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基于圆孔扩张理论的桩基水平承载力计算方法

张小玲 赵景玖 孙毅龙 许成顺

张小玲, 赵景玖, 孙毅龙, 许成顺. 基于圆孔扩张理论的桩基水平承载力计算方法[J]. 工程力学, 2021, 38(2): 232-241, 256. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
引用本文: 张小玲, 赵景玖, 孙毅龙, 许成顺. 基于圆孔扩张理论的桩基水平承载力计算方法[J]. 工程力学, 2021, 38(2): 232-241, 256. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
Xiao-ling ZHANG, Jing-jiu ZHAO, Yi-long SUN, Cheng-shun XU. AN ANALYSIS METHOD FOR THE HORIZONTAL BEARING CAPACITY OF PILE FOUNDATION BASED ON THE CAVITY EXPANSION THEORY[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(2): 232-241, 256. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
Citation: Xiao-ling ZHANG, Jing-jiu ZHAO, Yi-long SUN, Cheng-shun XU. AN ANALYSIS METHOD FOR THE HORIZONTAL BEARING CAPACITY OF PILE FOUNDATION BASED ON THE CAVITY EXPANSION THEORY[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(2): 232-241, 256. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278

基于圆孔扩张理论的桩基水平承载力计算方法

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
基金项目: 国家自然科学基金面上项目(51778020);国家自然科学基金创新研究群体项目(51421005)
详细信息
    作者简介:

    赵景玖(1994−),男,山东人,硕士生,主要从事桩基工程研究(E-mail: 15264188391@163.com)

    孙毅龙(1990−),男,河南人,博士生,主要从事海上风电单桩基础桩土相互作用研究(E-mail: sunyl@emails.bjut.edu.cn)

    许成顺(1977−),女,黑龙江人,教授,博士,博导,主要从事土动力学与岩土地震工程领域研究(E-mail: xuchengshun@bjut.edu.cn)

    通讯作者: 张小玲(1980−),女,山西人,副教授,博士,硕导,主要从事土动力学方面的研究(E-mail: zhangxiaoling31@163.com)

AN ANALYSIS METHOD FOR THE HORIZONTAL BEARING CAPACITY OF PILE FOUNDATION BASED ON THE CAVITY EXPANSION THEORY

  • 摘要: 近年来,我国城市的基础设施建设规模不断扩大,桩基础是基础设施建设中常用的基础形式,其水平承载特性的分析计算是桩基设计中的重要问题。基于Vesic圆孔扩张理论,分析了水平荷载作用下桩侧土体的实际受力状态,推导了基于应力增量的桩侧土抗力的计算公式,进而提出了考虑摩擦效应的桩土相互作用的计算方法;并基于MATLAB编写了相应的分析程序,通过开展案例分析,验证了该计算方法的有效性;最后基于所建立的桩基水平承载力的力学模型,探讨了荷载、桩径等因素对水平受荷桩的承载特性的影响规律。
  • 图  1  二维情况下桩身截面受力示意图

    Figure  1.  Diagram of stresses on pile surface in two dimensions

    图  2  桩基发生水平位移时桩侧土抗力求解示意图

    Figure  2.  Schematic diagram of solution to soil resistance on the pile side during horizontal displacement of pile foundation

    图  3  水平受荷桩承载受力示意图

    Figure  3.  Diagram of force analysis of horizontally loaded pile

    图  4  考虑摩擦效应的桩身微段受力示意图

    Figure  4.  Diagram of forces on pile element considering friction effect

    图  5  砂土地基中桩身位移弯矩计算结果对比图

    Figure  5.  Comparison of measured and predicted curves of pile displacement and bending moment in sand

    图  6  粘土地基中桩身位移弯矩计算结果对比图

    Figure  6.  Comparison of measured and predicted curves of pile displacement and bending moment in clay

    图  7  桩土摩擦效应对桩身水平位移和弯矩的影响

    Figure  7.  Effects of pile-soil friction on horizontal displacement and bending moment of pile

    图  8  不同荷载作用下水平受荷桩的桩身位移

    Figure  8.  Horizontal displacement of laterally loaded pile under different loads

    图  9  不同荷载作用下水平受荷桩的桩身弯矩

    Figure  9.  Bending moment of laterally loaded pile under different loads

    图  10  不同荷载作用下水平受荷桩所受土体抗力

    Figure  10.  Soil resistance force of laterally loaded pile under different loads

    图  11  不同荷载作用下水平受荷桩的竖向摩擦力

    Figure  11.  Vertical frictional force of laterally loaded pile under different loads

    图  12  不同荷载作用下水平受荷桩的附加轴力

    Figure  12.  Additional axial force of laterally loaded pile under different loads

    图  13  不同桩径下水平受荷桩的桩身位移

    Figure  13.  Horizontal displacement of laterally loaded pile with different pile diameters

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-30
  • 修回日期:  2020-08-17
  • 网络出版日期:  2021-01-16
  • 刊出日期:  2021-01-16

基于圆孔扩张理论的桩基水平承载力计算方法

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
    基金项目:  国家自然科学基金面上项目(51778020);国家自然科学基金创新研究群体项目(51421005)
    作者简介:

    赵景玖(1994−),男,山东人,硕士生,主要从事桩基工程研究(E-mail: 15264188391@163.com)

    孙毅龙(1990−),男,河南人,博士生,主要从事海上风电单桩基础桩土相互作用研究(E-mail: sunyl@emails.bjut.edu.cn)

    许成顺(1977−),女,黑龙江人,教授,博士,博导,主要从事土动力学与岩土地震工程领域研究(E-mail: xuchengshun@bjut.edu.cn)

    通讯作者: 张小玲(1980−),女,山西人,副教授,博士,硕导,主要从事土动力学方面的研究(E-mail: zhangxiaoling31@163.com)

摘要: 近年来,我国城市的基础设施建设规模不断扩大,桩基础是基础设施建设中常用的基础形式,其水平承载特性的分析计算是桩基设计中的重要问题。基于Vesic圆孔扩张理论,分析了水平荷载作用下桩侧土体的实际受力状态,推导了基于应力增量的桩侧土抗力的计算公式,进而提出了考虑摩擦效应的桩土相互作用的计算方法;并基于MATLAB编写了相应的分析程序,通过开展案例分析,验证了该计算方法的有效性;最后基于所建立的桩基水平承载力的力学模型,探讨了荷载、桩径等因素对水平受荷桩的承载特性的影响规律。

English Abstract

张小玲, 赵景玖, 孙毅龙, 许成顺. 基于圆孔扩张理论的桩基水平承载力计算方法[J]. 工程力学, 2021, 38(2): 232-241, 256. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
引用本文: 张小玲, 赵景玖, 孙毅龙, 许成顺. 基于圆孔扩张理论的桩基水平承载力计算方法[J]. 工程力学, 2021, 38(2): 232-241, 256. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
Xiao-ling ZHANG, Jing-jiu ZHAO, Yi-long SUN, Cheng-shun XU. AN ANALYSIS METHOD FOR THE HORIZONTAL BEARING CAPACITY OF PILE FOUNDATION BASED ON THE CAVITY EXPANSION THEORY[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(2): 232-241, 256. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
Citation: Xiao-ling ZHANG, Jing-jiu ZHAO, Yi-long SUN, Cheng-shun XU. AN ANALYSIS METHOD FOR THE HORIZONTAL BEARING CAPACITY OF PILE FOUNDATION BASED ON THE CAVITY EXPANSION THEORY[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(2): 232-241, 256. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0278
  • 近年来,我国城市基础设施建设的规模不断扩大,建设水平不断提高,而桩基础作为这些重大基础设施的主要承载构件,其安全性和稳定性成为保障这些基础设施安全运营的关键因素。桩基础水平承载能力的计算是桩基设计的重要内容,涉及复杂的桩土相互作用的问题。

    目前桩基水平承载特性的主要分析方法有弹性地基反力法(m法、k法)、NL法、p-y曲线法以及应变楔形体模型等。弹性地基反力法中的m法由于可操作性强,且在小变形时计算准确,因此我国规范中经常采用m法作为水平受荷桩的承载特性分析方法[1],但在桩身水平位移较大时该方法的计算误差较大,且不能反映土体的非线性。而Matlock[2]、Reese等[3]基于桩基模型试验建立的p-y曲线法可以较好地反映土体的非线性,且应用简便,在桩基的水平承载力研究中得到了广泛的应用。但p-y曲线法是基于小直径柔性桩模型试验建立的,近年来的众多学者研究表明,该方法应用于水平受荷大直径桩是不合理的[4-6]。Kim等[7]基于开展的模型试验,建立了双曲线形式的p-y曲线,并对其适用性进行了探讨。Klar[8]基于极限分析上限法对土体的应力-应变关系进行了分析,推导了深层土体的p-y曲线。黄茂松等[9]基于弹性力学解,建立了二维情况下桩身位移和桩周土反力的p-y骨干曲线,但该方法仅适用于粘土地基。邹新军等[10]通过应力边界条件求解了桩侧土体应力平衡微分方程,建立了基于桩侧土体应力状态的单桩p-y曲线模型。李洪江等[11]基于圆孔扩张理论建立了基于应力增量的p-y曲线分析方法,但该方法假设桩身在水平位移过程中受到的桩周土应力为环形均布荷载,与实际情况有一定差异。

    上述学者都针对桩基的水平承载性能进行了计算分析,但在计算过程中均未考虑桩土之间的竖向摩擦力对桩基水平承载力的影响。关于桩土间摩擦效应的研究,Ashour和Helal[12]基于应变楔形体模型,研究了桩土间侧摩阻力产生的附加弯矩对桩基水平承载特性的影响规律。Heidari和El Naggar[13]基于应变楔形体模型,建立了考虑桩土间侧摩阻力的桩土动力相互作用简化分析方法。翟恩地等[14]基于p-y曲线模型探讨桩土间侧摩阻力对大直径桩的水平承载力的影响规律。竺明星等[15-16]基于传递矩阵法,考虑了桩土间摩擦产生的侧摩阻力,建立了侧摩阻力硬化与软化的水平受荷桩基计算方法。李洪江等[17]基于m法,将摩擦效应耦合进桩基挠曲微分方程中,提出了考虑摩擦效应的桩基水平承载分析fm法,但在计算土抗力时所应用的m法仅对小变形下的桩基水平承载问题计算较为准确,不能反映桩周土体同时存在弹性和塑性变形区时的桩基的水平变形特性。

    针对上述研究现状,本文基于Vesic圆孔扩张理论,分析了水平荷载作用下桩侧土体的实际受力状态,推导了基于应力增量的p-y曲线计算公式;进而根据梁弯曲理论的挠曲微分方程,建立了考虑摩擦效应的水平受荷桩与土相互作用体系的力学计算方法;并将该方法的计算结果与实测数据进行了对比,验证了本文方法的有效性。

    • Vesic圆孔扩张理论以摩尔-库仑条件为基础,针对具有内摩擦角φ和粘聚力c的无限土体,推导了二维条件下有初始半径的圆形孔洞在均匀分布的内压力作用下发生扩张的一般解。根据Vesic圆孔扩张理论的假设,在圆孔扩张的过程中,塑性区内土体为塑性变形状态,塑性区外土体则仍保持弹性平衡状态[18]

      Vesic圆孔扩张理论描述了在无限土体中存在初始内压力的圆形孔洞不断扩张的问题,而水平荷载作用下桩土相互作用问题,其桩侧土体的实际应力状态与在孔洞扩张的过程中孔周土体的应力状态较为相似。同时,在水平荷载作用下,桩侧土体会迅速进入塑性变形状态,而外层土体则仍保持弹性平衡状态,即在水平受荷桩与周围土体相互作用的任意时刻,都会同时存在弹性和塑性变形区[11],这也符合圆孔扩张理论的假设条件。此外,当水平荷载作用下的桩基发生位移时,桩侧土体会处于持续扩张的状态,此扩张过程在桩基水平位移的方向上是不可逆的,这也和圆孔扩张理论所描述的不可逆扩张状态一致。基于以上几点,本文采用Vesic圆孔扩张理论对水平荷载作用下的桩-土相互作用进行分析。因此,由Vesic圆孔扩张理论可得孔周土体应力增量值计算公式,包括径向应力增量Δσr和纵向应力增量Δσ[19]

      为了对计算模型进行简化,本文在计算过程中采用如下假定:

      1) 假设桩周土体竖向位移较小,适合于采用Vesic圆孔扩张理论在平面应变条件下对桩周土体应力进行计算;

      2) 假设桩身在水平荷载作用下产生的位移较小,桩身不会发生较大的挠曲,在计算时可认为桩、土间的摩擦力始终沿着竖直方向;

      3) 在对桩身进行受力分析和应力计算时,仅对有效嵌固深度之上的土抗力和桩侧摩擦力进行了计算分析,认为有效嵌固深度以下的桩身不会产生挠曲变形。

    • 在承受水平荷载之后,桩侧土体受荷变形,土应力沿桩周的分布方式会发生变化[20],呈现出近似椭圆形非均匀分布的规律[21]图1所示。同时,由于桩、土之间存在相对运动,因此存在因桩-土摩擦效应产生的剪应力$\tau_{\alpha} $

      图  1  二维情况下桩身截面受力示意图

      Figure 1.  Diagram of stresses on pile surface in two dimensions

      由于在水平荷载的作用下,桩周受压区土体上各点在荷载作用下都会产生不同角度的径向土应力σ。根据圆孔扩张理论,每个径向土应力σ均对应一次以桩基中心点为扩孔中心的等效圆孔扩张运动,且σ随着α角的取值不同而不同,若以足够数量的等效圆孔扩张运动来模拟桩基水平位移过程中的桩土相互作用,并计算在此过程中的桩侧土应力,即可精确计算得到桩侧土体所受的总的土抗力。

      图2为在水平荷载作用下,桩基发生水平位移后桩侧土抗力的求解示意图。A点为某深度处桩基初始位置的中心点,B点为水平位移后桩基中心点,桩基半径为r0,水平位移为y图2上部为桩基水平位移后等效扩孔运动的细部图。假设桩基水平位移后,对应某一角度α、所受径向土应力为σ的桩侧土体上一点为C点,C点即为待求应力点。

      图  2  桩基发生水平位移时桩侧土抗力求解示意图

      Figure 2.  Schematic diagram of solution to soil resistance on the pile side during horizontal displacement of pile foundation

      根据Vesic圆孔扩张理论,孔周土体在扩孔过程中受到的径向应力均应通过扩孔中心,即桩周土体受压区上任意点受到的径向土应力均应通过扩孔中心B点。由与荷载作用方向呈α角的CB延长线和桩基的水平移动距离y,构造直角三角形得点D。以由D点为扩孔中心的圆孔扩张运动,可模拟C点所受径向土应力方向的塑性区边界。即当桩基的水平位移为y时,受压区上C点所受到的地基土应力与由D点开始圆孔扩张运动(由0至r1)后孔周土体对C点的力学效应一致[11]C点土体塑性区半径应为:

      $$ \begin{split} {R_{{\rm{p2}}}} = &{R_{{\rm{p1}}}} - y \cdot {\rm cos}\;\alpha = \\& {r_1} \cdot \sqrt {\frac{E}{{2 \cdot (1 + \nu ) \cdot {C_{\rm{u}}}}}} - y \cdot {\rm cos}\;\alpha \end{split}$$ (1)

      式中:Rp1为由D点为扩孔中心的圆孔扩张运动所得到的塑性区边界;Rp2为由C点所受径向土应力方向的塑性区边界;y为水平位移;r1为按照等效扩孔原则确定的孔洞半径,r1=r0+y·cos α E为孔周土体变形模量;ν为土体泊松比;Cu为土体的不排水抗剪强度。

      1)桩基受荷产生水平位移之后C点的径向应力增量为:

      $$ \begin{split} \Delta {\sigma _{r\alpha }} =& {C_{\rm{u}}}\left[ {2 \cdot \ln \left(\frac{{{R_{{\rm{p2}}}}}}{{{r_{\rm{0}}}}}\right) + 1} \right] =\\& {C_{\rm{u}}}\left[ {2 \cdot \ln \left(\frac{{{R_{{\rm{p1}}}} - y \cdot \cos \alpha }}{{{r_{\rm{0}}}}}\right) + 1} \right] \end{split}$$ (2)

      2) 由桩基发生水平位移时,桩周土纵向应力增加引起的径向应力的增量为:

      $$ \begin{split} \Delta {\sigma _{r{\textit{z}}\alpha }} =& \Delta {\sigma _{{\textit{z}}\alpha }} \cdot K\left( y \right)=\\& 2{C_{\rm{u}}}\left( {\ln \left(\frac{{{R_{{\rm{p1}}}} - y \cdot \cos \alpha }}{{{r_{\rm{0}}}}}\right)} \right) \cdot K\left( y \right) \end{split}$$ (3)

      式中:Δσ为孔壁所受纵向土应力增量;侧向土应力系数K(y)采用梅国雄和宰金珉[22]推荐公式。

      3) 由桩基转动挠曲所产生的径向应力增量为:

      $$\Delta {\sigma _{r\alpha K}} = y{\textit{z}}\gamma \cdot \frac{{{\rm d}K(y)}}{{{\rm d}y}}\qquad\qquad\qquad\quad\;\;$$ (4)

      式中,γ为桩周土体重度。

      综上,待求应力点C点所受的径向土应力增量为以上3项累加之和:

      $$\Delta \sigma = \Delta {\sigma _{r\alpha }} + \Delta {\sigma _{r{\textit{z}}\alpha }} + \Delta {\sigma _{r\alpha K}}\qquad\qquad$$ (5)

      $\Delta {\sigma_\alpha ' } $C点所受径向有效土应力增量,${\tau_\alpha ' }$C点由径向有效土应力增量引起的桩土间剪应力:

      $$\Delta {\sigma_\alpha '}{\rm{ = }}\Delta {\sigma _\alpha } - {{\sigma }_0}{\rm{ = }}\left( {\Delta {\sigma _{r\alpha }} + \Delta {\sigma _{r{\textit{z}}\alpha }} + \Delta {\sigma _{r\alpha K}}} \right) - {{\sigma }_0}$$ (6)
      $${\tau_\alpha ' }{\rm{ = }}\mu \cdot \Delta {\sigma _\alpha' }\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad$$ (7)
      $$\mu = \tan \delta \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$ (8)

      式中:σ0为扩孔点A的扩孔半径为桩径时的孔周径向土应力,也即为静止土压力;μ为桩土摩擦系数;δ为桩土摩擦角。对于表面比较光滑的桩,取δ=(0.5~0.7)φ′;对于表面比较粗糙的桩,取δ=(0.7~0.9)φ′,φ′为土体的有效内摩擦角[20]

      最终通过积分求得由桩前受压区在桩身水平位移为y时的水平土抗力p(z,y)。

      $$p\left( {z,y} \right){\rm{ = }}\int_{ - \frac{{{\rm{\pi }}}}{{2}}}^{\frac{{{\rm{\pi }}}}{{2}}} {\left( {\Delta {\sigma _\alpha ^\prime} \cos \alpha + {{\tau _\alpha '}}\sin \alpha } \right)} {\rm d}\alpha $$ (9)
    • 在水平荷载作用下桩身会产生水平位移,此时桩周土体由于桩身的挤压变形而产生水平土抗力,反过来土抗力又会阻止桩身变形的继续发展。因此桩基的水平承载能力不仅取决于桩基本身的材料强度,桩侧土体的性质也会对其产生重要的影响。对桩基的水平承载能力的分析涉及桩土之间的相互作用,基于传统地基反力法,针对承受水平荷载的桩基,将桩侧土体假定为一系列离散的弹簧,来建立考虑桩土相互作用的力学模型,并对桩基进行水平承载性能分析。

      首先,假设桩基础在泥面处承受水平荷载H和弯矩M的作用发生了水平位移,同时在泥面以下产生了连续分布的土抗力,分别为桩前土体抗力p(z)以及桩后土体抗力q(z),如图3(a)所示。截取桩身微段进行受力分析,微段的上截面有弯矩M和剪力Q的作用,微段的下截面则有上截面方向相反的弯矩(M+dM)以及剪力(Q+dQ)的作用,如图3(b)所示。

      图  3  水平受荷桩承载受力示意图

      Figure 3.  Diagram of force analysis of horizontally loaded pile

      由桩身微段水平方向的受力平衡可得:

      $$\left( {Q + {\rm{d}}Q} \right) - Q + q({\textit{z}}){\rm{d}}{\textit{z}} - p({\textit{z}}){\rm{d}}{\textit{z}}{\rm{ = }}0$$ (10)

      对于承受主动荷载作用的结构基础,q(z)表示桩后的土体所提供的土体抗力,由于桩基受到水平荷载作用产生水平位移,桩身与桩后土体会有相互脱离的趋势,桩前土体受到的土体压力远大于桩后土体,因此计算时假定q(z)为0[23]。根据材料力学中梁的弯曲微分方程,可得到此时桩身受力的微分方程:

      $$EI\frac{{{{\rm{d}}^4}y}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^4}}} + p\left( {{\textit{z}},y} \right){\rm{ = }}0$$ (11)

      式中:EI为桩身抗弯刚度;z为泥面向下到达桩身某点处的竖直距离;y为某深度z下的桩身水平位移;p(z,y)为深度z处作用在桩基单位面积上的水平土抗力。

    • 在桩基的水平承载问题中,当桩径较大且桩身侧壁比较粗糙时,在桩身受荷产生水平位移后,由于桩土接触挤压并产生相对运动,会产生沿桩长分布的竖向摩擦力,该摩擦力会改变桩基的水平承载性能。当桩土之间的竖向摩擦力产生时对桩基有3个作用效应:1)竖向摩擦本身导致的竖向接触摩擦力;2)由于竖向摩擦力的累加导致的竖向附加轴力;3)由于竖向摩擦力引起的抵抗自身发生偏转的附加弯矩。

      在实际工程中,为了满足上部结构的正常使用以及桩基的稳定性要求,一般来说水平受荷桩的容许水平位移都比较小[14],因此有如下假定:1) 桩身材料为各向同性的均匀材料,桩身截面的面积与抗弯刚度始终保持不变;2)桩土摩擦系数在桩身埋置深度内保持一致,不因深度变化而发生改变;3)桩身水平变位较小,桩土之间的摩擦力均可近似认为是竖直方向。

      根据材料力学知识,在桩身任意位置截取一个长度为dz的微段进行受力分析,如图4所示,在水平力H和弯矩M的外荷载作用下,桩身微段上截面作用有弯矩M、剪力Q以及附加轴力Nf,水平位移为(y+dy);微段下截面作用弯矩(M+dM)、剪力(Q+dQ)以及附加轴力(Nf+dNf),水平位移为y;在桩前受压侧有垂直于桩身表面的土抗力p(z,y) 作用以及由于桩土相对运动,桩身挤压土体所产生的桩土摩擦力ff的作用方向为沿桩身斜向上;附加轴力的力矩为Nf和桩身微端由于偏转产生的水平位移dy的乘积,摩擦力的附加力矩则以dMf来表示,均以力矩顺时针方向为正。

      图  4  考虑摩擦效应的桩身微段受力示意图

      Figure 4.  Diagram of forces on pile element considering friction effect

      以桩身微端下截面的中心点为矩心,以力矩顺时针方向为正,对该桩身微段的列力矩平衡方程可得:

      $${\rm{d}}M - Q{\rm{d}}{\textit{z}} - p\left( {{\textit{z}},y} \right)\frac{{{{\left( {{\rm{d}}{\textit{z}}} \right)}^2}}}{2} + {N_{\rm{f}}}{\rm{d}}y - {\rm{d}}{M_{\rm{f}}}{\rm{ = }}0$$ (12)
      $$\frac{{{\rm{d}}{N_{\rm{f}}}}}{{{\rm{d}}{\textit{z}}}}{\rm{ = }} - f\;\;\;\;$$ (13)
      $$\frac{{{\rm{d}}Q}}{{{\rm{d}}{\textit{z}}}}{\rm{ = }}p\left( {{\textit{z}},y} \right)\;\;$$ (14)
      $$EI\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^2}}}{\rm{ = }} - M$$ (15)

      式(12)中,附加轴力Nf为沿着深度z方向的变化量即为沿竖向分布的桩土摩擦力,且根据受力平衡可得式(13),剪力Q沿深度z的变化量即为土抗力p(z,y),土抗力p(z,y)可由水平土抗力的计算式(9)计算得到。对式(12)进行化简,忽略包含(dz)2的二阶小量,并对方程同除以dz,再对深度z进行一阶求导,然后将式(13)~式(15)代入,最终可得到考虑竖向摩擦效应的桩身挠曲微分方程:

      $$EI\frac{{{{\rm{d}}^4}y}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^4}}} + p\left( {{\textit{z}},y} \right) + f\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}{\textit{z}}}} - {N_{\rm{f}}}\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^2}}} + \frac{{{{\rm{d}}^2}{M_{\rm{f}}}}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^2}}}{\rm{ = }}0$$ (16)

      式中,第三、四、五项分别表示竖向摩擦力、由摩擦力产生的附加轴力以及抵抗桩身转动的附加弯矩对桩身的力学效应。此三种力学效应的具体计算过程如下。

      1) 桩土之间的摩擦力f

      在桩身变位较小的情况下,桩土之间的摩擦力可近似地认为始终处于竖直方向并沿深度作用于桩身,其大小与桩侧土体水平抗力有关,且满足:

      $$f = \mu p\left( {{\textit{z}},y} \right)$$ (17)

      式中,μ为桩土摩擦系数。根据图1二维情况下水平受荷桩截面的桩前土抗力受力示意图,定义p(z,y)α为对应某角度α的桩侧水平土体抗力。由图1及式(9)可得,二维情况下某深度处桩截面上的总水平土抗力p(z,y)为:

      $$\begin{split} p\left( {{\textit{z}},y} \right) =& \int_{ - \frac{{{\rm{\pi }}}}{{2}}}^{\frac{{{\rm{\pi }}}}{{2}}} {\left( {{\sigma _{r\alpha }^\prime} \cos \alpha + {{\tau _\alpha'} }\sin \alpha } \right)} {\rm d}\alpha = \\& \int_{ - \frac{{{\rm{\pi }}}}{{2}}}^{\frac{{{\rm{\pi }}}}{{2}}} {p{{\left( {{\textit{z}},y} \right)}_\alpha }} {\rm d}\alpha \end{split} $$ (18)

      2) 由摩擦力产生的附加轴力Nf

      由于竖向摩擦力的作用,桩身在竖直方向会产生附加轴力来平衡竖向受力,因此桩身某深度z处受到的附加轴力为从泥面起向下至该深度处竖向摩擦力的累加:

      $${N_{\rm{f}}}\left( {\textit{z}} \right) = \int_{\rm{0}}^{\textit{z}} {f{\rm{ d}}{\textit{z}}} = \int_{\rm{0}}^{\textit{z}} {\mu p\left( {{\textit{z}},y} \right){\rm{ d}}{\textit{z}}} $$ (19)

      3) 抵抗桩身转动的附加弯矩Mf

      根据图1,二维情况下在某深度z处的桩身截面上,由于桩土竖向摩擦的作用,桩身还会受到绕x-x轴产生的抵抗桩身挠曲偏转的弯矩Mf

      $$ {M_{\rm{f}}} = \int_{ - \frac{{\rm{\pi }}}{2}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\mu \left( {p{{({\textit{z}},y)}_\alpha }} \right)\left( {r\cos \alpha } \right)} {\rm d}\alpha $$ (20)

      综上,将式(17)、式(19)和式(20)代入式(16),可得:

      $$ \begin{split} & EI\frac{{{{\rm{d}}^4}y}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^4}}} + p\left( {{\textit{z}},y} \right) - \\ &\qquad \left[ {\left( {\int_{\rm{0}}^{\textit{z}} {\left( {\mu p\left( {{\textit{z}},y} \right)} \right) \cdot {\rm{d}}{\textit{z}}} } \right)\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^2}}} - \left( {\mu p\left( {{\textit{z}},y} \right)} \right)\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}{\textit{z}}}}} \right] + \\ &\qquad \frac{{{{\rm{d}}^2}\left[ {{\rm{2}}\displaystyle\int_{0}^{\frac{{{\rm{\pi }}}}{{2}}} {\left( {\mu p{{\left( {{\textit{z}},y} \right)}_\alpha }} \right)\left( {r\cos \alpha } \right)} {\rm d}\alpha } \right]}}{{{\rm{d}}{{\textit{z}}^2}}}{\rm{ = }}0 \end{split} $$ (21)

      式(21)即为基于圆孔扩张理论,并考虑了应力增量以及桩土摩擦效应的桩身挠曲微分方程表达式。由于该表达式为高阶变系数微分方程,直接对其进行求解无法得到合理的解析解,故利用数学软件MATLAB编程求解,求解过程中需引入该方程的边界条件。根据桩土相互作用的实际受荷情况,计算中仅考虑对桩基变形起到主要控制作用的桩段,即只对有效嵌固深度Le以上桩体的桩土摩擦力进行计算,认为有效嵌固深度以下的桩身不会产生挠曲变形[20]。桩身的有效嵌固深度可由式(22)和式(23)算得:

      $${L_{\rm e}} = \min \left\{ {L,4T} \right\}$$ (22)
      $$T = \sqrt[{{ 5 }}]{{\frac{{EI}}{{m{b_0}}}}}\quad\quad$$ (23)

      式中:m为地基土抗力系数的比例系数;b0为桩的计算宽度,均按规范[24]进行取值。

      在有效嵌固深度Le处,桩身的位移以及转角近似为0;在桩顶的泥面处则认为是作用了水平荷载H0、弯矩M0的自由状态。由此可得桩身挠曲微分方程边界条件为:

      $$\left\{ \begin{aligned} & EI \cdot {\left( {y''} \right)_{{\textit{z}}{\rm{ = 0}}}} = {M_{\rm{0}}} \\& EI \cdot {\left( {y'''} \right)_{{\textit{z}}{\rm{ = 0}}}} = {H_{\rm{0}}} \\& {y_{{\textit{z}} = {L_{\rm e}}}} = {\rm{0}} \\& \varphi \left( L \right) = {{y_{{\textit{z}} = {L_{\rm e}}}'}} = {\rm{0}} \end{aligned} \right.$$ (24)

      根据上述水平荷载H和弯矩M作用下的桩身挠曲微分方程和边界条件,对挠曲微分方程进行求解。对于边值问题的微分方程(组)问题,可利用数学软件MTALAB所提供的相关语句编程求解。依次输入所需的相关参数,便可以计算相应步长条件深度处桩身的变形以及内力值,在此基础上对水平受荷桩的承载性能的计算结果进行分析讨论。

    • 为了验证本文提出的水平受荷桩承载力计算方法在砂土地基中的适用性,将本文方法的计算结果与朱斌等[25]开展的砂土中大直径桩水平受荷离心模型试验结果进行对比。试验中地基土体为福建标准砂,土体内峰值摩擦角为39°,残余内摩擦角为35°,相对密实度为65%,孔隙比为0.727,土体密度为1.524 g/cm3。原型桩桩径为2.5 m,埋深为50 m,抗弯刚度为56.66 GN·m2。模型试验中的桩基为水平静力加载,加载点的位置为泥面以上6.75 m,因此在泥面处桩基会同时受到水平力和弯矩的作用。在所有的计算参数与试验参数完全一致的情况下采用本文计算方法对不同荷载水平下的桩身位移和弯矩进行计算并与实测数据进行对比。图5(a)为在桩基的加载点分别作用6889 kN、5515 kN、4135 kN及2759 kN的不同水平荷载时,桩身水平位移的结果对比图;图5(b)为在桩基加载点作用5515 kN、4135 kN、2759 kN以及1380 kN的不同水平荷载时桩身所受弯矩的结果对比图。

      图  5  砂土地基中桩身位移弯矩计算结果对比图

      Figure 5.  Comparison of measured and predicted curves of pile displacement and bending moment in sand

      图5(a)可得,由本文计算方法得到的桩身水平位移随水平荷载的增加而增加,并从桩顶至桩底逐渐递减,结果与实测数据吻合较好。由图5(b)可得,桩身截面弯矩随深度变化呈现先增加后减小的规律,当水平荷载取5515 kN时,桩身最大弯矩约为55 MN·m。随作用荷载的增加,桩身弯矩逐渐加大,最大弯矩点向土体深处略有发展,其结果与实测数据较为接近,说明了本文计算方法比较适合于实际工程中砂土地基中的桩基承载力计算。

    • 为了验证本文提出的水平受荷桩承载力计算方法在粘土地基中的适用性,采用Zhu等[26]在广东桂山风电场粘土地基上的桩基水平加载现场试验结果与本文的计算方法结果进行对比验证。现场试验试桩为开口钢管桩,钢材型号为Q345B,桩基直径为2.2 m,桩长为66 m。现场软粘土有效重度为6.7 kN/m3,比重为2.68,液限为43.8%,塑限为25.5%,压缩系数为1.2 MPa−1,压缩模量为2.1 MPa。加载条件同样是水平静力加载,加载点高度为泥面上12.64 m处。在本文方法计算时所采用的参数与试验参数完全一致。

      采用本文方法对在加载点作用不同荷载时桩身位移以及弯矩进行计算并与现场实测数据进行对比,图6(a)为在加载点分别作用不同水平荷载2.0 MN、1.7 MN、1.3 MN、0.6 MN及0.3 MN时的桩身水平位移的结果对比图;图6(b)为在加载点作用不同水平荷载1.7 MN、1.3 MN、1.0 MN及0.6 MN时桩身所受弯矩的结果对比图。由图6(a)可得,本文计算结果与试验实测数据较为一致。由图6(b)的结果可得,由本文计算方法得到的桩身弯矩与现场实测数据结果整体较接近,但当桩身作用荷载较大时,由本文方法计算得到的桩身弯矩结果较现场实测数据偏小。这是由于在本文计算中假定桩身始终保持竖直,桩土之间摩擦力也近似认为始终沿竖直方向。但实际上当水平荷载较大时,桩身水平位移较大,而且桩身由于受荷发生挠曲,竖向摩擦力会随着桩身倾斜,此时竖向摩擦力的计算不再由水平土抗力计算得到。故本文方法适用于粘土地基中桩身水平变位较小时桩基水平承载的计算分析。

      图  6  粘土地基中桩身位移弯矩计算结果对比图

      Figure 6.  Comparison of measured and predicted curves of pile displacement and bending moment in clay

    • 为了考察桩土摩擦效应对桩基水平承载性能的影响,通过在桩基水平承载性能的计算过程中改变所采用的挠曲微分方程,针对Zhu等[26]开展的粘土地基上水平桩基承载试验工况进行了计算,并将考虑桩土摩擦效应和未考虑桩土摩擦效应的计算结果进行了对比分析,结果如图7所示。计算过程中施加的静力荷载分别为1.3 MN、1.0 MN和0.6 MN,加载点的位置为泥面以上12.64 m。图7(a)为对水平受荷桩在考虑与未考虑桩土摩擦效应时桩身水平位移的结果对比图,图7(b)为对水平受荷桩在考虑与未考虑桩土摩擦效应时桩身所受弯矩的结果对比图。

      图  7  桩土摩擦效应对桩身水平位移和弯矩的影响

      Figure 7.  Effects of pile-soil friction on horizontal displacement and bending moment of pile

      图7(a)的结果可知,未考虑桩土摩擦效应得到的桩身水平位移的计算结果,比考虑桩土摩擦效应产生的桩身水平位移的计算结果大。由此可知,桩土间的摩擦效应对于水平受荷桩的变形是有利的。在进行水平受荷桩的设计和计算时,如果未考虑桩土间的摩擦效应,最终的设计方案可能会偏于安全。由图7(b)的结果可知,未考虑摩擦效应得到的桩身弯矩的计算结果比考虑摩擦效应得到的桩身弯矩计算结果明显偏大,且随着作用荷载的增大,两者的差值越来越大。这是因为随着作用的水平荷载值的增大,桩土间的摩擦力也相应增大,从而对桩身弯矩产生的影响也越来越大。

    • 为了考察在不同水平荷载作用下桩基的水平承载力以及桩身不同位置处的受力变形情况,采用本文的计算方法对朱斌等[25]开展的水平桩基承载的试验工况进行了计算,得到了不同的水平荷载作用下,桩身位移、弯矩以及桩侧土抗力的变化结果,并对计算结果进行了分析。计算过程中的静力荷载分别为6889 kN、5515 kN、4135 kN和2759 kN,加载点的位置为泥面以上6.75 m。

      图8是在不同水平荷载作用下桩身不同位置处的水平位移变化结果,由图8可以看出,随着水平外荷载的增加,桩身水平位移增加,桩土体系的受荷影响深度也增大。在同一荷载作用下,桩身位移从桩顶到桩底逐渐减小,在本文的算例中,最大的水平荷载6889 kN作用下桩顶的水平位移达到约0.16 m。图9是不同荷载作用下桩身弯矩沿着桩身变化的结果。由图9可知,在水平荷载作用下桩身弯矩沿桩身呈现先增加后减小的变化趋势,并且随水平荷载的增加而变大。

      图  8  不同荷载作用下水平受荷桩的桩身位移

      Figure 8.  Horizontal displacement of laterally loaded pile under different loads

      图  9  不同荷载作用下水平受荷桩的桩身弯矩

      Figure 9.  Bending moment of laterally loaded pile under different loads

      图10是不同水平荷载作用下桩身所受土体抗力沿深度变化的结果,由图10可以看出,桩身受到的土抗力随深度增加逐渐减少,即浅层土体比深层土体会提供更多的土抗力。在本文土抗力的计算中,水平荷载作用下桩身的水平位移随着深度增加而逐渐减小,相应的桩侧土体的塑性区半径也会变小,因此桩周土体的水平土抗力也随之减小。

      图  10  不同荷载作用下水平受荷桩所受土体抗力

      Figure 10.  Soil resistance force of laterally loaded pile under different loads

      图11所示是不同荷载作用下桩身的竖向摩擦力沿桩身的变化结果。由图11结果可知,随水平荷载增加,桩、土间的竖向摩擦力增大。此外,竖向摩擦力随着土体深度增加而减小,浅层土体提供了较多的竖向摩擦力。这个结论与何奔[27]的研究结论一致,即浅层土体对柔性单桩水平受荷性能起到决定性作用,进一步说明了本文方法的正确性。图12是不同水平荷载作用下,桩身由于竖向摩擦力作用而产生的附加轴力沿桩身变化的结果。随着水平荷载增加,由竖向摩擦所导致的桩身附加轴力也不断增加。在泥面以下浅层土体范围内桩身的附加轴力增加较快,而在更深的土体范围内轴力的增加则不明显。

      图  11  不同荷载作用下水平受荷桩的竖向摩擦力

      Figure 11.  Vertical frictional force of laterally loaded pile under different loads

      为了研究桩径对桩基力学性能的影响,针对水平荷载为4135 kN的试验工况进行计算,得到了桩径分别为D=1.5 m、2.0 m、2.5 m、3.0 m和3.5 m情况下水平受荷桩的力学响应。图13是不同桩径下桩身水平位移沿桩身深度的变化结果。由图13结果可知,随着桩径的增加,荷载的影响深度逐渐增加。在浅层土体中桩身水平位移随桩径增大而逐渐减小,在深层土体中桩身水平位移随桩径增大而逐渐增大。这是由于随着桩径的增加,桩身抗弯刚度增大,桩身的性质逐渐由柔性桩向刚性桩转变,在水平荷载的作用下桩身更趋向刚性转动,因此相同水平荷载作用下,大直径桩基的桩头水平位移减小,但荷载的影响深度增加。

      图  12  不同荷载作用下水平受荷桩的附加轴力

      Figure 12.  Additional axial force of laterally loaded pile under different loads

      图  13  不同桩径下水平受荷桩的桩身位移

      Figure 13.  Horizontal displacement of laterally loaded pile with different pile diameters

    • 本文基于Vesic圆孔扩张理论,根据水平受荷桩桩侧土体的实际受力状态,提出了桩侧土抗力计算方法,并考虑了竖向桩土摩擦效应,建立了水平受荷桩承载性能分析的力学模型,对不同荷载作用下水平受荷桩的力学性能进行计算分析,得到了以下主要结论:

      (1) 本文基于Vesic圆孔扩张理论,提出了考虑桩土摩擦效应的桩基水平承载力的计算模型,可以有效地对水平受荷桩的承载性能进行计算;通过与试验结果的对比表明,本文所提出的计算方法与实际水平受荷桩的桩身响应结果较为一致。

      (2) 通过对水平受荷桩力学性能展开计算分析发现,未考虑摩擦效应得到的桩身水平位移与桩身弯矩的计算结果比考虑摩擦效应得到的计算结果偏大;随着桩身受到水平荷载的增大,桩身水平位移、弯矩以及所受的土抗力、桩土摩擦力均会增加,且荷载的影响深度由于上部土体塑性屈服而不断向下发展,浅层土体对桩基水平承载性能的影响较大。

      (3) 基于本文方法,探讨了桩径对水平受荷桩水平位移的影响规律,结果发现,随桩径增加,桩身抗弯刚度增加,桩身性质逐渐由柔性桩向刚性桩转变,桩身挠曲减小,位移形式更趋向刚性转动;在相同水平荷载作用下,大直径桩基的桩头水平位移减小,但荷载作用的影响深度增加。

      (4) 本文基于Vesic圆孔扩张理论提出的考虑摩擦效应的桩土相互作用的计算方法,适用于小位移情况下柔性长桩的水平承载性能计算,结果比较准确。

参考文献 (27)

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