEIRA等[34]、BANTHIA等[35]、NGUYEN-MINH等[36]、STEFANO等[37]、JING等[38]学者的试验数据，建立一套完整的冲切试验数据库，用于冲切本构的参数标定，并对冲切板的数值模拟进行验证。
2.1 冲切承载力
板的冲切承载力是板的面外冲切三折线本构模型的重要参数。虽然针对板的冲切破坏提出了很多模型，但板的冲切承载力依然很难完全用理论公式进行推导，国内外学者针对大量的试验数据拟合了冲切承载力的计算公式。目前，冲切承载力的计算有5种比较主流的设计规范为美国规范ACI 318−2014[14]、中国规范GB 50010−2010[13]、英国规范BS 8110-97[16]、欧洲规范EN 1992-1-1[15]和德国规范DIN 1045-1:2008[39]。为了将混凝土面外冲切的本构关系代入到分层壳有限元模拟中，主要参数与各国规范给出的拟合参数有两个不同，一是采用截面高度而并非有效高度，二是配筋率采用整个横截面的钢筋面积与混凝土面积之比。对公式中的结果进行适当的调整，使用附表中冲切数据库的试验数据进行拟合。楼板厚度和临界截面周长μ的单位用mm，最大荷载用单位N，冲切承载力的计算公式拟合结果如式(6)所示。
{V_{\text{u}}} = 0.58\mu d\xi {\rho ^{1/3}}\sqrt {f_{\text{c}}'} (6) 式中：f_{\text{c}}' 为混凝土抗压强度；ρ为配筋率；ξ=(400/d)1/4≥1.0，d为板的高度；μ为临界截面周长，对正方形加载板μ=4(b+3d)，对于圆形加载板μ=4(c+3d)；b和c分别表示正方形加载面的边长和圆形加载面的直径。
利用试验数据库对发生冲切破坏的最大承载力的拟合公式进行验证，并将5个常用规范的计算结果与实际结果相比较。以试验得到的承载力为横坐标，以计算结果与实际结果之比为纵坐标，得到散点图如图4所示。结果表明：利用本文的拟合公式得到结果的平均值为0.991、英国规范公式平均值为0.989、德国规范公式平均值为0.984，且标准方差也相对较小，利用这三个公式四个比较不错的结果。拟合公式(6)可以作为计算板的冲切承载力的公式依据。
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图 4 冲切承载力规范公式对比图Figure 4. Comparison of punching bearing capacity obtained from various standard equations2.2 初始刚度
在板的面外计算中，另一个重要的参数是板的初始刚度，这也是三折线本构模型中初始阶段的关键参数。然而，部分收集到的试验数据缺少对该结果的测量。同时，受到试验中技术手段和观察上的限制，部分试验数据无法观测出明显的开裂前后试验构件刚度上的变化。图5(a)是SEVKET OZDEN[23]的NR1E0F0构件的面外加载曲线；图5(b)是H.MARZOUK[25]的NS2试验构件加载曲线。NR1E0F0构件的破坏曲线在达到最大冲切承载力之前具有明显的刚度变化情况，在加载达到开裂点后，构件的刚度明显变小。因此，在进行拟合时选择类似于NR1E0F0荷载-位移曲线的试验数据，具有明确的开裂点。虽然在拟合过程中并没有使用类似于NS2试件的没有明确刚度变化的荷载-位移曲线的试验数据，但有限元计算得到的荷载-位移曲线在初始刚度上会与试验结果略有不同，而整体的拟合情况仍然比较理想。使用附表中SEVKET OZDEN[23]和KEVIN[24]的试验数据，以及附表中的试验数据进行拟合。板的初始刚度主要受到混凝土的剪切模量和板的厚度影响，开裂之前钢筋参与受力可以忽略，因此，初始刚度与配筋率无关，拟合结果如式(7)所示。
{k_{{\text{ini}}}} = 1.2Gd (7) 式中，kini为板受冲切加载时的初始刚度；G是混凝土的剪切模量，d为板的高度。
对拟合效果进行判断，以试验刚度结果为横坐标，用拟合结果与试验结果之比为纵坐标绘制散点图，如图6所示，得到的结果符合预期。
2.3 开裂荷载
开裂荷载同样是三折线本构模型中的重要参数。在板加载到最大承载力的过程中，在开裂荷载的前后，板的刚度会发生明显的变化。为了得到开裂荷载的表达式，对附表中的数据进行拟合。通过数据分析，板的开裂荷载主要受到混凝土的强度和板的厚度影响。开裂荷载如式(8)所示。
{V_{{\text{cr}}}} = 0.1d\sqrt {f_{\text{c}}'} (8) 式中：f_{\text{c}}' 为混凝土圆柱体的强度；d为板的高度。
拟合曲线对比如图7(a)所示，以试验结果为横坐标，拟合结果与试验结果之比为纵坐标绘制散点图，如图7(b)所示，可以看出拟合效果与试验结果之间的误差较小，拟合较为理想。
2.4 开裂后剪切刚度
板开裂后的剪切刚度直接影响了板的变形能力。在实际工程中，板达到最大承载力时的变形更被关注，而板的变形能力又受到开裂后剪切刚度的直接控制。因此，在进行拟合过程中，尽量保证板达到最大承载力时的变形有足够的拟合精度。在三折线模型中，开裂后剪切刚度的计算式为kcr=(Vu−Vcr)/(δ−Vc/kini)，其中δ是板达到最大承载力时的变形。利用试验得到的开裂后剪切刚度结果进行kcr的拟合，得到的计算结果δ同时受到Vu、Vcr、kini的拟合精度的影响，可能存在较大的误差。在实际情况下，开裂荷载的大小和初始刚度的重要程度远不如构件的挠度变形。通过拟合开裂后剪切刚度以准确预估板达到最大承载力时的变形，并根据试验结果得到的最大承载力和变形与利用拟合结果得到的Vcr、kini进行修正计算得到kcr，这样就避免了开裂荷载与初始刚度拟合误差对参数δ结果的影响。开裂后剪切刚度如式(9)所示。
{k_{{\text{cr}}}} = \left( {{V_{\text{u}}} - V_{{\text{cr}}}'} \right)/\left( {\delta - V_{{\text{cr}}}'/k_{{\text{ini}}}'} \right) (9) 式中：V_{{\text{cr}}}' 、k_{{\text{ini}}}' 为修正的开裂荷载与初始刚度；Vu、δ为试验结果标定的最大承载力与对应变形。
二维构件本构曲线中的下降段在模拟过程中会导致模型极难收敛，并且实际工程中更多关注的是冲切极限承载力的值，对于后续破坏过程的精细计算需求较小。出于收敛性考虑，采用−0.001倍的初始刚度定义下降段斜率[21, 22]。
使用附表中的试验数据计算得到开裂后剪切刚度，并与初始刚度相比，结果与板厚度与跨度有关，而随着配筋率增加，最大承载力提高，同时变形一般会较小，因此，开裂后刚度与配筋率相关，配筋率越大，开裂后刚度越大，从而得到开裂后刚度与开裂前刚度之比的公式如式(10)所示。
\alpha = {k_{{\text{ini}}}}/{k_{{\text{cr}}}} = 1.5\left( {d{\text{/}}L + 5\rho } \right) - 0.12 (10) 式中：α为开裂后与开裂前刚度之比；d为板的厚度；L为板的跨度
拟合和试验结果散点图如图8所示，拟合结果成功模拟出了面外冲切开裂后的刚度变化。
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图 8 开裂后剪切刚度结果对比图Figure 8. Comparison of post-cracking shear stiffness fitting results2.5 面外三折线模型计算公式总结
根据本节中对于三折线模型关键参数的拟合分析，可以得到四个重要参数的计算公式，并可以以此为标准确定三折线本构模型曲线，并提取成截面剪力-剪应变骨架曲线。曲线中的各个参数的计算公式汇总如式(11)~式(15)所示。在工程实践中，可以通过以下这些公式对冲切各个阶段的力学性能和关键指标进行初步计算。
{V_{\text{u}}} = 0.58\mu d\xi {\rho ^{1/3}}\sqrt {f_{\text{c}}'} (11) {k_{{\text{ini}}}} = 1.2Gd (12) {V_{{\text{cr}}}} = 0.1d\sqrt {f_{\text{c}}'} (13) \alpha = {k_{{\text{ini}}}}{\text{/}}{k_{{\text{cr}}}} = 1.5\left( {d{\text{/}}L + 5\rho } \right) - 0.12 (14) {k_{{\text{deg}}}} = - 0.001{k_{{\text{ini}}}} (15) 3 冲切破坏板试验模拟
3.1 典型试验现象验证
为了验证本文提出的三折线模型及其在MARC中二次开发得到的冲切计算程序的准确性，选取典型的试验数据及破坏现象进行模拟。根据前文的流程，在MSC.MARC中建立相应的有限元模型，利用程序的二次开发功能，将面外的三折线模型作为板的面外本构。在有限元模型中，对分析的100荷载步进行提取，得到每一步的应力云图。以M.Rizk(2010)的试验HS2数据为例[40]，图9给出了分级荷载下横截面不同位置处的变形情况。冲切全过程的计算结果分为以下两阶段：
1)面内弯曲变形。在冲切现象发生前，板的变形主要为弯曲变形，如试验结果图10中的200 kN、400 kN等级时的荷载情况，此时在冲切作用下集中位移的情况并不明显，整体变形剖面图基本与一维梁单元弯曲变形类似。由于面内采用的混凝土本构模型，弯曲变形时有可能会产生受拉斜裂缝，但未发生破坏。
2)面外冲切变形。当荷载加载到一定值时，中心集中荷载区域周边单元面外剪应变急剧增大，其他单元承荷水平基本不再增加，甚至出现卸载现象。最终，加载区域周边单元出现冲切破坏，结构发生失效，如图11所示。从试验结果图中可以看出，当荷载加载到600 kN处时，周围区域的变形便基本不再增加，而中心位置处的变形仍然不断变大，并最终形成比较明显的冲切锥破坏。中心区域的集中变形表明板发生了冲切破坏，且发生巨大位移变形的部分主要是加载点周围的单元。根据能量传递原理，破坏会发生在荷载的最近单位，数值模拟的结果正反映了这一现象。比较试验和数值模拟的结果，可以发现二者现象一致，程序计算很好地反映了冲切破坏的特点，即中间加载区域的局部破坏。在冲切承载力方面，根据试验数据模拟的结果进行计算，亦模拟良好。
以M.Rizk的试验HS4数据为例[40]，试验结果与模拟结果的对比如图12所示。板单元的面外刚度和强度分为三个阶段：
1)强度上升段。此阶段荷载随加载位移的增大而增大，板单元在面外的刚度基本保持不变。此时在应力-应变关系曲线中对应的为三折线的第一段，刚度为初始剪切刚度，并未发生折减。此时面外冲切变形较少，弯曲变形占一定比例。
2)强度上升，刚度折减段。此阶段荷载仍随加载位移的增大而增大，但板单元的面外刚度出现折减。加载区域周围的单元变形增大较为明显，其他部分变形并未出现刚度折减，因而中间出现了局部的位移突变。此时在应力-应变关系曲线中对应的为三折线的第二段，刚度出现了一定程度的折减，但仍然为正。此时面外冲切变形已经较为明显。
3)强度下降，刚度下降段。此阶段荷载随加载位移的增大出现了下降，即中部区域因为冲切变形过大而产生卸载，分担的荷载明显减小。其他部分继续出现回弹现象，板已经出现了局部的冲切破坏。此时在三折线中对应为第三段，即为负刚度段。冲切破坏现象已经发生，结构局部失效。
试验结果与数值模拟结果分析一致，三阶段的加载历程正是体现了冲切作用下中部区域的变形特点。对于冲切承载力，目前根据计算公式进行确定，尚无法得到较为精确的值。在后续开发中将针对承载力和面外冲切刚度进行分析，对冲切破坏的承载力和极限位移具体值进行较为准确的预测。
3.2 冲切数据库模拟
为了进一步验证本文冲切模型的准确性，选择冲切试验数据库中带星号的试验对应的曲线进行效果验证[41 − 45]，比较加载点处的荷载-位移曲线，说明本文的分层壳单元模拟效果的准确性。由于大部分的冲切破坏过程的脆性都比较强，因此，只针对荷载-位移曲线的上升段进行比较。用于对比的冲切数据库中的冲切板参数基本涵盖了工程中常见的钢筋混凝土板的参数范围。其中，最重要的参数便是板的尺寸和混凝土材料的性质，这些在数据库中都得到了很好的考虑。此外，数据库中的冲切板数据也考虑了配筋率等参数对冲切效应的影响。通过对比冲切数据库中的试验曲线，验证本文开发的考虑面外效应的分层壳单元的模拟效果。
试验与有限元模拟对应的对比结果如图13所示，从模拟结果与试验结果的荷载-位移曲线比较可以看出，基于分层壳单元的三折线冲切本构模型可以很好的模拟板受冲切破坏的过程，对初始刚度，峰值承载力等关键指标都做到了准确的计算。部分冲切板数值模拟的结果与试验结果存在一定的误差，这是由于试验的混凝土特性等存在一定的误差，在实际加载过程中的强度与试验样本测得的强度相差较大。此外，试验条件(如支座约束情况)可能达不到数值模拟中的条件。这些都对初始刚度、峰值荷载等冲切指标都有较大的影响。此外，部分试验受弯承载力设计的较弱，因此在达到冲切承载力时，由于冲切破坏使得整体强度会急剧下降，这是试验曲线中出现平段或下降段的原因。在数值模拟中，由于面外冲切三折线本构的最后一部分斜率绝对值较小，加上面内损伤力学计算弯曲承载力时不会因为冲切破坏而折减过多，因此数值模拟的冲切曲线不会存在急剧的下降段。
4 结论
冲切问题在有限元程序中一直是难以模拟的问题，之前相关本构子程序只能对板的面内力学行为进行模拟，无法计算面外的力学行为。本论文基于分层壳单元针对目前工程中存在较多的面外冲切问题进行了有限元二次开发，利用MSC.MARC的GENSTR函数对冲切问题进行模拟，将之前停留在二维材料本构层面的子程序上升了一个维度，具有更好的普适性。本论文的主要结论如下：
(1)提出了适用于板的面外分析的三折线模型，对混凝土的面外力学行为进行了模拟。根据分析的结果，程序可以成功地模拟出混凝土板面外从弯曲变形到冲切破坏的全过程，冲切荷载的局部效应也在最终的变形云图中得到了验证；
(2)通过国内外多组冲切试验数据的分析，对当前已有的混凝土冲切承载力公式进行了比较，得到了较为精确的冲切承载力计算公式，并以此定义了三折线模型的各个关键参数，包括开裂应变、极限应变、极限承载力等；
(3)为进一步验证本文开发的冲切计算模型的准确性，选择冲切数据库的试验数据，提取加载点处的荷载-位移曲线与试验结果进行比较。从模拟结果与试验结果的荷载-位移曲线比较可以看出，基于分层壳单元的三折线冲切本构模型可以很好的模拟板受冲切破坏的过程。
附录
1 冲切试验数据库资料来源 板边长 跨度 厚度 ’混凝土强度 配筋率 钢筋屈服强度 加载边长 最大荷载 变形 开裂荷载 开裂前变形 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 21.6 0.91% 507.0 200 188 6.35 49 0.25 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 20.0 1.36% 507.0 200 202 5.5 71 0.6 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 74.0 1.87% 507.0 200 331 5.75 107 0.47 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 75.0 1.87% 507.0 200 371 5.43 136 0.64 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 63.7 2.83% 507.0 200 405 3.82 120 − Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 74.7 2.83% 507.0 200 489 6.42 126 0.58 Kevin Ka Loo Li[24] 925 725 135 39.4 0.88% 460.0 200 330 2.64 64 − Kevin Ka Loo Li[24] 1190 990 190 39.4 0.80% 460.0 200 583 3.75 154 0.19 Kevin Ka Loo Li[24] 1450 1250 240 39.4 0.80% 460.0 200 904 4.23 236 0.28 Kevin Ka Loo Li[24] 1975 1775 345 39.4 0.75% 460.0 200 1381 4.34 442 0.4 Kevin Ka Loo Li[24] 1975 1775 450 39.4 0.74% 460.0 300 2224 2.87 270 − Kevin Ka Loo Li[24] 1975 1775 550 39.4 0.78% 460.0 300 2681 2.79 360 0.09 H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 34.7 1.74% 490.0 150 320 14.6 45 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 67.0 0.49% 490.0 150 178 25.5 45 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 70.0 0.84% 490.0 150 249 17.6 54 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 74.0 1.19% 490.0 150 356 17 54 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 69.0 1.47% 490.0 150 356 13.1 63 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 66.0 2.37% 490.0 150 418 14.7 − − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 30.0 0.94% 490.0 150 396 13.1 54 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 68.0 0.64% 490.0 150 365 16.9 − − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 70.0 0.94% 490.0 150 489 14.9 63 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 69.0 1.11% 490.0 150 436 13.1 63 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 74.0 1.61% 490.0 150 543 10.8 63 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 80.0 2.33% 490.0 150 645 9.9 80 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 90 70.0 0.95% 490.0 150 196 27 − − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 90 75.0 1.52% 490.0 150 258 26.3 45 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 90 68.0 2.00% 490.0 150 267 16.2 45 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 72.0 1.47% 490.0 220 498 17.8 54 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 71.0 1.47% 490.0 300 560 20.8 − − H.Marzouk[25, 26] 1900 1870 150 67.2 0.0096 490.0 250 511.52 H.Marzouk[25, 26] 1900 1870 150 32.2 0.0096 490.0 250 475.5 Kai Qian[28] 2200 1800 150 36.3 0.0092 420.0 200 376 Kai Qian[28] 2200 1800 125 37.6 0.011 420.0 200 274 Mohamed Hassan[29] 2400 2000 200 45.4 0.0107 470.0 300 688 Mohamed Hassan[29] 2400 2000 350 38.6 0.0064 470.0 300 1692 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 35.8 0.98% 384.6 50 140.2 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 39.0 0.98% 384.6 50 130.2 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.5 0.98% 384.6 100 200.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 36.6 0.98% 384.6 100 160.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 38.3 0.98% 419.9 100 170.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.2 0.98% 384.6 150 200.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 35.3 0.98% 384.6 150 220.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.7 0.98% 384.6 200 240.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 31.4 0.98% 384.6 200 235.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 31.7 0.39% 384.6 100 117.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 34.1 0.39% 384.6 100 131.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 35.0 1.31% 384.6 100 210.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.7 1.31% 384.6 100 200.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 34.0 1.57% 384.6 100 222.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 34.1 1.57% 384.6 100 220.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 35.5 0.88% 347.3 100 170.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.9 0.88% 347.3 100 190.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 30.5 0.75% 384.6 100 168.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 31.3 0.75% 384.6 100 160.3 Yoshio Kakuta[30] 650 650 100 31.6 1.96% 384.6 100 238.3 Yoshio Kakuta[30] 650 650 100 33.7 1.96% 384.6 100 212.3 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 100 31.8 0.98% 384.6 100 189.4 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 100 32.0 0.98% 384.6 100 192.4 Yoshio Kakuta[30] 2200 2200 100 37.8 0.98% 384.6 100 160.4 Yoshio Kakuta[30] 2200 2200 100 34.6 0.98% 384.6 100 150.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 150 31.6 1.05% 384.6 100 300.6 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 150 33.9 1.05% 384.6 100 291.6 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 200 32.8 1.12% 384.6 100 500.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 200 32.0 1.12% 384.6 100 520.3 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 45.5 0.79% 343.4 300 660 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 48.3 0.79% 343.4 300 660 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 39.5 1.01% 473.8 300 750 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 45.1 1.01% 473.8 200 750 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 45.1 0.95% 473.8 200 635 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 51.4 0.95% 473.8 200 600 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 42.8 2.68% 473.8 200 400 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 47.6 2.68% 473.8 200 660 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 45.0 1.68% 343.4 300 540 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 45.6 1.68% 343.4 300 710 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 47.0 0.89% 343.4 300 600 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 52.0 0.89% 343.4 300 600 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 15.1 0.87% 343.4 100 190 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 19.4 0.87% 343.4 100 190 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 24.3 0.87% 343.4 100 240 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 49.5 0.87% 343.4 100 312 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 48.3 0.87% 343.4 100 341 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 29.1 0.98% 343.4 100 174 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 27.8 0.98% 343.4 100 165 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.2 0.98% 343.4 100 177 Yoshio Kakuta[30] 700 1200 100 29.3 0.98% 343.4 100 162 Yoshio Kakuta[30] 700 1200 100 29.0 0.98% 343.4 100 160 Yoshio Kakuta[30] 950 1200 100 33.1 0.98% 343.4 100 170 Yoshio Kakuta[30] 950 1200 100 27.9 0.98% 343.4 100 158 Ghannoum[27] 2300 2000 150 37.2 1.07% 380.0 225 56 0.67 Ghannoum[27] 2300 2000 150 57.1 1.07% 380.0 225 80 0.65 Ghannoum[27] 2300 2000 150 67.1 1.07% 380.0 225 89 0.79 Inácio[31] 1650 1530 125 125.6 0.99% 532.3 200 298 Inácio[31] 1650 1530 125 130.1 1.13% 532.3 200 271 Inácio[31] 1650 1530 125 129.6 1.35% 532.3 200 243 Inácio[31] 1650 1530 125 35.9 1.13% 532.3 200 159 R. Narayanan[33] 780 740 60 41.1 1.38% 550.0 100 84.6 R. Narayanan[33] 780 740 60 49.5 1.38% 550.0 100 91.7 R. Narayanan[33] 780 740 60 42.5 1.38% 550.0 100 100 R. Narayanan[33] 780 740 60 43.7 1.38% 550.0 100 95.8 R. Narayanan[33] 780 740 60 50.3 1.38% 550.0 100 113 R. Narayanan[33] 780 740 60 50.4 1.38% 550.0 100 121 R. Narayanan[33] 780 740 60 44.6 1.38% 550.0 100 91.3 R. Narayanan[33] 780 740 60 43.0 1.38% 550.0 100 110 R. Narayanan[33] 780 740 60 41.3 1.38% 550.0 100 110 R. Narayanan[33] 780 740 60 45.2 1.38% 550.0 100 112 R. Narayanan[33] 780 740 60 28.3 1.38% 550.0 100 83.4 R. Narayanan[33] 780 740 60 30.8 1.38% 550.0 100 81.8 D. R. C. Oliveira[34] 2280 2100 130 57.0 0.95% 749.0 120 204 D. R. C. Oliveira[34] 2280 2100 130 57.0 0.95% 750.0 120/60 283 D. R. C. Oliveira[34] 2280 2100 130 57.0 0.95% 751.0 120/360 320 N. Banthia[35] 600 500 75 41.0 0.27% 1200(FRP) R100 64.8 N. Banthia[35] 600 500 75 41.5 0.27% 1200(FRP) R100 61.3 N. Banthia[35] 600 500 75 52.9 0.27% 1200(FRP) R100 72.1 L Nguyen-Minh[36] 1050 900 125 21.7 0.66% 492.0 150 285 L Nguyen-Minh[36] 1050 1200 125 21.7 0.66% 492.0 150 276 L Nguyen-Minh[36] 1050 1500 125 21.7 0.66% 492.0 150 264 Stefano[37] 3000 3000 250 27.6 1.26% 573.0 260 224 Stefano[37] 3000 3000 250 40.5 0.21% 552.0 260 419 Stefano[37] 3000 3000 250 32.2 0.21% 541.0 260 408 Stefano[37] 3000 3000 250 29.3 0.27% 555.0 260 542 Stefano[37] 3000 3000 250 28.5 0.27% 577.0 260 561 Stefano[37] 3000 5700 500 32.4 0.30% 520.0 520 236 Stefano[37] 3000 1504 125 34.7 1.12% 550.0 130 440 Stefano[37] 3000 1504 125 34.7 0.60% 550.0 130 272 Stefano[37] 1500 1504 130 34.7 0.25% 525.0 130 137 Stefano[37] 150 1504 130 34.7 0.20% 525.0 130 109 DFW Jing[38] 450 400 120 21.3 4.66% 460.0 40 253 DFW Jing[38] 450 400 120 22.7 4.66% 460.0 40 269 DFW Jing[38] 450 400 120 23.1 4.66% 460.0 40 194 DFW Jing[38] 450 400 120 23.6 304.66% 460.0 40 202 *张元伟[42] 1400 1200 120 27.3 1.28% 371.0 250 356 *张元伟[42] 1400 1200 150 24.0 1.03% 371.0 250 470 *张元伟[42] 1400 1200 180 29.4 0.86% 371.0 250 646 *张元伟[42] 1400 1200 120 26.6 1.28% 371.0 250 360 *张元伟[42] 1400 1200 120 33.5 0.94% 371.0 250 357 *张元伟[42] 1400 1200 120 35.8 0.65% 371.0 250 293 *洪枫[41] 2550 2350 180 28.4 1.43% 453.6 250 690 *洪枫[41] 2550 2350 180 39.2 1.43% 453.6 250 805 *洪枫[41] 2550 2350 180 53.2 0.71% 453.6 250 610 *洪枫[41] 2550 2350 180 55.0 1.07% 453.6 250 785 *洪枫[41] 2550 2350 180 56.1 1.43% 453.6 250 860 *M.Rizk[39] 1900 1830 150 42.8 0.48% 400.0 250 219 *M.Rizk[39] 1900 1830 200 42.8 0.54% 400.0 250 491 *M.Rizk[39] 1900 1830 250 33.3 0.35% 400.0 250 438 *M.Rizk[39] 1900 1830 250 66.5 0.35% 400.0 250 574 *M.Rizk[39] 1900 1830 300 38.0 0.73% 400.0 250 882 *M.Rizk[39] 1900 1830 300 42.8 0.73% 400.0 250 1023 *M.Rizk[39] 1900 1830 300 71.3 0.43% 400.0 250 886 *M.Rizk[39] 2650 2505 350 72.2 0.56% 400.0 400 1722 *M.Rizk[39] 2650 2505 350 66.5 1.42% 400.0 400 2090 *M.Rizk[39] 2650 2505 400 38.0 1.58% 400.0 400 2234 *M.Rizk[39] 2650 2505 400 57.0 1.58% 400.0 400 2513 *M.Osman[43] 1900 1830 150 76.1 0.50% 435.0 250 304 *M.Osman[43] 1900 1830 150 73.4 1.00% 435.0 250 474 *M.Osman[43] 1900 1830 150 75.5 1.50% 435.0 250 539 *M.Osman[43] 1900 1830 150 74.0 2.00% 435.0 250 613 *M.Osman[43] 1900 1830 150 36.2 1.00% 435.0 250 432 *M.Osman[43] 1900 1830 150 37.8 0.50% 435.0 250 310 *Ibrahim[44] 1100 900 100 23.9 0.90% 400.0 140 138 *Ibrahim[44] 1100 900 100 23.9 1.36% 400.0 140 145 *Ibrahim[44] 1100 900 150 23.9 0.77% 400.0 140 237 *Ibrahim[44] 1100 900 150 23.9 1.60% 400.0 140 288 *Ibrahim[44] 1100 900 100 53.3 0.90% 400.0 140 196 *Ibrahim[44] 1100 900 100 53.3 1.36% 400.0 140 258 *Ibrahim[44] 1100 900 150 53.3 0.77% 400.0 140 388 *Ibrahim[44] 1100 900 150 53.3 1.60% 400.0 140 410 *Khaled[45] 1100 1030 100 22.8 0.55% 400.0 125 219 *Khaled[45] 1100 1030 100 48.6 0.55% 400.0 125 270 *Khaled[45] 1100 1030 100 62.3 0.55% 400.0 125 263 注：表中带星号的试验对应的曲线用于数值模拟效果验证。 -
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图 4 冲切承载力规范公式对比图
Figure 4. Comparison of punching bearing capacity obtained from various standard equations
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图 8 开裂后剪切刚度结果对比图
Figure 8. Comparison of post-cracking shear stiffness fitting results
表 1 GENSTR子程序参数变量表
Table 1 Parameters of GENSTR
变量名称 变量英文含义 变量含义 d generalized real stress strain law 切线刚度矩阵 etota total strain 整体应变 de increment of strain 整体应变增量 s stress 整体应力 t state variables 状态参量 dt increment of state variables 状态参量增量 ngens number of generalized stress 应力/应变分量数目 m user element number 用户定义单元数 nn integration point number 积分点数目 matus(1) user material number 用户定义材料数目 ht 板的厚度 
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表 2 GENSTR子程序应力应变对应关系表
Table 2 Stress-strain correspondence of GENSTR
变量序号 变形方向 etota(广义应变) s(广义应力) 1 x轴向 εx Nx 2 y轴向 εy Ny 3 面内剪切 γxy Nxy 4 x面外剪切 φx Mx 5 y面外剪切 φy My 6 x向弯曲 φxy Mxy 7 y向弯曲 γxz Vxz 8 x轴向 γyz Vyz
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1 冲切试验数据库
资料来源 板边长 跨度 厚度 ’混凝土强度 配筋率 钢筋屈服强度 加载边长 最大荷载 变形 开裂荷载 开裂前变形 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 21.6 0.91% 507.0 200 188 6.35 49 0.25 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 20.0 1.36% 507.0 200 202 5.5 71 0.6 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 74.0 1.87% 507.0 200 331 5.75 107 0.47 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 75.0 1.87% 507.0 200 371 5.43 136 0.64 Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 63.7 2.83% 507.0 200 405 3.82 120 − Sevket Ozden[23] R1500 1200 120 74.7 2.83% 507.0 200 489 6.42 126 0.58 Kevin Ka Loo Li[24] 925 725 135 39.4 0.88% 460.0 200 330 2.64 64 − Kevin Ka Loo Li[24] 1190 990 190 39.4 0.80% 460.0 200 583 3.75 154 0.19 Kevin Ka Loo Li[24] 1450 1250 240 39.4 0.80% 460.0 200 904 4.23 236 0.28 Kevin Ka Loo Li[24] 1975 1775 345 39.4 0.75% 460.0 200 1381 4.34 442 0.4 Kevin Ka Loo Li[24] 1975 1775 450 39.4 0.74% 460.0 300 2224 2.87 270 − Kevin Ka Loo Li[24] 1975 1775 550 39.4 0.78% 460.0 300 2681 2.79 360 0.09 H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 34.7 1.74% 490.0 150 320 14.6 45 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 67.0 0.49% 490.0 150 178 25.5 45 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 70.0 0.84% 490.0 150 249 17.6 54 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 74.0 1.19% 490.0 150 356 17 54 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 69.0 1.47% 490.0 150 356 13.1 63 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 66.0 2.37% 490.0 150 418 14.7 − − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 30.0 0.94% 490.0 150 396 13.1 54 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 68.0 0.64% 490.0 150 365 16.9 − − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 70.0 0.94% 490.0 150 489 14.9 63 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 69.0 1.11% 490.0 150 436 13.1 63 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 74.0 1.61% 490.0 150 543 10.8 63 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 150 80.0 2.33% 490.0 150 645 9.9 80 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 90 70.0 0.95% 490.0 150 196 27 − − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 90 75.0 1.52% 490.0 150 258 26.3 45 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 90 68.0 2.00% 490.0 150 267 16.2 45 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 72.0 1.47% 490.0 220 498 17.8 54 − H.Marzouk[25, 26] 1700 1500 120 71.0 1.47% 490.0 300 560 20.8 − − H.Marzouk[25, 26] 1900 1870 150 67.2 0.0096 490.0 250 511.52 H.Marzouk[25, 26] 1900 1870 150 32.2 0.0096 490.0 250 475.5 Kai Qian[28] 2200 1800 150 36.3 0.0092 420.0 200 376 Kai Qian[28] 2200 1800 125 37.6 0.011 420.0 200 274 Mohamed Hassan[29] 2400 2000 200 45.4 0.0107 470.0 300 688 Mohamed Hassan[29] 2400 2000 350 38.6 0.0064 470.0 300 1692 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 35.8 0.98% 384.6 50 140.2 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 39.0 0.98% 384.6 50 130.2 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.5 0.98% 384.6 100 200.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 36.6 0.98% 384.6 100 160.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 38.3 0.98% 419.9 100 170.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.2 0.98% 384.6 150 200.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 35.3 0.98% 384.6 150 220.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.7 0.98% 384.6 200 240.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 31.4 0.98% 384.6 200 235.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 31.7 0.39% 384.6 100 117.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 34.1 0.39% 384.6 100 131.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 35.0 1.31% 384.6 100 210.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.7 1.31% 384.6 100 200.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 34.0 1.57% 384.6 100 222.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 34.1 1.57% 384.6 100 220.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 35.5 0.88% 347.3 100 170.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.9 0.88% 347.3 100 190.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 30.5 0.75% 384.6 100 168.8 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 31.3 0.75% 384.6 100 160.3 Yoshio Kakuta[30] 650 650 100 31.6 1.96% 384.6 100 238.3 Yoshio Kakuta[30] 650 650 100 33.7 1.96% 384.6 100 212.3 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 100 31.8 0.98% 384.6 100 189.4 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 100 32.0 0.98% 384.6 100 192.4 Yoshio Kakuta[30] 2200 2200 100 37.8 0.98% 384.6 100 160.4 Yoshio Kakuta[30] 2200 2200 100 34.6 0.98% 384.6 100 150.4 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 150 31.6 1.05% 384.6 100 300.6 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 150 33.9 1.05% 384.6 100 291.6 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 200 32.8 1.12% 384.6 100 500.3 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 200 32.0 1.12% 384.6 100 520.3 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 45.5 0.79% 343.4 300 660 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 48.3 0.79% 343.4 300 660 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 39.5 1.01% 473.8 300 750 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 45.1 1.01% 473.8 200 750 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 45.1 0.95% 473.8 200 635 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 200 51.4 0.95% 473.8 200 600 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 42.8 2.68% 473.8 200 400 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 47.6 2.68% 473.8 200 660 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 45.0 1.68% 343.4 300 540 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 45.6 1.68% 343.4 300 710 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 47.0 0.89% 343.4 300 600 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 52.0 0.89% 343.4 300 600 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 15.1 0.87% 343.4 100 190 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 19.4 0.87% 343.4 100 190 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 24.3 0.87% 343.4 100 240 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 49.5 0.87% 343.4 100 312 Yoshio Kakuta[30] 1650 1650 150 48.3 0.87% 343.4 100 341 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 29.1 0.98% 343.4 100 174 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 27.8 0.98% 343.4 100 165 Yoshio Kakuta[30] 1150 1150 100 33.2 0.98% 343.4 100 177 Yoshio Kakuta[30] 700 1200 100 29.3 0.98% 343.4 100 162 Yoshio Kakuta[30] 700 1200 100 29.0 0.98% 343.4 100 160 Yoshio Kakuta[30] 950 1200 100 33.1 0.98% 343.4 100 170 Yoshio Kakuta[30] 950 1200 100 27.9 0.98% 343.4 100 158 Ghannoum[27] 2300 2000 150 37.2 1.07% 380.0 225 56 0.67 Ghannoum[27] 2300 2000 150 57.1 1.07% 380.0 225 80 0.65 Ghannoum[27] 2300 2000 150 67.1 1.07% 380.0 225 89 0.79 Inácio[31] 1650 1530 125 125.6 0.99% 532.3 200 298 Inácio[31] 1650 1530 125 130.1 1.13% 532.3 200 271 Inácio[31] 1650 1530 125 129.6 1.35% 532.3 200 243 Inácio[31] 1650 1530 125 35.9 1.13% 532.3 200 159 R. Narayanan[33] 780 740 60 41.1 1.38% 550.0 100 84.6 R. Narayanan[33] 780 740 60 49.5 1.38% 550.0 100 91.7 R. Narayanan[33] 780 740 60 42.5 1.38% 550.0 100 100 R. Narayanan[33] 780 740 60 43.7 1.38% 550.0 100 95.8 R. Narayanan[33] 780 740 60 50.3 1.38% 550.0 100 113 R. Narayanan[33] 780 740 60 50.4 1.38% 550.0 100 121 R. Narayanan[33] 780 740 60 44.6 1.38% 550.0 100 91.3 R. Narayanan[33] 780 740 60 43.0 1.38% 550.0 100 110 R. Narayanan[33] 780 740 60 41.3 1.38% 550.0 100 110 R. Narayanan[33] 780 740 60 45.2 1.38% 550.0 100 112 R. Narayanan[33] 780 740 60 28.3 1.38% 550.0 100 83.4 R. Narayanan[33] 780 740 60 30.8 1.38% 550.0 100 81.8 D. R. C. Oliveira[34] 2280 2100 130 57.0 0.95% 749.0 120 204 D. R. C. Oliveira[34] 2280 2100 130 57.0 0.95% 750.0 120/60 283 D. R. C. Oliveira[34] 2280 2100 130 57.0 0.95% 751.0 120/360 320 N. Banthia[35] 600 500 75 41.0 0.27% 1200(FRP) R100 64.8 N. Banthia[35] 600 500 75 41.5 0.27% 1200(FRP) R100 61.3 N. Banthia[35] 600 500 75 52.9 0.27% 1200(FRP) R100 72.1 L Nguyen-Minh[36] 1050 900 125 21.7 0.66% 492.0 150 285 L Nguyen-Minh[36] 1050 1200 125 21.7 0.66% 492.0 150 276 L Nguyen-Minh[36] 1050 1500 125 21.7 0.66% 492.0 150 264 Stefano[37] 3000 3000 250 27.6 1.26% 573.0 260 224 Stefano[37] 3000 3000 250 40.5 0.21% 552.0 260 419 Stefano[37] 3000 3000 250 32.2 0.21% 541.0 260 408 Stefano[37] 3000 3000 250 29.3 0.27% 555.0 260 542 Stefano[37] 3000 3000 250 28.5 0.27% 577.0 260 561 Stefano[37] 3000 5700 500 32.4 0.30% 520.0 520 236 Stefano[37] 3000 1504 125 34.7 1.12% 550.0 130 440 Stefano[37] 3000 1504 125 34.7 0.60% 550.0 130 272 Stefano[37] 1500 1504 130 34.7 0.25% 525.0 130 137 Stefano[37] 150 1504 130 34.7 0.20% 525.0 130 109 DFW Jing[38] 450 400 120 21.3 4.66% 460.0 40 253 DFW Jing[38] 450 400 120 22.7 4.66% 460.0 40 269 DFW Jing[38] 450 400 120 23.1 4.66% 460.0 40 194 DFW Jing[38] 450 400 120 23.6 304.66% 460.0 40 202 *张元伟[42] 1400 1200 120 27.3 1.28% 371.0 250 356 *张元伟[42] 1400 1200 150 24.0 1.03% 371.0 250 470 *张元伟[42] 1400 1200 180 29.4 0.86% 371.0 250 646 *张元伟[42] 1400 1200 120 26.6 1.28% 371.0 250 360 *张元伟[42] 1400 1200 120 33.5 0.94% 371.0 250 357 *张元伟[42] 1400 1200 120 35.8 0.65% 371.0 250 293 *洪枫[41] 2550 2350 180 28.4 1.43% 453.6 250 690 *洪枫[41] 2550 2350 180 39.2 1.43% 453.6 250 805 *洪枫[41] 2550 2350 180 53.2 0.71% 453.6 250 610 *洪枫[41] 2550 2350 180 55.0 1.07% 453.6 250 785 *洪枫[41] 2550 2350 180 56.1 1.43% 453.6 250 860 *M.Rizk[39] 1900 1830 150 42.8 0.48% 400.0 250 219 *M.Rizk[39] 1900 1830 200 42.8 0.54% 400.0 250 491 *M.Rizk[39] 1900 1830 250 33.3 0.35% 400.0 250 438 *M.Rizk[39] 1900 1830 250 66.5 0.35% 400.0 250 574 *M.Rizk[39] 1900 1830 300 38.0 0.73% 400.0 250 882 *M.Rizk[39] 1900 1830 300 42.8 0.73% 400.0 250 1023 *M.Rizk[39] 1900 1830 300 71.3 0.43% 400.0 250 886 *M.Rizk[39] 2650 2505 350 72.2 0.56% 400.0 400 1722 *M.Rizk[39] 2650 2505 350 66.5 1.42% 400.0 400 2090 *M.Rizk[39] 2650 2505 400 38.0 1.58% 400.0 400 2234 *M.Rizk[39] 2650 2505 400 57.0 1.58% 400.0 400 2513 *M.Osman[43] 1900 1830 150 76.1 0.50% 435.0 250 304 *M.Osman[43] 1900 1830 150 73.4 1.00% 435.0 250 474 *M.Osman[43] 1900 1830 150 75.5 1.50% 435.0 250 539 *M.Osman[43] 1900 1830 150 74.0 2.00% 435.0 250 613 *M.Osman[43] 1900 1830 150 36.2 1.00% 435.0 250 432 *M.Osman[43] 1900 1830 150 37.8 0.50% 435.0 250 310 *Ibrahim[44] 1100 900 100 23.9 0.90% 400.0 140 138 *Ibrahim[44] 1100 900 100 23.9 1.36% 400.0 140 145 *Ibrahim[44] 1100 900 150 23.9 0.77% 400.0 140 237 *Ibrahim[44] 1100 900 150 23.9 1.60% 400.0 140 288 *Ibrahim[44] 1100 900 100 53.3 0.90% 400.0 140 196 *Ibrahim[44] 1100 900 100 53.3 1.36% 400.0 140 258 *Ibrahim[44] 1100 900 150 53.3 0.77% 400.0 140 388 *Ibrahim[44] 1100 900 150 53.3 1.60% 400.0 140 410 *Khaled[45] 1100 1030 100 22.8 0.55% 400.0 125 219 *Khaled[45] 1100 1030 100 48.6 0.55% 400.0 125 270 *Khaled[45] 1100 1030 100 62.3 0.55% 400.0 125 263 注：表中带星号的试验对应的曲线用于数值模拟效果验证。
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