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II型III型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法

姬晨濛 戚承志

姬晨濛, 戚承志. II型III型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
引用本文: 姬晨濛, 戚承志. II型III型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
Chen-meng JI, Cheng-zhi QI. AN APPROXIMATE METHOD FOR EVALUATING FRACTURE PROCESS OF THE ZONE NEAR MODE II AND MODE III DYNAMIC CRACK TIP[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
Citation: Chen-meng JI, Cheng-zhi QI. AN APPROXIMATE METHOD FOR EVALUATING FRACTURE PROCESS OF THE ZONE NEAR MODE II AND MODE III DYNAMIC CRACK TIP[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580

II型III型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
基金项目: 国家重点基础研究发展规划项目(973)(2015CB057805);国家自然科学基金项目(51478027,51174012,51774018)
详细信息
    作者简介:

    姬晨濛(1989−),女,河南人,博士生,主要从事断裂力学相关研究(E-mail: zuoshouti@sina.com)

    通讯作者: 戚承志(1965−),男,山东人,教授,正博士,主要从事断裂力学和岩石力学相关研究(E-mail: qichengzhi65@126.com)
  • 中图分类号: O346.1

AN APPROXIMATE METHOD FOR EVALUATING FRACTURE PROCESS OF THE ZONE NEAR MODE II AND MODE III DYNAMIC CRACK TIP

  • 摘要: 动态裂纹尖端断裂过程区轮廓的确定问题仍然是一个没有得到完全解决的问题。基于弹性动力学的理论和复应力函数方法,提出一种伪应力函数方法,用于近似评估动态裂纹尖端应力场。通过与已知应力场计算结果对比,验证了伪应力函数的正确性。利用此近似方法通过Von Mises强度准则和Tresca强度准则,分别确定了不同强度准则条件下、不同裂纹扩展速度下断裂过程区的轮廓。计算结果表明:II型和III型动态裂纹尖端断裂过程区关于裂纹面对称分布,随着裂纹扩展速度增大而增大。当裂纹传播速度接近瑞利波速时,断裂过程区变化加剧。利用Tresca强度准则计算得到的动态裂纹尖端断裂过程区面积比利用Von Mises强度准则计算得到的断裂过程区的面积大。
  • 图  1  运动的Griffith裂纹

    Figure  1.  Moving Griffith crack

    图  2  利用Von Mises强度准则计算II型裂纹尖端断裂过程区轮廓(平面应力条件下的过程区轮廓用线表示,平面应变条件下的过程区轮廓用线+符号表示)

    Figure  2.  Contours of FPZ constructed by using Von Mises criterion at mode II crack tip (the contour of the FPZ under plane stress condition is represented by line, and the contour of the FPZ under plane strain condition is represented by line and symbol)

    图  3  利用Von Mises强度准则计算III型裂纹尖端断裂过程区轮廓

    Figure  3.  Contours of FPZ constructed by Von Mises criterion at mode III crack tip

    图  4  利用Tresca强度准则计算II型裂纹尖端断裂过程区轮廓(平面应力条件下的断裂过程区轮廓用线表示,平面应变条件下的断裂过程区轮廓用线+符号表示)

    Figure  4.  Contours of FPZ constructed by using Tresca criterion at mode II crack tip (the contours of the FPZ under plane stress condition are represented by line, and the contours of the FPZ under plane strain condition are represented by line and symbol)

    图  5  利用Tresca强度准则计算III型裂纹尖端断裂过程

    Figure  5.  Contours of FPZ constructed by using Tresca criterion at mode III crack tip

    图  6  当速度为0.38c时,两种强度准则计算得到的II型裂纹尖端断裂过程区的对比

    Figure  6.  Comparison of the FPZs constructed by using two criteria at velocity of 0.38c at mode II crack tip

    图  7  当速度为0.38c时,两种强度准则计算得到的III型裂纹尖端断裂过程区的对比

    Figure  7.  Comparison of the FPZs constructed by using two criteria at velocity of 0.38c at mode III crack tip

    表  1  利用Von Mises强度准则计算II型 裂纹尖端断裂过程区面积

    Table  1.   Area of FPZ for mode-II crack by using Von Mises criterion (plane stress) /cm2

    V/c平面应力平面应变
    已知应力场
    计算结果
    伪应力函数
    计算结果
    伪应力函数
    计算结果
    已知应力场
    计算结果
    0.190.7850.7950.5710.579
    0.290.8190.7880.5920.582
    0.380.8470.8060.5940.591
    0.480.9340.8200.6490.601
    0.571.0860.8340.7310.612
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-11
  • 修回日期:  2020-02-28
  • 网络出版日期:  2020-06-02

II型III型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
    基金项目:  国家重点基础研究发展规划项目(973)(2015CB057805);国家自然科学基金项目(51478027,51174012,51774018)
    作者简介:

    姬晨濛(1989−),女,河南人,博士生,主要从事断裂力学相关研究(E-mail: zuoshouti@sina.com)

    通讯作者: 戚承志(1965−),男,山东人,教授,正博士,主要从事断裂力学和岩石力学相关研究(E-mail: qichengzhi65@126.com)
  • 中图分类号: O346.1

摘要: 动态裂纹尖端断裂过程区轮廓的确定问题仍然是一个没有得到完全解决的问题。基于弹性动力学的理论和复应力函数方法,提出一种伪应力函数方法,用于近似评估动态裂纹尖端应力场。通过与已知应力场计算结果对比,验证了伪应力函数的正确性。利用此近似方法通过Von Mises强度准则和Tresca强度准则,分别确定了不同强度准则条件下、不同裂纹扩展速度下断裂过程区的轮廓。计算结果表明:II型和III型动态裂纹尖端断裂过程区关于裂纹面对称分布,随着裂纹扩展速度增大而增大。当裂纹传播速度接近瑞利波速时,断裂过程区变化加剧。利用Tresca强度准则计算得到的动态裂纹尖端断裂过程区面积比利用Von Mises强度准则计算得到的断裂过程区的面积大。

English Abstract

姬晨濛, 戚承志. II型III型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
引用本文: 姬晨濛, 戚承志. II型III型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
Chen-meng JI, Cheng-zhi QI. AN APPROXIMATE METHOD FOR EVALUATING FRACTURE PROCESS OF THE ZONE NEAR MODE II AND MODE III DYNAMIC CRACK TIP[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
Citation: Chen-meng JI, Cheng-zhi QI. AN APPROXIMATE METHOD FOR EVALUATING FRACTURE PROCESS OF THE ZONE NEAR MODE II AND MODE III DYNAMIC CRACK TIP[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
  • 断裂过程区(Fracture Process Zone,以下简称FPZ)即微裂区,是材料发生非线性断裂的关键原因[1-2]。因此,对于岩石、混凝土等准脆性材料,研究其裂纹尖端的断裂过程区是很有必要的。岩石产生的裂纹多以剪切型裂纹居多,破坏形式也以剪切破坏为主,这是岩石的工程地质条件造成的。由于围岩压力的存在,岩石产生张开型裂纹的可行性降低[3]。因此,对于II型(面内剪切裂纹)、III型(面外剪切裂纹)裂纹的研究显得十分必要。

    强洪夫、张亚等[4-5]采用俞茂宏双剪统一屈服准则求得I型、II型裂纹在小范围屈服条件下的塑性区形状和尺寸,得到了统一形式的弹性解,并给出了材料参数对裂纹尖端塑性区形状和尺寸的影响。倪尔有[6]利用叠加原理,对I型、II型、III型裂纹尖端应力场进行叠加,得到复合型裂纹尖端应力场,利用Von Mises屈服准则,导出复合型裂纹尖端塑性区。吕运冰等[7]利用最大拉应力强度准则,求得不同裂纹角下的I-II型复合裂纹尖端微裂区的轮廓。Jing等[8]利用Von Mises和Tresca屈服准则,分别给出了平面应力状态下和平面应变状态下II型裂纹尖端塑性区形状,并提出Tresca屈服准则计算塑性区比Von Mises屈服准则计算塑性区大的结论。Wu等[9]通过数值模拟三点弯曲试验,得到不同裂纹比、不同加载率下的过程区,但文章中并没有给过程区的全局尺寸,仅仅是从长度和宽度两个尺度进行分析。卿龙邦等[10-11]提出了混凝土I型裂纹尖端断裂过程区长度的计算方法。姚池等[12]利用Hoek-Brown准则数值模拟了脆性各向异性岩石损伤破坏的过程。

    但是,以上研究均是以静态裂纹为研究对象分析裂纹尖端断裂过程区,国内外对于动态裂纹尖端的断裂过程区的研究很少。Poliakv等[13]利用莫尔圆表示的最大剪应力与库伦极限应力的比值τmax/τc作为破坏指标,并认为τmax/τc>1计算所得区域即为破坏区。给出了II型裂纹、III型裂纹随着初始应力比σxx/σyy和扩展速度的变化。Ding等[14]通过对带缺口的Q345R钢材构件的裂纹扩展进行数值模拟,得到了在周期荷载作用下的I-II型混合型裂纹尖端的破坏区。Dai等[15]通过数字图像相关技术观察镁制材料和镁制防火材料裂纹尖端的断裂过程区,但只分析了断裂过程区宽度和长度在加载过程中的变化规律。Tarokh[16]用声发射技术描述了花岗岩裂纹尖端断裂过程区,并分析了断裂过程区长度和宽度与试件尺寸的关系。因此,本文提出了一种近似方法,用于计算II型(滑开型)、III型(撕开型)动态裂纹尖端断裂过程区的形状和全局尺寸,并对不同强度准则计算得到的断裂过程区的面积大小进行了比较。

    • 假设无限弹性介质中存在长度为2a的Griffith裂纹以常速V沿着x正轴方向开始运动。如图1所示,建立一个固定坐标系(x1, y, t),在裂纹尖端再建立移动坐标系(x, y, t)并有关系[17]

      $$x = {x_1} - Vt,y = y$$ (1)

      图  1  运动的Griffith裂纹

      Figure 1.  Moving Griffith crack

      对于平面弹性问题,动态裂纹的运动方程为[15]

      $$\left\{ \begin{aligned} &\frac{{\partial {\sigma _x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\tau _{xy}}}}{{\partial y}} = \rho \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} \\& \frac{{\partial {\sigma _y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {\tau _{xy}}}}{{\partial x}} = \rho \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}} \end{aligned} \right.$$ (2)

      式中,ρ为材料密度。

      应力-应变关系为:

      $$\left\{ \begin{aligned} &{\sigma _x} = \lambda \left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\right) + 2\mu \frac{{\partial u}}{{\partial x}} \\& {\sigma _y} = \lambda \left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\right) + 2\mu \frac{{\partial v}}{{\partial y}} \\& {\tau _{xy}} = \mu \left(\frac{{\partial v}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\right) \end{aligned} \right.$$ (3)

      式中,μλ为拉梅常数。

      相容方程可以推导为如下形式[18]

      $$\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} - \frac{\rho }{{\lambda + 2\mu }}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\right)({\sigma _x} + {\sigma _y}) = 0$$ (4)

      Radok[18]在讨论平面弹性问题基本解时提出,由应力函数U表示的以下方程也成立:

      $$\left\{ \begin{aligned} {\sigma _x} = \left( {\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} - \frac{\rho }{{2\mu }}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}} \right)U \\ {\sigma _y} = \left( {\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} - \frac{\rho }{{2\mu }}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}} \right)U \\ \end{aligned} \right.$$ (5)

      将式(5)代入式(4),可得到以下方程:

      $$\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} - \frac{1}{{c_{1}^2}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\right)\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} - \frac{1}{{c_{2}^2}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\right)U = 0$$ (6)

      式中,c1c2分别为纵波波速和横波波速。

      $$c{}_1 = \sqrt {\frac{{\lambda + 2\mu }}{\rho }}, {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} c_2 = \sqrt {\frac{\mu }{\rho }} $$ (7)

      对以恒定速度运动的裂纹,有下列方程成立:

      $$\frac{\partial }{{\partial t}} = - V\frac{\partial }{{\partial x}}$$ (8)

      将式(8)代入式(6),可以得到以下方程:

      $$\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{1}{{\alpha _{1}^2}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}}\right)\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{1}{{\alpha _{2}^2}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}}\right)U = 0$$ (9)

      式中:

      $${\alpha _1} = \sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{c_{1}^2}}} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\alpha _2} = \sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{c_{2}^2}}} $$ (10)

      式(9)也可以写成以下形式:

      $$\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial y_{1}^2}}\right)\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial y_{2}^2}}\right)U = 0$$ (11)

      式中[19]

      $${y_1} = {\alpha _1}y,\;{y_2} = {\alpha _2}y$$ (12)

      式(11)的精确解很难找到,无法直接用于求解裂纹尖端应力场。但是从式(9)可以看出,纵波波速和横波波速仅仅影响y坐标值,对x坐标无影响。因此,如果仅仅考虑纵波波速或者横波波速的影响,式(11)就可以变换为如下两个方程:

      $$\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial y_{1}^2}}\right)\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial y_{1}^2}}\right){U_{11}} = 0$$ (13)
      $$\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial y_{2}^2}}\right)\left(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial y_{2}^2}}\right){U_{22}} = 0$$ (14)

      通过式(13)和式(14),寻找一种近似方法评估裂纹尖端应力场。

      对于II型裂纹,裂纹尖端的位移方程为[20]

      $$ {U_0}(x,y) = - y{\rm{Re}} \left(\int {Z(\textit{z}} ){\rm{d}}\textit{z}\right) $$ (15)

      式中,复应力函数Z(z)可以表示为:

      $$Z(\textit{z}) = \frac{{\tau (\textit{z} + a)}}{{\sqrt {{{{\rm{(\textit{z} + }}a)}^2} - {a^2}} }}$$ (16)

      对于II型裂纹,裂纹尖端的应力场表达式为[18]

      $$ \left\{ \begin{aligned}& {\sigma _x} = 2{\rm{Im}} Z+ y{\rm{Re}} {Z'} \\& {\sigma _y} = - y{\rm{Re}} {Z'} \\& {\tau _{xy}} = {\rm{Re}} Z - y{\rm{Im}} {Z'} \end{aligned} \right. $$ (17)

      对于III型裂纹,裂纹尖端的应力场表达式为[18]

      $$\left\{ \begin{aligned}& {\tau _{xy}}={\rm{Re}} Z \\& {\tau _{xz}}{\rm{ = Im }}Z \end{aligned} \right.$$ (18)

      求解裂纹尖端应力场的关键是找到相应的应力函数。鉴于应力函数方法对静态裂纹已经有了很好的应用,尝试用静态裂纹的应力函数方法解决动态裂纹应力场的问题。为了使得计算简便,提出以下伪应力函数:

      $$Z({\textit{z}_1},{\textit{z}_2}) = \frac{1}{2}[Z({\textit{z}_1}) + Z({\textit{z}_2})]$$ (19)

      复应力函数 Z(z1)和Z(z2)分别对应于式(13)和式(14),式(13)和式(14)分别考虑了纵波波速和横波波速影响。基于伪应力函数计算动态裂纹尖端断裂过程区的正确性将在第三节进行验证。

    • Von Mises强度准则又叫Octahedral 剪切应力准则,可以用来评估裂纹尖端过程区:

      $${({\sigma _1} - {\sigma _2})^2} + {({\sigma _1} - {\sigma _3})^2} + {({\sigma _3} - {\sigma _2})^2} = 2{\sigma} _{\rm s}^2$$ (20)

      式中,σs为材料的屈服极限。

      通过将应力场表达式(17)和式(18)代入式(20),分别可以得到II型和III型裂纹尖端断裂过程区的隐式表达式。

      本文取纵波波速c1=5370 m/s,横波波速c2=3180 m/s,c为瑞丽波速,极限抗拉强度τ0 =32 MPa [21]。通过伪应力函数利用Von Mises强度准则计算II型和III型裂纹不同裂纹速度的断裂过程区轮廓分别如图2图3所示。

      图  2  利用Von Mises强度准则计算II型裂纹尖端断裂过程区轮廓(平面应力条件下的过程区轮廓用线表示,平面应变条件下的过程区轮廓用线+符号表示)

      Figure 2.  Contours of FPZ constructed by using Von Mises criterion at mode II crack tip (the contour of the FPZ under plane stress condition is represented by line, and the contour of the FPZ under plane strain condition is represented by line and symbol)

      图  3  利用Von Mises强度准则计算III型裂纹尖端断裂过程区轮廓

      Figure 3.  Contours of FPZ constructed by Von Mises criterion at mode III crack tip

      图2可以看出,裂纹尖端断裂过程区形状如“葫芦”,分布在裂纹尖端的前方和后方,这与II型静态裂纹尖端断裂过程区的计算结果一致[22]。在垂直于裂纹方向断裂过程区的尺寸随着裂纹扩展速度增大而增大,但沿着裂纹扩展方向断裂过程区的尺寸几乎不变。当裂纹速度接近瑞丽波速时断裂过程区变化更明显。裂纹扩展速度相同时,平面应力状态下裂纹尖端断裂过程区面积大于平面应变状态下的断裂过程区面积。

      图3可得,III型动态裂纹尖端断裂过程区同样是对称分布,随着裂纹扩展速度的增大而增大。当裂纹扩展速度接近于瑞丽波速时,断裂过程区变化比较大,这与II型裂纹尖端断裂过程区随速度变化趋势相似。当速度为零时,断裂过程区形状接近于圆形,这与静态裂纹尖端断裂过程区的计算结果一致[22]

      利用伪应力函数方法同样可以用Tresca强度准则对II型和III型裂纹尖端断裂过程区进行计算:

      $$\frac{{\left| {{\sigma _1} - {\sigma _2}} \right|}}{2} = {\tau _0}$$ (21)

      或者

      $$\frac{{\left| {{\sigma _3} - {\sigma _2}} \right|}}{2} = {\tau _0}$$ (22)

      或者

      $$\frac{{\left| {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right|}}{2} = {\tau _0}$$ (23)

      图4图5可以看出,利用Tresca强度准则与利用Von Mises强度准则计算的裂纹尖端断裂过程区的形状一样。断裂过程区的分布关于裂纹对称,不仅分布在裂纹尖端前方还分布在裂纹尖端后方。两种强度准则计算得到的断裂过程区面积均随着裂纹速度的增加而增加。当速度为0.38c时,两种强度准则计算的II型裂纹和III型裂纹尖端断裂过程区的对比结果分别如图6图7所示。

      图  4  利用Tresca强度准则计算II型裂纹尖端断裂过程区轮廓(平面应力条件下的断裂过程区轮廓用线表示,平面应变条件下的断裂过程区轮廓用线+符号表示)

      Figure 4.  Contours of FPZ constructed by using Tresca criterion at mode II crack tip (the contours of the FPZ under plane stress condition are represented by line, and the contours of the FPZ under plane strain condition are represented by line and symbol)

      图  5  利用Tresca强度准则计算III型裂纹尖端断裂过程

      Figure 5.  Contours of FPZ constructed by using Tresca criterion at mode III crack tip

      图  6  当速度为0.38c时,两种强度准则计算得到的II型裂纹尖端断裂过程区的对比

      Figure 6.  Comparison of the FPZs constructed by using two criteria at velocity of 0.38c at mode II crack tip

      图  7  当速度为0.38c时,两种强度准则计算得到的III型裂纹尖端断裂过程区的对比

      Figure 7.  Comparison of the FPZs constructed by using two criteria at velocity of 0.38c at mode III crack tip

      图6可知,利用Tresca强度准则计算的断裂过程区的面积比利用Von Mises强度准则计算的断裂过程区的面积大。平面应力条件下,Tresca强度准则计算的裂纹尖端前方的断裂过程区的面积比Von Mises强度准则计算的过程区的面积大,但在裂纹尖端的后方的轮廓几乎是一样的。

      对于III型裂纹尖端的断裂过程区面积,将式(18)代入式(20)和式(21)~式(23),通过计算可知,利用Von Mises强度准则计算的过程区的面积是利用Tresca强度准则计算的过程区的面积的0.5×31/2≈0.866倍。这意味着利用Tresca强度准则计算的过程区的面积比利用Von Mises强度准则计算的过程区的面积大,这与图7结果相符。

    • 将利用已被熟知的裂纹尖端渐进应力场表达式计算裂纹尖端断裂过程区,与基于伪应力函数计算断裂过程区的结果进行对比,以验证本文提出的伪应力函数的正确性。

      已知裂纹尖端渐进应力场表达式[23]

      $$\left\{ \begin{aligned} \sigma {}_x = &\dfrac{{{K_{\rm II}}}}{{\sqrt {2\pi } }}\dfrac{{2{\alpha _2}}}{{4{\alpha _1}{\alpha _2} - {{(1 + \alpha _2^2)}^2}}}\cdot\\&\left[ { - ( {1 + 2\alpha _1^2 - \alpha _2^2} )\dfrac{{s{\rm{in}}\dfrac{{{\theta _1}}}{2}}}{{\sqrt {{r_1}} }} + ( {1 + \alpha _2^2} )\dfrac{{\sin \dfrac{{{\theta _2}}}{2}}}{{\sqrt {{r_2}} }}} \right] \\ \sigma {}_y =& \dfrac{{{K_{\rm II}}}}{{\sqrt {2\pi } }}\dfrac{{2{\alpha _2}(1 + \alpha _2^2)}}{{4{\alpha _1}{\alpha _2} - {{(1 + \alpha _2^2)}^2}}}\left[ {\dfrac{{\sin \dfrac{{{\theta _1}}}{2}}}{{\sqrt {{r_1}} }} - \dfrac{{\sin \dfrac{{{\theta _2}}}{2}}}{{\sqrt {{r_2}} }}} \right] \\ {\tau _{xy}} =& \dfrac{{{K_{\rm II}}}}{{\sqrt {2\pi } }}\dfrac{1}{{4{\alpha _1}{\alpha _2} - {{(1 + \alpha _2^2)}^2}}}\cdot\\&\left[ {4{\alpha _1}{\alpha _2}\dfrac{{\cos \dfrac{{{\theta _1}}}{2}}}{{\sqrt {{r_1}} }} - {{(1 + \alpha _2^2)}^2}\dfrac{{\cos \dfrac{{{\theta _2}}}{2}}}{{\sqrt {{r_2}} }}} \right] \end{aligned} \right.$$ (24)

      式中:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overline x = {x_1} - \dot at = \overline {{r_1}} \cos {\theta _1} = \overline {{r_2}} \cos {\theta _2}}\\ {\overline y = y = \dfrac{{{r_1}}}{a}\sin {\theta _1} = \dfrac{{{r_2}}}{a}\sin {\theta _2}}\\ {{r_1} = \sqrt {{{\overline x }^2} + \alpha _1^2{{\overline y }^2}} ,{r_2} = \sqrt {{{\overline x }^2} + \alpha _2^2{{\overline y }^2}}}\\ {{\theta _1} = \arctan \left({\alpha _1}\dfrac{{\overline y }}{{\overline x }}\right),{\theta _2} = \arctan \left({\alpha _2}\dfrac{{\overline y }}{{\overline x }}\right)} \end{array}} \right. $$ (25)

      将式(24)、式(25)代入式(20),可以得到断裂过程区的隐式表达式。表1列出了已知应力表达式计算得到的断裂过程区的面积与基于伪应力函数计算得的断裂过程区的面积,并进行了对比。

      可以看出,无论是平面应力条件下还是平面应变条件下,基于已知应力场计算的断裂过程区与基于伪应力函数计算的断裂过程区的面积随着裂纹尖端速度变化趋势是一致的。基于已知应力函数方法计算的断裂过程区面积的速度依赖性比基于伪应力场计算的断裂过程区面积稍强,这是由于已知应力场是忽略高阶项的渐进表达式[23]。从表1两种方法计算结果验证了基于伪应力函数方法评估动态裂纹尖端断裂过程区的正确性。

      表 1  利用Von Mises强度准则计算II型 裂纹尖端断裂过程区面积

      Table 1.  Area of FPZ for mode-II crack by using Von Mises criterion (plane stress) /cm2

      V/c平面应力平面应变
      已知应力场
      计算结果
      伪应力函数
      计算结果
      伪应力函数
      计算结果
      已知应力场
      计算结果
      0.190.7850.7950.5710.579
      0.290.8190.7880.5920.582
      0.380.8470.8060.5940.591
      0.480.9340.8200.6490.601
      0.571.0860.8340.7310.612
    • 虽然找到动态裂纹尖端断裂过程区的精确解是非常困难的,本文提出的伪应力函数方法可以给动态裂纹尖端的断裂过程区的评估提供一个很好的参考。基于此近似方法,利用Tresca准则和Von Mises准则计算得到理想弹性条件下II型和III型裂纹尖端的断裂过程区的轮廓线和面积,得到以下结论:

      (1) II型和III型裂纹尖端断裂过程区的分布关于裂纹面对称。断裂过程区的分布不仅在裂纹尖端前方还在裂纹尖端后方。

      (2) 随着裂纹扩展速度的增加,裂纹尖端断裂过程区的面积不断增大,当裂纹扩展速度接近瑞丽波速时,裂纹尖端断裂过程区的增加幅度比较大。II型裂纹尖端断裂过程区沿着裂纹扩展方向的尺寸随着裂纹扩展速度增加明显,III型裂纹尖端断裂过程区随着裂纹扩展速度增加向四周均有扩展。

      (3) 利用Von Mises强度准则和Tresca强度准则计算的裂纹尖端断裂过程区形状一样,随着裂纹扩展速度的变化趋势一致。利用Tresca强度准则计算得到的断裂过程区的面积比利用Von Mises强度准则计算得到的断裂过程区的面积大。

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