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杆系结构的损伤问题广泛存在于工程实际中，工程杆系结构大多带裂纹工作[1−2]，裂纹损伤的存在会改变整个结构的力学性能，影响结构的安全性和适用性[3]。研究含多裂纹损伤梁构件的动力特性、准确预测屈曲承载力可以有效地保障结构在全生命周期内安全使用[4]。曲线形梁构件由于几何形态复杂，容易诱发弹性屈曲失稳[5]，精确评估各类曲线梁线型、不同曲梁夹角下深梁、浅梁的屈曲荷载成为结构灾害分析的重要依据。曲梁中裂纹损伤的存在增加准确预测屈曲失稳承载能力的难度，理论模型、解析方法等往往难以有效分析[6−7]。准确预测不同裂纹损伤位置、大小、数目工况下屈曲荷载承载力以及分析裂纹损伤对屈曲失稳的影响机理[8]，成为理论研究和工程实践的需求。
有限元法被发展和应用于求解含裂纹损伤曲梁的弹性屈曲荷载和屈曲模态[9-11]，但解答精度依赖于网格划分质量，解答因网格划分难免引入误差[12]。有限元网格自适应分析方法可有效地优化网格分布，在直线梁弹性屈曲[13]、板壳振动[14]、含损伤梁振动[15]、岩体变形和断裂[16]等问题求解中展示出很好的求解效力。本文将建立圆弧形曲梁裂纹的截面损伤缺陷比拟方案，进行裂纹大小(深度)、位置、数目的模拟，引入变截面Euler-Bernoulli梁的h型有限元网格自适应分析方法[15]，求解含裂纹损伤圆弧曲梁弹性屈曲问题，得到优化的网格和满足预设误差限
$Tol$ 的高精度屈曲荷载和屈曲模态。文中给出求解多种圆弧曲梁弹性屈曲数值算例，对网格自适应划分以及弹性屈曲解答的收敛性进行了讨论，对曲梁夹角、损伤位置、数目、大小等因素影响弹性屈曲荷载和屈曲模态进行了分析，检验了网格自适应划分的有效性。 -
考虑图1所示的曲梁，曲梁的中性轴坐标为
$s$ ，坐标系为$x{\kern 1pt} y$ ，$x$ 沿轴线切向，$y$ 沿轴线法向，沿$y$ 轴产生面内位移$w$ ，角坐标为$\theta $ 。记曲梁曲率半径为$R{\rm{(}}s{\rm{)}}$ ，惯性矩为$I{\rm{(}}s{\rm{)}}$ ，梁长度为$l$ ，梁高度为$h$ ，厚度为$b$ ，材料弹性模量为$E$ 。裂纹损伤深度为$h_{\rm{c}}^{}$ ，裂纹截面损伤宽度为$\delta _{\rm{c}}^{}$ ，沿厚度方向贯穿梁截面。
图 1 含裂纹损伤曲梁坐标系和符号
Figure 1. Coordinate systems and symbols of cracked curved beam
本文研究曲梁的弹性屈曲问题，图2所示为含裂纹损伤圆弧形曲梁截面损伤和加载示意图，曲梁夹角为
$\theta _0^{}$ ，曲梁受均布载荷$q$ 作用。曲梁的中性轴坐标$s$ 与角坐标$\theta $ 具有如下关系：$$ s = \theta {\kern 1pt} R,\;0 < \theta < \theta _0^{} $$ (1) 式中：常数
$R$ 为圆弧曲梁半径；裂纹损伤位于角坐标$\theta _{\rm{c}}^{}$ 处。
图 2 含裂纹损伤圆弧曲梁截面损伤和加载示意图
Figure 2. Diagram of cross-section damage defect and loading for circularly curved beam with crack damage
圆弧曲梁可按照如表1所示标准进行分类[9, 17]，按径厚比
$R/h$ 可分为厚曲梁、中厚曲梁、薄曲梁，按曲梁夹角$\theta _0^{}$ 可分为浅梁、中等深度梁、深度梁、超深度梁。薄曲梁梁高相对较小，裂纹损伤容易引发弹性失稳灾害；Euler-Bernoulli梁模型适用于梁高较小的情况，忽略剪切变形[18]。本文基于Euler-Bernoulli梁模型对薄曲梁的弹性屈曲问题进行求解分析。表 1 圆弧曲梁根据径厚比和夹角分类
Table 1. Categories of circularly curved beams according to ratio of radius and thickness and subtended angle
按径厚比$R/h$ 厚曲梁 中厚曲梁 薄曲梁 $R/h < 40$ $R/h = 40$ $R/h > 40$ 按曲梁夹角θ0 浅梁 中等深度梁 深度梁 超深度梁 $\theta _0^{} < 40_{}^ \circ $ $\theta _0^{} = 40_{}^ \circ $ $40_{}^ \circ < \theta _0^{} \leqslant 180_{}^ \circ $ $\theta _0^{} > 180_{}^ \circ $ 本文研究圆弧曲梁弹性屈曲的微分控制方程为[13]：
$$ Lv \equiv (EI(s)w''(s))'' = - \lambda (P{\rm{(}}s{\rm{)}}w'(s))',\;0 < s < l $$ (2) 式中：
$L$ 是相应的微分算子；$(\,)' = d(\,)/{\rm{ds}}$ ；$P{\rm{(}}s{\rm{)}}$ 为载荷函数；$\lambda $ 为极限屈曲荷载因子；$\lambda P{\rm{(}}s{\rm{)}}$ 为极限屈曲荷载$q_{\rm{c}}^{}$ ；$w(s)$ 为屈曲模态。不失一般性，下面以曲梁的简支边界条件进行讨论：$$ w(0) = 0,\quad w(l) = 0 $$ (3) 其它类边界可做类似处理，不再赘述。
本文有限元求解采用
$C_{}^1$ 类型多项式单元，3次元为具有4个端结点位移自由度的标准单元，单元次数m>3时需引入内部节点位移自由度，其试探(检验)函数可表示为：$$ \begin{split} v =& \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^{m + 1} {N_i^{}v_i^{}} =\\ {\kern 1pt} & N_1^{}v_1^{} + N_2^{}v_2^{} + {\hat {{N}}}{\hat {{v}}} + N_m^{}v_m^{} + N_{m + 1}^{}v_{m + 1}^{} \end{split} $$ (4) 式中：
$[\begin{array}{*{20}{c}} {v_1^{}}&{v_2^{}}&{v_m^{}}&{v_{m + 1}^{}} \end{array}]$ 分别对应单元端节点线位移和转角位移的自由度$[\begin{array}{*{20}{c}} {v_1^h}&{\theta _1^h}&{v_2^h}&{\theta _2^h} \end{array}]$ ；$[\begin{array}{*{20}{c}} {N_1^{}}&{N_2^{}}&{N_m^{}}&{N_{m + 1}^{}} \end{array}]$ 对应单元端节点形函数$[\begin{array}{*{20}{c}} {N_1^0}&{N_1^1}&{N_2^0}&{N_2^1} \end{array}]$ ；${\hat {{N}}}$ 为内部泡状形函数行向量，${\hat {{v}}}$ 为内部结点位移列向量，分别对应：$$\begin{split} &\hat { N} = [N_{\rm{c}}^0\;\;\;N_{\rm{c}}^1\;\;\; \cdots \;\;\;N_{\rm{c}}^{m - 4}],\\ &\hat { v}_{}^T = [\hat v_0^{}\;\;\;\hat v_1^{}\;\;\; \cdots {\rm{ }}\;\;\;\hat v_{m - 4}^{}] \end{split} $$ (5) 式中：
$N_{\rm{c}}^k$ 意味着在单元中点k阶导数为1，低于k阶导数为0，在端节点函数和一阶导数均为0；凡与内部结点相关的矩阵和向量，都在其上加“^”表示。对于求解特征值式(2)，在给定有限元网格
$\pi $ 下，常规有限元将建立如下线性矩阵特征值方程：$$ {{KD}} = \lambda {{{K}}_{\rm{g}}}{{D}} $$ (6) 式中：
${{D}}$ 为屈曲模态的有限元解；${{K}}$ 和${{{K}}_{\rm{g}}}$ 分别是静力刚度矩阵和几何刚度矩阵。采用逆幂迭代法[19]求解，可得当前网格下有限元解$(q_{\rm{c}}^h,\;w_{}^h\;)$ 。 -
本文采用Euler-Bernoulli梁理论模型研究梁高相对较小薄曲梁，若裂纹损伤发生在梁单一侧，则损伤截面中性轴与无损伤截面偏移量较小；若裂纹损伤均匀发生在梁上下两侧，则损伤截面中性轴与无损伤截面完全重合。因此，本文研究的曲梁无裂纹和有裂纹横截面仅高度不同，二者中性轴考虑为处于相同位置。曲梁中的裂纹损伤，使得梁截面产生弱化、梁的抗弯刚度衰减。本研究采用裂纹的截面损伤缺陷比拟方法[15]，裂纹处的截面刚度为：
$$ EI_{\rm{c}}^{} = \frac{{Ebh_{}^3(1 - \alpha )_{}^3}}{{12}} $$ (7) 式中，
$\alpha = h_{\rm{c}}^{}/h$ 为梁截面裂纹损伤率，$\alpha = 0$ 表示梁截面完整无损伤。本文研究含微裂纹损伤的曲梁，即微裂纹的截面损伤宽度$\delta _c^{}$ 非常小(或不考虑裂纹宽度)。为了控制裂纹宽度而不至于影响自适应分析结果的精度，文中将$\delta _{\rm{c}}^{}$ 设置为：$$ \delta _{\rm{c}}^{} = 0.01 \times Tol $$ (8) 式中，
$Tol$ 为弹性屈曲解答的预设误差限。 -
有限元计算存在相比当前网格解答具有更高收敛阶的超收敛点[19]，利用超收敛点结合单元拼片、高阶形函数插值技术，可以提高当前有限元解的精度，得到全域的超收敛解[15, 20−21]。本文对于圆弧曲梁的弹性屈曲问题，求得当前网格下屈曲模态(位移)的有限元解后，利用有限元后处理超收敛拼片恢复方法，得到屈曲模态的超收敛解：
$$ w_{}^*(x) = {{Pa}} $$ (9) 式中：
${{P}}$ 为给定函数向量；${{a}}$ 为待定系数向量。利用模态解答并通过Rayleigh商计算可以获得屈曲荷载值[22]，使用上述得到的屈曲模态超收敛解可得屈曲荷载的超收敛解
$q_{\rm{c}}^{\rm{*}}$ ：$$ q_{\rm{c}}^{\rm{*}} = {\frac{{a(w_{}^{\rm{*}},w_{}^{\rm{*}})}}{{b(w_{}^{\rm{*}},w_{}^{\rm{*}})}}} $$ (10) 式中，
$a\,(\;)$ 、$b\,(\;)$ 为应变能和动能内积[15]。运用Rayleigh商计算得到的屈曲荷载超收敛解比屈曲模态超收敛解具有更高的收敛阶[22]，因此，本文针对屈曲模态进行误差估计和控制，即可获得高精度的屈曲模态解，并确保屈曲荷载解的准确性。引入屈曲模态超收敛解，可对当前网格下屈曲模态有限元解进行能量模形式下的误差估计[15, 19]：
$$ \left\| {e_{}^{\rm{*}}} \right\| \leqslant Tol \cdot \left[ {{{\left( {\left\| {w_{}^h} \right\|_{}^2 + \left\| {e_{}^{\rm{*}}} \right\|_{}^2} \right)} / {n_e^{}}}} \right]_{}^{{1 / 2}} $$ (11) 式中：
$n_e^{}$ 为进行拼片的单元数目；$e_{}^* = w_{}^*{\rm{ - }}w_{}^h$ ；$\left\| {e_{}^*} \right\|$ 为能量范数。式(11)中误差估计又可记为如下的相对误差形式：$$ \xi = \frac{{\left\| {e_{}^{\rm{*}}} \right\|}}{{\bar e}} < 1,\bar e = Tol \cdot \left[ {{{\left( {\left\| {w_{}^h} \right\|_{}^2 + \left\| {e_{}^{\rm{*}}} \right\|_{}^2} \right)} / {n_e^{}}}} \right]_{}^{{1 / 2}} $$ (12) 式中，
$\xi $ 为相对误差值。利用屈曲模态误差估计，网格可以进行优化处理来降低和控制屈曲模态的误差，达到预设的解答精度。本文方法对每个有限元单元e上的振型误差进行判断，如果误差控制式(12)不满足，则表明该单元上屈曲模态解答的误差过大，需要通过进行网格优化处理，本文采用单元均匀细分加密的h型网格自适应方式来增加模型自由度、降低单元上解答的误差[15]。当前单元细分生成的新单元长度与目前误差和单元阶次相关，即利用当前误差可以估计新单元长度：
$$ h_{\rm{n}}^{} = \xi _{}^{ - {1 / m}}h_{\rm{o}}^{} $$ (13) 式中：
$h_{\rm{o}}^{}$ 为当前单元e的长度；$h_{\rm{n}}^{}$ 为新单元长度。 -
本文方法已经编制相应的Fortran 90语言程序代码，程序开发实施基于Microsoft Visual Studio和Intel Visual Fortran编程软件平台。本节给出求解具有代表性的多种圆弧曲梁弹性屈曲数值算例，对网格自适应划分以及弹性屈曲解答的收敛性进行了讨论，对曲梁夹角、损伤位置、数目、大小等因素影响弹性屈曲荷载和屈曲模态进行了分析，检验了网格自适应划分的有效性。本节所有算例均采用3次元，初始网格采用2个单元，给定的初始误差限为
$Tol = {10^{ - 4}}$ 。 -
考虑一两端简支的圆弧曲梁，梁的几何和物理参数如下：
$$ \begin{split} &\theta = \pi /6,\;R = 0.254\;{\rm{m}},\;h = 0.006\;{\rm{m}},\\ &b = 0.006\;{\rm{m}},\;E = 68.95\;{\rm{GPa}} \end{split} $$ (14) 可知，该梁的径厚比
$R/h$ 为42.33，属于典型的薄曲梁。本文方法对该曲梁弹性屈曲进行求解，得到屈曲荷载和屈曲模态的解答。文献[23]采用层状组合梁模型及有限元方法、文献[7]采用理论模型解析法分别对该梁弹性屈曲进行分析，得到无裂纹损伤梁屈曲荷载值
$q_{{\rm{nc}}}^{}$ 。为进行对比分析，将上述各方法求得的屈曲荷载值均列于表2。同时，为讨论网格数目对解答收敛的影响，本研究采用常规有限元法在4个、5个、6个单元(稀疏均匀网格)以及25个、50个、100个单元(密集均匀网格)上分别进行求解，得到屈曲荷载值；可知随着单元增多，解答趋于稳定，在接近100个单元时得到收敛解答。使用本文自适应有限元方法进行求解，得到仅为16个单元的优化网格和在此网格下的收敛解答，该屈曲荷载解答(64.406 kN/m)与理论模型解析解(64.966 kN/m)具有很好的吻合度。需要说明的是，组合梁模型使用4个、5个、6个单元得到的解答与解析解相差较大，为梁模型的层状建模引起。表 2 单元数目与屈曲荷载结果收敛性
Table 2. Convergence for number of elements and buckling loads results
图3给出本文方法利用自适应网格求解得到的屈曲模态解答，为方便直观显示和分析，屈曲模态结果均进行归一化处理(令最大模态值为1)。由于该梁的物理性质和几何形态具有左右对称性，得到图3(a)所示的屈曲模态亦为左右对称形式；同时，水平坐标轴上给出了本文的自适应网格(单元端节点)分布，可知单元分布适应模态变化、同样具有左右对称性，且在两端边界部分使用了相对细密的网格。算法自动优化出非均匀网格，在屈曲模态变化平缓区域使用稀疏网格、在屈曲模态变化剧烈处采用了相对细密的网格，避免了全域使用一致细密网格的冗余性。为了检验屈曲模态解答的精确性，本研究使用常规有限元法2500个单元(高密集均匀网格)求解得到高精度屈曲模态作为解析解
$w_n^{}$ ；该高精度屈曲模态形态与图3(a)相同，这里不再给出。图3(b)所示为使用本文自适应方法的屈曲模态与高精度屈曲模态的差值曲线分布，该差值曲线最大值2.17×10−5小于预设误差限10−4，验证了本文方法求解解答的精确性。
图 3 自适应网格下屈曲模态
Figure 3. Buckling mode on adaptive refinement mesh
常规有限元采用4个、5个、6个、25个、50个、100个单元求解得到的屈曲模态解答与高精度屈曲模态解答的差值分布分别如图4所示，并在图中水平坐标轴上给出各网格分布。各单元下差值在全域上的最大值分别为1.23×10−1、1.23×10−1、4.12×10−3、7.70×10−3、1.62×10−3、2.63×10−6，可见随着网格的均匀加密，屈曲模态解答的误差呈现逐渐降低的趋势；直到提供足够多的单元(100个单元)时，才接近获得满足预设误差限10−4的解答。本文自适应方法仅采用16个单元的非均匀分布网格，即可避免高密度均匀分布网格的单元冗余性，提高了计算效率。
图 4 加密网格下屈曲模态收敛情况
Figure 4. Convergence of buckling modes on refined meshes
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为检验本文方法求解不同几何形式圆弧曲梁弹性屈曲的适用性，本研究对不同圆弧夹角曲梁(浅梁、深度梁)进行分析。考虑一两端简支的圆弧曲梁，梁的几何和物理参数如下：
$$ \begin{split} &R = 0.254\;{\rm{m}},\;h = 0.005\;{\rm{m}},\;b = 0.005\;{\rm{m}},\\ &E = 68.95\;{\rm{GPa}} \end{split} $$ (15) 可知，该梁的径厚比
$R/h$ 为50.8，属于薄曲梁。对于该曲梁圆弧夹角
$\theta $ 为π/6、π/5、π/4.5、π/4、π/3.5、π/2的工况，文献[9]采用能量法、文献[23]采用组合梁模型、文献[7]采用理论模型解析法分别进行了求解，得到屈曲荷载值列于表3。同时，对比本文自适应方法得到结果与上述方法解答，在各圆弧夹角工况下，本文方法求解得到的屈曲荷载值具有与解析法解答具有更高的吻合度，体现了本文方法对浅梁、深度梁等各类变化几何形式曲梁的弹性屈曲求解的良好适用性。表 3 两端简支曲梁不同夹角下屈曲荷载值
Table 3. Buckling loads of of curved beam with hinged–hinged supports under different subtended angles
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下面使用本文含裂纹损伤梁模型和自适应求解方法，求解典型裂纹损伤位置和损伤大小的弹性屈曲解答，并分析裂纹损伤对解答的影响。考虑两端简支的圆弧曲梁，该曲梁夹角为
$\theta = \pi $ ，其余基本几何和物理参数与式(14)相同。考虑损伤深度
$h_{\rm{c}}^{} = 0.003\;{\rm{m}}$ ($h_{\rm{c}}^{}/h = 0.5$ )，分析裂纹损伤位于曲梁左半跨圆弧角坐标$\theta _c^{}$ 为0、π/12、π/6、π/4、π/3、5π/12、π/2时的弹性屈曲。使用本文方法对上述各裂纹损伤位置工况分别进行求解，得到弹性屈曲解答，并将含裂纹损伤梁屈曲模态结果$q_{\rm{c}}^h$ 转化为无量纲值$\bar q_{\rm{c}}^{} = q_{\rm{c}}^h/q_{\rm{nc}}^{}$ ，结果列于表4。可见$\bar q_{\rm{c}}^{}$ 值均小于1，即含裂纹损伤梁的屈曲荷载值均低于无损伤梁的屈曲荷载值，裂纹损伤降低曲梁的屈曲荷载承载能力。随着裂纹损伤圆弧夹角位置$\theta _{\rm{c}}^{}$ 增大($\theta _{\rm{c}}^{} = 0 \to \pi /2$ )，$\bar q_{\rm{c}}^{}$ 逐渐降低。表 4 不同裂纹损伤位置下曲梁屈曲荷载值
Table 4. Buckling loads of curved beam with crack damage at different locations
损伤位置$\theta _{\rm{c}}^{}$ 屈曲荷载$\bar q_{\rm{c}}^{}$ 损伤位置$\theta _{\rm{c}}^{}$ 屈曲荷载$\bar q_{\rm{c}}^{}$ 0 0.999 999 π/3 0.937 817 π/12 0.994 679 5π/12 0.924 499 π/6 0.978 168 π/2 0.919 641 π/4 0.958 574 − − 同理，求解可得裂纹损伤位于曲梁右半跨圆弧角坐标
$\theta _{\rm{c}}^{}$ 为7π/12、2π/3、3π/4、5π/6、11π/12、π时的弹性屈曲荷载。将裂纹损伤位于全跨各圆弧角位置时的弹性屈曲荷载解答汇总，得到图5(a)所示变化曲线。可知，由于模型和加载形式的对称性，损伤位于曲梁左、右跨对称位置时，具有相同的屈曲荷载，并在$\theta _{\rm{c}}^{}$ =π/2出现最小值，即同等损伤程度的裂纹位于跨中时承受弹性屈曲极限载荷最小，更容易产生失稳破坏。图5(b)所示为裂纹损伤位于左半跨时各屈曲模态与无损伤屈曲模态的差值曲线，可以看出裂纹损伤所在局部区域对屈曲模态变化有重要影响，裂纹损伤是影响屈曲模态变化的主要因素。水平坐标轴上给出了本文方法求解$\theta _{\rm{c}}^{} = \pi /2$ 时的自适应最终非均匀网格，可见在裂纹附近区域使用了相对密集的网格来适应裂纹损伤引起屈曲模态的变化，体现了本文方法自适应划分网格对屈曲模态变化的适应性。
图 5 不同裂纹损伤位置下圆弧曲梁弹性屈曲
Figure 5. Elastic buckling of circularly curved beam with different locations of crack damage
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本节分析圆弧曲梁裂纹损伤大小(深度)对弹性屈曲的影响，固定裂纹损伤位于跨中(
$\theta _{\rm{c}}^{} = \pi /2$ )，分析裂纹损伤大小$h_{\rm{c}}^{}/h$ 值为0.1、0.2、0.3、0.4、0.5时的弹性屈曲。使用本文方法分别进行求解，得到弹性屈曲荷载解答，结果列于表5。可知，随着裂纹损伤$h_c^{}$ 增大($h_{\rm{c}}^{}/h = 0.1 \to 0.5$ )，$\bar q_{\rm{c}}^{}$ 逐渐降低。表 5 不同裂纹损伤大小下曲梁屈曲荷载值
Table 5. Buckling loads of curved beam with crack under different magnitudes
损伤大小$h_{\rm{c}}^{}/h$ 屈曲荷载$\bar q_{\rm{c}}^{}$ 0.1 0.995 226 0.2 0.988 219 0.3 0.976 756 0.4 0.957 391 0.5 0.919 641 为更直观显示和分析变化趋势，利用上述不同裂纹损伤大小下屈曲荷载结果绘制图6(a)所示变化曲线。可见屈曲荷载随裂纹损伤加深，出现准线性的降低趋势；在裂纹扩展到梁高的一半(
$h_{\rm{c}}^{}/h = 0.5$ )时，屈曲荷载承载力降低约10%。图6(b)所示为不同裂纹损伤大小时各屈曲模态与无损伤屈曲模态的差值曲线，可以看出裂纹损伤大小对屈曲模态变化幅度具有重要影响，裂纹损伤程度越大，越容易诱发屈曲模态的大幅度变化。同时，水平坐标轴上给出本文方法求解$h_{\rm{c}}^{}/h = 0.5$ 时的自适应最终非均匀网格。
图 6 不同裂纹损伤大小下圆弧曲梁弹性屈曲
Figure 6. Elastic buckling of circularly curved beam with different magnitudes of crack damage
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为分析多裂纹损伤对曲梁弹性屈曲的影响，采用图7所示的两端简支圆弧曲梁，该曲梁夹角为
$\theta = \pi $ ，其余基本几何和物理参数同式(12)。该曲梁包含3条裂纹损伤，考虑I(裂纹损伤沿曲梁均匀分布)、II(裂纹损伤集中于曲梁端部)、III(裂纹损伤集中于曲梁中部)等3种工况，各工况中裂纹分布角坐标值如表6所示，裂纹分布如图7所示。表 6 多裂纹损伤不同位置下曲梁屈曲荷载值
Table 6. Buckling loads of curved beam with multiple cracks at different locations
工况 第1条裂纹位置 第2条裂纹位置 第3条裂纹位置 屈曲荷载$\bar q_{\rm{c}}^{}$ I π/4 (I1) π/2 (I2) 3π/4 (I3) 0.856 826 II π/4 (II1) π/2 (II2) π/12 (II3) 0.881 116 III 5π/12 (III1) π/2 (III2) 7π/12 (III3) 0.800 923 
图 7 各工况多裂纹分布示意图
Figure 7. Diagram of cases for multiple cracks distributions
使用本文方法计算该曲梁多裂纹工况的结果如表6所示，工况III的屈曲荷载值最小，即多裂纹损伤越集中于跨中，越容易诱发弹性失稳，这与上文单一裂纹损伤位于跨中易于导致弹性失稳的结论一致。
图8所示为多裂纹工况各屈曲模态与无损伤屈曲模态的差值曲线，可以看出各裂纹损伤所在局部区域对屈曲模态变化有重要影响，多裂纹损伤缺陷导致屈曲模态剧烈变化。同时，本文算法在各裂纹损伤附近区域使用了相对密集的网格，用于适应裂纹损伤引起屈曲模态的变化，形成优化的非均匀网格、确保解答的可靠性。
图 8 多裂纹损伤下网格分布和屈曲模态差
Figure 8. Mesh distribution and buckling modes of circularly curved beam with multiple cracks
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本文建立了圆弧形曲梁裂纹的截面损伤缺陷比拟方案，实现裂纹的大小(深度)、位置、数目的模拟；针对含裂纹损伤圆弧曲梁弹性屈曲，引入有限元网格自适应分析方法，得到了优化的网格和满足预设误差限的高精度屈曲荷载和屈曲模态解答。经数值算例检验，本文方法对浅梁、深度梁等各类变化几何形式圆弧曲梁的弹性屈曲求解具有良好适用性，解答与解析解具有较高吻合度。研究发现：随着裂纹损伤增大、接近跨中，均会不同程度降低屈曲荷载，越容易诱发弹性失稳。裂纹损伤将诱发屈曲模态变化，本文自适应算法可划分出非均匀网格，在裂纹附近区域使用了相对密集的网格来适应裂纹损伤引起屈曲模态的变化。
ADAPTIVE MESH REFINEMENT ANALYSIS OF FINITE ELEMENT METHOD FOR ELASTIC BUCKLING OF CRACKED CIRCULARLY CURVED BEAMS
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摘要: 该文建立圆弧形曲梁裂纹的截面损伤缺陷比拟方案，实现裂纹大小(深度)、位置、数目的模拟。引入变截面Euler-Bernoulli梁的h型有限元网格自适应分析方法，求解含裂纹损伤圆弧曲梁弹性屈曲问题，得到优化的网格和满足预设误差限的高精度屈曲荷载和屈曲模态解答。数值算例表明该算法中网格非均匀加密可适应裂纹损伤引起的屈曲模态变化，应用于各类曲梁夹角和裂纹损伤分布工况下的弹性屈曲研究，定量分析了裂纹损伤程度对圆弧曲梁的屈曲荷载和屈曲模态的影响，检验了该文算法的精确性和可靠性。Abstract: The scheme for the cross-section damage defects in circularly curved beam is established to simulate the magnitude (depth), location and number of the cracks. The h-version adaptive finite element method for non-uniform Euler-Bernoulli beam is introduced to solve the elastic buckling of circularly curved beam with cracks. Using the proposed method, the final optimized meshes and high-precision buckling loads and modes meeting the preset error tolerance can be obtained. Numerical examples show that the non-uniform mesh refinement can adapt to the change of buckling mode induced by crack damage, which is applied to the elastic buckling analysis for some typical kinds of subtended angles and crack damage distribution conditions of circularly curved beams. Furthermore, the influence of crack damage on the buckling load and mode of circular curved beams is quantitatively analyzed, and the accuracy and reliability of the proposed algorithm are verified.
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图 2 含裂纹损伤圆弧曲梁截面损伤和加载示意图
Figure 2. Diagram of cross-section damage defect and loading for circularly curved beam with crack damage
图 5 不同裂纹损伤位置下圆弧曲梁弹性屈曲
Figure 5. Elastic buckling of circularly curved beam with different locations of crack damage
图 6 不同裂纹损伤大小下圆弧曲梁弹性屈曲
Figure 6. Elastic buckling of circularly curved beam with different magnitudes of crack damage
图 8 多裂纹损伤下网格分布和屈曲模态差
Figure 8. Mesh distribution and buckling modes of circularly curved beam with multiple cracks
表 1 圆弧曲梁根据径厚比和夹角分类
Table 1. Categories of circularly curved beams according to ratio of radius and thickness and subtended angle
按径厚比 $R/h$ 厚曲梁 中厚曲梁 薄曲梁 $R/h < 40$ $R/h = 40$ $R/h > 40$ 按曲梁夹角θ0 浅梁 中等深度梁 深度梁 超深度梁 $\theta _0^{} < 40_{}^ \circ $ $\theta _0^{} = 40_{}^ \circ $ $40_{}^ \circ < \theta _0^{} \leqslant 180_{}^ \circ $ $\theta _0^{} > 180_{}^ \circ $ 
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表 3 两端简支曲梁不同夹角下屈曲荷载值
Table 3. Buckling loads of of curved beam with hinged–hinged supports under different subtended angles
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表 4 不同裂纹损伤位置下曲梁屈曲荷载值
Table 4. Buckling loads of curved beam with crack damage at different locations
损伤位置 $\theta _{\rm{c}}^{}$ 屈曲荷载 $\bar q_{\rm{c}}^{}$ 损伤位置 $\theta _{\rm{c}}^{}$ 屈曲荷载 $\bar q_{\rm{c}}^{}$ 0 0.999 999 π/3 0.937 817 π/12 0.994 679 5π/12 0.924 499 π/6 0.978 168 π/2 0.919 641 π/4 0.958 574 − −
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表 5 不同裂纹损伤大小下曲梁屈曲荷载值
Table 5. Buckling loads of curved beam with crack under different magnitudes
损伤大小 $h_{\rm{c}}^{}/h$ 屈曲荷载 $\bar q_{\rm{c}}^{}$ 0.1 0.995 226 0.2 0.988 219 0.3 0.976 756 0.4 0.957 391 0.5 0.919 641
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表 6 多裂纹损伤不同位置下曲梁屈曲荷载值
Table 6. Buckling loads of curved beam with multiple cracks at different locations
工况 第1条裂纹位置 第2条裂纹位置 第3条裂纹位置 屈曲荷载 $\bar q_{\rm{c}}^{}$ I π/4 (I1) π/2 (I2) 3π/4 (I3) 0.856 826 II π/4 (II1) π/2 (II2) π/12 (II3) 0.881 116 III 5π/12 (III1) π/2 (III2) 7π/12 (III3) 0.800 923
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