AGGREGATE PARTICLE SHAPE RECONSTRUCTION BASED ON SPHERICAL DOG WAVELET FRAME
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摘要:
基于高斯差分小波(Difference of Gaussians, DOG)向球面上拓展产生的球面DOG小波函数，提出了基于球面DOG小波框架重构骨料形状的新方法。为探讨该方法的优势，采用该方法和传统球谐重构法，对采用三维扫描仪获取机制砂的表面点云数据进行重构，分析了球面DOG小波框架方法的参数设置，以及准确性。结果显示，随着球面DOG小波框架qmax的增大，重构骨料的形貌逐渐接近真实形态。且当qmax达到4时，支撑集足够小的球面DOG小波可有效避免高阶次球谐级数重构多棱角骨料时由于振铃效应导致的重构精度下降问题。
Abstract:A new method for reconstructing aggregate shape based on the spherical Difference of Gaussians (DOG) wavelet frame was proposed, which is generated by expanding the DOG onto the sphere. To explore the advantages of this method, several manufactured sand particles were scanned by the three-dimensional laser scanner and respectively reconstructed by traditional spherical harmonic reconstruction method and spherical DOG wavelet frame reconstruction method. The results show that the shape of the reconstructed aggregates gradually approaches the real form as the maximum order of the spherical DOG wavelet frame (qmax) increases. When qmax reaches 4, the spherical DOG wavelet with a sufficiently small support set can effectively avoid the ringing effects, which might be observed when using a high degree spherical harmonic series to reconstruct the multi-angled aggregates.
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骨料是混凝土的重要组成部分，可以占到混凝土体积分数的60% ~ 80%，主要起到骨架和填充作用。大量研究表明，骨料的形状特征(如球度、圆度、伸长率和曲率等)对混凝土的流变性、力学性能和裂缝开展等性能存在显著的影响[1-3]。骨料颗粒形状的精确重建可以为混凝土的优化设计提供理论和技术支撑，是混凝土研究的重要课题之一。早期通常采用数码相机将三维颗粒转换成二维图像，并结合数字图像技术和一维傅里叶级数重构方法精确重构颗粒的二维轮廓[4-5]。但由于二维投影对观察方向的依赖性，简单地在二维空间上定量表征三维颗粒存在明显的随机性[6]。
随着测试技术的进步，采用计算机断层扫描(X-ray computed tomography, X-CT)和三维扫描(Three-dimensional scanning, 3D-scanning)等技术可直接获取三维骨料颗粒的表面点云[7-9]。然而骨料颗粒表面点云量随着测试精度的增加显著增加(例如，采用分辨率为19.7 μm的X-CT扫描粒径在4.75 mm~9.50 mm间的颗粒，经处理后颗粒表面包含近10万体素)，这将耗费大量的储存空间，并且会给混凝土细观建模时的颗粒干涉判定带来困难。鉴于此，大量学者相继提出各类数学函数描述方法以达到缩减数据量的目的。其中，球谐函数作为傅里叶基函数向球面上的自然延伸得到的完备正交基函数受到了大量关注。GARBOCZI等[10]采用球谐函数重构混凝土中“星形”骨料，研究发现由于球谐系数能量向低频集中的特点，仅采用数百个球谐系数即可相对准确地表征数10万个原始测量点云。
然而，ZHOU等[11]研究发现，骨料颗粒表面棱角越尖锐，采用球谐重构法时所需的阶数就越高。但由于球谐基函数的全局支撑性，过高阶数的球谐函数会引发振铃效应导致重构精度的降低[12]。因此，针对含有大量尖锐棱角的骨料颗粒，采用球谐函数重构法难以达到预期的重构精度。近年来，由于天然骨料的短缺，多棱角且表面粗糙的机制骨料越来越多地被应用[13]。因此，近年来学者们相继把目光转向具备紧支撑集的小波基函数，以求借助小波函数的紧支撑特性避免球谐重构法中的振铃效应，实现对多棱角机制骨料形状的精确重构。但传统的小波函数往往定义于无限域内(L2(R)或L2(R2))，直接应用于重构定义在有限域的封闭曲线或曲面信号时会产生严重的边界误差[14]，因此许多定义在有限域的新型小波理论被陆续开发出来。在二维层面上，曲桂红等[15]和ZENG等[16]采用一维周期小波基函数成功重构了颅腔、树叶等二维轮廓，研究发现，相同数量的一维周期小波级数相较于传统的一维傅里叶级数具备更好的保形性。在三维层面上，考虑到近年来多棱角的机制砂在混凝土中的大量应用，LI等[17]通过一维周期小波基函数的张量积形式构建了二维周期小波基函数，并成功应用于了机制砂颗粒的三维形状重构中，研究发现，二维周期小波重构法可有效避免传统球谐函数重构法中的振铃效应，从而达到了更高的重构精度。然而二维周期小波基函数不存在显式数学表达式，这将会增大其在颗粒投放时干涉判定的难度。此外，BOGDANOVA等[18]参考傅里叶基函数向球面拓展构造球谐基函数的思路，通过将传统定义在无限域内的高斯差分小波(Different of Gauss, DOG)拓展到球面上成功构造了球面小波DOG函数，并已成功地应用于地球重力场[19]、地磁场[20]、温度场[21]等领域的数据压缩中。但目前基于球面DOG小波函数重构混凝土中骨料形状的相关研究仍未见报道，且采用球面DOG小波重构三维骨料颗粒形状的相关参数设置并不清晰。
本文旨在提出一种基于球面DOG小波函数重构三维骨料形状的方法，并与传统球谐函数重构进行了对比，用于探讨其优势与潜力。首先，介绍了采用球面DOG小波框架函数和球谐函数重构骨料形状的详细流程。然后，采用三维扫描仪测量的数颗机制砂的表面数据来验证所提出的方法的准确性，并详细讨论了重构此类机制骨料形状时的最佳参数设置。最后，通过和传统的球谐函数重构法对比，探讨本文提出方法的独特优势。本文研究内容可为后续混凝土细观建模提供理论基础。
1 不规则骨料的三维扫描试验
三维扫描仪可基于三角测量原理直接测定物体表面的点云数据。本文采用安徽宇内三维科技有限公司的FreeScan UE Pro手持式蓝色激光三维扫描仪，对来自重庆市武隆区的3颗粒径在4.75 mm~9.50 mm的机制砂颗粒进行扫描以获取机制砂颗粒表面的点云数据(如图1所示)，测量分辨率设为0.01 mm。测量时，分别测定机制砂上下表面的点云数据，后期通过两次测量得到的公共特征点实现点云的对齐。机制砂的扫描结果如图2所示。
2 不规则骨料的形状重构方法
采用三维扫描仪获得“星形”骨料颗粒的表面点云后，通过将坐标原点移至点云中心，并对其进行坐标系转换后，可获得定义在有限区域的二维单值离散点集 {ri (θi, φi), i = 1, 2, 3, …, N}，N代表骨料颗粒表面已知点数目[13]。基于此，可进一步基于球面DOG小波或球谐函数求得机制砂颗粒近似的表面连续函数r(θ, φ)。
2.1 球面DOG小波框架重构法
球面DOG小波函数的表达式如下[18]：
\begin{split} {\psi _{{\boldsymbol{X}},{\rm{a}}}}({\boldsymbol{X}}') =& {\lambda _{\rm{a}}}{(\gamma )^{0.5}}\exp \left[ {\frac{{{{\tan }^2}(\gamma /2)}}{{ - {a^2}}}} \right] - \\& \frac{1}{\alpha }{\lambda _{{\rm{\alpha a}}}}{(\gamma )^{0.5}}\exp \left[ {\frac{{{{\tan }^2}(\gamma /2)}}{{ - {{(a\alpha )}^2}}}} \right] \end{split} (1) 式中：X为球面DOG小波的中心极，且X∈S2；γ为中心极X(θ, φ)和球面上的任意点X′(θ′, φ′)之间的夹角；a = 2^{-q} ，q为尺度，q = 0, 1, 2, 3,…；α为大于1的定值，用于调节函数形状，本文中取值为1.25[19-21]。参数方程λ可表示为如下形式：
{\lambda _{\rm{a}}}(\gamma ) = \frac{{4{a^2}}}{{{{\left[ {({a^2} - 1)\cos \gamma + ({a^2} + 1)} \right]}^2}}} (2) 以北极为中心极，不同尺度q下的球面DOG小波函数图像如图3所示。可以看出，随着q的增大，球面小波函数的空间支撑逐渐减小，更有潜力描述骨料的局部信息。
由于球面DOG小波尺度q和中心极位置X的连续性，导致其难以直接用于实际问题。故需对球面DOG小波的中心极位置和尺度进行离散化采样，生成可以线性表示空间内任意函数的完备函数列。基于球内接正多面体连续剖分得到的球面格网点位置对球面DOG小波进行采样可建立起一组完备但不相互正交的的小波函数集，即框架。图4给出了由正二十面体经不同剖分层次q′得到的格网点Gq′ 示意图。
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图 4 由正二十面体不同剖分层次q′得到球面格网Gq′ 示意图Figure 4. Triangulated spherical grids Gq′ obtained by successively subdividing the icosahedron under different q′分别将尺度等于q′的球面DOG小波函数的中心极位置放置于球面格网Gq′的各节点处，即可生成如式(3)所示的球面DOG小波框架F：
{\boldsymbol{F}} = \{ {{\psi _{{{\boldsymbol{X}}_{(q',j)}},{a_{q'}}}}({\boldsymbol{X}}),q' = 0, 1, 2, \cdots , {q_{\max }}} \} (3) 式中，X(q′, j)代表球面格网Gq′中第j个格网点。
为便于表述，可将框架F中的函数按照一定顺序排列，即可改写为如下形式：
{\boldsymbol{F}} = \{ {g_k}(\theta ,\varphi ),k = 1,2,3, \cdots ,M\} (4) M = \sum\limits_0^{{q_{\max }}} {[ {10 \times {4^q} + 2} ]} (5) 式中：M为框架F中框架函数的总数；gk (θ, φ)为第k个球面DOG小波框架函数。
原则上，任意“星形”骨料的表面r (θ, φ)均可表示为上述框架函数的线性组合[20]：
r(\theta ,\varphi ) \approx \sum\limits_{k = 1}^M {{a_k}{g_k}(\theta ,\varphi )} (6) 式中，ak为待定的球面DOG小波系数。
将原始机制砂颗粒表面的点云数据{ri (θi, φi), i = 1, 2, 3, …, N}代入式(6)可得如下式的观测方程：
\left[\begin{matrix}r({\theta }_{1},{\varphi}_{1})\\ r({\theta }_{2},{\varphi }_{2})\\ \vdots\\ r({\theta }_{N},{\varphi }_{N})\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{g}_{1}({\theta }_{1},{\varphi }_{1})&{g}_{2}({\theta }_{1},{\varphi }_{1})&\cdot \cdot \cdot& {g}_{M}({\theta }_{1},{\varphi }_{1})\\ {g}_{1}({\theta }_{2},{\varphi }_{2})&{g}_{2}({\theta }_{2},{\varphi}_{2})&\cdot \cdot \cdot &{g}_{M}({\theta }_{2},{\varphi}_{2})\\ \vdots & \vdots & {}&\vdots \\ {g}_{1}({\theta }_{N},{\varphi }_{N})&{g}_{2}({\theta }_{N},{\varphi }_{N})&\cdot \cdot \cdot& {g}_{M}({\theta }_{N},{\varphi}_{N})\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ \vdots \\ {a}_{M}\end{matrix}\right] (7) 式(7)可简化为如下式的矩阵形式：
{\boldsymbol{r}} = {\boldsymbol{Gm}} (8) 由于球面DOG小波框架的冗余性，求解球面DOG小波系数矩阵m时会存在解不唯一的问题。故需采用Tikhonov正则化方法，通过引入正则化矩阵R和正则化参数ρ对解进行约束，即可将式(8)中的系数求解问题转换为求下列函数的最小值问题[20]：
\min\left\{ {{{\left\| {{\boldsymbol{r}} - {\boldsymbol{Gm}}} \right\|}^2} + \rho {{\left\| {{\boldsymbol{Rm}}} \right\|}^2}} \right\} (9) {{\boldsymbol{R}}_{kk'}} = \int_S {\nabla {g_k}{{(\theta ,\varphi )}^{\rm{T}}}\nabla {g_{k'}}(\theta ,\varphi ){\rm{d}}\varOmega } (10) 其中，求解式(9)中的最小值问题的关键点为确定正则化参数ρ的取值。本文采用普通交叉验证法(OCV)求得最优正则化参数[20]。得到最优的正则化参数ρ后，球面DOG小波系数矩阵m可采用下式进行计算：
{\boldsymbol{m}} = {({{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{G}} + {\rho ^2}{\boldsymbol{R}})^{ - 1}}{{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{r}} (11) 将系数矩阵m中的解代入式(6)即可得到骨料近似的表面函数。严格地说，仅当M取无穷大时，表面函数才算绝对准确。但由于球面DOG小波系数能量向低频集中的特性，故一般采用较少的系数即可相对准确地描述骨料的三维形状，从而达到节省储存和运行内存的目的。
2.2 球谐函数重构法
在获得原始机制砂颗粒表面的点云数据{ri (θi, φi), i = 1, 2, 3, …, N}后，即可根据重构精度需要采用有限K项球面谐波以一组球谐系数anm表示三维形状：
r(\theta ,\varphi ) = \sum\limits_{n = 0}^K {\sum\limits_{m = - n}^n {{a_{nm}}Y_n^m(\theta ,\varphi )} } (12) Y_n^m(\theta ,\varphi ) \equiv {( - 1)^m}\sqrt {\frac{{2n + 1}}{{4\pi }}\frac{{(n - m)!}}{{(n + m)!}}} P_n^m(\cos \theta ){{\rm{e}}^{{\rm i}m\varphi }} (13) {a_{nm}} = \int_{\varphi = 0}^{2\pi } {\int_{\theta = 0}^{\pi} {\sin (\theta )r(\theta ,\varphi )Y_n^m(\theta ,\varphi ){\rm{d}}\theta {\rm{d}}\varphi } } (14) 式中：P_n^m (x)为关联的勒让德多项式；K为球谐重构阶数，采用K阶球谐函数重构颗粒需要计算(K+1)2个球谐系数anm；通常采用高斯积分法计算球谐系数，GARBOCZI等[10]研究表明每个角度均采用120个高斯正交积分点足以精确计算球谐系数。
3 结果与讨论
3.1 球面DOG小波框架的qmax对重构精度的影响
由式(4)可以看出，随着qmax的增大，球面DOG小波框架中的框架函数数量呈指数型增加，尽管大量基于球面DOG小波框架地磁场、温度场的研究表明[19-21]，随着qmax的增加，重构精度逐渐增加，但用于重构的球面DOG小波展开系数数量显著增加，严重影响重构效率。因此，本文分别采用不同qmax的球面DOG小波框架重构骨料颗粒。以探讨其对形状重构精度的影响，寻找混凝土骨料形状重构的最佳参数设置。图5给出了采用不同qmax的球面DOG小波框架重构机制砂形状的结果。可以看出，当qmax不超过3时，重建的颗粒表面会出现许多实际颗粒表面没有的小凸起，这是由于尺度较小的球面DOG小波函数的支撑集过大，难以完全消除振铃效应导致的。随着qmax增加到4，支撑集足够小的球面DOG小波函数可以完美地表征实际粒子的形状，从而消除局部的凹凸误差。
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图 5 不同qmax的球面DOG小波框架重建结果Figure 5. The reconstructed shape using spherical DOG wavelet frames with various qmax为量化不同qmax球面DOG小波框架对于机制砂颗粒形状的重构精度，参考LI等[17]的研究，分别采用三角面片求和法和四面体求和法计算得到扫描颗粒和重构颗粒的体积和表面积，如图6和式(15)和式(16)所示。并以此提出了量化各重构颗粒的体积误差(Volume error, VE)和表面积误差(Surface area error, SE)的指标，如式(17)和式(18)所示。图7显示了采用不同qmax的球面DOG小波框架重构颗粒的VE和SE结果。可以看出，随着qmax的增加，VE和SE逐渐降低。当qmax取为3时(对应858个球面DOG小波系数)，重构颗粒的VE和SE即可达到1%的精度：
S = \sum {{S_i}} = \frac{1}{2}| {\overrightarrow {{p_{i1}}{p_{i2}}} } || {\overrightarrow {{p_{i2}}{p_{i3}}} } |\sin \theta (15) V={\displaystyle \sum {V}_{i}=}{\displaystyle \sum \frac{1}{6}|\overrightarrow{{p}_{i1}O}\cdot \overrightarrow{({p}_{i1}{p}_{i2}}\times \overrightarrow{{p}_{i2}{p}_{i3})}|} (16) 式中：S和V分别为机制砂颗粒的表面积和体积；pi1、pi2、pi3分别为机制砂表面第i个三角面片的三个顶点；O为机制砂颗粒的几何中心：
{\rm{VE}} = \frac{{| {{V_{\text{a}}} - {V_{\rm{r}}}} |}}{{{V_{\rm{a}}}}} \times 100\text{%} (17) {\rm{SE}} = \frac{{| {{S_{\rm{a}}} - {S_{\rm{r}}}} |}}{{{S_{\rm{a}}}}} \times 100\text{%} (18) 式中：Va和Sa分别代表根据三维扫描原始点云经三角剖分后计算的机制砂体积和表面积；Vr和Sr分别代表经球面DOG小波框架重构后的机制砂表面点集经三角剖分后计算的机制砂体积和表面积。
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图 6 机制砂颗粒体积和表面积计算示意图Figure 6. Diagram for calculating surface area and volume of the manufactured sand particles![]()
图 7 不同qmax对重构形状VE和SE的影响注：VE和SE分别代表重构后骨料颗粒的计算体积和表面积与采用实际扫描离散点计算的体积和表面积之间的相对误差Figure 7. The effects of the qmax on the VE and SE of the reconstructed particles3.2 与传统球谐函数重构结果的对比
为了说明球面DOG小波框架重构法的优势，分别采用球谐函数和球面DOG小波框架函数重构同一颗机制砂颗粒表面，如图8所示。可以看出，随着球谐阶数K和球面DOG小波框架的qmax的增加，重构颗粒的形貌越来越接近真实形状。需要注意的是，当球谐展开系数和球面DOG小波系数不超过1000个时(对应于K不大于29阶，qmax不大于3时)，重构颗粒表面均会出现真实骨料表面不存在的局部凹凸。但随着qmax继续增加到4时，支撑集局部小的球面DOG小波可完全消除此类重构误差，而随着球谐阶数K的持续增加，由于振铃效应引入的截断误差反而会增大此重构误差。
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图 8 球谐重构法和球面DOG小波框架重构法的重构形貌对比Figure 8. Comparison of reconstructed morphology between spherical harmonic reconstruction method and spherical DOG wavelet frame reconstruction method图9显示了同一机制砂颗粒经球谐重构法和球面DOG小波框架重构法得到的VE和SE对比结果。总体来说，当球谐阶数K不大于29，球面DOG小波框架的尺度上限qmax不大于3时，随着K和qmax的增加，重构误差VE和SE逐渐降低，其中VE较SE更快地达到1%以下，这是由于较低阶数的球谐基函数和球面DOG小波函数无法准确重构机制砂颗粒表面的局部棱角信息，而这些局部棱角信息对表面积的影响远大于体积导致的。但随着K继续增加至59阶，由于球谐基函数的全局支撑性，高频基函数的余波会导致严重的振铃效应，从而导致重构精度的大幅降低，而由于球面DOG小波的紧支撑特性，随着qmax的持续增加，重构精度会不断降低。
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图 9 球谐重构法和球面DOG小波框架重构法的重构VE和SE对比注：VE和SE分别代表重构后骨料颗粒的计算体积和表面积与采用实际扫描离散点计算的体积和表面积之间的相对误差。Figure 9. Comparison of the VE and SE between spherical harmonic reconstruction method and spherical DOG wavelet frame reconstruction method3.3 本文重构方法的意义和潜在应用
本文提出的基于球面DOG小波框架的骨料颗粒形状重构方法可在显著降低骨料三维数据量，节约储存空间的同时精确表征颗粒真实形貌，相较于传统的球谐函数重构法，其在重构棱角尖锐、表面粗糙的机制骨料时更具优势。其存在很多的潜在应用。
机制骨料表面的局部位置通常会粘附一些杂质，其属性与骨料本体存在显著差异，进而显著影响含此类骨料的混凝土性能。例如，通过破碎、整形得到的再生混凝土骨料，其表面局部位置粘附的残余浆体被证明是影响再生骨料混凝土制品工作性能、力学性能和耐久性能的关键因素[22]。但传统基于球谐函数的骨料重构和随机生成方法难以生成仅局部位置存在差异的形状，对于本文提出的方法，得益于球面DOG小波的局部支撑特性，通过随机改变部分球面DOG小波展开系数的幅值，有望实现仅局部形状发生变异的形状建模，有利于此类表面粘附杂质的机制骨料形状重构和随机生成。
不同粒径的骨料颗粒由于破碎过程不同，其形貌存在显著差异[13]，后期可通过分别扫描和重构不同粒径骨料颗粒，并基于随机场理论随机生成大量与同批扫描骨料具备相同形状统计信息的骨料颗粒，建立起骨料颗粒数据库，这有利于含真实形状骨料的混凝土细观模型的建模。
混凝土细观尺度建模被认为可反映混凝土材料的异质性，被广泛应用于研究骨料形状对混凝土性能的影响[23]。目前研究在建立混凝土细观建模时多采用球形、椭球形或多面体形骨料，和真实骨料形状仍存在差异[24]。基于本重构方法建立的骨料数据库，可开发骨料随机投放程序，建立含真实形状骨料的混凝土细观模型，其中骨料间的干涉判定可通过联立求解颗粒间的表面函数实现。
4 结论
本文提出了基于球面DOG小波框架重构骨料形状的新方法，并于传统的球谐函数重构法进行了对比，指出了该方法的优势和潜在应用，主要结论如下：
(1) 基于球面剖分法对球面DOG小波函数的尺度和位置进行离散化，构建了球面DOG小波框架，结合三维扫描得到的骨料颗粒表面点云数据，可实现采用较少的球面DOG小波系数精确重构骨料三维形状的目的。
(2) 随着球面DOG小波框架qmax的增大，重构骨料的三维形态越来越接近真实形态。当qmax不小于3时，即可保证重构骨料颗粒的体积误差和表面积误差在1%以内，但仍存在真实颗粒不存在的局部凹凸现象。随着qmax达到4时，支撑集足够小的球面DOG小波可有效消除振铃效应导致的局部凹凸现象。
(3) 与传统的球谐函数重构法对比，qmax足够大的球面DOG小波框架可有效避免振铃效应导致的重构误差增大问题，而随着球谐阶数的持续增大，高频基函数的余波会导致更为严重的振铃效应，从而导致重构精度的进一步降低。
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图 4 由正二十面体不同剖分层次q′得到球面格网Gq′ 示意图
Figure 4. Triangulated spherical grids Gq′ obtained by successively subdividing the icosahedron under different q′
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图 5 不同qmax的球面DOG小波框架重建结果
Figure 5. The reconstructed shape using spherical DOG wavelet frames with various qmax
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图 6 机制砂颗粒体积和表面积计算示意图
Figure 6. Diagram for calculating surface area and volume of the manufactured sand particles
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图 7 不同qmax对重构形状VE和SE的影响
注：VE和SE分别代表重构后骨料颗粒的计算体积和表面积与采用实际扫描离散点计算的体积和表面积之间的相对误差
Figure 7. The effects of the qmax on the VE and SE of the reconstructed particles
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图 8 球谐重构法和球面DOG小波框架重构法的重构形貌对比
Figure 8. Comparison of reconstructed morphology between spherical harmonic reconstruction method and spherical DOG wavelet frame reconstruction method
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