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黏土蠕变非线性特性及其分数阶导数蠕变模型

任鹏 王鹏 张华 唐印

任鹏, 王鹏, 张华, 唐印. 黏土蠕变非线性特性及其分数阶导数蠕变模型[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 153-160, 207. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
引用本文: 任鹏, 王鹏, 张华, 唐印. 黏土蠕变非线性特性及其分数阶导数蠕变模型[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 153-160, 207. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
Peng REN, Peng WANG, Hua ZHANG, Yin TANG. NONLINEAR BEHAVIOR OF CLAY CREEP AND ITS FRACTIONAL DERIVATIVE CREEP MODEL[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 153-160, 207. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
Citation: Peng REN, Peng WANG, Hua ZHANG, Yin TANG. NONLINEAR BEHAVIOR OF CLAY CREEP AND ITS FRACTIONAL DERIVATIVE CREEP MODEL[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 153-160, 207. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624

黏土蠕变非线性特性及其分数阶导数蠕变模型

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
基金项目: 四川省科技计划资助项目(2019YJ0551);四川省华西集团资助项目(HXKX20181030,HXKX20171009)
详细信息
    作者简介:

    任鹏(1979−),男,甘肃人,高工,博士,副所长,主要从事深基坑及地基基础工程研究(E-mail: 12401760@qq.com)

    张华(1981−),男,陕西人,副教授,博士,主要从事道路工程研究(E-mail: chalkz@126.com)

    唐印(1989−),男,四川人,工程师,硕士,主要从事地基基础工程研究(E-mail: 413252069@qq.com)

    通讯作者: 王鹏(1992−),男,四川人,工程师,硕士,主要从事岩土体稳定性及环境效应研究(E-mail: wrpyscre@163.com)
  • 中图分类号: TU442

NONLINEAR BEHAVIOR OF CLAY CREEP AND ITS FRACTIONAL DERIVATIVE CREEP MODEL

  • 摘要: 针对黏土蠕变的非线性性质,以成都黏土为研究对象展开蠕变试验,发现黏土变形包括瞬时弹性变形、衰减蠕变变形、稳态蠕变变形和加速蠕变变形;黏土长期弹性模量随时间和应力的增加非线性软化;黏滞系数随应力的增加非线性软化,随时间的增加非线性硬化。基于流变学理论、分数阶微积分理论和Harris衰减函数,分别构建了分数阶导数元件、非线性弹性元件和非线性黏滞元件,从而建立了形式简单、参数较少和概念清晰的非线性分数阶导数蠕变模型。将非线性分数阶导数蠕变模型和Burgers蠕变模型进行对比拟合分析,发现非线性分数阶导数蠕变模型各阶段的拟合结果更好,对黏土非线性蠕变的描述更合理,可准确地反映黏土蠕变全过程,表明了所建立非线性分数阶导数蠕变模型的科学合理性。
  • 图  1  CSS-2901TS土体三轴流变试验机

    Figure  1.  CSS-2901TS soil triaxial rheological testing machine

    图  2  轴向应变时程曲线

    Figure  2.  Time history curves of the axial strain

    图  3  应力-应变等时曲线

    Figure  3.  Isochronous stress-strain curves

    图  4  长期弹性模量时程曲线

    Figure  4.  Time history curves of the long-term modulus

    图  5  黏滞系数时程曲线

    Figure  5.  Time history curves of the viscous coefficient

    图  6  分数阶黏滞元件

    Figure  6.  Fractional viscous element

    图  7  非线性弹性元件

    Figure  7.  Nonlinear elastic element

    图  8  非线性黏滞元件

    Figure  8.  Nonlinear viscous element

    图  9  非线性分数阶导数蠕变模型

    Figure  9.  Nonlinear fractional derivative creep model

    图  10  本文蠕变试验拟合曲线

    Figure  10.  Fitting curves of creep test in this paper

    图  11  文献[25]蠕变试验的拟合曲线

    Figure  11.  Fitting curves of creep tests in Reference [25]

    表  1  成都黏土的基本物理性质

    Table  1.   Basic properties of Chengdu clay

    含水率/
    (%)
    干密度/
    (g·cm−3)
    液限/
    (%)
    塑限/
    (%)
    黏聚力/
    kPa
    内摩擦角/
    (°)
    23.61.7346.820.351.416.5
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    表  2  两种蠕变模型的拟合参数

    Table  2.   The fitting parameters of two creep models

    蠕变试验非线性分数阶导数蠕变模型相关系数R2Burgers蠕变模型相关系数R2
    轴向应力/kPaE0/(MPa)η1/(MPa·h)η2/(MPa·h)abcnE1/MPaE2/MPaη1/(MPa·h)η2/(MPa·h)
    本文试验 83.49 53.127 13.515 0.439 −1.465 1.817 0.999 16972.000 60.899 18385.00 12.461 0.990
    166.98 65.737 7044.000 −0.062 −2.699 0.851 0.998 108.924 121.258 30020.00 27.914 0.985
    250.47 61.768 4921.000 −0.069 −4.224 0.969 0.999 80.473 86.199 43015.00 9.724 0.994
    333.96 34.187 55419.000 90816 −0.362 −4.479 0.271 8.066 0.998 53.599 136.680 262.83 17.043 0.950
    文献[25]试验 54.00 68.234 18.318 0.102 −1.001 1.599 0.999 9694.000 255.850 23698.00 84.607 0.986
    108.00 75.192 7426.000 −0.019 −3.243 0.917 0.999 119.363 134.668 57052.00 15.275 0.989
    162.00 47.128 21953.000 −0.027 −5.629 0.610 0.998 89.400 89.531 17366.00 11.951 0.992
    216.00 27.885 6007.000 −0.269 −2.496 0.753 0.996 50.572 51.942 14593.00 22.592 0.989
    270.00 20.649 21291.000 9352 −0.289 −2.324 0.993 7.662 0.994 28.617 63.548 332.54 18.654 0.985
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-27
  • 修回日期:  2020-02-18
  • 网络出版日期:  2020-09-07
  • 刊出日期:  2020-09-25

黏土蠕变非线性特性及其分数阶导数蠕变模型

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
    基金项目:  四川省科技计划资助项目(2019YJ0551);四川省华西集团资助项目(HXKX20181030,HXKX20171009)
    作者简介:

    任鹏(1979−),男,甘肃人,高工,博士,副所长,主要从事深基坑及地基基础工程研究(E-mail: 12401760@qq.com)

    张华(1981−),男,陕西人,副教授,博士,主要从事道路工程研究(E-mail: chalkz@126.com)

    唐印(1989−),男,四川人,工程师,硕士,主要从事地基基础工程研究(E-mail: 413252069@qq.com)

    通讯作者: 王鹏(1992−),男,四川人,工程师,硕士,主要从事岩土体稳定性及环境效应研究(E-mail: wrpyscre@163.com)
  • 中图分类号: TU442

摘要: 针对黏土蠕变的非线性性质,以成都黏土为研究对象展开蠕变试验,发现黏土变形包括瞬时弹性变形、衰减蠕变变形、稳态蠕变变形和加速蠕变变形;黏土长期弹性模量随时间和应力的增加非线性软化;黏滞系数随应力的增加非线性软化,随时间的增加非线性硬化。基于流变学理论、分数阶微积分理论和Harris衰减函数,分别构建了分数阶导数元件、非线性弹性元件和非线性黏滞元件,从而建立了形式简单、参数较少和概念清晰的非线性分数阶导数蠕变模型。将非线性分数阶导数蠕变模型和Burgers蠕变模型进行对比拟合分析,发现非线性分数阶导数蠕变模型各阶段的拟合结果更好,对黏土非线性蠕变的描述更合理,可准确地反映黏土蠕变全过程,表明了所建立非线性分数阶导数蠕变模型的科学合理性。

English Abstract

任鹏, 王鹏, 张华, 唐印. 黏土蠕变非线性特性及其分数阶导数蠕变模型[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 153-160, 207. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
引用本文: 任鹏, 王鹏, 张华, 唐印. 黏土蠕变非线性特性及其分数阶导数蠕变模型[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 153-160, 207. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
Peng REN, Peng WANG, Hua ZHANG, Yin TANG. NONLINEAR BEHAVIOR OF CLAY CREEP AND ITS FRACTIONAL DERIVATIVE CREEP MODEL[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 153-160, 207. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
Citation: Peng REN, Peng WANG, Hua ZHANG, Yin TANG. NONLINEAR BEHAVIOR OF CLAY CREEP AND ITS FRACTIONAL DERIVATIVE CREEP MODEL[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 153-160, 207. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0624
  • 黏土的蠕变具有显著的非线性,尤其是在中-高应力条件下[1]。元件模型因为具有理论基础完善、形式简单、规律明确、概念清晰等优点,成为研究非线性蠕变的重要基础。目前非线性蠕变研究主要有以下几方面:1)传统元件与经验模型,孙均[1]提出采用传统元件模型描述低应力条件下的蠕变,非线性经验模型描述高应力条件下的蠕变,以此建立非线性蠕变模型;2)传统元件与新型非线性元件,李晶晶等[2]通过在Burgers模型的基础上串联一个非线性黏塑性元件来描述加速蠕变,建立了膨胀土的非线性蠕变模型;刘开云等[3]通过构建应变触发式非线性黏滞元件来描述加速蠕变,并与Bingham模型串联,建立了三维非线性蠕变模型;韩阳等[4]通过构建一种非线性黏滞元件,分别替换Burgers模型中的两个黏滞元件,建立了非定常Burgers蠕变模型;3)传统元件与损伤非线性元件,蒲成志等[5]基于损伤理论分别构建了弹性损伤元件和黏性损伤元件,并以此与其他经典元件组合建立了五元件非线性蠕变损伤模型;谢星等[6]采用Maxwell模型和滑块元件并联描述线性蠕变,构建的损伤元件描述非线性蠕变,以此建立了统计损伤蠕变模型;4)传统元件与分数阶黏滞元件,郭佳奇等[7]通过分数阶微积分理论,构建了分数阶黏滞元件,并利用新元件代替Kelvin-Voigt模型中的传统黏滞元件,建立了分数阶微积分Kelvin-Voigt模型;肖世武等[8]通过采用Koeller弹滞元件代替标准线性固体模型中的传统黏滞元件,建立了分数阶非线性流变模型;苏腾等[9]在Scott-Blair分数阶元件和变系数分数阶元件的基础上,建立了变阶分数阶非线性黏弹塑性蠕变模型。国外对非线性蠕变也有大量的研究,Chunlin[10]通过Bingham模型和Kelvin模型,结合损伤理论,建立了非线性黏弹塑性损伤蠕变模型;Zhu等[11]根据试验拟合,构建非线性化蠕变系数,并建立了非线性蠕变模型;Cao等[12]基于损伤理论构建了一个损伤黏滞元件和损伤弹性元件,分别替换Burgers模型中的传统黏滞元件和弹性元件,建立了非线性损伤蠕变模型;Li等[13]基于分数阶微积分理论构建了分数阶黏滞元件,并将其替换了西元模型中的两个传统黏滞元件,同时还基于指数函数构建了非线性黏塑性元件,将其与改进西元模型串联,建立了非线性蠕变模型;Zhao等[14]认为在蠕变过程中,弹性模量随应力或时间的变化非线性软化,而黏滞系数随应力或时间的变化非线性硬化,并基于损伤理论、硬化理论和Burgers模型,建立了损伤硬化非线性蠕变模型。Yang等[15]基于损伤理论和分数阶微积分理论,构建了分数阶黏滞元件,建立了五元件非线性损伤蠕变模型。非线性蠕变的研究已经硕果累累,但是也存在以下问题:经验模型理论基础不足、地域性限制大;基于新型非线性元件、损伤理论和分数阶微积分理论的蠕变模型常常因为建模元件数量较多,而引起模型参数多、形式复杂,不利于使用和推广。因此建立一个理论基础完善、形式简单、概念清晰的非线性蠕变模型是非常有必要的。

    本文以成都黏土为研究背景,首先展开蠕变试验,通过分析黏土长期弹性模量和黏滞系数随应力和时间变化的规律,明确黏土蠕变的非线性规律;其次,基于分数阶微积分理论构建了分数阶导数元件,基于Harris衰减函数分别构建了非线性软化弹性元件和非线性硬化黏滞元件,并建立了非线性分数阶导数蠕变模型;最后通过非线性蠕变模型的拟合验证分析,明确了本文蠕变模型的科学合理性。

    • 以成都黏土作为研究对象,进行三轴蠕变试验,其主要物理性质参数如表1所示。由该黏土的液塑限及含水率计算可知,天然状态下的成都黏土处于硬塑状态,其黏聚力和内摩擦角相对较大,表明土体力学性质相对较好。但根据成都黏土地区的实际工程经验,成都黏土一般具有较强的水敏性及弱-中膨胀势,其综合力学性质复杂多变,其土体力学性质特殊性较强,具有一定的代表性。试验仪器采用CSS-2901TS土体三轴流变试验机,如图1所示,该试验仪器可通过应力控制的方式完成蠕变试验。

      图  1  CSS-2901TS土体三轴流变试验机

      Figure 1.  CSS-2901TS soil triaxial rheological testing machine

      表 1  成都黏土的基本物理性质

      Table 1.  Basic properties of Chengdu clay

      含水率/
      (%)
      干密度/
      (g·cm−3)
      液限/
      (%)
      塑限/
      (%)
      黏聚力/
      kPa
      内摩擦角/
      (°)
      23.61.7346.820.351.416.5
    • 1)制样,试样尺寸为:高78 mm,直径39.1 mm,并采用抽真空注水的方法饱和试样。

      2)装样及固结,对试样施加200 kPa的围压,加压速率为0.1 kPa/min。当围压加压完毕后,先关闭孔隙水压力排水阀门,待孔隙水压力上升至围压的98%以后,打开孔隙水压力排水阀门,孔隙水压力逐渐降低,直至孔隙水压力消散达到95%以上,再次关闭孔隙水压力阀门,若稳定的孔隙水压力消散仍在95%以上,即认为试样固结完成。

      3)蠕变加载方案,蠕变试验采用分级加载进行,加载总应力${q_{\rm{f}}}$为333.98 kPa(${q_{\rm{f}}}$根据《土工试验方法标准》(GB/T 50123−2019),由同等条件下的常规固结不排水三轴剪切试验确定)。每级轴向加载偏应力$\Delta q = {q_{\rm{f}}}/x$$x$为加载级数($x = 4$);综上,本次蠕变试验的加载方案为:83.49 kPa→166.98 kPa→250.47 kPa→333.96 kPa。

      4)蠕变试验每级荷载下的试样稳定标准为变形量小于0.01 mm/2d。

    • 成都黏土的蠕变时程曲线如图2所示。由图2可知,成都黏土蠕变有以下特点:前三级加载时,轴向应变随时间逐渐衰减,表现出衰减蠕变性质;第四级加载后,轴向应变先以稳定的速率变形,随后应变速率迅速增大,直至试样破坏,蠕变表现出一定的稳态蠕变和显著的加速蠕变性质。

      图  2  轴向应变时程曲线

      Figure 2.  Time history curves of the axial strain

    • 成都黏土的等时应力-应变曲线如图3所示。由图3可知:应力应变等时曲线出现分离,随着时间的发展,加载瞬时的黏土应变远小于其他时刻的应变,表现出显著的蠕变变形。

      图  3  应力-应变等时曲线

      Figure 3.  Isochronous stress-strain curves

      其原因可能为:黏土加载的瞬时速率远大于蠕变速率,土体力学性质表现出远大于长期弹性模量和长期强度的瞬时弹性模量和瞬时强度,因此加载瞬时的黏土变形较小;但在恒定荷载下,随着时间的增加,黏土力学性质表现出长期弹性模量和长期强度,其变形迅速增加,因此加载瞬时和加载后的应力应变曲线分离。第三级加载后,曲线出现拐点,根据沈明荣等[16]提出确定长期强度的等时曲线法,可将第三级轴向应力作为黏土的长期强度${\sigma _{\rm{L}}}$;由于第四级轴向应力为常规三轴固结不排水确定的应力,其剪切应变速率远大于蠕变速率,可认为黏土是“瞬时”剪切破坏的,可将第四级轴向应力作为黏土的瞬时强度。

    • 成都黏土弹性模量${E_{\rm{L}}}$的时程曲线如图4所示。由图4可知:在前三级加载时,${E_{\rm{L}}}$随着时间的增加先以较大的速率迅速衰减,随后逐渐收敛,保持不变;最后一级加载后,${E_{\rm{L}}}$先以某一速率稳定衰减,随后衰减速率突增,直至土体破坏;并且${E_{\rm{L}}}$随着应力的增加而减小;综上所述,${E_{\rm{L}}}$是时间和应力的函数,随时间和应力的增加非线性软化。

    • 成都黏土黏滞系数$\eta $的时程曲线如图5所示。由图5可知:$\eta $随着时间的增加而增加,随着加载应力的增大而减小;在最后一级加载时,$\eta $先随时间的增加而增加,但随后急剧减小,直至土样破坏。综上所述,$\eta $是时间和应力的函数,随时间的增加非线性硬化,随应力的增加非线性软化。

      图  4  长期弹性模量时程曲线

      Figure 4.  Time history curves of the long-term modulus

      图  5  黏滞系数时程曲线

      Figure 5.  Time history curves of the viscous coefficient

    • 元件模型虽然具有诸多优点,但其对非线性性质的描述还存在不足,而分数阶算子因为对材料的历史具有记忆性,在描述黏塑性和黏弹性时具有显著的优势,可很好地弥补元件模型的不足[17-18]

      分数阶微积分定义最常用的理论是Riemann-Liouville[19-20]理论:设函数$f$在(0,+∞)上连续可积,对$t > 0$${\mathop{\rm Re}\nolimits} (n) \geqslant 0$,分数阶积分有:

      $$ \frac{{{{\rm{d}}^{ - n}}[f(t)]}}{{{\rm{d}}{t^{ - n}}}}{\rm{ = }}{}_{{t_0}}D_t^{ - n}f(t) = \frac{1}{{\varGamma (n)}}{\int_{{t_0}}^t {(t - \xi )} ^{n - 1}}f(\xi ){\rm{d}}\xi $$ (1)

      式中:$\varGamma (n)$为Gamma函数;n为分数阶阶数。

      Riemann-Liouville分数阶微分可定义为:设$f \in C$$\gamma > 0$m是大于$\gamma $的最小整数,令$\gamma = m - n$有以下形式:

      $$ \frac{{{{\rm{d}}^n}[f(t)]}}{{{\rm{d}}{t^n}}}{\rm{ = }}{}_{{t_0}}D_t^nf(t) = \frac{{{{\rm{d}}^m}}}{{{\rm{d}}{t^m}}}[ {{}_{{t_0}}D_t^{ - \gamma }f(t)} ] $$ (2)

      $f(t)$$t = 0$附近可积,且$0 \leqslant n \leqslant 1$,分数阶微积分的Laplace变换为:

      $$ \left\{ {\begin{aligned}& L\left[ {{}_0D_t^{ - n}f(t),p} \right] = {p^{ - n}}\overline f (p) \\& L\left[ {{}_0D_t^nf(t),p} \right] = {p^n}\overline f (p) \end{aligned}} \right. $$ (3)

      式中,$f(p)$$f(t)$的Laplace变换。

      根据分数阶微积分的定义及Laplace变换,可得分数阶黏滞元件,如图6所示,其本构如下:

      $$ \sigma (t) = \eta \frac{{{{\rm{d}}^n}\varepsilon (t)}}{{{\rm{d}}{t^n}}} $$ (4)

      图  6  分数阶黏滞元件

      Figure 6.  Fractional viscous element

      当应力$\sigma (t) = const$时,根据Riemann-Liouville分数阶理论,对式(4)进行分数阶积分有:

      $$ \varepsilon (t) = \frac{\sigma }{\eta }\frac{{{t^n}}}{{\varGamma (1 + n)}} $$ (5)
    • 由于Harris函数是一种形式简单,曲线灵活的衰减型函数[21-22],有利于描述非线性衰减蠕变性质,因此采用该函数描述非线性衰减蠕变,其公式如下:

      $$ f(x) = \frac{1}{{1 + a{x^b}}} $$ (6)

      式中:$x$为自变量;$a$$b$为常数。

      1)非线性弹性模量

      图4可知:长期弹性模量${E_{\rm{L}}}$是时间和应力的衰减函数。因此,提出${E_{\rm{L}}}$的非线性公式如下:

      $$ {E_{\rm{L}}}(\sigma ,t) = {E_0}\frac{1}{{1 + a{{({\tilde {\sigma}} + t)}^b}}} $$ (7)

      式中:${E_0}$为初始弹性模量,$\tilde \sigma {\rm{ = }}\sigma/{\sigma _q}$ab是Harris函数的构造参数,其性质为:当$ab > 0$时,${E_{\rm{L}}}(\sigma ,t)$为应力和时间的衰减函数;当$ab \leqslant 0$时,${E_{\rm{L}}}(\sigma ,t)$是时间和应力的增函数,反映了黏土结构在不同应力和时间下的非线性硬化效应或非线性软化效应。

      由式(7)建立非线性弹性元件,如图7所示,其本构如下:

      $$ \sigma {\rm{ = }}{E_{\rm{L}}}\left( {\sigma ,t} \right)\varepsilon = {E_0}\frac{1}{{1 + a{{({\tilde {\sigma}} + t)}^b}}}\varepsilon $$ (8)

      图  7  非线性弹性元件

      Figure 7.  Nonlinear elastic element

      2)非线性黏滞元件

      图5可知:黏滞系数是应力的衰减函数,是时间的增函数。因此,提出$\eta $的非线性公式如下:

      $$ \eta (\sigma ,t) = {\eta _1}{t^c}{\sigma ^{c - 1}} $$ (9)

      式中:${\eta _{\rm{1}}}$为初始黏滞系数,c为材料常数。当$0 < c < 1$时,$ {\eta}(\sigma ,t) $是时间的增函数,应力的减函数;当$c > 1$时,$ {\eta}(\sigma ,t) $同时是时间和应力的增函数。当$c < 0$时,$ {\eta}(\sigma ,t) $同时是时间和应力的减函数。

      由式(9)构建非线性黏滞元件,如图8所示,其本构如下:

      $$ \sigma {\rm{ = }}{\eta}(\sigma ,t)\dot \varepsilon = {\eta _1}{t^c}{\sigma ^{c - 1}}\dot \varepsilon $$ (10)

      式中,$\dot \varepsilon $为蠕变速率。

      图  8  非线性黏滞元件

      Figure 8.  Nonlinear viscous element

    • 本文拟采用1个非线性弹簧元件E、1个非线性黏滞元件${\eta _1}$、1个分数阶黏滞元件${\eta _2}$和1个塑性元件V构建蠕变模型,如图9所示。在图9中,弹簧元件描述瞬时弹性变形;当$0 < t$$\sigma \leqslant {\sigma _{\rm{L}}}$,弹簧元件与传统黏滞元件组成黏弹性体,描述黏土的衰减蠕变;当${\sigma _{\rm{L}}} < \sigma $,塑性元件闭合,组合形成黏弹塑性模型,可描述黏土的稳态蠕变和加速蠕变。

      图  9  非线性分数阶导数蠕变模型

      Figure 9.  Nonlinear fractional derivative creep model

      t=0时,在模型上施加应力$\sigma $,黏土变形有:

      1)非线性弹性元件模型

      由式(8)可得:

      $$ {\varepsilon _{\rm{e}}} = \frac{\sigma }{{{E_0}}}[ {1 + a{{({\tilde {\sigma}} + t)}^b}} ] $$ (11)

      式中:${\varepsilon _{\rm{e}}}$为非线性弹性元件的变形。

      2)非线性黏滞元件模型

      为避免夏才初等[23]提出的非线性蠕变模型推导数学问题,由式(10)可得:

      $$ {\varepsilon _{\rm{p}}}{\rm{ = }}\frac{{{\sigma ^{\left( {2 - c} \right)}}}}{{{\eta _1}\left( {1 - c} \right)}}{t^{\left( {1 - c} \right)}} $$ (12)

      式中:${\varepsilon _{\rm{p}}}$为非线性黏滞元件的变形。

      3)黏塑性体模型(${\eta _{\rm{2}}}$$V$)由塑性元件和分数阶黏滞元件并联组成,应力关系为:

      $$ \sigma = {\sigma _{\rm{v}}} + {\sigma _2} $$ (13)

      式中:${\sigma _{\rm{v}}}$为塑性元件的应力;${\sigma _2}$为分数阶黏滞元件的应力。

      对于${\sigma _{\rm{v}}}$存在以下应力关系:

      $$ {\sigma _{\rm{V}}} = \left\{ {\begin{aligned}& \sigma, \;\;\;\;\;\;\;\;\sigma < {\sigma _{\rm{L}}}\\& {\sigma _{\rm{L}}},\;\;\;\;\;\;\sigma \geqslant {\sigma _{\rm{L}}} \end{aligned}} \right. $$ (14)

      $

      因此,分数阶黏滞元件应力为:

      $$ {\sigma _2} = \left\langle {\sigma - {\sigma _{\rm{L}}}} \right\rangle $$ (15)

      式中,$\left\langle A \right\rangle $表示,当$A \leqslant 0$,$\left\langle A \right\rangle = 0$,当$0 < A$,$\left\langle A \right\rangle = A$

      根据式(5)和式(16)可得:

      $$ {\varepsilon _{{\rm{ve}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left\langle {\sigma - {\sigma _{\rm{L}}}} \right\rangle }}{{{\eta _2}}}\frac{{{t^n}}}{{\varGamma (1 + n)}} $$ (16)

      式中:${\varepsilon _{{\rm{ve}}}}$为分数阶黏滞元件的变形;${\eta _2}$为分数阶元件的初始黏滞系数。

      由式(11)、式(12)及式(16)可得非线性分数阶导数蠕变模型:

      $$ \begin{split} \varepsilon {\rm{ = }}&\frac{\sigma }{{{E_0}}}[ {1 + a{{(\tilde \sigma + t)}^b}} ] + \frac{{{\sigma ^{\left( {2 - c} \right)}}}}{{{\eta _1}\left( {1 - c} \right)}}{t^{\left( {1 - c} \right)}} + \\& \frac{{\left\langle {\sigma - {\sigma _{\rm{L}}}} \right\rangle }}{{{\eta _2}}}\frac{{{t^n}}}{{\varGamma (1 + n)}} \end{split} $$ (17)
    • 本文非线性分数阶导数蠕变模型与经典Burgers模型类似,后者具有能较好反映瞬时应变、初始蠕变和稳态蠕变、卸载后产生塑性变形等优点[24]。因此,分别利用本文蠕变数据和文献[25]中的蠕变数据对本文蠕变模型和经典Burgers模型进行拟合分析。结果分别见图10图11表2

      图  10  本文蠕变试验拟合曲线

      Figure 10.  Fitting curves of creep test in this paper

      图  11  文献[25]蠕变试验的拟合曲线

      Figure 11.  Fitting curves of creep tests in Reference [25]

      表2可知,非线性分数阶导数蠕变模型在两个蠕变试验第一级加载时,拟合参数$ab < 0$$c > 1$表明${E_{\rm{L}}}(\sigma ,t)$$\eta \left( {\sigma ,t} \right)$均是时间和应力的增函数,可以理解为在加载较小应力时,土体力学性质整体增强;但随后$ab > 0$$0 < c < 1$,表明$E(\sigma ,t)$是时间和应力的减函数,$\eta \left( {\sigma ,t} \right)$是时间的增函数、应力的减函数,其变化规律与蠕变试验规律基本一致,并且拟合系数均大于0.99;与Burgers模型的拟合参数相比较,非线性分数阶导数模型具有更好的规律性及精度。

      各参数的建议取值区间为:在低应力条件下,$a$的取值区间为(0.102, 0.439),$b$的取值区间为(−1.001, −1.465),$c$的取值区间为(1.599, 1.817);在中-高级应力条件下(第二级加载以后),$a$的取值区间为(−0.019, −0.362),$b$的取值区间为(−2.496, −5.629), $c$的取值区间为(0.271, 0.969);$n$的取值区间为(7.662, 8.066)。以上各参数取值区间仅为本文对成都黏土的建议取值区间。

      图10图11可知,在低应力阶段,两个蠕变模型与蠕变试验值的拟合度均较好,但随着应力和时间的发展,非线性分数阶导数模型与蠕变试验值的拟合度明显优于Burgers模型,尤其是在加速蠕变阶段。综上所述,本文非线性蠕变模型是科学合理的,可更准确地反映黏土蠕变全过程。

      表 2  两种蠕变模型的拟合参数

      Table 2.  The fitting parameters of two creep models

      蠕变试验非线性分数阶导数蠕变模型相关系数R2Burgers蠕变模型相关系数R2
      轴向应力/kPaE0/(MPa)η1/(MPa·h)η2/(MPa·h)abcnE1/MPaE2/MPaη1/(MPa·h)η2/(MPa·h)
      本文试验 83.49 53.127 13.515 0.439 −1.465 1.817 0.999 16972.000 60.899 18385.00 12.461 0.990
      166.98 65.737 7044.000 −0.062 −2.699 0.851 0.998 108.924 121.258 30020.00 27.914 0.985
      250.47 61.768 4921.000 −0.069 −4.224 0.969 0.999 80.473 86.199 43015.00 9.724 0.994
      333.96 34.187 55419.000 90816 −0.362 −4.479 0.271 8.066 0.998 53.599 136.680 262.83 17.043 0.950
      文献[25]试验 54.00 68.234 18.318 0.102 −1.001 1.599 0.999 9694.000 255.850 23698.00 84.607 0.986
      108.00 75.192 7426.000 −0.019 −3.243 0.917 0.999 119.363 134.668 57052.00 15.275 0.989
      162.00 47.128 21953.000 −0.027 −5.629 0.610 0.998 89.400 89.531 17366.00 11.951 0.992
      216.00 27.885 6007.000 −0.269 −2.496 0.753 0.996 50.572 51.942 14593.00 22.592 0.989
      270.00 20.649 21291.000 9352 −0.289 −2.324 0.993 7.662 0.994 28.617 63.548 332.54 18.654 0.985
    • 针对黏土蠕变的非线性性质,以成都黏土为研究背景展开了蠕变试验;并根据试验结果、分数阶微积分理论及Harris衰减函数,建立了非线性分数阶导数蠕变模型,主要结论如下:

      (1)根据成都黏土蠕变试验结果,发现成都黏土的变形主要包括瞬时弹性变形、衰减蠕变变形、稳态蠕变变形和加速蠕变变形;长期弹性模量随时间和应力的增加非线性软化,黏滞系数随应力的增加非线性软化,随时间的增加非线性硬化。

      (2)基于分数阶微积分理论和Harris函数,分别提出了分数阶导数黏滞元件、非线性弹性模量和非线性黏滞系数,并建立了模型简单、参数少和概念清晰的非线性分数阶导数蠕变模型。

      (3)通过两组蠕变试验数据,对非线性分数阶导数蠕变模型及Burgers蠕变模型进行拟合分析,发现前者各阶段的拟合系数均大于后者并大于0.99,各拟合参数的规律更明显,对黏土非线性蠕变规律的描述更为合理,综上所述本文建立的非线性蠕变模型是科学合理的,可更准确地反映黏土蠕变全过程。并给出了本文非线性蠕变模型各参数的建议取值区间。

      应当指出,通过黏土蠕变试验,确定弹性模量和黏滞系数的非线性特性;在流变学理论和分数阶微积分理论的基础上,构建分数阶黏滞元件,非线性弹性模量和非线性黏滞系数,建立的非线性分数阶导数蠕变模型,是对黏土非线性蠕变规律研究的一种尝试和探讨,但是文中只通过两个蠕变试验对非线性分数阶蠕变模型进行辨识分析,所以蠕变模型的普适性还需要进一步验证。

参考文献 (25)

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