悬浮隧道(Submerged floating tunnel, 简称SFT)是一种连接海峡、江河湖泊等深、长水道的新型结构形式^[1]。目前已提出的方案有锚索式、浮筒式、墩柱式和无支撑式，其中的锚索式悬浮隧道由主体管道、支承系统、驳岸系统、连接系统四个部分组成^[2]。它利用锚索锚固在海底，通过锚索的张力、管体自重以及管体所受到的浮力来保持平衡^[3]，故又被称作阿基米德桥。与船舶和桥梁相比，使用悬浮隧道结构通过水域，不容易受到台风、大雪、浓雾等恶劣天气的影响，可以全天候运营，隧道通行能力稳定且不限制航道发展^[4-5]。因此，悬浮隧道被认为是当前极具竞争力的一种跨水域交通方式^[6]。

对悬浮隧道进行合理简化，建立合适的数学模型是其理论研究的重要内容。对于锚索，孙胜男等^[7-8]将其简化为简支梁，通过Hamilton原理推导其在外部激励作用下的控制方程；陈健云等^[9-10]将其视作一端与质量块相连一端铰接的欧拉梁模型，推导了在涡激振动和参数激励作用下的锚索振动控制方程。对于管体，SATO等^[11]将锚索视作弹性支撑，提出了悬浮隧道的离散弹性地基梁模型，并基于有限差分法给出了该模型的求解方法；次年，SATO等^[12]分析了离散弹性支撑梁和弹性地基梁之间的差异，认为当管体的刚度、锚索刚度及管段跨径满足一定条件时，可以将悬浮隧道结构视作弹性地基梁。项贻强等^[13]为研究管体-锚索振动的耦合效应，基于Hamilton原理推导了车辆荷载作用下的管体-锚索耦合振动方程。

在设计运营阶段，地震作用是影响悬浮隧道结构安全的一个重要因素。SU等^[14]提出了锚索在地震和参数激励作用下的数学方程，通过数值算例分析了锚索的振动响应；LEE等^[15]建立了地震作用下的矩形截面管体振动方程，利用理论计算的方法研究海水对悬浮隧道抗震性能的影响；NAIK等^[16]建立了管体的三向振动方程，评估了不同锚索布置形式对结构稳定性的影响，并对地震作用下管体的动力响应进行计算；阳帅等^[17]基于欧拉梁理论，建立了锚索在地震和动水荷载作用下的振动方程，并对地震加速度、阻尼比等参数进行了分析；XIE等^[18]基于水动力势流理论和弹性地基梁模型，建立了考虑峡谷水对水平地震荷载影响的悬浮隧道计算模型；林亨等^[19]推导并求解了不同交界面处地震SV波的透射和反射系数理论方程，分析了淤砂层饱和程度、入射波角度和锚索布置形式等参数对悬浮隧道管体动力水荷载的影响；JIN等^[20]建立了时域水弹性模型来求解隧道-TMD-锚索之间的耦合振动，并使用优化算法对TMD相关参数进行了优化；CHEN等^[21]考虑地震行波效应对结构的影响，采用大质量法对多支承激励下的结构动力响应进行讨论；WU等^[22]基于Morison方程建立了地震激励下的水动力公式，利用欧拉梁理论得到锚索的振动方程，并对关键参数进行了敏感性分析；罗刚等^[23]提出了一种波浪地震耦合作用下的悬浮隧道简化分析模型，结合悬浮隧道待建工程对荷载参数和系统响应进行分析。总体而言，目前在悬浮隧道地震荷载作用下的理论计算方面：有一部分研究仅关注锚索或管体的动力分析；另一部分研究虽考虑了锚索-管体的耦合运动，但忽略了管体转角位移和左右两侧锚索动张力之差，这使得管体扭矩难以评估，锚索动张力的计算结果产生偏差。

因此，本文在前人研究基础上，进一步考虑管体转角位移，并对左右两侧锚索动张力加以区分，基于Hamilton原理建立了地震作用下的锚索-管体耦合振动模型，利用Galerkin法将锚索-管体耦合振动的偏微分方程转化为常微分方程组，并通过四阶Runge-Kutta法求解。随后对管体和锚索振动的计算结果进行分析，为悬浮隧道的设计提出建议。

1   理论模型

1.1   模型简化与假定

针对典型的锚索式悬浮隧道，建立如图1所示的计算模型。计算时将隧道管体两端视为铰接，将锚索的上锚固点视为固接，下锚固点视为铰接。同时做如下假定：

1)管体为等截面等刚度的Euler-Bernoulli梁，忽略管体和锚索沿管段轴向的位移；

2)同一根锚索沿长度方向的截面和刚度不变，忽略锚索的抗弯刚度^[13]；

3)由于地震激励在短时间内发生，故地震发生时，锚索周围的水流流速可以忽略不计^[22]；

4)假定流体无粘、不可压缩且流动无旋^[24]。

图  1  锚索-管体耦合振动计算模型

Figure  1.  Calculated model of cable-tunnel coupling vibration

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图2为管体和锚索的位移协调示意图。记管体竖向位移为$y(x,t)$；水平位移为${\textit{z}}(x,t)$；转角位移为$\varphi (x,t)$；左右两侧第$i$根锚索位移分别为$u_i^{\rm{L}}({{\textit{z}}_i},t)$和$u_i^{\rm{R}}({{\textit{z}}_i},t)$。则由几何关系可推导得左右两侧锚索上端点的竖向位移为(竖直向下为正)：

图  2  锚索-管体位移协调示意图

Figure  2.  Schematic diagram of cable-tunnel displacement coordination

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水平位移为：

式中：上角标L、R分别代表左侧和右侧锚索；$r$为管体半径；${\beta _i}$为第$i$根锚索的安装角度。

1.2   外部荷载

本文在计算时考虑悬浮隧道受到地震荷载和动水荷载的作用。由于尚无悬浮隧道的相关抗震标准，本文参考我国《公路桥梁抗震设计规范》(JTG∕T 2231-01−2020)^[25]中所建议的设计加速度反应谱(图3)进行选波，图中各参数取值见规范要求。计算时使用时程分析法，同时输入两个方向分量的一组地震动时程计算地震作用效应。如图1所示，记水平地震荷载${F_{{\rm{g}}1}} = m{a_{{\rm{g}}1}}$，竖向地震荷载${F_{{\rm{g}}2}} = m{a_{{\rm{g}}2}}$，其中，${a_{{\rm{g}}1}}$、${a_{{\rm{g}}2}}$分别为水平和竖向地震加速度。

图  3  设计加速度反应谱

Figure  3.  Design acceleration response spectrum

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结构所受动水荷载通常由Morison方程表示，方程中的第一项为流体阻尼力，第二项为流体惯性力，第三项为流体附加质量力。而地震荷载亦会通过流体间接作用于结构物本身。因此，此处采用式(3)~式(6)计算悬浮隧道在地震荷载作用下的动水荷载^[22]：

式中：${F_{\rm{Dy}}}$、${F_{\rm{Dz}}}$分别为管体竖向和水平方向所受的动水荷载；$F_{{d_i}}^{\rm{L}}$、$F_{{d_i}}^{\rm{R}}$分别为左右两侧锚索所受的动水荷载；${\rho _{\rm{w}}}$为流体密度；$D$为管体外径；${d_i}$为锚索直径；${v_{{\rm{g}}1}}$、${v_{{\rm{g}}2}}$分别为水平和竖向地震速度；$v_{\rm{g}}^{\rm{L}}$、$v_{\rm{g}}^{\rm{R}}$、$a_{\rm{g}}^{\rm{L}}$、$a_{\rm{g}}^{\rm{R}}$按式(7)计算。

水动力系数${C_{\rm{D}}}$和${C_{\rm{M}}}$可通过流体实验测定，在缺乏大量试验的条件下，流体阻力系数${C_{\rm{D}}}$可近似取0.7，流体惯性力系数${C_{\rm{M}}}$可近似取2.0，则流体附加质量力系数${C_{\rm{M}}} - 1$为1.0^[26]。

1.3   计算模型推导与求解

本文基于Hamilton原理建立地震荷载作用下，考虑管体转角位移和左右两侧锚索动张力之差的悬浮隧道锚索-管体耦合振动控制方程：

式中：${T_{\rm{tb}}}$、${V_{\rm{tb}}}$、${W_{\rm{tb}}}$分别为管体的动能、势能、外力虚功；${T_{ci}}$、${V_{ci}}$、${W_{ci}}$分别为第$i$根锚索的动能、势能、外力虚功。

对于悬浮隧道管体，其外力功包括流体作用力和结构阻尼力做功，故其能量方程可表示为：

式中：${m_{\rm{tb}}}$为管体单位长度质量；$L$为悬浮隧道管体长度；$E$和$G$分别为管体材料弹性模量和剪切模量；${I_{\rm{y}}}$、${I_{\rm{z}}}$和${I_{\rm{p}}}$分别为管体截面绕$Y$轴和$Z$轴的惯性矩以及扭转惯性矩；$a$为截面回转半径；$\Delta T_i^{\rm{L}}$、$\Delta T_i^{\rm{R}}$分别为左右两侧锚索动张力，按式(13)计算；${\alpha _i}$为第$i$根锚索倾角；$\delta$为狄拉克函数；${c_{\rm{y}}}$、${c_{\rm{z}}}$、${c_{\text{φ}} }$分别为管体三个方向的阻尼系数。

对于锚索，其外力功包括流体作用力、地震和结构阻尼力做功，故左右两侧锚索的外力功方程和动能、势能方程可分别按式(10)和式(11)表示：

式中：${m_{ci}}$为第$i$根锚索单位长度质量；${l_i}$为锚索长度；${T_i}$为锚索初始张力；$c_i^{\rm{L}}$、$c_i^{\rm{R}}$分别为左右两侧锚索的阻尼系数；$\varepsilon _i^{\rm{L}}$、$\varepsilon _i^{\rm{R}}$分别为左右两侧锚索的动应变，根据几何关系可得其计算公式为：

则相应的锚索动张力为：

式中：${A_i}$为锚索截面积；${E_\text{eq}}$为考虑锚索垂度效应的等效弹性模量，可按式(14)计算^[27]：

式中：${E_{ci}}$为锚索弹性模量；${E_{\rm{f}}}$为锚索垂度产生的弹性模量；${\gamma _{\rm{f}}}$为锚索的浮重度

将式(9)~式(11)代入式(8)，通过变分计算后即可得到考虑管体转角和左右两侧锚索动张力之差的锚索-管体耦合振动控制方程：

式中，由于管体和锚索之间存在位移协调关系(式(1)、式(2)、式(12))，管体产生位移后导致锚索的上锚固点也产生一定的位移，该位移使锚索动张力$\Delta T_i^{\rm{L}}$、$\Delta T_i^{\rm{R}}$产生变化，锚索动张力的变化进一步影响管体位移，这样循环往复，使得管体与锚索之间的产生耦合关系。

本文采用Galerkin法对式(15)进行化简，将偏微分方程组转换为常微分方程组后使用振型叠加法求解，将悬浮隧道系统的各阶振型线性叠加，即可得结构的动力响应结果。根据模型简化时所假定的边界条件可将管体和锚索的位移函数表示为：

式中：$\sin \left( {\dfrac{{n\pi x}}{L}} \right)$为管体的各阶模态函数；$q_n^{\rm{y}}\left( t \right)$、$q_n^{\rm{z}}\left( t \right)$、$q_n^{\text{φ}} \left( t \right)$为管体的竖向位移、水平位移、转角位移所对应的广义振型坐标；$U\left( {{{\textit{z}}_i}} \right)$为锚索的各阶模态函数；$p_i^{\rm{L}}\left( t \right)$、$p_i^{\rm{R}}\left( t \right)$为左右两侧锚索所对应的广义振型坐标。有研究表明，锚索的振动具有弦的特征，其在张紧状态下的振动特性由基本模态控制^[28]，因此取锚索的第一阶模态进行简化计算，即：

将式(16)中的位移函数表达式代入式(15)，化简后即可得锚索-管体耦合振动的常微分方程组，即式(18)~式(20)。

式中：${F_{wn}}$和$F_i^{\rm{L}}$、$F_i^{\rm{R}}$为动水荷载中流体阻尼力项积分后的结果；${T_{wn}}$为左右两侧锚索动张力对管体振动的影响；$G_i^{\rm{L}}$、$G_i^{\rm{R}}$为地震和锚索内力对锚索振动的影响；$w$为管体的各项位移$y$、${\textit{z}}$、$\varphi$；$n$为求解阶数；${\overline m_{\rm{tb}}}$和${\overline m_{ci}}$分别为管体和锚索的等效质量：

本文采用四阶Runge-Kutta法求解上述常微分方程组。如图4所示为MATLAB中的求解流程图。首先给定相关的结构参数和初始位移，并读取地震荷载值。计算时∆t取地震记录中的时间间隔，根据t时刻的结构位移和下一时刻的地震荷载计算流体作用力，并将计算所得的流体力与下一时刻的地震荷载作用于结构上，计算t+∆t时刻的结构动力响应。如此循环往复，直至计算时间t大于地震记录的时长t₀后，计算终止。

图  4  MATLAB求解过程

Figure  4.  Solution process of MATLAB

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2   数值算例与验证

2.1   荷载与结构基本参数选取

本文使用规范^[25]中所建议的设计加速度反应谱在太平洋地震工程研究中心(Peer)上选波。选取地震荷载时假设场地类别为2类场地。抗震设防烈度为7度。按照上述条件，选择Whittier Narrows-01地震波进行算例分析，并在计算时将该地震的水平和竖向峰值加速度调整为0.25 g，地震加速度时程曲线如图5所示。

图  5  地震加速度时程曲线图

Figure  5.  Time history of earthquake acceleration

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由于世界范围内的悬浮隧道建设仍处于工程可行性研究阶段，故本算例采用的悬浮隧道基本参数参考了国内外拟建悬浮隧道方案的设计参数^[29]，具体参数见表1。

表  1  悬浮隧道算例的基本参数

Table  1.  Primary parameters of SFT example

对象	参数名称	数值
管体	弹性模量$E/\text{GPa}$	34.5
	剪切模量$G/\text{GPa}$	13.3
	密度${\rho _{\rm{tb}}}/({ \text{kg} /{ {\text{m}^3} } })$	2551
	总长$L/\text{m}$	400
	外径$D/\text{m}$	5
	壁厚$H/\text{m}$	0.3
	阻尼比$\xi$	0.05
锚索	长度${l_i}/\text{m}$	60
	密度${\rho _i}/({ \text{kg} /{ {\text{m}^3} } })$	7850
	直径${d_i}/\text{m}$	0.05
	弹性模量${E_{ci}}/\text{GPa}$	210
	水平倾角${\alpha _i}$/(°)	60
	布置间距$h/\text{m}$	100
	安装角度${\beta _i}$/(°)	60
水体	密度${\rho _{\rm{w}}}/({ \text{kg} /{ {\text{m}^3} } })$	1000

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2.2   有限元验证

为验证理论推导和编程求解的正确性，进行了有限元分析。本文使用有限元软件ABAQUS 2019进行建模，模拟悬浮隧道的振动过程。有限元模型基本参数如表1所示。在ABAQUS模型中，悬浮隧道管体采用B31梁单元，锚索采用T3D2桁架单元。锚索与管体之间的连接处使用MPC-PIN连接(MPC-PIN连接在运行计算时由于位移不协调，将会限制两节点间的旋转位移，相当于固接，与理论计算相符)，管体两端与锚索的下锚固点均使用铰接，如图6所示。

图  6  有限元模型

Figure  6.  Finite element model in ABAQUS

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有限元模型的结构阻尼使用Rayleigh阻尼计算。荷载施加时，先在静力分析步中设置结构所受的重力和浮力，以此使锚索产生初始张力。随后在动力分析步中，使用时程分析法施加地震荷载^[30]。对于动水荷载，在.inp文件中使用ABAQUS/AQUA模块模拟水环境，随后在*DLOAD关键字中分别使用FDD、FI标记流体阻力和流体附加惯性力。FDD和FI可以根据Morison方程在动力分析步中计算出作用在结构上的流体力。

表2为有限元解与理论计算的管体跨中位移绝对最大值统计表，图7为相应的位移时程曲线对比图。从位移绝对最大值看，理论计算的水平和竖向位移与有限元计算结果分别相差2.76%和4.94%。从变化趋势和曲线起伏频率上看，理论计算与有限元解基本吻合。由此，本文所推导的理论计算方法以及编写程序的正确性得到验证。

表  2  有限元解与理论计算结果对比

Table  2.  Comparison between finite element solution and theoretical calculation results

计算内容	水平位移绝对最大值/cm	竖向位移绝对最大值/cm
有限元解	3.52	3.57
理论计算	3.62	3.40
误差/(%)	2.76	4.94

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图  7  有限元与理论计算对比

Figure  7.  Comparison between finite element and theoretical calculation

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3   结果分析

3.1   管体各阶振动响应

采用振型叠加法求解锚索-管体耦合运动控制方程时，考虑的模态阶数越多，其结果越接近真实值。但是，随着模态阶数的增加，所需的计算时间也随之增加。因此，在结构动力响应计算时，有必要确定能平衡计算精度和效率的模态阶数n最小值。为避免一般性，在本小节计算中还使用了文献[30]和文献[13, 29]中的悬浮隧道案例，其隧道长度分别为1000 m和2000 m。

图8为受到Whittier Narrows-01地震荷载时，不同模态阶数下的管体跨中位移时程曲线图，图8(a)~图8(c)分别是3种不同案例的计算结果。表3给出了各案例取不同模态阶数时的计算误差。由表3可知，当取前2阶模态计算时，与取前5阶模态计算的结果相比，3个案例均相差较大；而案例1(L=400 m)前7阶与前10阶模态的计算结果较为接近。同时，随着悬浮隧道的跨度增加，所需的计算阶数增加，即高阶模态振动的位移贡献率增加。若以5%作为工程容许误差范围，则案例1可以取前7阶模态进行计算，案例2和案例3需要取7阶以上的模态计算。

为确定满足工程容许误差的跨径范围，将案例一的悬浮隧道跨径改为500 m、600 m后分别进行计算，并绘制了图9所示的柱状图，其中斜线柱表示阶数取前5阶和前7阶计算时的管体位移误差值(取水平和竖向位移误差中的较大值)，实心柱表示阶数取前7阶和前10阶计算时的管体位移误差值。由图9可知，当跨径小于500 m时，取前7阶计算与取前10阶计算两种情况相差不大，而当跨径大于等于500 m时，位移取前7阶和前10阶计算时误差超过5%，不满足工程容许误差。综上所述，为同时保证计算精度和计算效率，使用振型叠加法计算时建议跨度在500 m及以上的悬浮隧道取7阶以上模态阶数进行计算，500 m以下的悬浮隧道可取前7阶模态阶数计算。

图  8  不同模态阶数下管体位移时程曲线图

Figure  8.  Time history of tunnel displacement under different modal order

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表  3  各案例在不同模态阶数下的计算误差表

Table  3.  Calculation error table for each case under different modal orders

		水平位移误差				竖向位移误差
		案例1	案例2	案例3		案例1	案例2	案例3
取不同模态阶数 计算的结果 对比/(%)	n=2~n=5	46.08	20.75	9.36		22.77	35.15	13.62
	n=5~n=7	5.65	8.88	17.59		8.18	22.57	15.89
	n=7~n=10	0.28	3.29	11.49		2.63	11.87	11.72

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图  9  不同模态阶数下的结果对比

Figure  9.  Comparison of results under different modal orders

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图10进一步给出了悬浮隧道案例1(L=400)在n=10时的水平位移各阶广义坐标值。由图10可知，在地震荷载作用下仅奇数阶振型参与振动，偶数阶振型几乎未被激发。且随着模态阶数的增加，奇数阶各阶位移广义坐标值的纵坐标值逐渐减小，即悬浮隧道各阶振动的位移贡献量快速减小。同时，随着阶数的增加，管体振动频率也逐渐增加，显示出更加高频的振动。对于案例2、案例3以及各案例的竖向各阶广义坐标值亦有相同的规律，为控制篇幅，此处不再赘述。

图  10  水平位移的各阶广义坐标值

Figure  10.  The generalized coordinate values of each order of horizontal displacement

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3.2   管体位移和内力

管体2#锚固点(跨中)的位移时程曲线如图11所示。分析式(19)可知，水平位移和转角位移之间存在耦合关系(即${w_{{\textit{z}}\varphi }}$)，而竖向位移和这两者之间没有直接的耦合关系。因此，从三种位移时程曲线的起伏和变化趋势上看，水平位移和转角位移的曲线较为一致。故而建议在悬浮隧道设计中，水平位移和转角位移应同时考虑，两者不可孤立开来。

图12为管体的转角位移和扭矩包络图。由图12(a)可知，悬浮隧道的转角位移由两端向中间逐渐增大，在经过1#和3#锚索锚固点后，受到锚索的限制，管体转角位移的增加趋势放缓。由图12(b)可知，管体扭矩在锚索锚固点处较大，这是因为在该处管体受到了锚索动张力变化的影响，相当于在管体上施加了一个外荷载，故而使得管体在锚索锚固点处的扭矩明显大于其它部位。因此，在进行悬浮隧道抗震设计时，应特别注意加强管体在锚索锚固点处的抗扭刚度。

图  11  管体跨中位移时程曲线图对比

Figure  11.  Comparison of the time history curves of the tunnel displacement

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图  12  管体位移和内力包络图

Figure  12.  Envelope diagrams of the displacements and internal forces along the SFT

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3.3   锚索位移和内力

悬浮隧道左侧2#锚索和右侧2#锚索的位移时程曲线如图13所示。锚索编号见图6。由图13可知，锚索位移在地震能量集中段最大，在地震结束之后位移快速减小，但锚索动张力的变化趋势与锚索位移不一致，而与管体位移较为一致。通过分析式(12)、式(13)可知，锚索动张力受到锚固点的管体位移($y({x_i},t)$、${\textit{z}}({x_i},t)$、$\varphi ({x_i},t)$)和锚索自身位移$u_i^{\rm{L}}$、$u_i^{\rm{R}}$的影响。由于在振动过程中，管体位移对锚索动张力的变化占主导地位，故而导致了锚索动张力变化曲线与管体位移时程曲线较为一致的现象。

图  13  锚索位移和动张力时程曲线图

Figure  13.  Time history of cable displacement and dynamic tension

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当锚索受到不对称荷载时，其左右两侧的位移和动张力值可能会不同。为进一步分析考虑左右两侧锚索动张力之差带来的影响，绘制如图14所示的2#锚索位移和动张力时程曲线图。图中实线为考虑两侧锚索动张力之差时的结果(取左右两根锚索中的较大者)，虚线为未考虑两侧锚索动张力之差(即$\Delta T_i^{\rm{L}} = \Delta T_i^{\rm{R}}$)时的结果。图14(a)中，考虑动张力之差时的锚索最大位移绝对值为1.86 cm，未考虑时为1.43 cm，前者比后者大30.81%；图14(b)中，考虑动张力之差时的锚索最大动张力为3.01×10² kN，未考虑时为2.68×10² kN，前者比后者大12.40%。因此，当锚索受到不对称荷载时若忽略左右两侧锚索的动张力之差，会使锚索的位移和内力计算结果偏小。建议在设计悬浮隧道时分别计算两侧锚索的动张力，按照结果较大的一侧进行结构布置，以保证结构的安全性。

图  14  两侧锚索动张力之差对锚索振动响应的影响

Figure  14.  The influence of the dynamic tension difference of cables on both sides on the vibration response of cables

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4   结论

本文基于Hamilton原理，推导了地震作用下考虑转角位移和两侧锚索动张力之差的悬浮隧道锚索-管体耦合振动模型，并利用有限元软件对其进行了验证。通过对管体和锚索的计算结果进行分析得到以下结论：

(1) 本文所建立的理论计算模型和有限元模型的计算结果具有较好的一致性，可为管体转角位移和扭矩计算提供理论解，并使锚索动张力计算结果更具安全性。

(2) 管体的转角位移由两侧向中间逐渐增加，但管体在锚索锚固点处的扭矩明显大于其它部位，建议在设计时要特别注意锚索锚固点处的抗扭刚度。

(3) 当锚索受到不对称荷载时，忽略左右两侧锚索动张力之差会使锚索的振动响应计算结果偏小，建议在设计时要分别计算两侧锚索的动张力，并按照结果较大一侧的结果进行结构布置。

(4) 在地震荷载作用下，管体仅奇数阶振型参与振动，偶数阶振型未被激发；利用振型叠加法求解时，为保证计算效率和计算精度，建议跨度500 m及以上的悬浮隧道取7阶以上的模态阶数进行计算，500 m以下的悬浮隧道可取前7阶模态计算。