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基于NES的空间桁架结构被动减振研究

刘艮 陈贡发

刘艮, 陈贡发. 基于NES的空间桁架结构被动减振研究[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 63-73. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
引用本文: 刘艮, 陈贡发. 基于NES的空间桁架结构被动减振研究[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 63-73. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
Gen LIU, Gong-fa CHEN. PASSIVE VIBRATION REDUCTION OF SPACE TRUSS STRUCTURES BASED ON NES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 63-73. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
Citation: Gen LIU, Gong-fa CHEN. PASSIVE VIBRATION REDUCTION OF SPACE TRUSS STRUCTURES BASED ON NES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 63-73. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617

基于NES的空间桁架结构被动减振研究

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
基金项目: 国家科技部针对主动脉弓病变新一代覆膜支架的研发项目(2016YFE0117200)
详细信息
    作者简介:

    刘 艮 (1991−),女,湖北人,博士后,主要从事非线性动力学与控制研究 (E-mail: liugen1991@hotmail.com)

    通讯作者: 陈贡发 (1964−),男,河南人,教授,博士,博导,主要从事计算结构力学研究 (E-mail: Gongfa.chen@gdut.edu.cn)
  • 中图分类号: TU311;P315.9

PASSIVE VIBRATION REDUCTION OF SPACE TRUSS STRUCTURES BASED ON NES

  • 摘要: 该文利用等效方法将由众多杆件构成的、离散的空间直线式桁架等效为连续梁,对等效梁附加NES(非线性能量阱)的桁架结构进行瞬态减振研究。通过等效方法将梁式桁架结构建模为等效线性连续系统(有限长度梁),并用有限元模型对其进行了验证。建立了含NES附件的等效悬臂梁的振动控制方程,并采用伽辽金法进行离散,分别分析了附加和不附加NES附件的梁在外激励下的横向振动位移响应。通过计算NES附件附着在结构的不同位置条件下的外激励响应,研究了NES对结构的振动抑制作用。此外,还研究了不同质量的NES附件在不同位置时结构的外激励响应,得到了NES附加质量对减振效果的影响。从结果可以看到,NES附件可以减弱X型桁架在瞬态激励作用下的响应,且当NES附件的质量增加时,系统的振动振幅下降更快,NES附件的能源消耗效率更高。同时还对比了NES被动减振和线性刚度阻尼减振器(TMD)的减振效果。结果表明,在附加NES的结构中,在激励发生后的5 s左右时,结构振幅的衰减就达到了可观的程度,振幅下降的趋势更为陡峭,体现了NES优于线性刚度阻尼减振的良好减振效果。并通过实验验证了不同质量的NES附件的衰减效果,在梁的自由端施加相同的位移激励幅值(15 mm),在此情况下,NES附件的质量越大,悬臂梁结构的瞬态响应衰减效率越高。实验结果与理论计算结果吻合较好。
  • 图  1  桁架结构附加NES附件的示意图

    Figure  1.  Schematic diagram of truss structure with NES attachment

    图  2  平面桁架结构的等效建模

    Figure  2.  Equivalent beam model of plane truss

    图  3  三种典型的平面桁架构型

    Figure  3.  Three classical plane truss configuration

    图  4  面内前2阶弯曲模态

    Figure  4.  First two in-plane bending modes

    图  5  桁架结构有限模型与等效梁模型固有频率的相对误差

    Figure  5.  Relative error of natural frequency between finite model of truss structure and equivalent beam model

    图  6  NES的位置

    Figure  6.  Location of NES

    图  8  NES的位置

    Figure  8.  Location of NES

    图  7  振幅衰减比率

    Figure  7.  Ratio of amplitude attenuation

    图  9  振幅衰减比率

    Figure  9.  Ratio of amplitude attenuation

    图  10  当NES附件选取不同质量时,结构的振动幅值衰减效果

    Figure  10.  Vibration amplitude attenuation effect of structure with NES’s of different masses

    图  11  选取不同的质量系数,系统振动幅值衰减为初始幅值25%时所用时间

    Figure  11.  With different mass coefficient, time taken by system when response amplitude is reduced to 25% of initial amplitude

    图  12  减振效果比较

    Figure  12.  Comparison of vibration reduction effects

    图  13  悬臂梁结构耦合NES附件振动实验简图

    Figure  13.  Experiment diagram of cantilever beam coupling NES attachment

    图  14  实验装置实物图

    Figure  14.  Experimental equipment

    图  15  非线性弹簧的刚度曲线

    Figure  15.  Stiffness curve of nonlinear spring

    图  16  不同NES附件质量时悬臂梁振动幅值的时域响应

    Figure  16.  Time-domain curve of transient response attenuation of structures with NES’s of different masses

    图  17  不同NES附件质量时悬臂梁振动幅值的时域响应包络线

    Figure  17.  Envelope of time-domain curves of transient response attenuation of structures with different masses

    表  1  桁架的几何属性

    Table  1.   Geometric properties of truss

    杆件长/m截面外径/m截面内径/m数量
    横杆1.000.0090.00820
    竖杆1.000.0090.00811
    斜杆1.410.0090.00820
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    表  2  桁架的前两阶弯曲频率

    Table  2.   First two bending frequencies of truss

    模态FEM模型等效模型
    一阶弯曲 /Hz 16.14 15.49
    二阶弯曲 /Hz 91.27 97.57
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    表  3  悬臂梁的基本参数

    Table  3.   Physical parameters of cantilever beam

    长/mm宽/mm厚度/mm材料
    350271不锈钢
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-29
  • 修回日期:  2020-04-21
  • 网络出版日期:  2020-09-07
  • 刊出日期:  2020-09-25

基于NES的空间桁架结构被动减振研究

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
    基金项目:  国家科技部针对主动脉弓病变新一代覆膜支架的研发项目(2016YFE0117200)
    作者简介:

    刘 艮 (1991−),女,湖北人,博士后,主要从事非线性动力学与控制研究 (E-mail: liugen1991@hotmail.com)

    通讯作者: 陈贡发 (1964−),男,河南人,教授,博士,博导,主要从事计算结构力学研究 (E-mail: Gongfa.chen@gdut.edu.cn)
  • 中图分类号: TU311;P315.9

摘要: 该文利用等效方法将由众多杆件构成的、离散的空间直线式桁架等效为连续梁,对等效梁附加NES(非线性能量阱)的桁架结构进行瞬态减振研究。通过等效方法将梁式桁架结构建模为等效线性连续系统(有限长度梁),并用有限元模型对其进行了验证。建立了含NES附件的等效悬臂梁的振动控制方程,并采用伽辽金法进行离散,分别分析了附加和不附加NES附件的梁在外激励下的横向振动位移响应。通过计算NES附件附着在结构的不同位置条件下的外激励响应,研究了NES对结构的振动抑制作用。此外,还研究了不同质量的NES附件在不同位置时结构的外激励响应,得到了NES附加质量对减振效果的影响。从结果可以看到,NES附件可以减弱X型桁架在瞬态激励作用下的响应,且当NES附件的质量增加时,系统的振动振幅下降更快,NES附件的能源消耗效率更高。同时还对比了NES被动减振和线性刚度阻尼减振器(TMD)的减振效果。结果表明,在附加NES的结构中,在激励发生后的5 s左右时,结构振幅的衰减就达到了可观的程度,振幅下降的趋势更为陡峭,体现了NES优于线性刚度阻尼减振的良好减振效果。并通过实验验证了不同质量的NES附件的衰减效果,在梁的自由端施加相同的位移激励幅值(15 mm),在此情况下,NES附件的质量越大,悬臂梁结构的瞬态响应衰减效率越高。实验结果与理论计算结果吻合较好。

English Abstract

刘艮, 陈贡发. 基于NES的空间桁架结构被动减振研究[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 63-73. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
引用本文: 刘艮, 陈贡发. 基于NES的空间桁架结构被动减振研究[J]. 工程力学, 2020, 37(9): 63-73. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
Gen LIU, Gong-fa CHEN. PASSIVE VIBRATION REDUCTION OF SPACE TRUSS STRUCTURES BASED ON NES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 63-73. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
Citation: Gen LIU, Gong-fa CHEN. PASSIVE VIBRATION REDUCTION OF SPACE TRUSS STRUCTURES BASED ON NES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(9): 63-73. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0617
  • 关于空间可展开结构的研究始于20世纪 60 年代,空间可展结构以其鲜明的特点为航天结构不断的大型化发展提供了可能。环形桁架支撑结构由杆件组成的胞元循环重复形成的环形结构。环形桁架天线为卫星通讯、对地观测等任务的实施提供了有力的支持,其动力学行为直接影响着整个反射器型面的精度。数值方法可以对桁架结构的动力学行为进行有效的分析,但是,从大量的数值结果中找出高维系统的动力学特性是一件繁琐且无章可循的工作。基于连续体模型的解析或半解析的方法可以为探索结构的动力学特性提供帮助,于是怎样将由大量杆件等离散结构构成的桁架转换为连续体模型成为后续动力学研究的基础。

    Timoshenko和Gere[1]在20世纪就已经对桁架的等效问题进行了研究。在随后的几十年中,学者们将平面桁架及空间桁架动力学问题的研究重点投放到了对具有循环对称胞元的梁式桁架或者平面式桁架结构等效连续体的建立中。Nayfeh和Hefzy[2-3]分别对具有铰接铰链和刚接铰链的桁架结构的问题进行了研究。利用循环对称的胞元建立起了桁架结构的等效连续体模型。给出了求解二维及三维桁架结构的力学参数计算的方法,将每根杆件对结构刚度的贡献计算出来,并用实际例子对方法进行了验证。Sun 和 Kim[4]研究了将直线式桁架结构等效为Timoshenko梁的等效方法。从桁架的胞元入手进行刚度等效的计算,利用等效Timoshenko梁模型研究了非对称桁架的自由振动问题,并将其与全尺寸有限元解进行了比较。结果表明等效的Timoshenko梁模型在预测桁架构件的固有频率、模态形状和荷载方面都是有效可行的。

    Noor和Mikulas[5]在20世纪80年代至90年代的十多年间对桁架结构的等效问题进行了细致深入的研究。通过能量等效的手段,分别对铰接式桁架、刚接式桁架进行了等效建模。其研究中,将桁架的构型加以分类对梁式结构、面式结构的平面问题及空间问题进行了细致的讨论。Lee[6]提出了一种基于谱元法的连续体建模方法,利用谱元将周期桁架结构转换为结构等效连续梁模型。对等效连续梁模型的有限元传递矩阵进行了解析,通过组装桁架单元内每个结构的谱元素来计算一个具有代表性的晶格单元的传递矩阵,然后令其等于有限连续梁单元,从而确定未知连续体结构特性。Burgardt和Cartraud[7]利用能量等效的方法提出了一种梁式桁架的等效方法。给出了连续体的位移场及应变及应力参数。对比了不同方法得到的本构关系,对铰接梁式桁架进行了静态分析,同时对于三维梁式桁架进行了动力学分析。Odegard 等[8]将等效连续体建模的方法引入到了纳米材料的力学特性的研究中。以桁架结构的构型为中介建立起了分子动力学模型与壳模型的关系,求解了等效壳模型的等效刚度,通过计算等效模型的动力学特性来确定石墨烯结构的厚度。Fan和Yang[9]采用等效连续体方法分析了三维拉伸占主导的晶格材料的刚度。文中计算了等效连续体的强度并建立了连续体的屈服模型,且与其他模型的结果进行了比较。Salehian和Inman[10-11]利用均匀化的方法对空间大型充气式桁架天线的等效连续体进行建模。对刚性铰链连接及柔性铰链连接的充气式结构分别进行了等效研究。Liu 等[12]利用等效连续体建模的手段研究了大型空间可展开桁架天线结构,为后续的振动控制的研究提供了理论模型。对刚接环形桁架建立了等效圆环的连续体模型,为了简化等效过程,文中没有考虑刚节点引起的微极效应。

    非线性能量阱(nonlinear energy sink,NES)的概念提出于2000年左右,在动力吸振器的基础上发展而来[13]。非线性能量阱是一种具有纯非线性刚度的吸振器,由于具有宽频吸振、轻质等优点,吸引了大量研究者的关注。研究表明,非线性能量阱的吸振效果明显高于传统被动式吸振器[14-15]

    近年来,非线性能量阱在振动抑制方面的研究方兴未艾。Farid等[16]利用NES的振动抑制效果,考虑了强迫振动下部分填充液罐降解模型的减振问题,并且对比了线性调谐质量阻尼器和非线性被动减振器的减振效能。Fang等[17]研究了一种将NES与超磁致伸缩材料相结合的新型方法, 利用此方法同时实现了振动控制和能量采集。通过靶向能量传递,产生了非常有效的振动抑制。Al-Shudeifat等[18]采用数值和实验相结合的方法,研究了一种轻量化的旋转非线性能量减振器,解决了被动非线性靶向能量转移(TET)问题。Mamaghani 等[19]利用NES研究了在正弦激励作用下的双固定梁的振动问题。文中作者分析了系统发生张弛振荡、Hopf 和鞍节分叉所需的条件。结果表明在非线性能量泵送的情况下, 随着附件位置的变化, 系统响应的振幅显著减小。Hill等[20]利用两自由度NES的骨架曲线来解释其在受到外部强迫时的行为。Kai等[21]基于非线性输出频率响应函数来评价NES 在频域内的隔振性能。采用了具有NES连接系统的两自由度结构并对结构进行了数值模拟。Zang和Chen[22]研究了单自由度弹簧质量系统与NES耦合结构的非线性行为。通过相位轨迹、功率谱和庞加莱截面对系统的混沌运动进行识别。Chen等[23-24]利用NES研究了夹层板及简支梁的减振问题,同时对其动力学行为作了详细的分析。刘良坤和陈洋洋等[25-26]研究了非线性能量阱(NES)与调谐质量阻尼器(TMD)混合控制结构振动的方案。针对典型分析模型研究其与立方NES和TMD的性能差异,对其性能的鲁棒性进行研究。

    本文将空间完全展开直线式桁架结构等效为连续梁模型,通过模态截断研究了等效梁结构在悬臂条件下的一阶弯曲振动问题。通过调节NES的挂载位置,分析不同位置对结构减振效果的影响。结果表明当NES所在位置初始振幅较大时,其振幅衰减效果好,减振效率高。同时,增加NES附件的质量也可以增加结构振幅衰减的效果。

    • 借助主动控制、被动减振等手段对航天器结构进行结构减振是解决航天器减振的重要手段。由于空间环境呈现出微重力、低阻尼等状态,航天器结构在结构减振方面依靠环境阻尼消耗能量以达到减振的目的难于实现。而利用非线性能量阱使结构中能量实现单向传递以达到耗能的目的给航天器结构减振的实现带来了新方法。

      图1给出了X-brace型平面桁架附加NES附件的示意图。

      图  1  桁架结构附加NES附件的示意图

      Figure 1.  Schematic diagram of truss structure with NES attachment

      结构在轴线方向由重复的胞元组成,通过等效方法可以将此类平面桁架结构连续体等效为平面内的梁结构,从而将由众多杆件构成的多自由度系统进行“升维”等效为连续体,再对等效后的、具有桁架属性的连续体进行模态截断,研究所关注的模态间的振动问题,为此类多自由度系统的振动特性的求解带来方便。对等效后的连续体进行相关的动力学分析,不仅能有效地反映出结构的动力学特性,而且降低了计算的工作量,在对结构的理论分析中应用广泛。

      下面根据等效建模的流程对平面桁架结构的等效连续体问题进行研究。图2给出了平面桁架结构的等效建模示意图。

      等效后的梁模型上沿着平面轴线任意一处的位移为:

      $$\left\{ {\begin{aligned} & {u = {u^{\rm{0}}} + y{{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}} = {u^{\rm{0}}} + y{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right|_{y = {\rm{0}}}}}\\& {v = {v^{\rm{0}}} + y\varepsilon _y^{\rm{0}} = {v^{\rm{0}}} + y{\left. {\frac{{\partial v}}{{\partial y}}} \right|_{y = {\rm{0}}}}} \end{aligned}} \right.$$ (1)

      式中:${u^{\rm{0}}}$${v^{\rm{0}}}$分别为在$y = {\rm{0}}$处的位移,即中线处的位移;$\varepsilon _y^0$$y$方向的拉伸应变。

      图  2  平面桁架结构的等效建模

      Figure 2.  Equivalent beam model of plane truss

      将胞元位移uv在在原点处进行泰勒展开,则位移表达式(1)变为:

      $$\left\{ {\begin{aligned} & {u = {u^{\rm{0}}} + {y^i}{{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}} + {x^i}\left( {\varepsilon _x^{\rm{0}} + {y^i}\kappa _x^{\rm{0}}} \right) + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{( {{x^i}} )^{\rm{2}}}\left( {\frac{{{\rm{d}}\varepsilon _x^{\rm{0}}}}{{{\rm{d}}x}} + {y^i}\frac{{{\rm{d}}\kappa _x^{\rm{0}}}}{{{\rm{d}}x}}} \right)}\\& v = {v^{\rm{0}}} + {y^i}\varepsilon _y^{\rm{0}} + {x^i}\left[ {\frac{{{\rm{d}}{v^{\rm{0}}}}}{{{\rm{d}}x}} + {y^i}\frac{{{\rm{d}}\varepsilon _y^{\rm{0}}}}{{{\rm{d}}x}}} \right] + \\& \qquad\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{( {{x^i}})^{\rm{2}}}\left[ {\left( {\frac{{{\rm{d}}\gamma _{xy}^{\rm{0}}}}{{{\rm{d}}x}} - \kappa _x^{\rm{0}}} \right) + {y^i}\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}\varepsilon _y^{\rm{0}}}}{{{\rm{d}}{x^{\rm{2}}}}}} \right] \end{aligned}} \right.\!\!\!\!\!\!\! $$ (2)

      其中:

      $$ \varepsilon _x^{\rm{0}} = \frac{{{\rm{d}}{u^{\rm{0}}}}}{{{\rm{d}}x}},\;{{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}} = \frac{{{\rm{d}}{v^{\rm{0}}}}}{{{\rm{d}}x}}{\rm{ - }}\gamma _{xy}^{\rm{0}},\;\kappa _x^{\rm{0}} = \frac{{{\rm{d}}{{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}}}}{{{\rm{d}}x}} $$ (3)

      式中: $\varepsilon _x^{\rm{0}}$$x$方向的拉伸应变;$\varepsilon _y^{\rm{0}}$$y$方向上的拉伸应变;$\gamma _{xy}^{\rm{0}}$为剪切应变;$\kappa _x^{\rm{0}}$ 为弯曲应变。

      在得到了由应变量表达的位移之后,可以给出由应变量表示的应变能:

      $$U = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}L{\varepsilon ^t}C\varepsilon $$ (4)

      其中:

      $${\varepsilon ^t} = [\varepsilon _x^0\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\kappa _x^0\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\gamma _{xy}^0]$$ (5)

      得到:

      $$U = \sum {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \varDelta _1^t{{{\varGamma }}^{\left( m \right)t}}{{{K}}^{\left( {{m}} \right)}}{{{\varGamma }}^{\left( {{m}} \right)}}\varDelta _1^{}$$ (6)

      其中:

      $$\varDelta _1^t = [{u^i}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{v^j}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{u^j}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{v^j}]$$ (7)

      式中:${{{K}}^{\left( {{m}} \right)}}$表示局部坐标系下的刚度矩阵;${{{\varGamma }}^{\left( {{m}} \right)}}$表示重复胞元到局部坐标系的转换矩阵;$m$为单元号。

      同时,重复胞元的动能表达式可以表示为:

      $$T = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}L{\rho _0}\left[ {{{\left( {\frac{{\partial {u^{\rm{0}}}}}{{\partial t}}} \right)}^{\rm{2}}} + {{\left( {\frac{{\partial {v^{\rm{0}}}}}{{\partial t}}} \right)}^{\rm{2}}}} \right] + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}L{\rho _1}{\left( {\frac{{\partial {{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}}}}{{\partial t}}} \right)^{\rm{2}}}$$ (8)
      $$T = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\sum {\varDelta _{\rm{2}}^t} {{{\varGamma }}^{\left( {{m}} \right){{t}}}}{{{M}}^{\left( {{m}} \right)}}{{{\varGamma }}^{\left( {{m}} \right)}}{\varDelta _{\rm{2}}}\qquad\qquad\qquad$$ (9)

      其中:

      $$\varDelta _{\rm{2}}^t = \left[\frac{{\partial {u^i}}}{{\partial t}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\frac{{\partial {v^j}}}{{\partial t}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\frac{{\partial {u^j}}}{{\partial t}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\frac{{\partial {v^j}}}{{\partial t}}\right]$$ (10)

      基于能量等效法,在相同变形模式下,等效连续体模型的力学参数可由周期桁架单元相同的应变能和动能以及等效连续体模型确定。等效后的梁的控制常微分方程可以写成:

      $$\left\{ {\begin{aligned} & {{C_{{\rm{11}}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{u^{\rm{0}}}}}{{\partial {x^{\rm{2}}}}} \!+\! {C_{{\rm{13}}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{v^{\rm{0}}}}}{{\partial {x^{\rm{2}}}}} \!+\! {C_{{\rm{12}}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{{\rm{{\rm{\phi}}}} ^{\rm{0}}}}}{{\partial {x^{\rm{2}}}}}\! + \!{C_{{\rm{13}}}}\frac{{\partial {{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}}}}{{\partial x}}\! =\! {\rho _{\rm{0}}}\frac{{{\partial ^2}{u^0}}}{{\partial {t^2}}}}\\& {{C_{{\rm{13}}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{u^{\rm{0}}}}}{{\partial {x^{\rm{2}}}}} + {C_{{\rm{33}}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{v^{\rm{0}}}}}{{\partial {x^{\rm{2}}}}} + {C_{{\rm{33}}}}\frac{{\partial {{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}}}}{{\partial x}} = {\rho _{\rm{0}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{v^{\rm{0}}}}}{{\partial {t^{\rm{2}}}}}}\\& {C_{{\rm{12}}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{u^{\rm{0}}}}}{{\partial {x^{\rm{2}}}}}\!+\! \left( { \!- \!{C_{{\rm{13}}}}} \right)\frac{{\partial {u^{\rm{0}}}}}{{\partial x}} \!+ \!\left( { \!-\! {C_{{\rm{33}}}}} \right)\frac{{\partial {v^{\rm{0}}}}}{{\partial x}} \!+\! {C_{{\rm{22}}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}}}}{{\partial {x^{\rm{2}}}}}\!+ \\& \qquad\left( { - {C_{{\rm{33}}}}} \right){{\rm{\phi}} ^0} = {\rho _{\rm{1}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{{\rm{\phi}} ^{\rm{0}}}}}{{\partial {t^{\rm{2}}}}} \end{aligned}} \right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$$ (11)

      式中:${C_{{\rm{11}}}}$为等效梁的拉伸刚度;${C_{22}}$为等效梁的弯曲刚度;${C_{33}}$为等效梁的剪切刚度;${C_{12}}$为等效梁的拉弯耦合刚度;${C_{13}}$为等效梁的拉剪耦合刚度。

      对应于不同桁架结构,等效梁中的刚度不同,这里考虑X-brace形式的桁架结构。图3 给出了三种经典的桁架模型。

      图  3  三种典型的平面桁架构型

      Figure 3.  Three classical plane truss configuration

      根据式(11),等效梁的控制微分方程及系数如下:

      $$\left\{ {\begin{aligned} & {{C_{11}}\frac{{{\partial ^2}{u^0}}}{{\partial {x^2}}} = {\rho _0}\frac{{{\partial ^2}{u^0}}}{{\partial {t^2}}}}\\& {{C_{33}}\frac{{{\partial ^2}{v^0}}}{{\partial {x^2}}} + {C_{33}}\frac{{\partial {{\rm{\phi}} ^0}}}{{\partial x}} = {\rho _0}\frac{{{\partial ^2}{v^0}}}{{\partial {t^2}}}}\\& {\left( { - {C_{33}}} \right)\frac{{\partial {v^0}}}{{\partial x}} + {C_{22}}\frac{{{\partial ^2}{{\rm{\phi}} ^0}}}{{\partial {x^2}}} + \left( { - {C_{33}}} \right){{\rm{\phi}} ^0} = {\rho _1}\frac{{{\partial ^2}{{\rm{\phi}} ^0}}}{{\partial {t^2}}}} \end{aligned}} \right.$$ (12)

      通过X-brace桁架的等效梁模型可以看出,结构不存在拉弯耦合刚度及拉剪耦合刚度,等效模型中各个刚度的构成较为简单。对于空间直线式展开桁架结构,胞元结构沿着一个方向循环布置,结构细长构成了类似于梁杆的结构,着重考等效梁虑横向振动且忽略轴向的伸长,应用欧拉-伯努利梁理论将等效梁模型进行简化。因此基于欧拉-伯努利梁理论的等效梁横向振动方程如下:

      $${C_{33}}\frac{{{\partial ^4}v\left( {x,t} \right)}}{{\partial {x^4}}} + {m_0}\frac{{{\partial ^2}v\left( {x,t} \right)}}{{\partial {t^2}}} = f\left( {x,t} \right)$$ (13)

      式中:${C_{33}}$为等效弯曲刚度;${m_0}$为等效质量系数;$f\left( {x,t} \right)$为梁结构所受载荷。

      在将直线式桁架与梁结构建立了等效关系后,将等效后的模型的固有频率和桁架结构的固有频率进行比较,进而验证等效方法的可行性。

      为了分析等效梁的自由振动,令式(13)中$f\left( {x,t} \right) = 0$,通过分离变量推导出等效梁在悬臂边界下的频率方程,从而得到结构的固有频率。桁架的物理参数如下:$E = {\rm{70\;GPa}}$$\rho = {\rm{2}}700\;{\rm{kg/}}{{\rm{m}}^3}$

      通过MSC.Nastran软件对悬臂边界X-brace桁架结构的自由振动的固有频率进行分析,桁架的几何属性如表1所示,得到结构前两阶面内弯曲振动的固有频率,如表2所示,桁架构件选取梁单元,连接部分选择刚性连接,取桁架结构面内振动模态进行研究。对比了等效梁前两阶模态的固有频率,经过对比,发现原始桁架结构在相同的边界条件下与等效梁模型固有频率吻合较好,从而验证了等效过程的合理性。

      表 1  桁架的几何属性

      Table 1.  Geometric properties of truss

      杆件长/m截面外径/m截面内径/m数量
      横杆1.000.0090.00820
      竖杆1.000.0090.00811
      斜杆1.410.0090.00820

      表 2  桁架的前两阶弯曲频率

      Table 2.  First two bending frequencies of truss

      模态FEM模型等效模型
      一阶弯曲 /Hz 16.14 15.49
      二阶弯曲 /Hz 91.27 97.57

      图4给出了通过有限元软件得到的X-brace型桁架在一端固定一段自由的悬臂边界条件下的前两阶弯曲模态,其中图4(a)为桁架结构在胞元所在平面内的一阶弯曲模态,图4(b)为桁架结构面内二阶弯曲模态。从桁架结构1阶、2阶模态中发现,在一端固定、一端自由的悬臂边界条件下,桁架结构的振动模态与典型的梁结构在悬臂边界条件下的振动模态一致。

      图  4  面内前2阶弯曲模态

      Figure 4.  First two in-plane bending modes

      图5给出了桁架有限元模型与等效梁模型固有频率的相对误差。空间桁架结构的尺寸普遍较大,在空间运行环境中,结构的低阶振动是主要形式,本文的研究在等效的基础上,关注于结构的低阶振动模态,与桁架有限元模型得到的模态频率相比较,一阶模态频率误差在5% 以内,二阶模态频率误差在10%以内,表明模型的精确度都在研究可接受范围内。

      图  5  桁架结构有限模型与等效梁模型固有频率的相对误差

      Figure 5.  Relative error of natural frequency between finite model of truss structure and equivalent beam model

    • 在将原始桁架结构与梁结构建立等效关系后,之前所提到的桁架结构附加NES减振问题就转化为等效梁模型附加NES的减振问题,这样从整体上将桁架结构减振问题进行了等效。等效梁结构附加NES后的系统的动力学方程为:

      $$\left\{ {\begin{aligned} & {C_{33}}\frac{{{\partial ^4}v\left( {x,t} \right)}}{{\partial {x^4}}} + {m_0}\frac{{{\partial ^2}v\left( {x,t} \right)}}{{\partial {t^2}}} + \varepsilon \lambda \frac{{\partial v\left( {x,t} \right)}}{{\partial t}}+ \\[-3pt] & \left\{\!\! {{k_{\rm nl}}{{\left[ {v\left( {d,t} \right) \!-\! w\left( t \right)} \right]}^3} \!\!+ \!\varepsilon \lambda \left[ \!{\frac{{\partial v\left( {d,t} \right)}}{{\partial t}} \!-\! \dot w\left( t \right)} \!\right]} \!\right\} \cdot \\[-3pt] &\qquad\qquad\delta \left( \!\!{x \!-\! d} \right)= f\left( t \right)\delta \left( {x - a} \right)\\[-3pt]& \varepsilon {m_0}\ddot w\left( t \right) + {k_{\rm nl}}{\left[ {w\left( t \right) \!-\! v\left( {d,t} \right)} \right]^3} +\\[-3pt]&\qquad \varepsilon \lambda \left[ {\dot w\left( t \right) - \frac{{\partial v\left( {x,t} \right)}}{{\partial t}}} \right] = 0 \end{aligned}} \right.$$ (14)

      式中:${C_{33}}$为等效梁的弯曲刚度;${m_0}$为等效梁的单位质量;${k_{\rm nl}}$为NES附件的非线性刚度。通过附加NES对结构进行减振研究,要求NES的质量相对于被减振结构的质量小,这也是航天结构中应用NES减振的一个有利因素。假设NES附件的质量为航天器结构的$\varepsilon $倍,则$0 < \varepsilon < < 1$

      由于NES附件质轻,所以在选取等效梁结构模态时采用悬臂梁结构的模态函数,

      $$ \begin{split} {{\rm{\phi}} _i}\left( x \right) =& \cos {\beta _i}x - {\rm{ch}}{\beta _i}x + {\xi _i}\left( {\sin {\beta _i}x - {\rm{sh}}{\beta _i}x} \right),\\ & {i = 1,2, \cdots } \end{split} $$ (15)

      其中:

      $${\xi _i} = - \frac{{\cos {\beta _i}l + {\rm{ch}}{\beta _i}l}}{{\sin {\beta _i}l + {\rm{sh}}{\beta _i}l}}$$ (16)

      ${\beta _i}l$的取值通过如下方程的求解得到:

      $$\cos {\beta _i}l{\rm{ch}}{\beta _i}l + 1 = 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ {i = 1,2,3} } \end{array}$$ (17)
      $$ {\beta _i}l \approx \left( {\frac{{2i - 1}}{2}} \right)\pi ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i=4, 5,\cdots\;\;\; $$ (18)

      同时,对附加NES的悬臂梁系统进行无量纲化处理,选取无量纲参数如下:

      $$ \tau \!\!=\!\! t\frac{{EI}}{m},\;{k_{\rm nl}}\!\! =\!\! \frac{{{K_{\rm nl}}}}{{EI}},\;{\lambda _1} \!\!=\!\! \frac{{\varepsilon \lambda }}{m},{\varepsilon _1} \!\!=\!\! \frac{\varepsilon }{m},\;q\left( {x,\tau } \right)\!\! =\!\! \frac{{f\left( {x,\tau } \right)}}{{mEI}} $$ (19)

      将相关无量纲参数代入式(14),得到含有阻尼项的附加NES的等效梁系统:

      $$\left\{ {\begin{aligned} & {\frac{{{\partial ^4}v\left( {x,\tau } \right)}}{{\partial {x^4}}} + \frac{{{\partial ^2}v\left( {x,\tau } \right)}}{{\partial {\tau ^2}}} + {\lambda _1}\frac{{\partial v\left( {x,\tau } \right)}}{{\partial \tau }}+ }\\[-3pt]& {\left\{ {{k_{\rm nl}}{{\left[ {v\left( {d,\tau } \right) \!-\! w\left( \tau \right)} \right]}^3} \!+\! {\lambda _1}\left[ {\frac{{\partial v\left( {d,\tau } \right)}}{{\partial \tau }}\! -\! \dot w\left( \tau \right)} \right]} \right\}\delta \left( {x \!-\! d} \right)=}\\[-3pt]& {\qquad\qquad q\left( \tau \right)\delta \left( {x - a} \right)}\\[-3pt]& {{\varepsilon _1}\ddot w\left( t \right) \!+\! {k_{\rm nl}}{\left[ {w\left( \tau \right) \!-\! v\left( {d,\tau } \right)} \right]^3}\! + \!{\lambda _1}\left[ {\dot w\left( \tau \right)\! -\! \frac{{\partial v\left( {x,\tau } \right)}}{{\partial \tau }}} \right] \!= \!0} \end{aligned}} \right.$$ (20)

      通过Galerkin方法将无限自由度连续系统进行模态截断,从而实现了“降维”,这样的先升维再降维的过程对问题的求解实现了简化。基于悬臂梁的模态函数式(15),利用Galerkin法对式(20)进行模态截断,系统的横向位移可以表示为:

      $$v\left( {x,\tau } \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}\left( \tau \right)} {{\rm{\phi}} _i}\left( x \right)$$ (21)

      将式(21)代入式(20),同时将x从0至L进行积分,利用正交条件,得到如下耦合的非线性常微分方程:

      $$\left\{ {\begin{aligned} & {\ddot a(\tau ) + \beta \dot a(\tau ) + {\omega ^2}a(\tau )+}\\& {\quad \left\{ {{k_{\rm nl}}{{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}\left( \tau \right)} {{\rm{\phi}} _i}\left( d \right) - w\left( \tau \right)} \right]}^3} +}\right.}\\& {\left.{\quad {\lambda _1}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^\infty {{{\dot a}_i}\left( \tau \right)} {{\rm{\phi}} _i}\left( d \right) \!- \!\dot w\left( \tau \right)} \right]} \right\}{{\rm{\phi}} _p}\left(\! d\! \right)\!=\! F\left( \!\tau \! \right){{\rm{\phi}} _p}( \!d \!)}\\& {{\varepsilon _1}\ddot w\left( \tau \right) + {k_{\rm nl}}{\left[ {w\left( \tau \right) - \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}\left( \tau \right){{\rm{\phi}} _i}\left( d \right)} } \right]^3} +}\\& {\quad {\lambda _1}\left[ {\dot w\left( \tau \right) - \sum\limits_{i = 1}^\infty {{{\dot a}_i}} {{\rm{\phi}} _i}\left( d \right)} \right] = 0} \end{aligned}} \right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$$ (22)

      通过式(22)对附加NES的等效梁系统的动力学特性进行分析。在空间任务部署中,直线式桁架结构往往一端固定于航天器上,另一端挂载仪器或者负载完成任务,受到瞬态激励后,结构振动衰减缓慢,对任务正常进行影响较大。我们考虑附加NES的等效梁结构在受到瞬态激励后系统的动力学特性,考察结构振幅的衰减情况。

      首先,考虑结构的一阶弯曲模态。瞬态激励的位置施加在结构的两个位置,一个为接近固定端处,一个为接近自由端处。NES的挂载位置在固定端与自由端之间移动,考察NES在不同位置时对结构振动幅值衰减的影响。图6(a)~图6(d)给出了结构一阶弯曲模态位移响应情况,瞬态激励位于自由端附近,NES挂载位置在位于固定端与自由端之间。图7给出了激励位于固定端附近时施加激励后10 s后等效梁幅值响应随NES不同挂载位置的幅值衰减比率。图8(a)~图8(d)同样给出了结构一阶弯曲模态位移响应情况,此时瞬态激励位于固定端附近,NES挂载位置在位于固定端与自由端之间。相关参数如下:

      图  6  NES的位置

      Figure 6.  Location of NES

      图  8  NES的位置

      Figure 8.  Location of NES

      $$ \begin{split} & \beta = 0.1,\;\omega = 10,\;{k_{\rm nl}} = 1000,\;\\&\lambda = 0.5,\;F = 1,\;\varepsilon = 0.1 \end{split} $$ (23)

      图6可以看出,当等效梁结构受到位于自由端的激励作用时,NES附件所挂载的位置不同,等效梁的幅值响应及NES的幅值响应不同。等效梁的幅值响应在响应发生的初始时刻相同。NES附件的幅值在响应发生的初始时刻随着挂载位置的不同而不同,越接近自由端时,其初始幅值响应越大,这是由于对于等效梁的在悬臂边界条件下的情况,一阶弯曲模态越接近自由端幅值响应越大。

      图7${A_1}$为等效梁的在激励作用下初始阶段的幅值相应,${A_2}$为施加激励10 s后等效梁的幅值响应,${A_3}$为10 s后等效梁相对于初始幅值响应${A_1}$的幅值响应衰减率。从图7可以看出,NES的作用对结构的初始位移是比较敏感的,附加NES后,结构初始的振动幅值大时,NES的衰减效果就比较明显,幅值衰减效率高。

      图  7  振幅衰减比率

      Figure 7.  Ratio of amplitude attenuation

      同样的,直线式桁架结构的固定端会受到来自航天器本体的激励作用,考虑等效梁结构的固定端受到激励时,NES附件不同挂载位置对结构幅值响应衰减的影响。

      图8给出了激励位于固定端位置时,等效梁幅值响应随着NES附件不同挂载位置的变化情况。当NES附件位于不同挂载位置时,等效梁的初始幅值响应基本相同,而NES附件的初始位移响应区别较大。NES附件的初始响应与其挂载位置相关,接近等效梁结构振动幅值较大处,NES附件的幅值响应较大。从图中可以看出,当NES附件的幅值响应较大时,对结构振动幅值的衰减效果较好。图9给出了激励位于固定端附近时施加激励后10 s后等效梁幅值响应随NES不同挂载位置的幅值衰减比率。其中${B_1}$为等效梁的初始振动幅值响应,${B_2}$为施加激励10 s后等效梁的振动幅值响应,${B_3}$为10 s后振动幅值的衰减效率。从图中可以看出,当NES附件靠近自由端时,NES附件被激起的幅值大,从而对等效梁振动幅值衰减效果好。

      综合以上分析,等效梁结构挂载NES附件进行减振受到结构振动幅值的影响,当NES附件处于振动幅值较大处时,NES附件对整体结构的振动幅值衰减效果好。

      图  9  振幅衰减比率

      Figure 9.  Ratio of amplitude attenuation

    • 在对NES附件挂载于不同位置时的结构振动幅值衰减效果的影响进行分析之后,接着对不同质量的NES附件对结构振动幅值衰减效果进行分析。激励的幅值设置为0.1,考虑等效梁结构的一阶弯曲模态,NES附件位于等效梁的自由端,考察结构振动幅值衰减为初始响应的25%时所用的时间。

      图10可以看出,随着NES附件质量的增加,系统振动幅值衰减得更为迅速,NES附件的耗能效率更高,因此,当满足设计要求时NES采用较大的质量对结构的振幅衰减有益。在图 11 中选取了不同的质量系数,给出了系统振动幅值衰减为初始幅值25%时所用时间。

      图  10  当NES附件选取不同质量时,结构的振动幅值衰减效果

      Figure 10.  Vibration amplitude attenuation effect of structure with NES’s of different masses

      图  11  选取不同的质量系数,系统振动幅值衰减为初始幅值25%时所用时间

      Figure 11.  With different mass coefficient, time taken by system when response amplitude is reduced to 25% of initial amplitude

      除了NES被动减振,线性刚度阻尼减振器(TMD)也在很多工程结构中有应用。接下来比较它们的减振效果。图12选取了激励位于自由端,激励幅值$F = 2$,线性阻尼减振器(TMD)以及NES附件都布置于$d = 2$时,结构的响应衰减情况。

      图  12  减振效果比较

      Figure 12.  Comparison of vibration reduction effects

      由于非线性系统的耦合作用,附加NES的等效悬臂结构的初始响应较附加线性阻尼减振器的悬臂结构大,但是附加NES结构的衰减效果明显。比较图12(a)中附加线性刚度阻尼减振结构的初始响应b*及一段时间后的衰减幅值a*以及图12(b)中附加NES结构的初始响应d*和一段时间后的衰减幅值c*,明显地可以看出,在附加NES的结构中,在激励发生后的5秒左右时,结构振幅的衰减就达到了可观的程度,振幅下降的趋势更为陡峭,体现了NES优于线性刚度阻尼减振的良好减振效果。

    • 在对系统整体的振幅响应进行了分析后,下面进行相关实验设计来验证理论计算中得到一些结果。

      图13给出了相关实验设计的简图。实验装置由悬臂梁构成的主体结构及其他三部分组成:part 1为NES附件,由非线性的弹簧与质量块组成;part 2为试验中的激励施加手段;part 3为试验中振动响应的采集设备。NES附件的挂载位置位于悬臂梁的轴线上,试验时沿着轴线$x$移动NES位置,实现不同NES挂载位置对系统振动幅值衰减的影响。相同地,激励施加于梁的轴线$x$上,与$yo{\textit{z}}$所形成的平面垂直以期在实验中避免激起悬臂梁除$xo{\textit{z}}$面以外的振动形式。振动幅值的采集点也选取在轴线$x$上,尽量避免面外振动导致的振幅影响实验数据的精确度。

      图  13  悬臂梁结构耦合NES附件振动实验简图

      Figure 13.  Experiment diagram of cantilever beam coupling NES attachment

      图14给出实验装置实物图。在实际应用中,悬臂梁结构采用了钢片结构,减小了结构在振动过程中面外方向振动的影响。表3给出了悬臂梁的基本参数。

      图  14  实验装置实物图

      Figure 14.  Experimental equipment

      表 3  悬臂梁的基本参数

      Table 3.  Physical parameters of cantilever beam

      长/mm宽/mm厚度/mm材料
      350271不锈钢

      NES附件的质量选取了不同质量的砝码,方便对比不同质量系数下结构的衰减效率。振幅采集设备采用基恩士激光单点振位移采集器,设备提供了较高的实验采集精度及采集率。试验中,为了得到NES中的非线性弹簧,选取不同的弹性橡胶绳进行了静力加载实验。通过加载不同质量,测量弹簧的刚度曲线,得到了图15中的力-位移曲线。从图15的曲线趋势可以看出,弹簧刚度曲线具有三次非线性弹簧的特征。

      通过测量不同NES质量悬臂梁横向位移瞬态响应的时域曲线,在理论计算中比较了不同质量比悬臂梁横向位移的瞬态响应。图16给出了悬臂梁在未附加NES时及加载不同质量的NES时其横向位移响应的时域曲线。在梁的自由端施加相同的位移激励幅值(15 mm),NES附件的质量越大,悬臂梁结构的瞬态响应衰减效率越高。实验结果的趋势验证了理论计算的正确性。图17给出了对应瞬态响应曲线的包络线,进一步说明了结果的正确性。

      图  15  非线性弹簧的刚度曲线

      Figure 15.  Stiffness curve of nonlinear spring

      图  16  不同NES附件质量时悬臂梁振动幅值的时域响应

      Figure 16.  Time-domain curve of transient response attenuation of structures with NES’s of different masses

      图  17  不同NES附件质量时悬臂梁振动幅值的时域响应包络线

      Figure 17.  Envelope of time-domain curves of transient response attenuation of structures with different masses

    • 本文基于等效桁架梁模型对桁架结构附加NES的减振问题进行了相关研究。将直线式桁架结构等效为连续梁结构,通过模态截断研究了等效梁在悬臂条件下面内一阶弯曲振动问题,得到如下结论:

      (1) 通过调节NES的挂载位置,分析了不同位置对结构减振效果的影响。结果表明,当NES所在位置初始振幅较大时,其振幅衰减效果好,减振效率高。

      (2) 研究了NES附件的质量对结构减振效果的影响。结果表明,通过增加NES附件的质量也可以增加结构振幅衰减的效果,且通过实验加以了验证。

      (3) 比较了NES被动减振和线性刚度阻尼减振器(TMD)的减振效果。发现在相同条件下,NES被动减振的效果明显优于线性刚度阻尼减振器(TMD)。

参考文献 (26)

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