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悬浮隧道又称阿基米德桥是挪威学者提出的一种跨越长大水域的新型结构形式[1]，相比于其它结构由于其悬浮在水中一定深度使其具有受外界环境干扰小、造价低、绿色环保等优点[2]。目前悬浮隧道尚处于研究阶段，包括挪威、意大利、中国、韩国、日本等国学者都对其开展了大量的研究[3-8]。
波浪荷载是悬浮隧道服役期间受到的长期荷载。在波浪荷载的计算中，Morison方程被认为是一种简便的计算方法，项贻强等[9]通过Stokes波浪理论和Morison方程研究了线性波浪理论计算悬浮隧道波浪力的适用范围。葛斐等[10-11]通过Airy线性波浪理论和Morison方程对悬浮隧道锚索的在波浪荷载下的动力响应和海流作用下的涡激振动进行了研究。麦继婷等[12]通过Morison方程分析了悬浮隧道放置深度、海流速度、波浪周期等因素对水平波浪力的影响。对于更为复杂的非线性波浪力问题则可以采用势流理论进行分析，Paik等[13]采用边界元法将悬浮隧道简化为三维梁单元，基于绕射理论求解无粘不可压缩的Navier-Stokes方程对悬浮隧道受到的波浪力进行了研究。Wu等[14]基于势流理论针对悬浮隧道受到的非线性波浪力进行了研究。除了荷载的计算外，波浪荷载下悬浮隧道的响应问题也是研究的重点，Kunisu[15]采用边界元法对悬浮隧道在波浪荷载下的动力响应进行了计算，分析了隧道尺寸和形状对其响应的影响。Remseth等[16]提出了一种计算波浪荷载下悬浮隧道随机动力响应的方法，分析了波向、阻尼系数、刚度和自振频率的影响。Faggiano等[17]对波浪力作用下悬浮隧道结构的响应进行详细分析，讨论的悬浮隧道不同方向的受力情况以及随深度的变化规律。Dai等[18]以带锚索的浮筒式悬浮隧道为研究对象，分析了长期波浪荷载作用下悬浮隧道的响应问题。Jin等[19]采用室内试验和数值模拟相结合的方式分析了波浪作用下黏滞阻尼系数、浮重比、锚索刚度对悬浮隧道动力响应的影响。
悬浮隧道的修建场地往往在有地震带的海峡上，这给悬浮隧道带来极大的威胁。在此方面Morita等[20]以格林函数为基础将悬浮隧道锚索简化为支撑弹簧，进行了竖向地震作用下悬浮隧道的响应分析。Lee等[21]在考虑海水的可压缩性、弹性海床对压力波吸收的条件下，研究了海水对SFT系统地震响应的主要影响。数值模拟是研究地震的重要手段，Leira[22]采用大质量法对多点激励下SFT的动力响应进行了数值模拟，研究了地震波通道效应对悬浮隧道的动力特性的影响。Fogazzi等[23]采用改进的杆单元来模拟锚索，梁单元模拟管体建立悬浮隧道的有限元模型，进行了地震激励下的动力响应分析。上述研究多是针对单一荷载进行讨论，然而工程实际中荷载往往都不是单一出现的，因此有一些学者开展了多荷载耦合下悬浮隧道的响应研究。Jin和Kim[24]在波浪荷载的基础上考虑了移动荷载，研究了两者耦合作用下悬浮隧道的特性。DiPilato等[25]采用数值模拟的方式对波浪、地震耦合作用下悬浮隧道的动力特性进行了研究。Wu等[26]基于三角级数法得到了随机地震荷载，建立了地震作用下的水动力荷载计算公式，对悬浮隧道锚索在地震和流体共同作用下的动力特性进行了研究。此外，一些学者也对其他海洋结构进行了多荷载耦合作用的响应分析[27-28]。
对悬浮隧道进行合理的简化，建立合适的理论模型也是其动力分析的重要部分。孙胜男等[29-30]将悬浮隧道锚索简化为简支梁，分析了锚索在轴向激励和随机激励下的动力响应。惠磊等[31]等建立了冲击作用下悬浮隧道的圆柱壳模型，采用等效质量法进行求解，分析了碰撞中的能量转化和冲击点的最大位移。陈健云等[32-33]通过将管体简化为质量块，将锚索简化为欧拉梁建立了悬浮隧道耦合振动模型，考虑了水流作用下悬浮隧道的耦合振动响应。Lin等[34]通过将管体和锚索简化为耦合连接的欧拉梁系统，建立了悬浮隧道管体-锚索耦合振动模型，研究了移动荷载下悬浮隧道的动力响应。总体而言，目前关于悬浮隧道研究主要集中在单一荷载、特定构件的研究，对于荷载耦合和结构耦合的研究较少，不能较为真实反映悬浮隧道的实际工况。
为了综合考虑波浪地震荷载以及悬浮隧道结构的耦合效应，本文在前人研究的基础上，通过Stokes波浪方程和三角级数法计算波浪荷载和地震荷载，基于D’Alembert原理建立波浪地震作用下管体-锚索耦合振动模型，通过四阶Runge-Kutta法数值积分求解微分方程组，对地震、波浪的荷载参数和系统响应进行分析和讨论。
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采用微幅波理论的一阶近似不能满足波浪荷载计算精度要求，应当考虑非线自由表面对波浪荷载的影响。Stokes波浪理论是计算非线性波浪荷载的常用方法，在保证计算精度的情况下，本文选择Stokes三阶波浪方程来进行计算，波面方程、速度势函数和弥散关系为：
$$ \begin{split} & \eta = a\cos \left( {kx - {\omega _0}t} \right) + \frac{{\pi {a^2}}}{L}{f_2}\cos 2\left( {kx - {\omega _0}t} \right) + \\&\qquad \frac{{{\pi ^2}{a^3}}}{{{L^2}}}{f_3}\cos 3\left( {kx - {\omega _0}t} \right) , \\& \varPhi = \frac{s}{k}\sum\limits_{n = 1}^3 {\frac{1}{n}{F_n}\cos {\rm{h}}nk\left( {{\textit{z}} + d} \right)\sin n\left( {kx - {\omega _0}t} \right)}, \\& {s^2} = \frac{{gL}}{{2\pi }}\tan {\rm{h}}kd\left[ {1 + {{\left( {\frac{{2\pi a}}{L}} \right)}^2}\frac{{14 + 4\cos {{\rm{h}}^2}2kd}}{{16\sin {{\rm{h}}^4}kd}}} \right] , \\& L = \frac{{g{T^2}}}{{2\pi }}\tan {\rm{h}}kd\left[ {1 + {{\left( {\frac{{2\pi a}}{L}} \right)}^2}\frac{{14 + 4\cos {{\rm{h}}^2}2kd}}{{16\sin {{\rm{h}}^4}kd}}} \right] \end{split} $$ (1) 式中：η为波面函数；a为波高H和kd的参数由
$H = 2a + 2\dfrac{{{\pi ^2}}}{{{L^2}}}{a^3}{f_3}$ 确定；k为波数；ω0为波浪荷载的频率；d为海底的静止水深；Φ为速度势函数；s和L分别为波速和波长；x和z分别为以静水面为原点，波浪传播方向的坐标和垂直向上的坐标；f为波面方程的系数，F为速度势函数的系数，$$ \begin{aligned} & {f_2} = \frac{{[ {2 + \cos {\rm{h}}2kd} ]\cos {\rm{h}}kd}}{{2\sin {{\rm{h}}^3}kd}};{f_3} = \frac{3}{{16}}\frac{{1 + 8\cos {{\rm{h}}^6}kd}}{{\sin {{\rm{h}}^6}kd}};\\& {F_1} = \frac{{2\pi a}}{L}\frac{1}{{\sin {\rm{h}}kd}} - {\left( {\frac{{2\pi a}}{L}} \right)^2}\frac{{[ {1 + 5\cos {{\rm{h}}^2}kd} ]\cos {{\rm{h}}^2}kd}}{{8\sin {{\rm{h}}^5}kd}};\\& {F_2} = \frac{{12{\pi ^2}{a^2}}}{{{L^2}4\sin {{\rm{h}}^4}kd}};{F_3} = {\left( {\frac{{2\pi a}}{L}} \right)^2}\frac{{3\left( {11 - 2\cos {\rm{h}}2kd} \right)}}{{64\sin {{\rm{h}}^7}kd}} \end{aligned} $$ 基于上述关系式可以得到波浪荷载下引起的水质点速度如式(2)：
$$ {v_x} = s\sum\limits_{n = 1}^3 {{F_n}\cos {\rm{h}}nk\left( {{\textit{z}} + d} \right)\cos n\left( {kx - {\omega _0}t} \right)} $$ (2) 在已知波高H、周期T以及水低深度d的情况下，可以先求波长L和a，进一步则可解出Stokes三阶波浪方程的全部方程。将波浪引起的水质点速度式(2)代入Morison方程即可计算出作用在悬浮隧道上的波浪荷载，在后文中将进行这部分计算。
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为了对悬浮隧道进行地震响应时域分析，必须建立合适的地震加速度时程曲线。一种可行的方法是通过三角级数法计算出平稳过程条件下地震加速度时程曲线[35]：
$$ a\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {4\Delta \omega S\left( {{\omega _k}} \right)} \cos \left( {{\omega _k}t + {\varepsilon _k}} \right)} $$ (3) 式中：S(ω)为设计地震功率谱；Δω为圆频率增量，Δω=2π/Td，Td是地震的持续时间；ωk=kΔω；εk为随机相位改变量，其变化范围为0~2π。
考虑到随机地震激励的非平稳特性，根据功率谱包络理论中的非均匀调制函数对式(3)进行修正[36]：
$$ \begin{split} & {\ddot x_g}\left( t \right) = a\left( t \right)W\left( t \right)\\& W\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {t/{t_0}} \right)}^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 < t \leqslant {t_0}}\\ {1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{t_0} < t \leqslant {t_n}} \\ {{{\rm e}^{ - c\left( {t - {t_n}} \right)}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{t_n} < t \leqslant {T_{\rm d}}} \end{array}} \right. \end{split} $$ (4) 式中：t0和tn分别为控制平稳段的首末时刻；c为衰减常数。
对于地震谱的选择具有较大任意性，结合实际的场地条件和结构特性采用设计地震加速度响应谱，能够使悬浮隧道的抗震分析更加的精细化和合理。目前中国罕有海洋结构相关的抗震设计标准。因此，本文参考国际标准化组织(ISO)制定的海洋结构抗震设计标准[37]，地震设计反应谱需要根据场地分类、峰值加速度和阻尼比三个参数进行选择，具体如图1所示。
图 1 地震设计加速度响应谱
Figure 1. Seismic design acceleration response spectrum
当结构的基本周期等于0.2 s或1.0 s时，海底基岩的谱加速度可以根据场地区域通过抗震设计标准查得。此处取Sa,map(0.2)为0.5 g；Sa,map(1.0)为0.2 g；T为结构的基本周期；Ts为场地的特征周期；
${T_{\rm s}} = \dfrac{{{C_{{\rm v}}}{S_{\!\!{\rm a},{\rm{map}}}}\left( {1.0} \right)}}{{{C_{\rm a}}{S_{\!\!{\rm a},{\rm{map}}}}\left( {0.2} \right)}}$ ；Cv和Ca是场地系数可以根据场地类别以及Sa,map(0.2)和Sa,map(1.0)通过规范中表格查到，此处分别取0.9和0.8。通过设计地震响应谱则地震的功率谱可以近似通过下式得到[38]：
$$ S\!( \omega ) = \frac{\zeta }{{\pi \omega }}{\left[ {{S_{\!\!{\rm a}}}\left( \omega \right)} \right]^2}\frac{1}{{\ln \left[ { - \dfrac{\pi }{{\omega {T_{\rm d}}}}\ln \left( {1 - P} \right)} \right]}} $$ (5) 式中：ζ为结构的阻尼比，此处取0.05；Sa(ω)为与Sa(T)对应的圆频率响应谱，可由对后者进行T=2π/ω变量替换得到；P为超越概率常数，在此取0.9。
由于式(5)的转换存在误差，需要对人工地震功率谱进行修正。对于每一个频率点处的人工地震功率谱，以计算反应谱和目标反应谱的比值作为验证精度值，当精度值不满足拟合精度值时，按照比值进行功率谱值的调整，调整后再次生成人工地震动，并用新人工地震动计算相应的反应谱，再与目标反应谱比较，进行精度值检验和调整。如此反复，直至达到精度要求。
通过上述方法，可以建立与目标场地和结构相匹配的加速度时程曲线，则作用在结构上的地震荷载可用下式来表示：
$$ {F_{\rm g}}\left( t \right) = m{\ddot x_{\rm g}}\left( t \right) $$ (6) 式中：Fg为作用在结构上的地震荷载；m为结构的质量。
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如果流体在某一点处的速度和加速度已知，则可以通过Morison方程即式(7)计算出流体的作用力，方程的第一项是流体作用引起的阻尼力，第二项是流体作用引起的惯性力。
$$ \begin{split} {F_{\rm D}} = &\frac{1}{2}{\rho _{\rm{w}}}D{C_{\rm D}}\left( {v - \frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)\left| {v - \frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right| + \\& {C_{\rm M}}\frac{\pi }{4}{\rho _{\rm{w}}}{D^2}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}} - \left( {{C_{\rm M}} - 1} \right)\frac{\pi }{4}{\rho _{\rm{w}}}{D^2}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} \end{split} $$ (7) 式中：ρw海水的密度；D为悬浮隧道的外径；v为水质点速度；w为管体振动的位移函数；CD和CM分别为流体作用的阻尼力系数和附加质量系数，可通过流体试验测定，在缺乏大量试验的条件下CD可近似取1.0，CM可近似取2.0[9]。
已有研究表明：在相同荷载作用下，悬浮隧道水平方向的响应远小于竖直方向[39]，因此本文仅考虑悬浮隧道的竖向受力及响应。波浪和地震荷载会通过流体间接的作用在悬浮隧道系统上，结构自身的运动也会导致流体作用，此处将同时通过Morison方程计算三者的流体作用。在计算中锚索受到的流体作用与隧道管体形式相同，但考虑到锚索的直径较小且具有较大的安装水深，在此假设锚索不受到波浪力的作用[11]。
$$ \begin{split} {F_{\rm D}} = &\frac{1}{2}{\rho _{\rm{w}}}D{C_{\rm D}}\left( {{v_{\textit{z}}} + {{\dot x}_{\rm g}} - \frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)\left| {{v_{\textit{z}}} + {{\dot x}_{\rm g}} - \frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right| + \\& {C_{\rm M}}\frac{\pi }{4}{\rho _{\rm{w}}}{D^2}\left( {\frac{{\partial {v_{\textit{z}}}}}{{\partial t}} + {{\ddot x}_g}} \right) - {C_{\rm M}}\frac{\pi }{4}{\rho _{\rm{w}}}{D^2}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} \\ {F_{{\rm d}i}} =& \frac{1}{2}{\rho _{\rm{w}}}{d_i}{C_{\rm D}}\left( {{{\dot x}_{\rm g}} - \frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)\left| {{{\dot x}_{\rm g}} - \frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right| + \\& {C_{\rm M}}\frac{\pi }{4}{\rho _{\rm{w}}}d_i^2{{\ddot x}_{\rm g}} - {C_{\rm M}}\frac{\pi }{4}{\rho _{\rm{w}}}d_i^2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} \end{split} $$ (8) 式中：u为锚索的位移；di为锚索的直径；xg为地震引起的水质点位移。
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目前在悬浮隧道理论计算方面，主要有弹性地基梁模型(Beam on elastic foundation)、锚索振动模型(Tether vibration model)和管体-锚索耦合振动模型(Tube-tether coupled model)三种[40-41]。其中，弹性地基梁模型将悬浮隧道锚索简化为弹性支撑，将管体简化为弹性支承梁，能够对管体的动力响应进行分析但忽略了锚索的振动。锚索振动模型将悬浮隧道锚索简化为倾斜的梁，将管体简化为质量块或作用在锚索上的简谐激励，能够对锚索的动力响应进行分析，但忽略了管体的振动。管体-锚索耦合振动模型同时考虑了锚索和管体的振动以及耦合效应能够同时对管体和锚索进行动力响应分析，因此本文将选用该模型进行计算。
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如图2(a)，在悬浮隧道的两侧，假设等间距h布置着Ns个相同的锚索，管体在浮力作用下使锚索处于绷紧的状态，此时锚索具有一定的初张力T0。管体发生w的位移后，在与锚索连接的xi处与其发生位移协调，同时锚索自身也会产生的法向振动，因此，除初张力外锚索还承受附加的张力ΔT。
图 2 悬浮隧道耦合振动系统
Figure 2. Coupled vibration system of SFT
此外，由于锚索自身的重力和柔度较大，往往表现出一定的垂度，使其受力特性发生改变。为了考虑锚索的垂度效应，采用等效刚度法来计算锚索的弹性模量[42]。
$$ \begin{split} & \Delta {T_i} = \frac{{{E_{{\rm{eq}}}}{A_i}}}{{{l_i}}}\int_0^{{l_i}} {{\varepsilon _i}{\rm{d}}{{\textit{z}}_i}} ;{E_{{\rm{eq}}}} = \frac{E}{{1 + E/{E_{\rm{f}}}}};\\& {\varepsilon _i} = \frac{{w\left( {{x_i},t} \right)\sin {\alpha _i}}}{{{l_i}}} + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\partial {u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial {{\textit{z}}_i}}}} \right)^2};\\& {E_{\rm{f}}} = \frac{{12{\sigma ^3}}}{{\gamma _{\rm{f}}^2{{\left( {{l_i}\;\cos {\alpha _i}} \right)}^2}}}{\rm{ }},i = 1,2,\cdots,Ns \end{split} $$ (9) 式中：Eeq为考虑锚索垂度效应以后的等效弹性模量；Ai为锚索的截面积；Ef为锚索垂度产生的弹性模量；γf为锚索的浮重度；σ为锚索的初应力，σ=T0/Ai；T0为锚索的初张力；αi为锚索的倾角。
如图2(b)，考虑地震对流体的作用后，另一方面假设地震激励由锚索输入系统，此处令
$ {F_{{\rm g1}}} = {m_i}{\ddot x_{\rm g}}\left( t \right) \cos {\alpha _i},{F_{{\rm g2}}} = {m_i}{\ddot x_{\rm g}}\left( t \right) \sin {\alpha _i} $ ，前者用来考虑地震激励对锚索张力的影响，后者认为是作用在锚索法向上的外力。在考虑锚索张力、流体作用以及地震力后，在图2(b)局部坐标系的基础上根据D’Alembert原理建立锚索的振动方程。$$ \begin{split} & {m_i}\frac{{{\partial ^2}{u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial {t^2}}} + {c_i}\frac{{\partial {u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial t}} - {F_{{\rm g1}}}\frac{{{\partial ^2}{u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial {\textit{z}}_i^2}} - \\&\qquad\qquad \left( {\Delta {T_i} + {T_i}} \right)\frac{{{\partial ^2}{u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial {\textit{z}}_i^2}} = {F_{{\rm d}i}}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right) + {F_{\rm g2}} \end{split} $$ (10) 式中：下标i代表第i根锚索，mi为单位长度锚索的质量；ui为锚索的位移；ci为锚索的粘滞阻尼系数；F
di为第i根锚索受到的流体作用力。 -
悬浮隧道管体受到波浪力、流体作用力以及锚索的张力，通过锚索的张力项隧道管体与锚索之间相互耦合，在锚索振动方程的基础上可以写出悬浮隧道管体-锚索系统的耦合振动方程，如式(11)。
$$ \begin{split} & {m_{{\rm{tb}}}}\frac{{{\partial ^2}w\left( {x,t} \right)}}{{\partial {t^2}}} + {c_{{\rm{tb}}}}\frac{{\partial w\left( {x,t} \right)}}{{\partial t}} + {E_{{\rm{tb}}}}{I_{{\rm{tb}}}}\frac{{{\partial ^4}w\left( {x,t} \right)}}{{\partial {x^4}}} + \\&\qquad 2\sum\limits_{i = 1}^{Ns} {\Delta {T_i}\sin {\alpha _i}{\rm{\delta }}\left( {x - {x_i}} \right) = {F_{\rm D}}\left( {x,t} \right)},\\& {m_i}\frac{{{\partial ^2}{u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial {t^2}}} + {c_i}\frac{{\partial {u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial t}} - {F_{\rm g1}}\frac{{{\partial ^2}{u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial {\textit{z}}_i^2}} - \\&\qquad \left( {{T_i} + \Delta {T_i}} \right)\frac{{{\partial ^2}{u_i}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right)}}{{\partial {\textit{z}}_i^2}} = {F_{{\rm d}i}}\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right) + {F_{\rm g2}} \end{split} $$ (11) 式中：mtb为单位长度管体的质量；ctb为管体的粘滞阻尼系数；EtbItb为管体的弯曲刚度；δ为狄拉克函数。
上述微分方程组可采用Galerkin法即式(12)进行化简，将偏微分方程组转换为常微分方程组：
$$ \begin{split} & q\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {\sin \left( {\frac{{{\rm j}\pi x}}{{{l_{{\rm{tb}}}}}}} \right){q_j}\left( t \right)} ,\\& u\left( {{{\textit{z}}_i},t} \right) = \sin \left( {\frac{{\pi {{\textit{z}}_i}}}{{{l_i}}}} \right){p_i}\left( t \right) \end{split} $$ (12) 由于在锚索的振动中第一阶振型占主导地位[43]，在此取锚索的第一阶模态进行简化计算，化简后的结果为：
$$ \begin{split} & {{\ddot q}_n}\left( t \right) + {F_1}{{\dot q}_n}\left( t \right) + {F_2}\left( n \right){q_n}\left( t \right) + {C_{{\rm f}I}}\left( {t,n} \right) + \\&\qquad\quad {F_3}\sum\limits_{i = 1}^{{N_s}} \Delta {T_i}\left( t \right)\sin {\alpha _i}\sin \frac{{n\pi {x_i}}}{{{l_{{\rm{tb}}}}}} = {F_4}\left( n \right){F_{\rm R}} ,\\& {{\ddot p}_i}\left( t \right) + {G_1}{{\dot p}_i}\left( t \right) + {G_2}[ {{F_{\rm g1}} + {T_i} + \Delta {T_i}\left( t \right) } ]{p_i}\left( t \right) + \\&\qquad\qquad {C_{{\rm f}iI}}\left( {t,n} \right) = {G_3}{F_{{\rm R}i}} \end{split} $$ (13) 式中：n为管体振型的第n阶模态；
${\bar m_{{\rm{tb}}}}$ 和${\bar m_i}$ 分别为管体和锚索的等效质量，${\bar m_{{\rm{tb}}}} = {m_{{\rm{tb}}}} + 0.25\pi {D^2}{\rho _{\rm{w}}}$ ，${\bar m_i} = {m_i} + 0.25\pi d_i^2{\rho _{\rm{w}}}$ ；Fi为悬浮隧道管体振动微分方程的系数，${F_1} = \dfrac{{{c_{{\rm{tb}}}}}}{{{{\bar m}_{{\rm{tb}}}}}}$ ，$ {F_2}\left( n \right) = \dfrac{{{E_{{\rm{tb}}}}{I_{{\rm{tb}}}}}}{{{{\bar m}_{{\rm{tb}}}}}}{\left( {\dfrac{{n\pi }}{{{l_{{\rm{tb}}}}}}} \right)^4} $ ，${F_3} = \dfrac{4}{{{l_{{\rm{tb}}}}{{\bar m}_{{\rm{tb}}}}}}$ ，${F_4}\left( n \right) = - \dfrac{{2\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^n} - 1} \right]}}{{\pi {{\bar m}_{{\rm{tb}}}}n}}$ ；Gi为锚索振动微分方程的系数，${G_1} = \dfrac{{{c_i}}}{{{{\bar m}_i}}},{G_2} = \dfrac{1}{{{{\bar m}_i}}}{\left( {\dfrac{\pi }{{{l_i}}}} \right)^2},{G_3} = \dfrac{4}{{{{\bar m}_i}\pi }}$ ；FR和FRi分别为管体和锚索流体作用中外力产生的惯性力项积分后的结果，${F_{\rm R}} = 0.25\pi {\rho _{\rm{w}}}{D^2}\left( {\dfrac{{\partial {v_{\textit{z}}}}}{{\partial t}} + {a_g}} \right)$ ,${F_{{\rm R}i}} = 0.25\pi {\rho _{\rm{w}}}d_i^2{a_{\rm g}} + {m_i}{a_{\rm g}}\sin {\alpha _i}$ ；CfI和CfiI分别为管体和锚索的流体作用力中非线性阻尼力项积分后的结果：$$ \begin{split} {C_{{\rm f}I}}\left( {t,n} \right) = &\frac{{0.7{\rho _{\rm{w}}}D}}{{{l_{{\rm{tb}}}}{{\bar m}_{{\rm{tb}}}}}}\int_0^{{l_{{\rm{tb}}}}} {\left[ {\sum\limits_{j = 1}^\infty {\sin \frac{{{\rm j}\pi x}}{{{l_{{\rm{tb}}}}}}{{\dot q}_j}\left( t \right)} - {v_{\textit{z}}} - {{\dot x}_{\rm g}}} \right]} \cdot\\& \left| {\sum\limits_{j = 1}^\infty {\sin \frac{{{\rm j}\pi x}}{{{l_{{\rm{tb}}}}}}{{\dot q}_j}\left( t \right)} - {v_{\textit{z}}} - {{\dot x}_{\rm g}}} \right|\sin \frac{{n\pi x}}{{{l_{{\rm{tb}}}}}}{\rm{d}}x , \end{split}$$ $$ \begin{split} {C_{{\rm f}iI}}\left( t \right) =& \frac{{0.7{\rho _{\rm{w}}}{d_i}}}{{{l_i}{{\bar m}_i}}}\int_0^{{l_i}} {\left[ {\sin \frac{{\pi {{\textit{z}}_i}}}{{{l_i}}}\dot p\left( t \right) - {{\dot x}_{\rm g}}} \right]} \cdot\\& \left| {\sin \frac{{\pi {{\textit{z}}_i}}}{{{l_i}}}\dot p\left( t \right) - {{\dot x}_{\rm g}}} \right|\sin \frac{{\pi {x_i}}}{{{l_i}}}{\rm{d}}x \end{split}\qquad\qquad\quad$$ 上述的时变耦合微分方程组无法求得解析解，对于悬浮隧道管体微分方程而言，计算n阶振型需要联立求解n个微分方程。对于悬浮隧道锚索而言，锚索数量Ns对应着需要求解Ns个微分方程。本文计算对耦合微分方程系统进行降阶处理，然后采用四阶龙格库塔法数值积求解，具体步骤如图3所示。
图 3 系统微分方程系统求解步骤
Figure 3. Steps of solving system differential equation
参考国内外待建悬浮隧道的参数，在下文的计算中所用参数如表1。
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为了研究不同场地类别和地震作用下悬浮隧道的动力响应，在此根据已经建立的设计地震谱选择了三条与之匹配的地震记录进行对比分析，如表2所示，同时将四种地震的加速的时程曲线如图4(a)所示。
表 1 悬浮隧道系统基本参数
Table 1. Primary parameters of SFT system
对象 参数 数值 管体 长度l/m 500 外径D/m 15 厚度Ω/m 1 弹性模量Etb/GPa 35 单位长度质量mtb/(kg/m) 1.5×105 锚索 长度li/m 160 直径di/m 0.346 单位长度质量mi/(kg/m) 1474.23 弹性模量Ei/GPa 210 倾角αi/(°) 60 初张力Ti/kN 2×104 锚索间距h/m 125 波浪 波高H/m 2.83 波长L/m 78 周期T/s 7.76 地震 峰值加速度PGA/(m/s2) 0.5 g 持续时间Td/s 40 场地类别 A 表 2 天然地震波参数
Table 2. Parameters of natural earthquakes
序号 1 2 3 地震名 Helena Montana-01 Imperial Valley-02 Humbolt Bay 时间/年 1935 1940 1937 台站 Carroll College El Centro Array #9 Ferndale City Hall 震级 6.6 6.95 7.36 震中距/km 6 6.9 5.8 场地类别 C D D 
图 4 不同地震波对悬浮隧道响应的影响
Figure 4. Impact of different seismic waves on responses of SFT
由图4(a)可以看出，基于三角级数法生成的人工地震波，在时域上具有较大的分布密度和加速度峰值，主要地震作用时间在前40 s。而基于设计谱在太平洋地震工程研究中心(Peer)上选择的地震波具有较大的差异性，主要作用时间及加速度幅值均不相同，但能为悬浮隧道的抗震性能进行多方面的检验。图4(b)为本文中锚索位移的计算结果与Wu等[26]和Su[41]的结果进行比较，在计算的过程选择了相同的地震荷载参数和锚索结构参数。后者采用的计算模型为锚索振动模型，该模型将悬浮隧道管体的作用力简化为作用在锚索上的简谐荷载，主要考虑锚索的振动作用。由于采用了随机生成的地震波，计算出来的结果必然存在一定的差异。尽管本文所用悬浮隧道模型与他们不同，但计算结果较为相似。值得注意的本文在此对比的是3#锚索的位移，2#锚索因为处于管体的跨中位置，同时受到参数共振的影响产生了较大位移，这在非耦合模型中是没有体现的。
通过多点虚拟激励法将人工地震和自然地震荷载施加在悬浮隧道系统上，同时考虑波浪荷载计算后得到图4(c)~图4(d)动力响应结果。由图4(c)可知，在人工地震作用下悬浮隧道管体的峰值位移为0.30 m，出现在11.7 s。人工地震波的持续时间约为40 s，从图中可以看出前40 s，管体震荡较为剧烈。另外从图中也能看出2#锚索位移最大，为2.15 m，出现在9.9 s，其余两对锚索的最大位移分别为0.57和0.27 m。
由图4(d)可以发现，不同地震荷载输入下结构的响应具有较大的差异性，Helena Montana-01地震的特点是峰值加速度大、持续时间短，因此前20 s内管体的振动最为剧烈，但所造成的位移不大。Imperial Valley-02地震与前者相似，但地震持续时间较长，峰值加速度也更大，其管体最大位移可达0.41 m。Humbolt Bay地震的水平加速度峰值较小，但持续时间较长，管体的最大位移为0.02 m。总体而言，不同地震作用下管体的位移的幅值和频率均有差别，但主要影响因素还是地震的峰值加速度和持续时间。
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在结构抗震分析中，一般将地震分为水平地震作用和竖向地震作用来分析。此处通过海洋结构抗震规范计算出竖向地震下悬浮隧道的响应与水平地震下的响应相比较。图5(a)给出了不同方向地震作用下管体跨中位移时程曲线，由图中可知水平地震的最大位移为0.30 m方向为正，而竖直地震的最大位移为0.23 m方向为负，可以看出竖向地震产生的管体位移约为水平地震的76.7%。
图 5 不同地震方向及大小对悬浮隧道系统的影响
Figure 5. Impact of different seismic directions and PGA on responses of SFT system
图5(b)给出了不同地震方向下锚索的跨中位移时程曲线。由图中可以看出无论是水平还是竖向地震作用下2#锚索的位移都最大。水平地震和竖向地震对应的锚索最大位移分别为1.23 m和0.34 m。可见水平地震会使锚索产生较大的位移响应，其最大位移约为竖向作用下的3.6倍。比较管体和锚索的位移，可以看出地震对于锚索的影响大于管体，这是因为锚索固定在海床上直接受到地震的作用，而管体则是通过锚索间接受到地震作用。图5(c)给出了不同地震方向下地震峰值加速度(PGA)与隧道管体最大位移之间的关系曲线，由于采用三角级数法生成的地震谱具有一定的随机性，系统响应从而也有了随机性使得PGA与最大位移之间没有形成明显的函数关系，但对数据进行拟合分析后发现，PGA与最大位移之间近似呈线性关系。
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为了分析波浪作用对地震荷载作用下悬浮隧道系统响应的影响，本小节分别计算了仅地震、仅波浪、地震波浪作用的三种情况。
图6(a)中给出了三种荷载情况下的管体弯矩时程曲线，可以看出地震作用和波浪作用下隧道响应具有不同的作用特点，仅地震、仅波浪、地震波浪共同作用下最大弯矩分别为12.04×108 N·m、0.18×108 N·m和15.58×108 N·m，在地震作用上考虑波浪后管体弯矩增大了29.4%。图6(b)给出了三种荷载情况下的2#锚索的张力时程曲线，仅地震、仅波浪、地震波浪作用下锚索张力分别为183.27×105 N、1.65×105 N、261.09×105 N，在地震作用上考虑波浪后锚索张力增大了42.5%，由此可以看出对于波浪荷载对悬浮隧道系统的响应具有一定促进作用。此处仅波浪作用下锚索的位移小于仅地震作用。然而在后续计算中发现不同波浪参数对系统响应影响较大，并非恒小于地震作用。
图 6 不同波浪参数对悬浮隧道响应的影响
Figure 6. Impact of different wave parameters on responses of SFT
进一步的，图6(c)~图6(d)对波浪荷载的参数进行了讨论，选择了不同波高、波长和周期进行计算，为了避免地震荷载的干扰，在计算中仅考虑了波浪荷载。图6(c)给出了波高、波长与管体最大位移的关系曲线，由图中可以看出管体最大位移与波长、波高直接近似呈线性关系。进一步的，图6(d)给出了不同波浪周期下管体最大位移和波浪频率，由图6(d)可知随波浪周期的增大管体最大位移出现明显的峰值，最大位移达0.74 m。随波浪周期的增大波浪频率呈反比例下降，在波浪周期较小时(小于10 s)，波浪周期与管体1阶频率相近能够产生共振。
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通过Stokes三阶波浪方程及三角级数法计算出波浪和地震荷载，提出了一种计算波浪地震耦合作用下悬浮隧道系统响应的简化分析模型，对荷载参数和系统参数进行讨论得到以下结论：
(1)本文提出的波浪地震耦合作用下悬浮隧道简化分析模型与锚索振动模型在计算锚索位移时具有较好的一致性，但后者不能考虑管体和锚索的耦合振动效应。
(2)地震的方向对于系统响应具有显著影响，在相同峰值加速度情况下水平地震会使系统产生更大位移响应，同期锚索的位移远大于管体。随地震荷载峰值加速度的增加系统的最大位移响应约呈线性增加趋势。
(3)在地震荷载的基础上，考虑波浪荷载后系统的响应出现一定增长。随波高和波长的增大，系统响应整体呈线性增大趋势。此外当波浪周期较小时(小于10 s)与悬浮隧道管体1阶频率相近容易引发系统的共振。
DYNAMIC RESPONSE ANALYSIS OF SUBMERGED FLOATING TUNNELS TO COUPLED WAVE-SEISMIC ACTION
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摘要: 为了分析波浪地震耦合作用下悬浮隧道的动力响应，通过Stokes波浪理论和三角级数法计算了波浪荷载和地震荷载，基于D’Alembert原理建立了波浪地震耦合作用下悬浮隧道的管体-锚索模型。结合悬浮隧道待建工程对荷载参数和系统响应进行分析，结果表明：波浪地震耦合作用下悬浮隧道管体-锚索模型与锚索振动模型具有较好的一致性，但后者无法考虑系统的参数振动；地震的方向对悬浮隧道系统的响应具有显著影响，相同地震峰值加速度下水平地震作用所产生系统的响应要大于竖向地震作用，且锚索的响应大于管体；地震的峰值加速度与系统响应之间具有一定的函数关系，随地震荷载峰值加速度的增加系统的最大位移响应约呈线性增加趋势；在地震荷载的基础上考虑波浪荷载后系统的响应有所增大。随波浪波高和波长增加系统响应约呈线性增大，且较小波浪的周期(小于10 s)易引发系统的共振。Abstract: To investigate the dynamic response of submerged floating tunnels (SFT) subject to the coupled action of earthquakes and waves, the wave load and seismic load were calculated by the Stokes wave theory and trigonometric series method, and the tube-tether model of SFT under the wave-seismic action was established based on the D’ Alembert principle. Combined with a planned SFT project, the load parameters and the response of the SFT system were analyzed. The results show that the tube-tether model was in good agreement with the tether vibration model under the coupled action of earthquakes and waves. However, the latter could not consider the parameter vibration of the system. The earthquake direction had a significant influence on the response of the SFT system. Under the same peak ground acceleration (PGA), the response of the system to the horizontal earthquake action was greater than that to the vertical earthquake action, and the response of the tethers was greater than that of the tube. There was a certain relationship between the PGA and the response of the system. The maximum displacement of the system increased linearly with the increase of the PGA. Based on the seismic load, the response of the system was increased by considering the wave load. With the increase of the wave height and wavelength, the response of the system increased linearly. Waves of small periods (less than 10 s) were easy to cause resonance of the system.
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Key words:
- tunnel engineering /
- submerged floating tunnel /
- wave load /
- seismic load /
- dynamic analysis
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图 5 不同地震方向及大小对悬浮隧道系统的影响
Figure 5. Impact of different seismic directions and PGA on responses of SFT system
图 6 不同波浪参数对悬浮隧道响应的影响
Figure 6. Impact of different wave parameters on responses of SFT
表 1 悬浮隧道系统基本参数
Table 1. Primary parameters of SFT system
对象 参数 数值 管体 长度l/m 500 外径D/m 15 厚度Ω/m 1 弹性模量Etb/GPa 35 单位长度质量mtb/(kg/m) 1.5×105 锚索 长度li/m 160 直径di/m 0.346 单位长度质量mi/(kg/m) 1474.23 弹性模量Ei/GPa 210 倾角αi/(°) 60 初张力Ti/kN 2×104 锚索间距h/m 125 波浪 波高H/m 2.83 波长L/m 78 周期T/s 7.76 地震 峰值加速度PGA/(m/s2) 0.5 g 持续时间Td/s 40 场地类别 A 
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表 2 天然地震波参数
Table 2. Parameters of natural earthquakes
序号 1 2 3 地震名 Helena Montana-01 Imperial Valley-02 Humbolt Bay 时间/年 1935 1940 1937 台站 Carroll College El Centro Array #9 Ferndale City Hall 震级 6.6 6.95 7.36 震中距/km 6 6.9 5.8 场地类别 C D D
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图(8) / 表 (2)
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