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基于能量等效原理的金属材料硬度预测方法

张志杰 郑鹏飞 陈辉 蔡力勋

张志杰, 郑鹏飞, 陈辉, 蔡力勋. 基于能量等效原理的金属材料硬度预测方法[J]. 工程力学, 2021, 38(3): 17-26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
引用本文: 张志杰, 郑鹏飞, 陈辉, 蔡力勋. 基于能量等效原理的金属材料硬度预测方法[J]. 工程力学, 2021, 38(3): 17-26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
Zhi-jie ZHANG, Peng-fei ZHENG, Hui CHEN, Li-xun CAI. THE METHOD FOR HARDNESS PREDICTION OF METAL MATERIALS BASED ON ENERGY EQUIVALENCE PRINCIPLE[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(3): 17-26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
Citation: Zhi-jie ZHANG, Peng-fei ZHENG, Hui CHEN, Li-xun CAI. THE METHOD FOR HARDNESS PREDICTION OF METAL MATERIALS BASED ON ENERGY EQUIVALENCE PRINCIPLE[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(3): 17-26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249

基于能量等效原理的金属材料硬度预测方法

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
基金项目: 国家重点研发计划项目(2018YFE0307101)
详细信息
    作者简介:

    张志杰(1993−),男,四川人,研究实习员,硕士,主要从事材料力学性能测试理论和技术研究(E-mail: 13688441351@163.com)

    陈 辉(1990−),男,湖南人,副教授,博士,主要从事材料测试理论与技术研究(E-mail: chen_hui5352@163.com)

    蔡力勋(1959−),男,山东人,教授,硕士,博导,主要从事疲劳与断裂力学,材料测试理论与技术研究(E-mail: lix_cai@263.net)

    通讯作者: 郑鹏飞(1982−),男,湖南人,副研究员,博士,硕导,主要从事金属学及金属工艺研究(E-mail: zhengpf@swip.ac.cn)
  • 中图分类号: O341

THE METHOD FOR HARDNESS PREDICTION OF METAL MATERIALS BASED ON ENERGY EQUIVALENCE PRINCIPLE

  • 摘要: 硬度是一种广泛应用于材料科学与工程实际中的力学性能参数。基于能量等效原理,对于均匀连续、各向同性、应力-应变关系符合Hollomon律的金属材料,提出了一种获取布氏、洛氏硬度的半解析预测模型,已知材料的Hollomon律参数即可预测其布氏、洛氏硬度。使用少量有限元计算确定出预测模型的待定参数,再进行更广泛的有限元计算验证预测模型,结果表明,模型预测效果良好。选取6种延性金属材料完成了布氏、洛氏硬度试验,采用该文方法预测的硬度值与试验结果吻合良好。
  • 图  1  硬度示意图

    Figure  1.  Definitions of hardness

    图  2  球压入试验载荷-位移曲线

    Figure  2.  Load-displacement curves of indentation test

    图  3  SSI模型测得应力-应变曲线与单轴拉伸对比

    Figure  3.  Comparisons between predicted stress-strain curves by SSI model and those from uniaxial tension

    图  4  球压入有限元轴对称模型

    Figure  4.  Axisymmetric FEA model under spherical indenter loading

    图  5  网格尺寸对载荷-深度曲线的影响

    Figure  5.  Effect of grid size on load-depth curves

    图  6  摩擦系数f对载荷-深度曲线的影响

    Figure  6.  Effect of friction coefficient on load-depth curves

    图  7  预测载荷-深度关系与FEA结果比较

    Figure  7.  Comparisons of predicted load-depth curves and those from FEA

    图  8  布氏硬度弹性深度预测误差拟合曲线

    Figure  8.  Fitting elastic depth-n and T relations

    图  9  洛氏硬度预测误差

    Figure  9.  Prediction error of Rockwell hardness

    图  10  预测布氏硬度值与FEA结果对比

    Figure  10.  Comparisons of predicted Brinell hardness and those from FEA

    图  11  预测洛氏硬度值与FEA结果对比

    Figure  11.  Comparisons of predicted Rockwell hardness and those from FEA

    图  12  布、洛一体硬度计(PHR-100)

    Figure  12.  Brinell and Rockwell Hardness tester (PHR-100)

    表  1  SSI模型统一参数

    Table  1.   Parameters of SSI model

    参数k1k2k3k4
    标定值33.75−0.4000.2000.500
    弹性模量E/GPat1t2t3t4
    60~807.9000.3630−1.4601.490
    180~220624355.000.6200−1.380
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    表  2  预测布氏硬度HB统一系数

    Table  2.   Parameters of predicted Brinell hardness

    弹性模量E/GPae1e2e3e4
    60~805.3350.54150.0911 7−0.7179
    180~2209.7330.57500.0366 2−0.8152
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    表  3  预测洛氏硬度HRB统一系数

    Table  3.   Parameters of predicted Rockwell hardness

    弹性模量E/GPar1r2
    60~801.300−18.00
    180~2201.284−22.64
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    表  4  不同材料布氏硬度的预测结果

    Table  4.   Predictions of Brinell hardness for different materials

    材料Hollomon模型参数布氏硬度HB相对
    误差/
    (%)
    E/GPaσy/MPan试验值标尺预测值
    6061Al 71.1351.20.0700152.2HBW1/30151.60.39
    HBW2.5/187.5153.91.12
    7075Al 73.4602.60.0835242.4HBW1/30233.73.59
    HBW2.5/187.5249.22.81
    P92210.0469.60.1351257.7HBW1/30261.21.36
    HBW2.5/187.5254.41.28
    16Mn195.0153.60.2588162.9HBW1/30169.23.85
    HBW2.5/187.5159.91.83
    30Cr197.0740.00.0851335.2HBW1/30305.78.82
    HBW2.5/187.5312.36.85
    SA302B215.0431.20.1041222.1HBW1/30231.34.12
    HBW2.5/187.5223.10.44
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    表  5  不同材料洛氏硬度的预测结果

    Table  5.   Predictions of Rockwell hardness for different materials

    材料Hollomon模型参数洛氏硬度HRBHRB相对
    误差/
    (%)
    弹性模量
    E/GPa
    名义屈服
    强度σy/MPa
    应变硬化
    指数n
    预测值试验值
    P92210.0469.60.135197.196.01.14
    30Cr197.0740.00.0851103.6103.50.07
    16Mn195.0153.60.258875.077.02.51
    SA302B215.0431.20.104191.389.42.21
    6061Al 71.1351.20.070068.266.03.26
    7075Al 73.4602.60.083593.694.00.38
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-27
  • 修回日期:  2020-09-21
  • 网络出版日期:  2021-02-03
  • 刊出日期:  2021-02-03

基于能量等效原理的金属材料硬度预测方法

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
    基金项目:  国家重点研发计划项目(2018YFE0307101)
    作者简介:

    张志杰(1993−),男,四川人,研究实习员,硕士,主要从事材料力学性能测试理论和技术研究(E-mail: 13688441351@163.com)

    陈 辉(1990−),男,湖南人,副教授,博士,主要从事材料测试理论与技术研究(E-mail: chen_hui5352@163.com)

    蔡力勋(1959−),男,山东人,教授,硕士,博导,主要从事疲劳与断裂力学,材料测试理论与技术研究(E-mail: lix_cai@263.net)

    通讯作者: 郑鹏飞(1982−),男,湖南人,副研究员,博士,硕导,主要从事金属学及金属工艺研究(E-mail: zhengpf@swip.ac.cn)
  • 中图分类号: O341

摘要: 硬度是一种广泛应用于材料科学与工程实际中的力学性能参数。基于能量等效原理,对于均匀连续、各向同性、应力-应变关系符合Hollomon律的金属材料,提出了一种获取布氏、洛氏硬度的半解析预测模型,已知材料的Hollomon律参数即可预测其布氏、洛氏硬度。使用少量有限元计算确定出预测模型的待定参数,再进行更广泛的有限元计算验证预测模型,结果表明,模型预测效果良好。选取6种延性金属材料完成了布氏、洛氏硬度试验,采用该文方法预测的硬度值与试验结果吻合良好。

English Abstract

张志杰, 郑鹏飞, 陈辉, 蔡力勋. 基于能量等效原理的金属材料硬度预测方法[J]. 工程力学, 2021, 38(3): 17-26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
引用本文: 张志杰, 郑鹏飞, 陈辉, 蔡力勋. 基于能量等效原理的金属材料硬度预测方法[J]. 工程力学, 2021, 38(3): 17-26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
Zhi-jie ZHANG, Peng-fei ZHENG, Hui CHEN, Li-xun CAI. THE METHOD FOR HARDNESS PREDICTION OF METAL MATERIALS BASED ON ENERGY EQUIVALENCE PRINCIPLE[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(3): 17-26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
Citation: Zhi-jie ZHANG, Peng-fei ZHENG, Hui CHEN, Li-xun CAI. THE METHOD FOR HARDNESS PREDICTION OF METAL MATERIALS BASED ON ENERGY EQUIVALENCE PRINCIPLE[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(3): 17-26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0249
  • 硬度是材料局部抵抗硬物压入其表面的能力,综合反映了材料的基本力学性能、软硬程度,因此常作为工程安全的重要指标,材料力学性能评判的关键参数。金属材料硬度的测试方法最早由Brinell于1900年代提出,给定载荷,使用硬质钢球压入金属钢板,通过压痕来表征材料的软硬程度,即为布氏硬度[1]。随后为了适用于不同种类材料检测,研究者又提出了采用不同材料类型和几何形状的压头,如钢或金刚石制成的球形、圆锥形、棱锥形压头通过压入试样表面,并由卸载后材料表面的残余凹痕来定义多种硬度,包括维氏硬度[2]、勃氏硬度、努氏硬度和洛氏硬度[3]。长期以来,这些综合表征材料弹塑性变形能力的标准硬度试验方法在材料科学和实际工程中得到广泛应用。

    硬度既然能够综合地反映材料的力学性能,说明硬度与材料的单轴拉伸力学性能之间必然存在关系,大量的学者对此进行研究。1945年,Bishop等[4] 将受圆锥压头作用下样品的应力-应变分布场近似为球形,建立了压头名义载荷F与弹性模量E、屈服强度σy和泊松比ν之间的关系。对于理想弹塑性材料,有如下公式:

    $$F = \frac{2}{3}{\sigma _{\rm{y}}}\left[1 + \ln \frac{E}{{3\left( {1 - \nu } \right){\sigma _{\rm{y}}}}}\right]$$ (1)

    随后,在1970年,Johnson[5]指出处于弹塑性边界材料的塑性位移与材料被压头压入取代的体积相关。Cheng和Cheng[6]也基于对压痕尺寸的分析,发现了硬度与材料单轴拉伸性能参数之间的关系。对于圆锥形压头,名义硬度H与屈服强度的关系可表示为:

    $$\frac{H}{{{\sigma _{\rm{y}}}}} = \frac{2}{3} + 2\ln \left(\frac{c}{a}\right)\qquad\qquad$$ (2)

    式中:a为压入的接触半径(等于核心区半径);c为塑性区半径。同样,对于球形压头,由于压头的几何非线性,其名义硬度H与材料屈服强度的关系表为:

    $$\frac{H}{{{\sigma _{\rm{y}}}}} = \frac{2}{3} + 2\ln \left(\frac{c}{a}\right) - 0.19\;\;\quad$$ (3)

    除了这些理论分析,大部分硬度预测依赖于大量实验数据的回归。Tabor[7]提出了维氏硬度和抗拉强度的简单倍数关系式,同时Tabor指出这种关系适用于理想弹塑性材料,对于高应变硬化指数材料预测结果有较大偏差。随后大批研究人员提出了相似的经验公式,Cahoon[8]建立了屈服强度和硬度间的关系式,而Pavlina和Van Tyne[9]使用大范围强度的非奥氏体钢验证了Cahoon的关系式;Shen等[10]建立了金属基复合材料的抗拉强度和硬度的关系。姚博[11]提出了一种金属布氏硬度行为的数值模拟。但是这些关于硬度预测和转换式大部分都是依赖于实验数据回归的经验公式,适用范围非常有限,计算参数较多、缺乏足够的理论支持。

    基于C-C能量等效原理[12],已推导出了球压入载荷-位移关系参数与材料单轴应力-应变关系参数间的半解析公式[13],通过单次的球压入试验的载荷-位移关系曲线即可获取材料单轴应力-应变曲线关系参数和强度。本文进一步研究应用,通过有限元计算的硬度试验曲线回归得到与材料单轴应力-应变关系参数相关的硬度预测修正公式,建立幂率硬化材料硬度预测模型,在压入法获取材料应力-应变关系的同时还可获取其布氏、洛氏硬度值。并通过硬度试验验证了模型的有效性和可靠性。

    • 基于C-C能量等效假定[12]提出了关联材料载荷、位移、球压头尺寸和Hollomon本构关系模型常数的半解析球压入(semi-analytical spherical indentation, SSI)模型[13]

      对于满足连续、均匀、各向同性、应力-应变关系符合Hollomon律的延性金属材料,材料代表性体积单元(representative volume element, RVE)的应力-应变关系可表为:

      $$\sigma = \left\{ \begin{aligned} & E\varepsilon, \quad\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma \leqslant {\sigma _{\rm{y}}} \\& K{\varepsilon ^n} = {E^n}\sigma _{\rm{y}}^{1 - n}\;{\varepsilon ^n},\;\;\;\sigma \geqslant {\sigma _{\rm{y}}} \end{aligned} \right.\qquad\;\;$$ (4)

      式中:K为应变硬化系数;n为应变硬化指数。

      图1(a)图1(b)所示分别为布氏硬度和洛氏硬度试验原理示意图。布氏硬度[1]定义为:对一定直径的硬质合金球施加规定载荷FB压入试样表面,经规定保持时间后,卸除载荷FB,通过测定载荷FB与残余压痕面积之比表征布氏硬度;洛氏硬度[3]定义为:将硬质合金球按图1(b)所示分2步压入试样表面,经规定保持时间后,卸除主试验力F1,通过测量在初试验力F0作用下的残余压入深度hr来表征洛氏硬度。布氏、洛氏硬度值的计算公式为:

      图  1  硬度示意图

      Figure 1.  Definitions of hardness

      $$\left\{ \begin{aligned} & {\rm{HB}} = \frac{{\eta {F_{\rm{B}}}}}{{\pi {D_{\rm{B}}}{h_{\rm{r}}}}} = \frac{{2\eta {F_{\rm{B}}}}}{{\pi {D_{\rm{B}}}({D_{\rm{B}}} - \sqrt {D_{\rm{B}}^2 - d_{\rm{B}}^2} )}} \\& {\rm{HRB}} = k - \frac{{{h_{\rm{r}}}}}{S} \end{aligned} \right.$$ (5)

      式中:HB为布氏硬度;HRB为洛氏硬度;DB为布氏硬度压头直径;dB为布氏残余压痕的平均测量直径;hr为残余压痕深度;常数η=0.102,k=130,S=0.002。

      对球形压头施加至额定载荷F,压入过程中,变形域内每个代表性体积单元的应变能密度值为连续的。根据积分中值定理和Von Mises等效原理,整个变形域中至少存在一个点M所在的代表性体积单元,其Von Mises等效应变能密度ueq|M等于变形域的应变能密度平均值um,同时根据Hollomon模型,式(4)积分化简可得:

      $$\left\{ \begin{aligned} & {u_{\rm{m}}} = {u_{{\rm{eq|M}}}} \\& {u_{{\rm{eq|M}}}} = \int_0^{{\varepsilon _{\rm{y}}}} {E\varepsilon {\rm d}} \varepsilon + \int_{{\varepsilon _{\rm{y}}}}^{{\varepsilon _{{\rm{eq|M}}}}} {K{\varepsilon ^n}{\rm d}} \varepsilon =\\&\qquad\quad \frac{K}{{n + 1}}\left(\varepsilon _{_{{\rm{eq|M}}}}^{n + 1} - \frac{{1 - n}}{2}\varepsilon _{\rm{y}}^{n + 1}\right) \end{aligned} \right.$$ (6)

      式中,εy为屈服应变,由于压痕尖端存在明显的应力集中,局部材料处于高应变状态,即此时εeq|M远大于εy,相比于${\varepsilon _{{\rm{eq}}}^{ n+1}} $,(1−n) ${\varepsilon _{{\rm{y}}}^{n+1}} $为极小量可忽略不计,由式(6)可得总应变能为:

      $$U = {u_{\rm{m}}}V = {u_{{\rm{eq|M}}}}V = \frac{K}{{1 + n}}V{\varepsilon _{{\rm{eq|M}}}^{1 + n}}$$ (7)

      式中,V为有效变形域体积。外载荷F做的功为W,根据功能原理可得外力功W=U,因此有:

      $$W = U = \frac{K}{{1 + n}}V{\varepsilon _{{\rm{eq|M}}}^{1 + n}}\qquad\qquad\quad$$ (8)

      参考Meyer律体现的载荷-深度幂律关系,对Vεeq|Mh关系作如下幂函数假定:

      $$\left\{ \begin{aligned} & \frac{V}{{{V^*}}} = {k_{_1}}{\left(\frac{h}{{{h^*}}}\right)^{{k_2}}} \\& {\varepsilon _{{\rm{eq|M}}}} = {k_3}{\left(\frac{h}{{{h^*}}}\right)^{{k_4}}} \end{aligned} \right.\qquad\qquad\qquad$$ (9)

      式中:h*为特征长度;V*为特征体积,且V*=A* h*A*为特征面积。特征体积、特征面积、特征长度旨在用于实现不同球直径D条件下载荷-深度关系的归一化,取h*=DA*=D2k1k2分别为有效体积系数和有效体积指数,k3k4分别为有效应变系数和有效应变指数。将式(9)代入式(8)并化简有:

      $$W = \frac{{K{D^3}}}{{1 + n}}{k_1}k_3^{1 + n}{\left(\frac{h}{D}\right)^{{k_4}n + {k_4} + {k_2}}}$$ (10)

      外力功对深度求偏导数,即外力:

      $$F = \frac{{\partial W}}{{\partial h}} = \frac{{K{D^2}}}{{1 + n}}{k_1}k_3^{1 + n}({k_4}n + {k_4} + {k_2}){\left(\frac{h}{D}\right)^{{k_4}n + {k_4} + {k_2} - 1}}$$ (11)

      式中:k1k2k3k4为可通过少量工况的有限元分析确定。对符合Hollomon律材料的球压入载荷-深度关系可由如下简化方程式表达[14-16]

      $$F = C{h^{{m_0}}}\qquad\qquad\qquad\qquad$$ (12)

      对比式(11)和式(12),可得加载指数m0和加载曲率C分别为:

      $$\left\{ \begin{aligned} & {m_0} = {k_4}n + {k_4} + {k_2} - 1 \\& C = \frac{{K{D^{2 - {m_0}}}{k_1}{k_3^{1 + n}}({m_0} + 1)}}{{1 + n}} \end{aligned} \right.$$ (13)

      在FEA验证中发现,需要根据弹性模量E和名义屈服强度σy对加载指数m0进行修正。令T=σy/E为无量纲修正自变量,mt为修正后的预测值,m0为不修正时的预测值。

      对于铝合金,弹性模量E∈(60 GPa~80 GPa),则有:

      $${m_{\rm t}} = \frac{{{m_0} - {t_4}}}{{{t_1}{T^{{t_2}}}}} - {t_3}\qquad\qquad\quad$$ (14)

      对于钢材,弹性模量E∈(180 GPa~220 GPa),则有:

      $${m_{\rm t}} = \frac{{{m_0} + {t_4}}}{{{t_1}{T^2} + {t_2}T + {t_3}}} - {t_4}\qquad$$ (15)

      式中,t1t2t3t4t5为通过有限元确定的修正系数,如表1所示。

      表 1  SSI模型统一参数

      Table 1.  Parameters of SSI model

      参数k1k2k3k4
      标定值33.75−0.4000.2000.500
      弹性模量E/GPat1t2t3t4
      60~807.9000.3630−1.4601.490
      180~220624355.000.6200−1.380

      SSI模型适用于各向同性、幂律等向强化的连续均匀金属材料,其有效性已被论证并发表于《力学学报》[13],在此不再赘述。图2为两种铝合金和4种钢材使用压头直径D=1.5875 mm进行球压入试验获取的载荷-位移曲线,每种材料有2个试验压入点,可见相互间重复性较好、材料较为均匀。

      图  2  球压入试验载荷-位移曲线

      Figure 2.  Load-displacement curves of indentation test

      使用SSI模型预测获取其单轴应力-应变关系曲线如图3所示,可见预测结果良好。

      图  3  SSI模型测得应力-应变曲线与单轴拉伸对比

      Figure 3.  Comparisons between predicted stress-strain curves by SSI model and those from uniaxial tension

    • 联立式(12)~式(15),可得直径为D的球形压头在硬度规定试验力F作用下对应的总深度h为:

      $$\left\{ \begin{aligned} & {m_0} = {k_4}n + {k_4} + {k_2} - 1, \\& {m_{\rm{t}}} = \frac{{{m_0} - {t_4}}}{{{t_1}{T^{{t_2}}}}} - {t_3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; E \in (60\;{\rm{GPa\sim 80\;GPa}}) \\& {m_{\rm{t}}} = \frac{{{m_0} + {t_4}}}{{{t_1}{T^2} + {t_2}T + {t_3}}} - {t_4},\;\;E \in (180\;{\rm{GPa\sim 220\;GPa}}) \\& h = {\left[\frac{{(1 + n)F{D^{{k_4}n + {k_2} + {k_4} - 3}}}}{{({k_4}n + {k_4} + {k_2})K{k_1}k_3^{1 + n}}}\right]^{{1 / {{m_{\rm{t}}}}}}} \end{aligned} \right.$$ (16)

      式(16)即为球压入载荷-深度关系模型,已知材料应力-应变关系参数Kn,即可预测压入载荷-深度加载曲线。由此,建立硬度与材料单轴应力-应变曲线关系参数(弹性模量E、名义屈服强度σy、应变硬化指数n)之间的半解析方程,通过压入法[13]获取材料单轴应力-应变曲线的同时可直接预测得到材料的硬度值。

    • 在布氏硬度规定载荷FB作用下,压入总深度h可分为弹性回复深度he和残余深度hr

      $$h = {h_{\rm{e}}} + {h_{\rm{r}}}\qquad\qquad\quad$$ (17)

      使用Johnson[17]给出的球压入纯弹性公式预测弹性段深度he0

      $${F_{\rm{B}}} = \frac{{4ED_{\rm{B}}^{{{\rm{1}} / {\rm{2}}}}}}{{3\sqrt 2 (1 - {\nu ^2})}}h_{{\rm{e0}}}^{{{\rm{3}} / {\rm{2}}}}$$ (18)

      式中:DB为球形压头直径;ν为受压材料的泊松比。

      联立式(5)、式(16)和式(18)初步可得布氏硬度HB:

      $$\left\{ \begin{aligned} & h = {\left[\frac{{(1 + n){F_{\rm{B}}}{D_{\rm{B}}}^{{k_4}n + {k_2} + {k_4} - 3}}}{{({k_4}n + {k_4} + {k_2})K{k_1}k_3^{n+1}}}\right]^{{1 / {({k_4}n + {k_4} + {k_2} - 1)}}}} \\& {h_{{\rm{e0}}}} = \left[\frac{{3\sqrt 2 F(1 - {\nu ^2})}}{{4ED_{\rm{B}}^{{{\rm{1}} / {\rm{2}}}}}}\right]^{{2 / 3}} \\& {\rm{HB}} = \frac{{\eta {F_{\rm{B}}}}}{{\pi {D_{\rm{B}}}{h_{\rm{r}}}}} = \frac{{\eta {F_{\rm{B}}}}}{{\pi {D_{\rm{B}}}(h - {h_{{\rm{e0}}}})}} \end{aligned} \right.$$ (19)
    • 洛氏硬度HRB尺标下(压头为直径D=1.5875 mm的硬质合金球,初试验力F0=98.07 N,主试验力F1=882.6 N,总试验力Ft=F0+F1),联立洛氏硬度定义式(5)和球压入载荷-深度幂律关系式(12)有:

      $$\left\{ \begin{aligned} & {\rm{HR}}{{\rm{B}}_0} = k - \frac{{{h_{\rm{r}}}}}{S} \\& h = {({{{F_{\rm{t}}}} / C})^{{1 / m}}} - {({{{F_0}} / C})^{{1 / m}}} \end{aligned} \right.$$ (20)

      式中,加载指数m和加载曲率C可根据式(13)求解。不考虑总试验力Ft在卸载到初试验力F0过程的弹性回复,认为此时hr=h,则洛氏硬度为:

      $${\rm{HR}}{{\rm{B}}_0} = k - \frac{{F_{\rm t}^{{1 / m}} - F_0^{{1 / m}}}}{{S{C^{{1 / m}}}}}$$ (21)
    • 运用ANSYS 14.5设计如图4所示的有限元轴对称模型,假设球形压头(材质为硬质碳化钨)弹性模量E1=600 GPa,泊松比ν=0.3;试样材料连续、均匀、各向同性,遵循Von Mises屈服准则,且满足Hollomon幂硬化模型,其弹性模量设置为E2=70 GPa和200 GPa,名义屈服强度σy分别为200 MPa、400 MPa、600 MPa、800 MPa、1000 MPa,应变硬化指数n分别为0.10、0.15、0.20、0.25、0.30、0.35且间距为0.05。试样接触面采用Contact 172接触单元,接触区域应力较为集中,因此网格划分较密,而远离接触区域的相对稀疏,便于减少计算成本。模拟压头直径D=1.5875 mm,压入最大深度为0.07 mm,二维轴对称模型中压头与材料之间为线-线接触,采用Coulomb摩擦模型,摩擦系数f=0.15。

      图  4  球压入有限元轴对称模型

      Figure 4.  Axisymmetric FEA model under spherical indenter loading

      该有限元模型由32 383个节点和10 755个单元组成。为验证网格的疏密程度是否对计算结果造成影响,将网格加密进行计算。如图5所示为不同网格密度计算得到的无量纲载荷-深度曲线,结果表明使用原1倍网格密度已经满足计算要求。

      图  5  网格尺寸对载荷-深度曲线的影响

      Figure 5.  Effect of grid size on load-depth curves

      为验证摩擦系数是否对计算结果造成影响,在上述模型参数基础上,变化不同摩擦系数进行验证计算。如图6所示为不同摩擦系数计算得到的载荷-深度曲线,结果表明摩擦系数f在0.05~0.50范围内对计算结果无明显影响,可采用摩擦系数f=0.15。

      为实现验证的曲线与材料的本构参数K无关,定义无量纲化载荷F*

      $${F^*} = K{D^2}$$ (22)

      将球压入载荷-深度关系模型式(19)预测的载荷-深度关系曲线与有限元轴对称模型计算结果进行验证对比,如图7所示,可见使用压入载荷-深度关系模型预测压入加载段的载荷-深度关系效果良好,同时说明对于名义屈服强度σy在200 MPa~1000 MPa的材料预测模型均适用。

      图  6  摩擦系数f对载荷-深度曲线的影响

      Figure 6.  Effect of friction coefficient on load-depth curves

      图  7  预测载荷-深度关系与FEA结果比较

      Figure 7.  Comparisons of predicted load-depth curves and those from FEA

    • 在球压入载荷-深度模型参数验证的有限元轴对称模型基础上进行计算参数更改,进行硬度试验模拟。对于布氏硬度选取HBW1/30尺标,模拟压头直径DB=1 mm,压入规定载荷FB=294.2 N,则施加均布力载荷374.58 N/mm2于压头上进行加卸载计算(卸载至载荷为0)。

      对比FEA计算结果发现,纯弹性公式(18)预测的弹性深度he0与FEA计算卸载后的弹性回复深度值het之间存在一定误差,而误差与材料应变硬化指数n和名义屈服应变T=σy/E相关,如图8所示。

      图  8  布氏硬度弹性深度预测误差拟合曲线

      Figure 8.  Fitting elastic depth-n and T relations

      图8可见,令应变硬化指数n和名义屈服应变T=σy/E作为修正自变量,分步确定弹性深度预测误差与nT的关系系数,使用式(23)进行拟合:

      $$\left\{ \begin{aligned} & \frac{{{h_{{\rm{et}}}}}}{{{h_{{\rm{e0}}}}}} = {{\textit{z}}_1}{\textit{z}}_2^n \\& {{\textit{z}}_1} = {e_1}{T^{{e_2}}} \\& {{\textit{z}}_2} = {e_3}{T^{{e_4}}} \end{aligned} \right.$$ (23)

      式中:he0为式(18)计算弹性深度;het为FEA计算弹性深度;z1z2为过程修正系数;e1e2e3e4为弹性深度het的最终修正系数。

      将式(13)和式(23)联立即得修正后的弹性深度het

      $$\left\{ \begin{aligned} & {h_{{\rm{e0}}}} = \left[\frac{{3\sqrt 2 {F_{\rm{B}}}(1 - {\nu ^2})}}{{4ED_{\rm{B}}^{{{\rm{1}} / {\rm{2}}}}}}\right]^{{2 / 3}} \\ & {h_{{\rm{et}}}} = {e_1}e_3^n{T^{({e_2} + {e_4}n)}}{h_{{\rm{e0}}}} \end{aligned} \right.$$ (24)

      联立式(19)和式(24),得到布氏硬度预测(Brinell hardness prediction, BHP)模型。

      $$\left\{ \begin{aligned} & h = {\left[\frac{{(1 + n){F_{\rm{B}}}{D_{\rm{B}}}^{{k_4}n + {k_2} + {k_4} - 3}}}{{({k_4}n + {k_4} + {k_2})K{k_1}k_3^{n+1}}}\right]^{{1 / {({k_4}n + {k_4} + {k_2} - 1)}}}} \\& {h_{{\rm{e0}}}} = \left[\frac{{3\sqrt 2 F(1 - {\nu ^2})}}{{4ED_{\rm{B}}^{{{\rm{1}} / {\rm{2}}}}}}\right]^{{2 / 3}} \\& {h_{{\rm{et}}}} = {e_1}e_3^n{T^{({e_2} + {e_4}n)}}{h_{{\rm{e0}}}} \\& {\rm{HB}} = \frac{{\eta {F_{\rm{B}}}}}{{\pi {D_{\rm{B}}}{h_{\rm{r}}}}} = \frac{{\eta {F_{\rm{B}}}}}{{\pi {D_{\rm{B}}}(h - {h_{{\rm{et}}}})}} \end{aligned} \right.$$ (25)

      式中,e1e2e3e4可通过有限元分析计算确定,如表2所示。

      表 2  预测布氏硬度HB统一系数

      Table 2.  Parameters of predicted Brinell hardness

      弹性模量E/GPae1e2e3e4
      60~805.3350.54150.0911 7−0.7179
      180~2209.7330.57500.0366 2−0.8152
    • 对于洛氏硬度选取HRB尺标,模拟压头直径D=1.5875 mm,压入初载荷F0=98.07 N,总载荷Ft=980.7 N,施加均布力载荷495.2 N/mm2于压头上进行加载计算,再施加均布力载荷49.52 N/mm2于压头上卸载到98.07 N。

      图9所示,为式(21)预测的大范围材料洛氏硬度值与FEA计算硬度值。

      图  9  洛氏硬度预测误差

      Figure 9.  Prediction error of Rockwell hardness

      图8可见预测值与真实值之间存在明显误差,但两者呈良好的线性规律,因此可通过线性修正排除弹性回复对预测结果的影响:

      $$ \left\{ \begin{aligned} & {\rm{HR}}{{\rm{B}}_0} = k - \frac{{F_{\rm t}^{{1 / m}} - F_0^{{1 / m}}}}{{S{C^{{1 / m}}}}} \\& {\rm{HRB = }}{r_1}{\rm{HR}}{{\rm{B}}_0} + {r_2} \end{aligned} \right. $$ (26)

      式(26)为洛氏硬度预测(Rockwell hardness prediction, RHP)模型,式中,r1r2为修正系数,如表3所示。

      表 3  预测洛氏硬度HRB统一系数

      Table 3.  Parameters of predicted Rockwell hardness

      弹性模量E/GPar1r2
      60~801.300−18.00
      180~2201.284−22.64
    • 图10所示,给出了大范围材料(弹性模量为E2=70 GPa和200 GPa,名义屈服强度σy为200 MPa~1000 MPa且间距为100 MPa,应变硬化指数n为0.10~0.35且间距为0.05)通过布氏硬度预测模型获取的硬度值与FEA计算值的对比,直观地反映出布氏硬度预测模型的准确性。

      图  10  预测布氏硬度值与FEA结果对比

      Figure 10.  Comparisons of predicted Brinell hardness and those from FEA

      图10(a)图10(b)可见:1)名义屈服强度σy固定时,应变硬化指数n越靠近给定范围的两端,模型预测误差越大;2)应变硬化指数n固定时,名义屈服强度σy越靠近给定范围的两端,模型预测误差越大。

      图10(c)图10(d)可见:硬度值在靠近中间范围的材料预测效果更好,往两边预测效果逐渐变差。

    • 图11给出了大范围材料(弹性模量为E=70 GPa和200 GPa,名义屈服强度σy为200 MPa ~1000 MPa且间距为200 MPa,应变硬化指数n为0.10~0.35且间距为0.05)通过洛氏硬度预测模型获取的洛氏硬度值与FEA计算值的对比,直观地反映出洛氏硬度预测模型的准确性。

      图  11  预测洛氏硬度值与FEA结果对比

      Figure 11.  Comparisons of predicted Rockwell hardness and those from FEA

      图11(a)图11(b)可见:1) 随着名义屈服强度σy增大,洛氏硬度对材料的名义屈服强度σy和应变硬化指数n的变化逐渐不敏感;2) 洛氏硬度预测模型误差对材料名义屈服强度σy和应变硬化指数n的变化不敏感。

      图11(c)图11(d)可见:对于铝合金,洛氏硬度值在材料给定范围内预测效果良好;对于钢材,洛氏硬度值越大预测效果越差。

    • 图12所示,采用沈阳天星布、洛一体硬度计(PHR-100型)进行硬度试验验证。1) 布氏硬度[1]:进行标尺HBW 1/30的布氏硬度试验,选取压头直径D=1 mm的硬质钨钢球压头,FB=294.2 N;2) 洛氏硬度[2]:进行HRB尺标的洛氏硬度试验,选取压头直径D=1.5875 mm的硬质合金球,初试验力F0=98.07 N,主试验力F1=882.6 N,总试验力Ft=F0+F1

      图  12  布、洛一体硬度计(PHR-100)

      Figure 12.  Brinell and Rockwell Hardness tester (PHR-100)

      先测试配套标准硬度块硬度值,测试结果达到标称值误差要求再进行硬度测试。每种材料进行3次压入试验,由于系统误差的影响,去掉第一次压入的试验结果,取后两次试验平均值作为测试结果。

      表4表5所示,分别为6种材料[13]布氏硬度、洛氏硬度的试验值与预测值对比,可见模型预测结果良好。

      表 4  不同材料布氏硬度的预测结果

      Table 4.  Predictions of Brinell hardness for different materials

      材料Hollomon模型参数布氏硬度HB相对
      误差/
      (%)
      E/GPaσy/MPan试验值标尺预测值
      6061Al 71.1351.20.0700152.2HBW1/30151.60.39
      HBW2.5/187.5153.91.12
      7075Al 73.4602.60.0835242.4HBW1/30233.73.59
      HBW2.5/187.5249.22.81
      P92210.0469.60.1351257.7HBW1/30261.21.36
      HBW2.5/187.5254.41.28
      16Mn195.0153.60.2588162.9HBW1/30169.23.85
      HBW2.5/187.5159.91.83
      30Cr197.0740.00.0851335.2HBW1/30305.78.82
      HBW2.5/187.5312.36.85
      SA302B215.0431.20.1041222.1HBW1/30231.34.12
      HBW2.5/187.5223.10.44

      表 5  不同材料洛氏硬度的预测结果

      Table 5.  Predictions of Rockwell hardness for different materials

      材料Hollomon模型参数洛氏硬度HRBHRB相对
      误差/
      (%)
      弹性模量
      E/GPa
      名义屈服
      强度σy/MPa
      应变硬化
      指数n
      预测值试验值
      P92210.0469.60.135197.196.01.14
      30Cr197.0740.00.0851103.6103.50.07
      16Mn195.0153.60.258875.077.02.51
      SA302B215.0431.20.104191.389.42.21
      6061Al 71.1351.20.070068.266.03.26
      7075Al 73.4602.60.083593.694.00.38

      Cheng和Cheng[18]指出,由于试样在压痕周围的表面会出现隆起(pile-up)或下沉(sink-in)现象,影响接触面积的准确测量,从而影响试验硬度值的计算。Cheng和Cheng通过量纲分析得到接触深度hc与压入深度h、材料性能参数σy/En之间的关系表明:在σy/E较低时,接触深度hc小于压入深度h,则预测硬度值会偏小于试验值,这与本文的预测结果误差吻合。

    • 本文从球压入加载段载荷-深度曲线与材料应力-应变曲线的关系入手,建立了两者之间的半解析表达式。同时结合卸载段深度预测公式,最终提出了金属材料布氏、洛氏硬度预测模型。分析对比结果支持以下结论:

      (1) 本文基于C-C能量等效原理提出了金属材料布氏、洛氏硬度预测模型,模型参数少,公式简单,预测结果精准。

      (2) 采用涵盖较大范围延性材料的有限元计算和针对6种金属材料的试验数据验证了布氏、洛氏硬度预测模型的有效性和准确度。

      (3) 由于隆起(pile-up)或下沉(sink-in)效应导致30Cr的布氏硬度和6061Al的洛氏硬度预测效果稍差。

      (4) 硬度预测模型简便有效,结合球压入半解析模型,进行单次球压入试验即可获取材料单轴应力-应变曲线、强度和布氏、洛氏硬度,进一步实现一次压入试验便知多个力学性能的简便测试。

参考文献 (18)

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