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纵向变厚度(LP)矩形钢板弹性屈曲系数的理论分析

徐冬冬 王元清 刘晓玲 班慧勇 刘明

徐冬冬, 王元清, 刘晓玲, 班慧勇, 刘明. 纵向变厚度(LP)矩形钢板弹性屈曲系数的理论分析[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 173-183. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
引用本文: 徐冬冬, 王元清, 刘晓玲, 班慧勇, 刘明. 纵向变厚度(LP)矩形钢板弹性屈曲系数的理论分析[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 173-183. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
Dong-dong XU, Yuan-qing WANG, Xiao-ling LIU, Hui-yong BAN, Ming LIU. THEORETICAL ANALYSIS OF THE ELASTIC BUCKLING COEFFICIENT OF RECTANGULAR LONGITUDINALLY PROFILED STEEL PLATES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 173-183. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
Citation: Dong-dong XU, Yuan-qing WANG, Xiao-ling LIU, Hui-yong BAN, Ming LIU. THEORETICAL ANALYSIS OF THE ELASTIC BUCKLING COEFFICIENT OF RECTANGULAR LONGITUDINALLY PROFILED STEEL PLATES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 173-183. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628

纵向变厚度(LP)矩形钢板弹性屈曲系数的理论分析

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
基金项目: 国家重点研发计划重点专项项目(2018YFC0705503)
详细信息
    作者简介:

    徐冬冬(1992−),男,江西吉安人,硕士生,主要从事钢结构研究 (E-mail: yueyunyunluo@126.com)

    刘晓玲(1995−),女,山西人,博士生,主要从事钢结构研究(E-mail: liuxiaoling950718@163.com)

    班慧勇(1985−),男,内蒙古呼和浩特人,助理教授,博士,主要从事结构工程研究(E-mail: banhy@mail.tsinghua.edu.cn)

    刘 明(1980−),男,辽宁鞍山人,高工,硕士,主要从事建筑用钢及工程机械用钢研究(E-mail: 13898006025@163.com)

    通讯作者: 王元清(1963−),男,安徽霍山人,教授,博士,博导,主要从事钢结构研究 (Email: wang-yq@mail.tsinghua.edu.cn)
  • 中图分类号: TU391

THEORETICAL ANALYSIS OF THE ELASTIC BUCKLING COEFFICIENT OF RECTANGULAR LONGITUDINALLY PROFILED STEEL PLATES

  • 摘要: 纵向变厚度(LP)钢板因适应现代化建筑超高层及大跨度的发展使用需求,将广泛应用于工程结构中。因LP钢板几何形状的特殊性,其局部屈曲变形更容易发生在靠近薄端的位置,并且钢板局部稳定性能与相同受力状态下的等厚度钢板差异较大,需要进行深入研究。基于能量原理,采用Galerkin和Rayleigh-Ritz法(GRM),对单向均匀受压荷载作用下四种不同边界条件下的矩形LP钢板的弹性屈曲系数的计算公式进行了理论推导,并采用ANSYS有限元软件验证了公式的正确性。最后得到了不同厚度放大系数下,四种边界条件下的矩形钢板的弹性屈曲系数与钢板长宽比的关系曲线图,进一步为LP钢板的工程应用提供理论指导和设计依据。
  • 图  1  板元中外力、内力图示

    Figure  1.  External and internal forces of micro element of plate

    图  2  四种边界条件计算模型

    注:S(simple-supported)表示边界条件为简支;F(free)表示边界条件为自由;C(clamped)表示边界条件为固支;SSSS表示四边简支;CCCC表示四边固支;SSSF表示三边简支一边自由;CCCF表示三边固支一边自由。

    Figure  2.  Calculation mode of four boundary conditions

    图  3  不同n值下弹性屈曲系数对比分析图

    Figure  3.  Comparative analysis of elastic buckling coefficients under different values of parameter n

    图  4  有限元模型

    Figure  4.  FEA model

    图  5  网格尺寸优化图

    Figure  5.  Mesh size optimization

    图  6  四种边界条件下LP钢板的弹性屈曲系数曲线图

    Figure  6.  Curves of elastic buckling coefficient of LP steel plates under four boundary conditions

    图  7  以平均厚度为基准的四边简支条件下的弹性屈曲系数曲线图

    Figure  7.  Curves of elastic buckling coefficient defined as tM when four edges are simply-supported

    表  1  不同β值下四边简支条件的理论公式数值计算与有限元对比表

    Table  1.   Comparison of theoretical calculation and finite element analysis under different values of β

    长宽比β分析方法厚度放大系数χ
    0.050.100.15
    0.5 理论计算 7.794 9.479 11.305
    有限元 7.783 9.452 11.255
    偏差/ (%) −0.140 −0.290 −0.440
    1.0 理论计算 4.954 5.928 6.926
    有限元 4.948 5.912 6.893
    偏差 (%) −0.110 −0.270 −0.490
    1.5 理论计算 5.111 5.763 6.410
    有限元 5.102 5.743 6.376
    偏差/ (%) −0.190 −0.340 −0.540
    2.0 理论计算 4.762 5.339 5.865
    有限元 4.754 5.324 5.838
    偏差/ (%) −0.160 −0.290 −0.460
    3.0 理论计算 4.594 4.992 5.354
    有限元 4.582 4.976 5.330
    偏差/ (%) −0.260 −0.340 −0.450
    4.0 理论计算 4.486 4.802 5.085
    有限元 4.468 4.780 5.058
    偏差/ (%) −0.400 −0.460 −0.530
    注:理论计算选取n=15作为精确解。
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    表  2  β=2时理论公式数值计算与有限元对比表

    Table  2.   Comparison of theoretical calculation and finite element analysis under β=2

    边界条件分析方法厚度放大系数χ
    0.050.100.15
    四边固支 理论计算 9.426 10.929 12.337
    有限元 9.545 11.050 12.454
    偏差/(%) 1.260 1.100 0.950
    三边简支 理论计算 0.842 1.021 1.214
    有限元 0.838 1.012 1.199
    偏差/(%) −0.440 −0.910 −1.220
    三边固支 理论计算 2.404 2.904 3.430
    有限元 2.352 2.842 3.357
    偏差/(%) −2.170 −2.120 −2.130
    注:理论计算选取n=15作为精确解。
    下载: 导出CSV
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-31
  • 修回日期:  2020-05-27
  • 网络出版日期:  2020-09-07
  • 刊出日期:  2020-09-25

纵向变厚度(LP)矩形钢板弹性屈曲系数的理论分析

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
    基金项目:  国家重点研发计划重点专项项目(2018YFC0705503)
    作者简介:

    徐冬冬(1992−),男,江西吉安人,硕士生,主要从事钢结构研究 (E-mail: yueyunyunluo@126.com)

    刘晓玲(1995−),女,山西人,博士生,主要从事钢结构研究(E-mail: liuxiaoling950718@163.com)

    班慧勇(1985−),男,内蒙古呼和浩特人,助理教授,博士,主要从事结构工程研究(E-mail: banhy@mail.tsinghua.edu.cn)

    刘 明(1980−),男,辽宁鞍山人,高工,硕士,主要从事建筑用钢及工程机械用钢研究(E-mail: 13898006025@163.com)

    通讯作者: 王元清(1963−),男,安徽霍山人,教授,博士,博导,主要从事钢结构研究 (Email: wang-yq@mail.tsinghua.edu.cn)
  • 中图分类号: TU391

摘要: 纵向变厚度(LP)钢板因适应现代化建筑超高层及大跨度的发展使用需求,将广泛应用于工程结构中。因LP钢板几何形状的特殊性,其局部屈曲变形更容易发生在靠近薄端的位置,并且钢板局部稳定性能与相同受力状态下的等厚度钢板差异较大,需要进行深入研究。基于能量原理,采用Galerkin和Rayleigh-Ritz法(GRM),对单向均匀受压荷载作用下四种不同边界条件下的矩形LP钢板的弹性屈曲系数的计算公式进行了理论推导,并采用ANSYS有限元软件验证了公式的正确性。最后得到了不同厚度放大系数下,四种边界条件下的矩形钢板的弹性屈曲系数与钢板长宽比的关系曲线图,进一步为LP钢板的工程应用提供理论指导和设计依据。

English Abstract

徐冬冬, 王元清, 刘晓玲, 班慧勇, 刘明. 纵向变厚度(LP)矩形钢板弹性屈曲系数的理论分析[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 173-183. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
引用本文: 徐冬冬, 王元清, 刘晓玲, 班慧勇, 刘明. 纵向变厚度(LP)矩形钢板弹性屈曲系数的理论分析[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 173-183. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
Dong-dong XU, Yuan-qing WANG, Xiao-ling LIU, Hui-yong BAN, Ming LIU. THEORETICAL ANALYSIS OF THE ELASTIC BUCKLING COEFFICIENT OF RECTANGULAR LONGITUDINALLY PROFILED STEEL PLATES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 173-183. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
Citation: Dong-dong XU, Yuan-qing WANG, Xiao-ling LIU, Hui-yong BAN, Ming LIU. THEORETICAL ANALYSIS OF THE ELASTIC BUCKLING COEFFICIENT OF RECTANGULAR LONGITUDINALLY PROFILED STEEL PLATES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 173-183. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0628
  • 随着现代建筑的跨度及高度的逐渐增加,其结构的受力变得越来越复杂,采用传统等截面的设计方法过于保守,变截面设计应运而生。传统变截面设计一般为截面高度变化,而对于钢板厚度变化较少。本文研究的纵向变厚度钢板(longitudinally profiled steel plate, LP钢板)是厚度沿轧制方向具有特殊形状的变厚度钢板[1]。它可以根据结构在不同极限状态下的受力模式,来确定其沿纵向的不同厚度尺寸,从而达到降低钢材用量、减少施工焊缝、提高抗震性能的目的[1-4]。LP钢板最早于20世纪末生产应用于船只建造当中[2],并取得了良好的经济效益,之后开始应用到桥梁工程中[3]。目前,LP钢板已广泛应用于欧洲、日本及韩国[4-5]的桥梁工程。

    国内外关于LP钢板的研究较少,主要是对其轧制工艺、材料力学性能及变形性能进行了一系列研究[6-11],对LP钢板的局部稳定的研究则更少,而与之类似的机加工变厚度钢板,是通过机械切割得到的变厚度钢板,这种钢板在航空和机械领域应用广泛,国外学者则对其进行了深入的研究。对于变厚度钢板的弹性稳定问题的研究,文献[12-13]是对于加载方向的弯曲刚度为二次变化,而另一方向均匀厚度的四边简支变厚度钢板进行了研究,研究表明,在一些特殊的参数条件下,矩形薄板的弹性屈曲问题具有理论解析解,然而该理论解析解具有较大的局限性。文献[14]对板微元段的平衡方程进行研究,得到了单向变厚度板的变系数常微分方程,并采用幂级数方法求解该微分方程,该方法需首先假定一个初值,再进行迭代,因此这种方法容易受数值分析的影响。文献[15]其解法与文献[14]基本一致,只是通过一种坐标变换的方式来处理该变系数常微分方程,并且其边界条件存在一定的差异,文献[15]无需采用迭代方式,计算收敛性较好。文献[16-17]是针对任意变厚度钢板,提出了计算其弹性屈曲系数的计算方法,该计算方法需要一定的计算量,相对于有限元法可以降低建模工作和减少计算时间。文献[18]基于能量法原理,采用Galerkin方法,对于四边简支或者侧边简支、加载边固支的线性变化板和指数变化板进行理论研究,其计算结果具有较高的精确性。

    LP钢板在轧制过程中因轧制比变化使得其力学性能和等厚度钢板存在较大的差异[10]。考虑到在弹性范围内,LP钢板与机加工变厚度板并无较大差别。在计算弹性屈曲系数时,可采用相同的理论方法。本文在文献[18]的基础上,通过采用Galerkin和Rayleigh-Ritz的方法(GRM),从板元平衡微分方程出发,运用虚位移原理,得到一个最小势能方程,采用一系列满足边界条件的三角函数和作为板的变形函数,将弹性屈曲系数的求解转化为对矩阵的最小特征值求解问题。通过理论推导,获得了4种不同边界条件下(四边简支、四边固支、三边简支、三边固支)该特征矩阵元素的表达式,采用数学软件MATLAB求解其最小特征值,并得到弹性屈曲系数随着钢板的长宽比变化的曲线图。采用通用有限元软件ANSYS验证了公式的正确性,同时给出了不同变厚度系数下钢板的弹性屈曲系数随着板的长宽比变化的曲线图。

    • 本次研究是基于小挠度理论,计算薄板弯曲时屈曲荷载的计算假定如下[13, 17, 19]

      1)板件为完全弹性,各向材质均匀,应力-应变关系服从胡克定律;

      2)忽略垂直厚度方向的影响,即认为厚度方向和等厚度板是一致的;

      3)板厚变化充分平缓,可以假定为广义平面应力问题;

      4)屈曲荷载不受中面位移的影响,即不考虑中面弯曲变形伸长而产生的薄膜力;

      5)垂直于变厚度方向的屈曲变形与等厚度板的变形形状一致。

      从以上假定可以得到,板的受力假定同等厚度板,同属于平面应力问题,并且可以用常系数偏微分方程来描述板的受力状态。

    • 对于一块矩形薄板,取其中一个微小的板元(如图1(a)、图1(b)所示),对其进行受力分析可以得到图1

      图  1  板元中外力、内力图示

      Figure 1.  External and internal forces of micro element of plate

      图  2  四种边界条件计算模型

      Figure 2.  Calculation mode of four boundary conditions

      图1中:NxNyNxy为板元的中面力,分别对应x向的轴力、y向的轴力和板的切向力;QxQy分别对应板元x向和y向的剪力;MxMy分别对应板元x向和y向的弯矩;MxyMyx分别对应板元x向和y向的扭矩。则可以获得板元的总势能如式(1)所示[18, 20],其中$\nabla $为拉普拉斯算子。

      $$\begin{split} \Pi = &\iint\limits_A \left\{ \dfrac{1}{2}D{\left( {{\nabla ^2}w} \right)^2} + D(1 - \nu)\cdot \right.\\& \left[ {{{\left( {\dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial x\partial y}}} \right)}^2} - \dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}} \right] - \dfrac{1}{2}{N_x}{\left( {\dfrac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)^2} -\\& \dfrac{1}{2}{N_y}{\left( {\dfrac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)^2} - \left. {N_{xy}}\dfrac{{\partial w}}{{\partial x}}\dfrac{{\partial w}}{{\partial y}} \right\}{\rm{d}}x{\rm{d}}y \end{split} $$ (1)

      式中:$D = \dfrac{{E{t^3}}}{{12(1 - {\nu^2})}}$为钢板抗弯刚度;E为钢板材料的弹性模量;ν为材料的泊松比;t为钢板的厚度,在此处为一个变量。对该板元给定一个满足边界条件的虚位移δw,由于虚位移并不改变体系的总势能,因此虚位移产生的总势能的改变量为0,则式(1)变成如式(2)所示。

      $$ \begin{split} 0 \!=\!& \iint\limits_A \!\!\Bigg\{ D{\nabla ^2}w{\nabla ^2}\delta w + D(1 - \nu )\cdot \Bigg.\\& \!\left[ {2\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial x\partial y}}\frac{{{\partial ^2}\delta w}}{{\partial x\partial y}} \!-\! \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}\frac{{{\partial ^2}\delta w}}{{\partial {y^2}}}\! - \!\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}\frac{{{\partial ^2}\delta w}}{{\partial {x^2}}}} \right] - \\& {N_x}\frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial \delta w}}{{\partial x}} - {N_y}\frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial \delta w}}{{\partial y}} - \\&\Bigg. {N_{xy}}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial \delta w}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial \delta w}}{{\partial x}}} \right) \! \Bigg\}{\rm{d}}x{\rm{d}}y \end{split} $$ (2)

      当然,本文对虚拟位移取任意常数值,则满足变形条件的式(1)也可以改写成下式:

      $$\begin{split} 0 \!\!=\!\! &\iint\limits_A \!\left\{ {\nabla ^2}(D{\nabla ^2}w) + (1 - \nu )\cdot \right.\\& \!\left[ {2\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial x\partial y}}\frac{{{\partial ^2}D}}{{\partial x\partial y}} \!-\! \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}\frac{{{\partial ^2}D}}{{\partial {y^2}}} \!- \!\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}\frac{{{\partial ^2}D}}{{\partial {x^2}}}} \right] + \\&\left. {N_x}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^{}}}} + {N_y}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}} + 2{N_{xy}}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial x\partial y}} \!\right\}\delta w{\rm{d}}x{\rm{d}}y \end{split} $$ (3)

      式(3)中的虚拟位移δw是任意的,因此δw=0不恒成立,故积分中微分式的值必定为0。式(3)为Galerkin基本方程等式,也就是板元微分平衡方程的基本方程。

    • 本次研究主要考虑到工程上常遇到的四边简支、四边固支、三边简支一边自由和三边固支一边自由四种情况。在纵向变厚度方向施加均匀压力Nx,其计算图示如图2所示。

      其中LP钢板薄端的厚度为t0,厚端的厚度为t1,坡度变化率为α。则钢板的任意厚度可以用下式表示:

      $$t = {t_0} + \alpha x \; ,\;\; 0 \leqslant x \leqslant a $$ (4)
    • 考虑到本文所研究的LP钢板为纵向线性变化,横向为均匀厚度,从图2可以得到Ny=0,Nxy=0,因此式(3)可改写成:

      $$\begin{split} & D{\nabla ^4}w + 2\frac{{{\rm{d}}D}}{{{\rm{d}}x}}\frac{\partial }{{\partial x}}({\nabla ^2}w) + \\&\qquad\frac{{{\partial ^2}D}}{{\partial {x^2}}}\left(\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + v\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}\right) + {N_x}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} = 0 \end{split}$$ (5)

      从式(5)可以看出,在横向为均匀厚度,其变形函数和均匀厚度板是一致,可以假设其变形函数为:1) 侧边两边简支如式(6a);2) 侧边两边固支如式(6b);3) 侧边一侧简支,一边自由,如式(6c);4) 侧边一侧固支,一侧自由,如式(6d):

      $$\tag{6a} w(x,y) = f(x)\sin \frac{{r\pi y}}{b}\qquad\quad $$
      $$\tag{6b} w(x,y) = f(x)\sin \frac{{r\pi y}}{b}\sin \frac{{s\pi y}}{b} $$
      $$\tag{6c} w(x,y) = f(x)\mu y\qquad\qquad\quad\; $$
      $$\tag{6d} w(x,y) = f(x)\mu {y^2}\qquad\qquad\quad $$

      式中:$f(x)$为纵向待定的变形函数;rs分别为任意正整数;μ为任意常数。

    • 考虑到矩形钢板的边界条件为四边简支(图2(a)),而计算最小弹性屈曲荷载时,横向的波形只有一个,即r=1。故可以设:

      $$w = W(X)\sin Y$$ (7)

      其中:$X = \dfrac{{\pi x}}{a},\;Y = \dfrac{{\pi y}}{b}$。因此钢板的边界条件改成$X = 0,\pi $$Y = 0,\pi $

      对于纵向变形函数,文献[11-12]已经表明,在变厚度具有特殊情况下才有初等函数表达式,本次推导的钢板为单方向线性变化,纵向抗弯刚度与纵向$x$为3次方成正比,不具备一般意义的初等函数解,因此可以假设其变形函数为一系列的三角函数集合,即采用三角级数和来拟合其变形函数。

      $$ W(X) = \sum\limits_{m=1}^{\infty} {{A_m}{F_m}} \left( X \right) $$ (8)

      式中:${F_m}\left( X \right)$为满足边界条件的三角函数,其中m为正整数,表示第m个变形函数;Am为第m个变形函数的系数。对于虚拟位移$\delta w$,取用其形式为:

      $$\delta w = \varepsilon {F_p}(X)\sin Y$$

      其中,p为任意正整数。将上式代入式(2)可以得到:

      $$\begin{split}& \sum\limits_1^{\infty} {{A_m}} \int\limits_{0}^{\pi} \left\{ D\Bigg[ \left(\frac{b}{a}{{F_m''}} - \frac{a}{b}{F_m}\right)\cdot\left(\frac{b}{a}{{F}_p''} - \frac{a}{b}{F_p}\right) + \right.\Bigg.\\& \qquad (1 - v)\cdot \left( {2{{F}_m'}{{F}_p'} + {F_m^{\prime \prime }}{F_p} + {F_m}{F_p^{\prime \prime }}} \right) \Bigg] -\Bigg. \\&\qquad\left. \frac{{{N_x}{b^2}}}{{{\pi ^2}}}{{F}_m'}{{F}_p'} \right\}{\rm{d}}X = 0 \end{split} $$ (9)

      令式(9)中D=D0f(X),k0=Nxb2/(π2D0),则可知k0为矩形钢板板的弹性屈曲系数,再设板长宽比$\beta = a/b$,厚度放大系数$\chi = \dfrac{{\alpha a}}{{\pi {t_0}}}$(其中${D_0}$为LP钢板薄端的抗弯刚度,${D_0} = \dfrac{{Et_0^3}}{{12(1 - { \nu ^2})}}$),$t = {t_0}\left[ {1 + \chi X} \right]$$f(X) = {\left[ {1 + \chi X} \right]^3}$,再设:

      $$ \begin{split} {B_{mp}} = & \int\limits_{0}^{\pi} f(X)\Bigg[ \left(\frac{1}{\beta }{{F}_m''} - \beta {F_m}\right)\left(\frac{1}{\beta }{F_p''} - \beta {F_p}\right) +\Bigg.\\[-3pt]& \Bigg. (1 - v)\cdot ( {2{{F}_m'}{{F}_p'} + {F_m^{\prime \prime }}{F_p} + {F_m}{F_p^{\prime \prime }}} ) \Bigg]{\rm{d}}X \end{split} $$ (10)
      $${C_{mp}} = \int\limits_{0}^{\pi} {{F_m'}{F_p'}{\rm{d}}X} $$ (11)

      则式(9)可以改写成:

      $$ \sum\limits_{m=1}^{\infty} {{A_m}} ({B_{mp}} - {k_0}{C_{mp}}) = 0 $$ (12)

      取前n项作为钢板长度方向(图2所示x方向)的变形函数,并且认为其可以满足计算精度要求,则式(12)也就可以变成:

      $$\left[ {{ B} - {k_0}{ C}} \right]{ A} = \left\{ { 0} \right\}$$ (13)

      式中:An阶一维向量;BCn阶对称矩阵。显然A0,因此有行列式:

      $$\left| {{ B} - {k_0}{ C}} \right| = 0$$ (14)

      故求解变厚度板的弹性屈曲系数k0转化成对矩阵特征值的求解。对于四边简支的矩形LP钢板,其边界变形需要满足以下边界条件:

      $${F_m}(0) = {F''_m}(0) = {F_m}(\pi ) = {F''_m}(\pi ) = 0$$ (15)

      故可以设一系列的满足边界条件的三角函数为:

      $${F_m}\left( X \right){\rm{ = }}\sin mX$$ (16)

      则将式(16)代入式(11),再进行积分,可以得到:

      $${C_{mp}} = \frac{{\pi mp}}{2}{\delta _{mp}}$$ (17)

      其中,${\delta _{mp}}$为克罗内克函数,其定义为:

      $${\delta _{mp}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,m = p} \\ {0,m \ne p} \end{array}} \right.$$

      则可知矩阵C为一个对角矩阵,进一步整理,式(13)可以简化成下式:

      $$\left[ {{{ B}^*} - {k_0}{ E}} \right]{{ A}^*} = \left\{ {\bf 0} \right\}$$ (18)

      式中:${{ B}^*}{\rm{ = }}{ B}{{ C}^{ - 1}}$${{ A}^*}{{ = }}{ A}{{ C}^{ - 1}}$${ E}$为单位矩阵。代入式(10)可以得到:

      $$ \begin{split} B_{mp}^* = &\frac{2}{{\pi mp}}\int\limits_{0}^{\pi} {f(X)}\Bigg[ \left(\frac{1}{\beta }{{F}_m''} - \beta {F_m}\right)\left(\frac{1}{\beta }{{F}_p''} - \beta {F_p}\right) +\Bigg. \\[-3pt]& \Bigg. (1 - \nu )\cdot ( {2{{F}_m'}{{F}_p'} + F_m^{\prime \prime }{F_p} + {F_m}F_p^{\prime \prime }} ) \Bigg]{\rm{d}}X \qquad\;\;(19)\end{split} $$

      将式(19)进行积分可以得到下列结果:

      1)当m=p时,

      $$ \begin{split} B_{mp}^* =& \frac{{(2 + \pi \chi )}}{{\rm{4}}}{\left( {\frac{\beta }{m} + \frac{m}{\beta }} \right)^2}\left[ {{{(1 + \pi \chi )}^2} + 1 - \frac{{3{\chi ^2}}}{{{m^2}}}} \right] + \\& \frac{{3{\chi ^{\rm{2}}}(1 - \nu )(2 + \pi \chi )}}{{{m^2}}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(20{\rm{a}}) \end{split} $$

      2)当mpm+p为偶数时,

      $$\tag{20b}B_{mp}^* = \frac{{12{\chi ^{\rm{2}}}( {{\rm{2}} + \pi \chi } )( {{m^2} + {\beta ^2}} )( {{p^2} + {\beta ^2}} )}}{{{\beta ^2}{{( {{m^2} - {p^2}} )}^2}}}$$ (20b)

      3)当mpm+p为奇数时,

      $$ \begin{split} & B_{mp}^* = - \frac{{12\chi [ {{{(1 + \pi \chi )}^2} + 1} ]( {{m^2} + {\beta ^2}} )( {{p^2} + {\beta ^2}} )}}{{\pi {\beta ^2}{{( {{m^2} - {p^2}} )}^2}}} +\\&\quad \frac{{48{\chi ^3}}}{{\pi {\beta ^2}{{( {{m^2} - {p^2}} )}^4}}}[ 2( {{m^2} + {\beta ^2}} )( {{p^2} + {\beta ^2}} )\cdot \\&\quad( {{m^2} + {p^2}} ) - {\beta ^2}( {1 - \nu } ){( {{m^2} - {p^2}} )^2} ] \qquad\qquad \quad\;\;\; (20{\rm{c}}) \end{split} $$

      从式(20)可以得出,矩阵B*为一个n×n维矩阵,对其求特征值可以转化为一个一元n次方程,取其中的最小的根,当n≥5时,没有一般解析解。

      特殊的,当钢板的厚度变化率α=0,那么可以得到χ=0,则式(20)变成:

      1)当m=p时,

      $$\tag{21a}B_{mp}^* = {\left( {\frac{\beta }{m} + \frac{m}{\beta }} \right)^2}$$

      2)当mp时,

      $$\tag{21b}B_{mp}^* = {\rm{0}}$$

      则矩阵B*为一个n×n维对角正定矩阵,则可以求得,弹性屈曲系数为:

      $${k_{\rm{0}}} = \min \left[ {{{\left( {\frac{\beta }{m} + \frac{m}{\beta }} \right)}^2}} \right],m = 1,2, \cdots $$ (22)

      这与等厚度板的弹性屈曲系数公式是一致的。

    • 对于四边固支(图2(b)),计算其弹性屈曲系数时,横向的波长取最小即可,故可令式(6b)中的参数r=1,s=1,则可以得到:

      $$w = W(X){\sin ^{\rm{2}}}Y$$ (23)

      为计算方便,其中XY同四边简支的情况。对于四边固支,矩形LP钢板的边界条件需要满足边界条件为:

      $${F_m}(0) = {F'_m}(0) = {F_m}(\pi ) = {F'_m}(\pi ) = 0$$ (24)

      故可以设一系列的满足边界条件的三角函数为:

      $${F_m}(X) = \sin X\sin mX$$ (25)

      将式(23)和式(24)代入式(2)可以得到:

      $$\begin{split} & \sum\limits_1^{\infty} {{A_m}} \int\limits_{0}^{\pi} \left\{ D\left[ \frac{1}{{{\beta ^{\rm{2}}}}}{{F}_m''}{{F}_p''} + \frac{{16}}{3}{\beta ^2}{F_m}{F_p} + \frac{8}{3}{{F}_m'}{{F}_p'} - \right.\right.\\[-4pt]&\qquad\left. \frac{{4 \nu }}{3}( {2{{F}_m'}{{F}_p'} + {{F}_m''}{F_p} + {F_m}{{F}_p''}} ) \right] -\\[-4pt]&\left.{\qquad \frac{{{N_x}{b^2}}}{{{\pi ^2}}}{{F}_m'}{{F}_p'}} \right\} {\rm{d}}X = 0 \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \;(26) \end{split}$$

      将式(10)改写可以得到:

      $$\begin{split} {B_{mp}} = &\int\limits_{0}^{\pi} {f(X)}\left[ \dfrac{1}{{{\beta ^{\rm{2}}}}}{{F}_m''}{{F}_p''} + \dfrac{{16}}{3}{\beta ^2}{F_m}{F_p} + \dfrac{8}{3}{{F}_m'}{{F}_p'} - \right.\\& \left.\dfrac{{4v}}{3}( {2{{F}_m'}{{F}_p'} + {{F}_m''}{F_p} + {F_m}{{F}_p''}} ) \right] {\rm{d}}X\qquad\qquad\;(27) \end{split} $$

      代入式(26)则可以得到式(12)和式(13)。将式(25)代入式(26),并进行积分,可以得到矩阵B的各项元素的表达式为:

      $$\begin{split} {B_{mp}} = &\dfrac{1}{4}\sum\limits_{i = \pm 1} \sum\limits_{j = \pm 1} ij \left\{ \left[ \dfrac{1}{{{\beta ^{\rm{2}}}}}{(m + i)^2}{(p + j)^2} + \dfrac{{16}}{3}{\beta ^2} + \right.\right.\\&\left. \dfrac{{4 \nu }}{3}{(m + i)^2} + \dfrac{{4 \nu }}{3}{(p + j)^2} \right]{K_{m + i,p + j}} + \\& \left. \dfrac{8}{3}\left[ {(1 - \nu )(m + i)(p + j)} \right]{L_{m + i,p + j}} \right\} \qquad\qquad(28) \end{split} $$

      其中,Km,nLm,n的表达式为:

      1)当$ m= n = 0$时,

      $$\tag{29a}{K_{m,n}} = \frac{\pi }{{\rm{4}}}\left( {{\rm{2 + }}\pi \chi } \right)[ {{\rm{1 + }}{{\left( {{\rm{1 + }}\pi \chi } \right)}^{\rm{2}}}} ],\;{L_{m,n}} = 0$$

      2)当$ m = n \ne 0$时,

      $$ \tag{29b} \begin{split} & {K_{m,n}} = \frac{{\pi (2 + \chi \pi )}}{8}\left[ {{{(1 + \chi \pi )}^2} + 1 + \frac{{3{\chi ^2}}}{{{m^2}}}} \right],\\& {L_{m,n}} = \frac{{\pi (2 + \chi \pi )}}{8}\left[ {{{(1 + \chi \pi )}^2} + 1 - \frac{{3{\chi ^2}}}{{{m^2}}}} \right] \end{split} $$ (29b)

      3)当$m \ne n,m + n$为偶数时,

      $$\tag{29c} \begin{split} & {K_{m,n}} = \frac{{3\pi {\chi ^{\rm{2}}}({\rm{2}} + \pi \chi )({m^2} + {n^2})}}{{{{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)}^2}}}\\ & {L_{m,n}} = \frac{{{\rm{6}}\pi {\chi ^{\rm{2}}}({\rm{2}} + \pi \chi )mn}}{{{{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)}^2}}} \end{split}$$ (29c)

      4)当$m \ne n,m + n$为奇数时,

      $$\tag{29d} \begin{split} {K_{m,n}} = &\frac{{12{\chi ^3}({m^4} + 6{m^2}{n^2} + {n^4})}}{{{{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)}^4}}} -\\& \frac{{3\chi [ {{{(1 + \pi \chi )}^2} + 1} ]({m^2} + {n^2})}}{{{{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)}^2}}}\\ {L_{m,n}} = &\frac{{48{\chi ^3}mn({m^2} + {n^2})}}{{{{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)}^4}}} - \frac{{6mn\chi [ {{{(1 + \pi \chi )}^2} + 1} ]}}{{{{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)}^2}}} \end{split}$$ (29d)

      将式(24)代入式(11),则可以得到矩阵C的元素的表达式为:

      $$\begin{split} {C_{mp}} = & \frac{\pi }{8}[ 2(mp + 1){\delta _{m,p}} - (m - 1)(p + 1){\delta _{m,p + 2}} -\\& (m + 1)(p - 1){\delta _{m + 2,p}} ] \end{split}$$ (30)

      其中,δmp为克罗内克函数。可知矩阵C仅仅是一个实对称矩阵,而不再是一个对角矩阵。和四边简支的情况不再类似,因此无法通过简化矩阵B,降低求解矩阵特征值的难度。

    • 当板的边界条件为三边简支时(图2(c)),计算其弹性屈曲系数,由于横向的幅值系数对其计算结果无影响,不妨设式(6c)中的参数μ=1,则其变形函数可以表示为:

      $$w = W(X)Y$$ (31)

      而加载边的边界需要满足式(15)的条件,而其假设的一系列形函数依旧可以采用式(16)的形式。将式(31)代入式(2),再对横向Y进行积分可以得到:

      $$ \begin{split} & \sum\limits_1^{\infty} {{A_m}} \int\limits_{0}^{\pi} \left\{ D\left[ {\frac{{{b^{\rm{2}}}}}{{{a^{\rm{2}}}}}{{F}_m''}{{F}_p''}{\rm{ + }}\frac{{6(1 - \nu )}}{{{\pi ^2}}}{{F}_m'}{{F}_p'}} \right] -\right.\\&\qquad \left.\frac{{{N_x}{b^2}}}{{{\pi ^2}}}{{F}_m'}{{F}_p'} \right\}{\rm d}X = 0 \end{split} $$ (32)

      再令其中:

      $$ {B_{mp}} = \int\limits_{0}^{\pi} {f(X)\left[ {\frac{1}{{{\beta ^2}}}{{F}_m''}{{F}_p''} + \frac{{6(1 - \nu )}}{{{\pi ^2}}}{{F}_m'}{{F}_p'}} \right]{\rm d}X} $$ (33)

      考虑到三边简支,那么对于式(11)的积分获得的矩阵C将依旧是一个对角矩阵,其各个元素的表达式同式(17),那么式(33)可以简化为:

      $$ B_{mp}^* = \frac{{\rm{2}}}{{\pi mp}}\int\limits_{0}^{\pi} {f(X)\left[ {\frac{1}{{{\beta ^2}}}{{F}_m''}{{F}_p''} + \frac{{6(1 - \nu )}}{{{\pi ^2}}}{{F}_m'}{{F}_p'}} \right]{\rm d}X} $$ (34)

      将式(16)代入式(33),进行积分,可以获得矩阵B*各元素的表达式为:

      1)当m=p时,可以得到,

      $$\tag{35a} \begin{split} B_{mp}^{\rm{*}}{\rm{ = }}&\frac{{{m^2}\left( {2 + \chi \pi } \right)}}{{4{\beta ^2}}}\left[ {{{(1 + \chi \pi )}^2} + 1 - \frac{{3{\chi ^2}}}{{{m^2}}}} \right] +\\& \frac{{3(1 - \nu )\left( {2 + \chi \pi } \right)}}{{2{\pi ^2}}}\left[ {{{(1 + \chi \pi )}^2} + 1 + \frac{{3{\chi ^2}}}{{{m^2}}}} \right] \end{split} $$ (35a)

      2)当mp且(m+p)为偶数时,

      $$\tag{35b} \begin{split} B_{mp}^{\rm{*}}{\rm{ = }}&\frac{{{\rm{1}}2{\chi ^{\rm{2}}}\left( {{\rm{2}} + \pi \chi } \right)}}{{{\pi ^{\rm{2}}}{\beta ^2}{{\left( {{m^2} - {p^2}} \right)}^2}}}\cdot\\&[ 3{\beta ^2}\left( {1 - \nu } \right)\left( {{m^2} + {p^2}} \right) {\rm{ + }}{\pi ^{\rm{2}}}{m^{\rm{2}}}{p^{\rm{2}}} ] \end{split}$$ (35b)

      3)当mp且(m+p)为奇数时,

      $$\tag{35c} \begin{split} B_{mp}^{\rm{*}}{\rm{ = }}&\frac{{{\rm{48}}{\chi ^{\rm{3}}}}}{{{\pi ^{\rm{3}}}{\beta ^2}{{\left( {{m^2} \!\!-\! {p^2}} \right)}^4}}}\{ {\rm{3}}{\beta ^2}\left( {1 \!- \!\nu} \right)({m^4} \!+\! 6{m^2}{p^2} \!+\! {p^4}) \!+ \\& {\rm{2}}{\pi ^{\rm{2}}}{m^{\rm{2}}}{p^{\rm{2}}}({m^2} + {p^2}) \} - \frac{{{\rm{1}}2\chi [ {{{(1 + \pi \chi )}^2} + 1} ]}}{{{\pi ^{\rm{3}}}{\beta ^2}{{\left( {{m^2} - {p^2}} \right)}^2}}}\cdot \\&\{ {{\pi ^{\rm{2}}}{m^{\rm{2}}}{p^{\rm{2}}} + {\rm{3}}{\beta ^2}\left( {1 - \nu } \right)({m^2} + {p^2})} \}\\[-18pt] \end{split} $$ (35c)

      从式(35)可以得出,矩阵B*为一个n×n维矩阵,对其求特征值可以转化为一个一元n次方程,取其中的最小的根,当n≥5时,没有一般解析解。

      特殊的,当钢板的厚度变化率α=0,那么可以得到χ=0,则式(20)变成:

      1)当m=p时,

      $$\tag{36a}B_{mp}^{\rm{*}} = \frac{{{m^2}}}{{{\beta ^2}}} + \frac{{6\left( {1 - \nu} \right)}}{{{\pi ^2}}}$$

      2)当mp时,

      $$\tag{36b}B_{mp}^* = {\rm{0}}$$

      显然,矩阵B*为一个n×n维对角正定矩阵,则可以求得,弹性屈曲系数为:

      $${k_{\rm{0}}} = \frac{{\rm{1}}}{{{\beta ^2}}} + \frac{{6(1 - \nu)}}{{{\pi ^2}}}$$ (37)

      这和等厚度钢板的弹性屈曲系数表达式的结果是一致的,从而验证了理论公式的正确性。

    • 对于三边固支(图2(d)),计算弹性屈曲系数时,其横向变形函数式(6d)中的参数不妨取μ=1,则可以设其变形函数为:

      $$w = W(X){Y^{\rm{2}}}$$ (38)

      类似的,加载边的边界条件需要满足式(24),故加载向的变形函数可以依旧采取式(25)的形式。再对横向Y进行积分可以得到:

      $$\begin{split} & \sum\limits_1^\infty {{A_m}} \int\limits_{0}^{\pi} \left\{ D\left[ \dfrac{{\rm{1}}}{{{\beta ^2}}}{{F}_m''}{{F}_p''} + \dfrac{{{\rm{20}}}}{{{\pi ^{\rm{4}}}}}{\beta ^2}{F_m}{F_p} + \right.\right.\\&\left.\quad \dfrac{{{\rm{10}}v}}{{{\rm{3}}{\pi ^{\rm{2}}}}}( {{{F}_m''}{F_p} + {F_m}{{F}_p''}} )(1 - \nu )\dfrac{{{\rm{40}}}}{{{\rm{3}}{\pi ^{\rm{2}}}}}{{F}_m'}{{F}_p'} \right] - \\&\left.\quad \dfrac{{{N_x}{b^2}}}{{{\pi ^2}}}{{F}_m'}{{F}_p'} \right\} {\rm{d}}X = 0 \end{split}$$ (39)

      其中,可以令:

      $$ \begin{split} {B_{mp}} = &\int\limits_{0}^{\pi} {f(X)}\left[ \dfrac{{\rm{1}}}{{{\beta ^2}}}{{F}_m''}{{F}_p''}{\rm{ + }}\dfrac{{10v}}{{{\rm{3}}{\pi ^2}}}\left( {{F_m}{{F}_p''} + {{F}_m''}{F_p}} \right) + \right.\\ &\left.\dfrac{{{\rm{20}}{\beta ^2}}}{{{\pi ^{\rm{4}}}}}{F_m}{F_p} + \dfrac{{40}}{{{\rm{3}}{\pi ^2}}}(1 - \nu ){{F}_m'}{{F}_p'} \right] {\rm{d}}X \qquad\quad\;\;(40) \end{split} $$

      矩阵C各元素的表达式和式(30)是一致的,故不可进一步简化。将式(25)代入式(33),对X进行积分可以得到矩阵B各元素的表达式为:

      $$\begin{split} {B_{mp}} = &\dfrac{1}{4}\sum\limits_{i = \pm 1} \sum\limits_{j = \pm 1} ij\left\{ \left[ \dfrac{{\rm{1}}}{{{\beta ^2}}}{(m + i)^2}{(p + j)^2} + \dfrac{{20{\beta ^2}}}{{{\pi ^4}}} - \right.\right.\\&\left. \dfrac{{10v}}{{{\rm{3}}{\pi ^2}}}[ {{{(m + i)}^2} + {{(p + j)}^2}} ] \right]{K_{m + i,p + j}} + \\&\left. \dfrac{{{\rm{40}}(1 - \nu )}}{{{\rm{3}}{\pi ^2}}}(m + i)(p + j){L_{m + i,p + j}} \right\} \qquad\qquad\;\;(41) \end{split} $$
    • 由于LP钢板的厚度为变量,因此实际上弹性屈曲系数的定义存在多种,上述理论分析所定义的弹性屈曲系数是以LP钢板的薄端厚度t0为基准,即k0=Nxb22D0),为与采用相同钢材用量的等厚度钢板进行比较,可以定义以平均钢板厚度为基准的弹性屈曲系数。即:

      $${k_M} = \frac{{{N_x}{b^2}}}{{{\pi ^2}{D_M}}}$$ (42)

      其中,${D_M} = \dfrac{{Et_M^3}}{{12(1 - { \nu ^2})}}$,${t_M} = {t_0}\left(1 + \dfrac{1}{2}\chi \right)$,则kMk0的转化可以根据下式来确定:

      $${k_M} = \frac{1}{{{{\left( {1 + \dfrac{\chi }{2}} \right)}^3}}}{k_0}$$ (43)
    • 从上述理论分析可以得知,LP钢板的弹性屈曲系数不仅和钢板的长宽比β有关,而且还和厚度放大系数χ有关(其中$\chi {\rm{ = }}\dfrac{{\alpha a}}{{\pi {t_0}}}$)。而参数n为用来拟合变形函数的满足边界条件的三角函数数量,n值越大,其结果越精确。对于特征矩阵B(当四边简支时可以简化成B*)为n×n维矩阵,其特征方程为一元n次方程。考虑到当n≥5时解,一元n次方程无一般解析解,因此采用数学软件MATLAB分别计算不同n的取值下的弹性屈曲系数[21]

    • 从上述理论推导可以发现,当变形函数取的足够多时,其计算结果将是精确的。为探讨计算n的取值范围以满足精度要求,分别取n=4、6、8、1、15、30,计算的弹性屈曲系数的结果,并将其计算结果绘制成图3

      图3可以看出,当n≥8时,其计算结果和n=30的计算结果基本处于5%的偏差内,可以满足工程所需的精度。而当n≥15时,其计算的结果已经非常精确(与n=30时偏差0.1%以内),可以满足更高的计算精度要求。

      图  3  不同n值下弹性屈曲系数对比分析图

      Figure 3.  Comparative analysis of elastic buckling coefficients under different values of parameter n

    • 为验证理论公式推导的正确性,采用通用有限元软件ANSYS,对不同变厚度的矩形LP钢板计算其弹性屈曲系数[22]。有限元分析采用shell63单元进行计算[23],计算模型如图4所示。边界条件分别对应四边简支、四边固支、三边简支一边自由和三边固支一边自由。考虑到β为一个无量纲参数,可设置长边a为一个固定值,通过变化短边的长度b达到变化β的目的。

      图  4  有限元模型

      Figure 4.  FEA model

      图5可以看出,当计算时网格尺寸从20 mm×20 mm变化到10 mm×10 mm,其计算结果变化量已经控制在0.3%,而计算时间增加200%,为控制计算量,本次计算模型网格尺寸按20 mm×20 mm划分,其结果满足精度要求。

      在以上基础上,分别计算了四种边界条件下的弹性屈曲系数,对于四边简支边界条件下,分别取长宽比β=0.5、1.0、1.5、2.0、3.0和4.0,而对于参数χ分别取0.05、0.10和0.15。对于其他边界条件,取钢板长宽比β=2,厚度放大系数分别取χ=0.05、0.10和0.15,计算的结果见表1表2

      表 1  不同β值下四边简支条件的理论公式数值计算与有限元对比表

      Table 1.  Comparison of theoretical calculation and finite element analysis under different values of β

      长宽比β分析方法厚度放大系数χ
      0.050.100.15
      0.5 理论计算 7.794 9.479 11.305
      有限元 7.783 9.452 11.255
      偏差/ (%) −0.140 −0.290 −0.440
      1.0 理论计算 4.954 5.928 6.926
      有限元 4.948 5.912 6.893
      偏差 (%) −0.110 −0.270 −0.490
      1.5 理论计算 5.111 5.763 6.410
      有限元 5.102 5.743 6.376
      偏差/ (%) −0.190 −0.340 −0.540
      2.0 理论计算 4.762 5.339 5.865
      有限元 4.754 5.324 5.838
      偏差/ (%) −0.160 −0.290 −0.460
      3.0 理论计算 4.594 4.992 5.354
      有限元 4.582 4.976 5.330
      偏差/ (%) −0.260 −0.340 −0.450
      4.0 理论计算 4.486 4.802 5.085
      有限元 4.468 4.780 5.058
      偏差/ (%) −0.400 −0.460 −0.530
      注:理论计算选取n=15作为精确解。

      表 2  β=2时理论公式数值计算与有限元对比表

      Table 2.  Comparison of theoretical calculation and finite element analysis under β=2

      边界条件分析方法厚度放大系数χ
      0.050.100.15
      四边固支 理论计算 9.426 10.929 12.337
      有限元 9.545 11.050 12.454
      偏差/(%) 1.260 1.100 0.950
      三边简支 理论计算 0.842 1.021 1.214
      有限元 0.838 1.012 1.199
      偏差/(%) −0.440 −0.910 −1.220
      三边固支 理论计算 2.404 2.904 3.430
      有限元 2.352 2.842 3.357
      偏差/(%) −2.170 −2.120 −2.130
      注:理论计算选取n=15作为精确解。

      表1表2可以看出,理论公式推导计算的结果同有限元计算的结果十分的吻合,最大偏差控制在2.2%以内,从而验证了理论公式推导的正确性。

      图  5  网格尺寸优化图

      Figure 5.  Mesh size optimization

    • 根据第3.1节讨论可以得知,当n=8时,其计算的结果已经具有较大的精确度;而当n≥15时,可以作为精确解。而与有限元计算的结果对比,验证了理论公式的正确性。为确保理论准确性,数值计算时取n=15,可分别绘制出四种不同边界条件下,不同厚度放大系数χ下的弹性屈曲系数随长宽比β变化的曲线图。其中图6(a)~图6(d)为以LP钢板的薄端厚度t0为基准,计算不同便厚度参数比下的弹性屈曲系数曲线图,而图7为以LP钢板的平均厚度tM作为基准计算的弹性屈曲系数曲线图。

      图  6  四种边界条件下LP钢板的弹性屈曲系数曲线图

      Figure 6.  Curves of elastic buckling coefficient of LP steel plates under four boundary conditions

      图6可以得到以下结论:

      1)在四边简支条件下,矩形LP钢板的弹性屈曲系数和等厚度矩型板的弹性屈曲系数变化趋势有明显区别:随着厚度放大系数增大,弹性屈曲系数不再随着长宽比β的增大而形成波浪型起伏变动,而是变成一条平滑的下降曲线。四边固支的情况也类似。

      2)三边简支和三边固支的弹性屈曲系数曲线图均是一条平滑的曲线,随着厚度放大系数增大,其弹性屈曲系数也逐渐变大。

      3)在β较小时,变厚度参比数比对弹性屈曲系数的敏感性更大;而当β逐渐增大时,其敏感性也随之逐渐降低。

      从理论分析也可以得到,本文假设的变形函数(式(8))实质上为等厚度板的不同阶的屈曲模态函数的组合。随着厚度放大系数χ逐渐增大,采用等厚度板的模态函数拟和变形函数时,其各个模态不再独立(特征矩阵B的副系数不为0),而是相互耦合,这使得其模态的波长沿长度方向,随着板厚的变大,波长也随之变大,而幅值逐渐趋于0,这即为四边简支和固支条件变成一条光滑曲线的原因。

      图7为以平均厚度tM为基准的四边简支条件下的弹性屈曲系数kM曲线图。从图6(a)图7对比可知,采用不同定义形式的弹性屈曲系数,其曲线变化存在差别,以平均厚度作为基准计算弹性屈曲系数时,可以发现LP钢板相比等厚度板更容易发生局部稳定问题,且随着厚度放大系数χ变大,弹性屈曲系数逐渐变小,且减小幅度较大。而造成两者之间的差异则可以通过式(42)和式(43)来表现。显然,以平均厚度为基准计算弹性屈曲系数时所求得的应力为钢板中间处截面的应力,实际应用时较为不便。

      图  7  以平均厚度为基准的四边简支条件下的弹性屈曲系数曲线图

      Figure 7.  Curves of elastic buckling coefficient defined as tM when four edges are simply-supported

    • 纵向变厚度(LP)钢板因其结构受力合理,在桥梁工程领域已经取得了一系列成果和获得了较大的经济效益,相应的轧制标准已形成[24]。然而其相关研究依旧处于起步阶段。本文通过能量法进行推导,获得了四种边界条件下LP钢板的弹性屈曲系数的理论计算方法,并和有限元计算结果相互验证,得到如下结论:

      (1)采用能量原理,基于GRM方法,将板元微分平衡方程求解转化成对特征矩阵的特征值求解。从理论上推导出四种边界条件的下的特征矩阵各元素的计算公式,通过对该矩阵进行特征值分析,可以获得精确的弹性屈曲系数。

      (2)计算时需要假设多个三角函数作为变形函数,n表示不同三角变形函数的数量,且n值越大,其计算结果越精确。通过对不同的n值来计算其弹性屈曲系数,得到当n≥8时,其计算结果已经和n=30的计算结果偏差控制在5%以内,可用于实际工程,而对于有特殊的精度需求,可取n≥15时可作为精确解。

      (3)从理论推导可以得到,变厚度板的弹性屈曲系数不仅和长宽比有关,而且和厚度放大系数χ相关。此外,LP钢板定义其弹性屈曲系数时,基准的板厚的对曲线变化有影响,而发生屈曲时的位置靠近最小厚度处,且其应力最大,因此以t0为基准定义弹性屈曲系数更具实际意义。

      (4)通过对不同厚度放大系数下的矩形钢板进行计算,得到了弹性屈曲系数随长宽比变化的曲线图,其变化规律也和等厚度板存在一定差异。当以最小厚度t0为基准定义弹性屈曲系数k0时,可以得到,当长宽比较小时,厚度放大系数对弹性屈曲系数的敏感度较大,而随着长宽比增大时,其敏感性也随之降低。

参考文献 (24)

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