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基于二元耦联性解耦下多孔FGM梁的热-力耦合振动与屈曲特性

蒲育 周凤玺 任永忠 刘君

蒲育, 周凤玺, 任永忠, 刘君. 基于二元耦联性解耦下多孔FGM梁的热-力耦合振动与屈曲特性[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
引用本文: 蒲育, 周凤玺, 任永忠, 刘君. 基于二元耦联性解耦下多孔FGM梁的热-力耦合振动与屈曲特性[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
Yu PU, Feng-xi ZHOU, Yong-zhong REN, Jun LIU. VIBRATION AND BUCKLING BEHAVIORS OF POROUS FGM BEAMS UNDER THERMAL-MECHANICAL LOADS BY DUALITY RELATION[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
Citation: Yu PU, Feng-xi ZHOU, Yong-zhong REN, Jun LIU. VIBRATION AND BUCKLING BEHAVIORS OF POROUS FGM BEAMS UNDER THERMAL-MECHANICAL LOADS BY DUALITY RELATION[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553

基于二元耦联性解耦下多孔FGM梁的热-力耦合振动与屈曲特性

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
基金项目: 国家自然科学基金项目(51978320,11962016);甘肃省高等学校创新能力提升项目(2019B-180);兰州工业学院“启智”人才培养计划基金项目(2018QZ-05,2019QZ-05,2019QZ-08);兰州工业学院校级重点学科项目(2019XK-04)
详细信息
    作者简介:

    蒲 育(1984−),男,甘肃天水人,副教授,博士生,主要从事多场耦合复合材料结构的力学行为研究(E-mail: shifopuyu@126.com)

    任永忠(1986−),男,甘肃灵台人,副教授,博士,主要从事岩土工程有限元分析研究(E-mail: renyz518@163.com)

    刘 君(1981−),女,河北承德人,副教授,博士,主要从事电磁固体力学研究(E-mail: liujun@lzit.edu.cn)

    通讯作者: 周凤玺(1979−),男,甘肃会宁人,教授,博士,博导,主要从事岩土力学及复合材料结构力学研究(E-mail: geolut@163.com)
  • 中图分类号: O322

VIBRATION AND BUCKLING BEHAVIORS OF POROUS FGM BEAMS UNDER THERMAL-MECHANICAL LOADS BY DUALITY RELATION

  • 摘要: 采用一种改进型广义微分求积(MGDQ)法,数值研究了初始轴向机械力作用下含均匀孔隙的功能梯度材料(FGM)梁在热环境中的耦合振动及耦合屈曲特性。考虑了材料性质随温度的相关性,温度沿梁的厚度方向按不同类型稳态分布,采用含孔隙率修正的Voigt混合幂率模型来表征多孔FGM梁的材料属性。采用一种n阶广义梁理论(GBT),在Hamilton体系下统一建立描述该系统耦合振动及屈曲问题力学模型的控制方程。通过引入边界控制参数,可实施3种典型边界梁动态响应MGDQ法求解的MATLAB统一化编程。基于两种静动态力学行为之间的二元耦联性,编写循环子程序用来获得屈曲静态响应,该分析方法极大地简化了解耦过程并提高了计算效率。通过算例主要探究了梁理论、边界条件、温度分布、升温、初始轴向机械力、热-力耦合效应、孔隙率、梯度指标、跨厚比等诸多参数对多孔FGM梁振动及屈曲特性的影响,同时刻画并揭示了两种静动态力学行为之间的二元耦联性。
  • 图  1  多孔FGM梁的几何尺寸

    Figure  1.  Geometry of a porous FGM beam

    图  2  NLTR升温下FGM固支梁的无量纲基频$ \varOmega_1 $与GBT阶数n的关系曲线

    Figure  2.  Curve of non-dimensional fundamental frequency $ \varOmega_1 $ of FGM C-C beam under NLTR versus order n of GBT

    图  3  NLTR升温下FGM固支梁的无量纲临界载荷Ncr与GBT阶数n的关系曲线

    Figure  3.  Curve of non-dimensional critical load Ncr of FGM C-C beam under NLTR versus order n of GBT

    图  4  无量纲基频Ω1与无量纲轴向载荷$\bar N$关系曲线

    Figure  4.  Curves of dimensionless fundamental frequency Ω1 versus non-dimensional axial load$\bar N$

    图  5  不同温度分布下弹性系数S1与升温ΔT关系曲线

    Figure  5.  Curves of elastic coefficient S1 versus temperature rise ΔT under different temperature distributions

    图  6  无量纲基频$ \varOmega_1 $及临界载荷Ncr与升温ΔT关系曲线

    Figure  6.  Curves of dimensionless fundamental frequency $ \varOmega_1 $ and critical load Ncr versus temperature rise ΔT

    图  7  无量纲基频$ \varOmega_1 $与线性升温ΔT关系曲线

    Figure  7.  Curves of dimensionless fundamental frequency $ \varOmega_1 $ versus linear temperature rise ΔT

    图  8  无量纲临界载荷Ncr与线性升温ΔT关系曲线

    Figure  8.  Curves of dimensionless critical load Ncr versus linear temperature rise ΔT

    图  9  热-力耦合作用下多孔FGM C-S梁无量纲基频$ \varOmega_1 $及临界载荷Ncr与非线性升温ΔT的关系曲线

    Figure  9.  Curves of dimensionless fundamental frequency $ \varOmega_1 $ and buckling load Ncr of porous FGM C-S beam subjected to thermal-mechanical loads versus nonlinear temperature rise ΔT

    图  10  热-力耦合作用下多孔FGM C-S梁无量纲基频$ \varOmega_1 $及临界载荷Ncr与跨厚比的关系曲线

    Figure  10.  Curves of dimensionless fundamental frequency $ \varOmega_1 $ and buckling load Ncr of porous FGM C-S beam subjected to thermal-mechanical loads versus slenderness ratios λ

    表  1  金属(SUS 304)和陶瓷(Si3N4)两种材料随温度变化的物性系数[11]

    Table  1.   Temperature-dependent coefficients for metal (SUS 304) and ceramic (Si3N4)[11]

    材料物性参数P0P−1P1P2P3
    弹性模量 E/Pa201.04×10903.079×10−4−6.534×10−70
    金属 (SUS 304)热膨胀系数 α/(1/K)12.33×10−608.086×10−400
    热传导率 κ/(W/mK)15.3790−1.264×10−32.092×10−7−7.223×10−10
    泊松比ν0.32620−2.002×10−43.797×10−70
    密度 ρ/(kg/m3)81660000
    弹性模量 E/Pa348.43×1090−3.070×10−42.160×10−7−8.946×10−11
    陶瓷 (Si3N4)热膨胀系数 α/(1/K)5.8723×10−609.095×10−400
    热传导率 κ/(W/mK)13.7230−1.032×10−300
    泊松比 ν0.240000
    密度 ρ/(kg/m3)23700000
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    表  2  FGM梁无量纲基频的结果比较

    Table  2.   Comparison of dimensionless fundamental frequencies of FGM beams.

    边界条件升温类型文献[6]文献[21]本文
    C-C LTR 13.1554 13.3671 13.2237
    NLTR 13.1579 13.3558 13.2243
    C-S LTR 9.0635 9.1227 9.11159
    NLTR 9.0669 9.1178 9.11234
    S-S LTR 5.7588 5.7114 5.76204
    NLTR 5.7632 5.7124 5.76942
    下载: 导出CSV
  • [1] Pradhan S C, Murmu T. Thermo-mechanical vibration of FGM sandwich beam under variable elastic foundations using differential quadrature method [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 321(1/2): 342 − 362. doi:  10.1016/j.jsv.2008.09.018
    [2] 赵凤群, 王忠民. 非保守力和热载荷作用下FGM梁的稳定性[J]. 工程力学, 2012, 29(10): 40 − 45. doi:  10.6052/j.issn.1000-4750.2011.01.0018

    Zhao Fengqun, Wang Zhongmin. Stability of FGM beam under action of non-conservative force and thermal loads [J]. Engineering Mechanics, 2012, 29(10): 40 − 45. (in Chinese) doi:  10.6052/j.issn.1000-4750.2011.01.0018
    [3] Mahi A, Adda B E A, Tounsi A, et al. An analytical method for temperature-dependent free vibration analysis of functionally graded beams with general boundary conditions [J]. Composite Structures, 2010, 92: 1877 − 1887. doi:  10.1016/j.compstruct.2010.01.010
    [4] Wattanasakulpong N, Gangadhara P B, Kelly D W. Thermal buckling and elastic vibration of third-order shear deformable functionally graded beams [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2011, 53(9): 734 − 743. doi:  10.1016/j.ijmecsci.2011.06.005
    [5] Wattanasakulpong N, Ungbhakorn V. Linear and nonlinear vibration analysis of elastically restrained ends FGM beams with porosities [J]. Aerospace Science and Technology, 2014, 32: 111 − 120. doi:  10.1016/j.ast.2013.12.002
    [6] Trinh L C, Vo T P, Thai H T, et al. An analytical method for the vibration and buckling of functionally graded beams under mechanical and thermal loads [J]. Composites Part B, 2016, 100: 152 − 163. doi:  10.1016/j.compositesb.2016.06.067
    [7] Ebrahimi F, Jafari A. A higher-order thermo-mechanical vibration analysis of temperature-dependent FGM beams with porosities [J]. Journal of Engineering, 2016, 2016: 1 − 20.
    [8] Ebrahimi F, Jafari A. A four-variable refined shear-deformation beam theory for thermo-mechanical vibration analysis of temperature-dependent FGM beams with porosities [J]. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2018, 25(3): 212 − 224. doi:  10.1080/15376494.2016.1255820
    [9] 苏盛开, 黄怀纬. 多孔功能梯度梁的热-力耦合屈曲行为[J]. 复合材料学报, 2017, 34(12): 2794 − 2799.

    Su Shengkai, Huang Huaiwei. Thermal-mechanical coupling buckling analysis of porous functionally graded beams [J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 2017, 34(12): 2794 − 2799. (in Chinese)
    [10] 蒲育, 周凤玺. 湿-热-机耦合作用下多孔功能梯度梁的振动及屈曲特性[J]. 复合材料学报, 2019, 36(12): 2975 − 2983.

    Pu Yu, Zhou Fengxi. Vibration and buckling behaviors of porous functionally graded material beams subjected to hygro-thermal-mechanical effects [J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 2019, 36(12): 2975 − 2983. (in Chinese)
    [11] 蒲育, 周凤玺. 湿-热-机-弹耦合FGM梁的稳定性及振动特性[J]. 工程力学, 2019, 36(9): 32 − 39.

    Pu Yu, Zhou Fengxi. Stability and vibration behavior of FGM beams under hygro-thermal-mechanical-elastic loads [J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(9): 32 − 39. (in Chinese)
    [12] Li S R, Zhang J H, Zhao Y G. Thermal post-buckling of functionally graded material Timoshenko beams [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2006, 27(6): 803 − 810. doi:  10.1007/s10483-006-0611-y
    [13] Rahimi G H, Gazor M S. Hemmatnezhad M, et al. On the postbuckling and free vibrations of FG Timoshenko beams [J]. Composite Structures, 2013, 95: 247 − 253. doi:  10.1016/j.compstruct.2012.07.034
    [14] Vosoughi A R. Thermal post-buckling analysis of functionally graded beams [J]. Journal of Thermal Stress, 2014, 37(4): 532 − 544. doi:  10.1080/01495739.2013.872462
    [15] Zhang D G. Thermal post-buckling and nonlinear vibration analysis of FGM beams based on physical neutral surface and high order shear deformation theory [J]. Meccanica, 2014, 49: 283 − 293. doi:  10.1007/s11012-013-9793-9
    [16] Sun Y, Li S R, Batra R C. Thermal buckling and post-buckling of FGM Timoshenko beams on nonlinear elastic foundation [J]. Journal of Thermal Stress, 2016, 39(1): 11 − 26. doi:  10.1080/01495739.2015.1120627
    [17] She G L, Yuan F G, Ren Y R. Thermal buckling and post-buckling analysis of functionally graded beams based on a general higher-order shear deformation theory [J]. Applied Mathematical Modelling, 2017, 47: 340 − 357. doi:  10.1016/j.apm.2017.03.014
    [18] 李清禄, 李世荣. 非保守功能梯度材料简支梁在过屈曲附近的振动响应[J]. 应用基础与工程科学学报, 2019, 27(1): 95 − 103.

    Li Qinglu, Li Shirong. Vibration response of a simply supported beam under a non-conservative distributed load near the buckling [J]. Journal of Basic Science and Engineering, 2019, 27(1): 95 − 103. (in Chinese)
    [19] 何昊南, 于开平. 考虑热对材料参数影响的FGM梁热后屈曲特性研究[J]. 工程力学, 2019, 36(4): 52 − 61.

    He Haonan, Yu Kaiping. Thermal post-buckling analysis of FGM beams considering the heat effect on materials [J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(4): 52 − 61. (in Chinese)
    [20] 蒲育, 滕兆春. 基于一阶剪切变形理论FGM梁自由振动的改进型GDQ法求解[J]. 振动与冲击, 2018, 37(16): 212 − 218.

    Pu Yu, Teng Zhaochun. Free vibration of FGM beams based on the first-order shear deformation theory by a modified generalized differential quadrature method [J]. Journal of Vibration and Shock, 2018, 37(16): 212 − 218. (in Chinese)
    [21] Ebrahimi F, Salari E. Nonlocal thermo-mechanical vibration analysis of functionally graded nanobeams in thermal environment [J]. Acta Astronautica, 2015, 113: 29 − 50. doi:  10.1016/j.actaastro.2015.03.031
  • [1] 蒲育, 周凤玺.  湿-热-机-弹耦合FGM梁的稳定性及振动特性 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2018.08.0443
    [2] 陈宁, 李永乐, 王云飞, 王修勇.  考虑桥面风场等效气动效应的行车安全性分析 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2015.12.0993
    [3] 朱志辉, 杨乐, 王力东, 蔡成标, 戴公连.  地震作用下铁路斜拉桥动力响应及行车安全性研究 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2015.09.0790
    [4] 李小珍, 耿杰, 王党雄, 张迅, 梁林.  中低速磁浮列车-低置梁系统竖向耦合振动研究 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2016.11.0868
    [5] 梁斌, 刘小宛, 李戎, 徐红玉.  充液环肋圆柱壳耦合振动的波动解 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2014.11.0940
    [6] 张志俊, 李小珍, 张迅, 刘全民.  弹性支座对桥梁车致振动的隔振效果研究 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2013.09.0857
    [7] 闫晓强, 吴先峰, 杨喜恩, 吴索团, 许建忠.  热连轧机扭振与轴向振动耦合研究 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.09.0694
    [8] 彭敬辉, 李松晶, JACOB M. Mchenya.  电磁力与射流流场中压力脉动作用下伺服阀力矩马达谐响应分析 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2011.07.0463
    [9] 王少钦, 夏禾, 郭薇薇, 杜宪亭.  考虑桥梁几何非线性的风-车-桥耦合振动分析 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2011.11.0751
    [10] 赵凤群, 王忠民.  非保守力和热载荷作用下FGM梁的稳定性 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2011.01.0018
    [11] 王跃方, 赵光曦.  三自由度偏心索风致振动稳定性分析 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2010.11.0803
    [12] 李永乐 董世赋 臧 瑜 强士中.  大跨度公轨两用悬索桥风-车-桥耦合振动及抗风行车准则研究 . 工程力学, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2011.03.0158
    [13] 李永乐, 赵凯, 陈宁, 廖海黎.  风汽车桥梁系统耦合振动及行车安全性分析 . 工程力学,
    [14] 何天虎, 关明智.  有限元法求解广义热弹耦合一维热冲击问题 . 工程力学,
    [15] 杨 帆, 马连生.  前屈曲耦合变形对FGM圆板稳定性的影响 . 工程力学,
    [16] 张 鹏, 朱昌明, 张梁娟.  变长度柔性提升系统纵向-横向受迫耦合振动分析 . 工程力学,
    [17] 白 冰.  循环温度荷载作用下饱和多孔介质热-水-力耦合响应 . 工程力学,
    [18] 彭献, 刘子建, 洪家旺.  匀变速移动质量与简支梁耦合系统的振动分析 . 工程力学,
    [19] 李永乐, 廖海黎, 强士中.  三塔斜拉桥抖振的耦合行为研究 . 工程力学,
    [20] 胡宇达, 邱家俊, 卿光辉.  汽轮发电机定子端区汇水管的磁弹性耦合振动方程与固有特性 . 工程力学,
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-09-22
  • 修回日期:  2019-12-25
  • 网络出版日期:  2020-06-02

基于二元耦联性解耦下多孔FGM梁的热-力耦合振动与屈曲特性

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
    基金项目:  国家自然科学基金项目(51978320,11962016);甘肃省高等学校创新能力提升项目(2019B-180);兰州工业学院“启智”人才培养计划基金项目(2018QZ-05,2019QZ-05,2019QZ-08);兰州工业学院校级重点学科项目(2019XK-04)
    作者简介:

    蒲 育(1984−),男,甘肃天水人,副教授,博士生,主要从事多场耦合复合材料结构的力学行为研究(E-mail: shifopuyu@126.com)

    任永忠(1986−),男,甘肃灵台人,副教授,博士,主要从事岩土工程有限元分析研究(E-mail: renyz518@163.com)

    刘 君(1981−),女,河北承德人,副教授,博士,主要从事电磁固体力学研究(E-mail: liujun@lzit.edu.cn)

    通讯作者: 周凤玺(1979−),男,甘肃会宁人,教授,博士,博导,主要从事岩土力学及复合材料结构力学研究(E-mail: geolut@163.com)
  • 中图分类号: O322

摘要: 采用一种改进型广义微分求积(MGDQ)法,数值研究了初始轴向机械力作用下含均匀孔隙的功能梯度材料(FGM)梁在热环境中的耦合振动及耦合屈曲特性。考虑了材料性质随温度的相关性,温度沿梁的厚度方向按不同类型稳态分布,采用含孔隙率修正的Voigt混合幂率模型来表征多孔FGM梁的材料属性。采用一种n阶广义梁理论(GBT),在Hamilton体系下统一建立描述该系统耦合振动及屈曲问题力学模型的控制方程。通过引入边界控制参数,可实施3种典型边界梁动态响应MGDQ法求解的MATLAB统一化编程。基于两种静动态力学行为之间的二元耦联性,编写循环子程序用来获得屈曲静态响应,该分析方法极大地简化了解耦过程并提高了计算效率。通过算例主要探究了梁理论、边界条件、温度分布、升温、初始轴向机械力、热-力耦合效应、孔隙率、梯度指标、跨厚比等诸多参数对多孔FGM梁振动及屈曲特性的影响,同时刻画并揭示了两种静动态力学行为之间的二元耦联性。

English Abstract

蒲育, 周凤玺, 任永忠, 刘君. 基于二元耦联性解耦下多孔FGM梁的热-力耦合振动与屈曲特性[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
引用本文: 蒲育, 周凤玺, 任永忠, 刘君. 基于二元耦联性解耦下多孔FGM梁的热-力耦合振动与屈曲特性[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
Yu PU, Feng-xi ZHOU, Yong-zhong REN, Jun LIU. VIBRATION AND BUCKLING BEHAVIORS OF POROUS FGM BEAMS UNDER THERMAL-MECHANICAL LOADS BY DUALITY RELATION[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
Citation: Yu PU, Feng-xi ZHOU, Yong-zhong REN, Jun LIU. VIBRATION AND BUCKLING BEHAVIORS OF POROUS FGM BEAMS UNDER THERMAL-MECHANICAL LOADS BY DUALITY RELATION[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.09.0553
  • 功能梯度材料(FGM)梁作为当前现代工程领域中广泛使用的结构形式之一,其稳定性和振动特性关乎结构的安全设计和功能设计,一直备受人们重视。随着近些年FGM梁广泛服役于高温环境或特定复杂工况,FGM梁的热-力耦合振动特性及稳定性研究显得尤为必要。

    例如,Pradhan和Murmu[1]基于Euler梁理论(CBT),应用微分求积法(DQM)数值研究了变弹性地基FGM夹层梁的振动特性。赵凤群和王忠民[2]采用小波微分求积法(WDQ)分析了热载荷和切向随从力耦合下FGM CBT梁的稳定性及振动特性。考虑沿梁厚度方向非线性升温,Mahi等[3]获得了材料物性关于几何中面对称FGM梁自由振动响应的精确解。文献[4]基于Reddy三阶剪切梁理论(TBT),应用Ritz法探讨了均匀升温下FGM梁的振动与屈曲特性。之后,文献[5]采用微分变换法(DTM)数值分析了两端弹性约束下多孔FGM CBT梁的线性及非线性振动特性。Trinh等[6]基于TBT并采用状态空间法(SSM),分析了热-力耦合下无孔FGM梁的振动及屈曲特性。文献[7-10]则从材料加工缺陷或特殊功能要求角度出发,仅考虑简支边界梁,应用Navier法研究了含孔隙FGM梁的耦合振动及屈曲特性。Ebrahimi和Jafari[7-8]先后采用TBT及双曲型(HBT)两种高阶剪切梁理论,研究了多孔FGM梁的热-力耦合振动特性。苏盛开和黄怀纬[9]采用CBT及正弦型剪切梁理论(SBT),分析了多孔FGM梁的热-力耦合屈曲行为。最近,笔者研究团队[10-11]扩展并提出一种广义梁理论(GBT),分别选用两组不同的位移量用来描述位移场,探讨了湿-热-机耦合作用下多孔FGM梁的振动及屈曲特性。此外,文献[12-19]则考虑了几何非线性,采用不同的梁理论或应用不同的分析方法研究了FGM梁的热后屈曲及非线性振动特性。

    综上所述,目前针对热-力耦合多孔FGM梁振动及屈曲特性的研究十分有限,且两者都需要求解微分方程组的特征值问题,解耦不易,获得解析解十分困难,故大多只限于简支边界梁。其次,临界载荷与频率作为刻画FGM梁静动态力学行为的重要指标,它们对FGM梁的安全设计和功能设计具有重要的指导意义,但目前针对这两种力学行为之间耦联性的研究也十分少见。最后,考虑多场耦合及多因素影响下,其耦合影响作用机理尚不十分清楚,仍需进一步揭示。

    本文采用GBT,基于两类问题的二元耦联性,在Hamilton体系下统一建立描述多孔FGM梁热-力耦合振动与耦合屈曲问题力学模型的控制方程。在前期研究基础之上,采用MGDQ法[20]获得数值解。通过算例,着重探讨多参数对多孔FGM梁耦合振动及耦合屈曲特性的影响。揭示多孔FGM梁屈曲与振动这两种静动态力学行为之间的二元耦联性,重点分析多参数对频率、临界载荷、临界升温值影响的耦合作用机理。

    • 图1所示,xoy面为梁的几何中面,现考虑一长、宽、高分别为L×b×h且含均匀空隙的FGM梁,上表面为陶瓷,下表面为金属。梁两端受初始轴向机械力为N(假设压力为正),温度T沿梁厚度方向稳态分布,材料的物性沿梁厚呈梯度连续分布且与温度相关,采用含孔隙率β修正后的Voigt混合幂律模型,物性参数(如弹性模量E、泊松比$\nu $、热膨胀系数$\alpha $、热传导率$\kappa $)与坐标z及温度T可采用统一式表述为[10]

      图  1  多孔FGM梁的几何尺寸

      Figure 1.  Geometry of a porous FGM beam

      $$X\left({\textit{z}},T\right) = {X_{\rm{m}}}\left(T\right) \left({V_{\rm{m}}} - \frac{\beta }{2}\right) + {X_{\rm{c}}}\left(T\right) \left({V_{\rm{c}}} - \frac{\beta }{2}\right)$$ (1)

      式中:${V_{\rm{c}}} = {\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\textit{z}}}{h}\right)^p}$表示陶瓷材料的组分体积含量;金属材料的组分体积含量${V_{\rm{m}}} = 1 - {V_{\rm{c}}}$$p$为FGM梁材料组分的梯度指标;下标m和c分别表示金属和陶瓷材料对应的相关物性参数。

      金属与陶瓷这两种材料的某一物性参数$X$随温度$T$的变化可统一表述为[11]

      $$X(T) = {P_0}({P_{ - 1}}{T^{ - 1}} + 1 + {P_1}T + {P_2}{T^2} + {P_3}{T^3})$$ (2)

      式中,$ {P_i} $($i = - 1,0,1,2,3$)表示随温度变化的材料系数。表1给出了金属(SUS 304)和陶瓷(Si3N4)与温度相关的材料系数[11]

      表 1  金属(SUS 304)和陶瓷(Si3N4)两种材料随温度变化的物性系数[11]

      Table 1.  Temperature-dependent coefficients for metal (SUS 304) and ceramic (Si3N4)[11]

      材料物性参数P0P−1P1P2P3
      弹性模量 E/Pa201.04×10903.079×10−4−6.534×10−70
      金属 (SUS 304)热膨胀系数 α/(1/K)12.33×10−608.086×10−400
      热传导率 κ/(W/mK)15.3790−1.264×10−32.092×10−7−7.223×10−10
      泊松比ν0.32620−2.002×10−43.797×10−70
      密度 ρ/(kg/m3)81660000
      弹性模量 E/Pa348.43×1090−3.070×10−42.160×10−7−8.946×10−11
      陶瓷 (Si3N4)热膨胀系数 α/(1/K)5.8723×10−609.095×10−400
      热传导率 κ/(W/mK)13.7230−1.032×10−300
      泊松比 ν0.240000
      密度 ρ/(kg/m3)23700000
    • 本文考虑以下三种升温类型:

      类型1 均匀升温(UTR):

      $$T({\textit{z}}) = {T_0} + \Delta T$$ (3)

      式中,${T_0}$表示无应力状态时的参考温度,本文取${T_0}$=305 K,$\Delta T$表示升温值。

      类型2 线性升温(LTR):

      $$T({\textit{z}}) = {T_{\rm{m}}} + \Delta T\left(\frac{1}{2} + \frac{{\textit{z}}}{h}\right)$$ (4)

      式中,$\Delta T = {T_{\rm{c}}} - {T_{\rm{m}}}$

      类型3 非线性升温(NLTR):

      $$T({\textit{z}}) = {T_{\rm{m}}} + \frac{{\Delta T}}{{{C_{\rm{p}}}}}\sum\limits_{i = 0}^5 {{{( - 1)}^i}\frac{{\kappa _{\rm{cm}}^i}}{{(ip + 1)\kappa _{\rm{m}}^i}}} {\left(\frac{1}{2} + \frac{{\textit{z}}}{h}\right)^{ip + 1}}$$ (5)

      式中,${C_{\rm{p}}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^5 {{{( - 1)}^i}\dfrac{{\kappa _{\rm{cm}}^i}}{{(ip + 1)\kappa _{\rm{m}}^i}}} $${\kappa _{\rm{cm}}} = {\kappa _{\rm{c}}} - {\kappa _{\rm{m}}}$,温度分布$T({\textit{z}})$可由一维稳态热传导方程边值问题的解给出[11]

    • 位移场可描述为:

      $$\left\{ {\begin{aligned} & {{u_x}(x,{\textit{z}},t) \!= \!u(x,t) \!-\! {\textit{z}}\dfrac{{\partial w}}{{\partial x}} \!+\! f({\textit{z}}) \left[\varphi (x,t) \!+ \!\dfrac{{\partial w}}{{\partial x}}\right]}\\& {{u_y}(x,{\textit{z}},t) = 0}\\& {{u_z}(x,{\textit{z}},t) = w(x,t)} \end{aligned}} \right.$$ (6)

      式中:$u(x,t)$$\varphi (x,t)$$w(x,t)$分别表示$t$时刻轴线上点的轴向位移、截面转角及挠度; $f({\textit{z}}) = {\textit{z}} - \dfrac{h}{{2n}}{\left(\dfrac{{2{\textit{z}}}}{h}\right)^n}$表示GBT对应的横向切应力形函数[10]$n = 1$,退化为CBT;$n = 3$,退化为TBT;$n = \infty $,退化为Timoshenko梁理论(FSBT)。

      由小变形的几何方程可得非零应变分量:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\varepsilon _x} = \dfrac{{\partial u}}{{\partial x}} - {\textit{z}}\dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + f({\textit{z}})\,\left(\dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} + \dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}\right)} \\ {{\gamma _{xz}} = g({\textit{z}})\,\left(\dfrac{{\partial w}}{{\partial x}} + \varphi \right)} \end{array}} \right.$$ (7)

      式中,$g({\textit{z}}) = f'({\textit{z}})$为横向切应变形函数。

      本构方程为:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _x} = E({\textit{z}},T)\,{\varepsilon _x}} \\ {{\tau _{x{\textit{z}}}} = G({\textit{z}},T)\,{\gamma _{x{\textit{z}}}}} \end{array}} \right.$$ (8)

      式中,$G({\textit{z}},T) = E({\textit{z}},T)/2[1 + \nu ({\textit{z}},T)]$为剪切模量。

      动能的变分为:

      $$\delta T = \int_0^L {\int_A {\rho ({\textit{z}})\left(\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial t}}\frac{{\partial \delta {u_x}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {u_{\textit{z}}}}}{{\partial t}}\frac{{\partial \delta {u_{\textit{z}}}}}{{\partial t}}\right)} } {\rm{d}}A{\rm{d}}x$$ (9)

      应变能的变分为:

      $$\begin{split}& \delta U = \int_0^L {\int_A {({\sigma _x}\delta {\varepsilon _x} + {\tau _{x{\textit{z}}}}\delta {\gamma _{x{\textit{z}}}})} } {\rm{d}}A{\rm{d}}x = \int_0^L \left[{F_{\rm{N}}}\frac{{\partial \delta u}}{{\partial x}} - \right.\\[-3pt]& \left.{- {M_{\rm{b}}}\frac{{{\partial ^2}\delta w}}{{\partial {x^2}}} + {M_{\rm{s}}}\left(\frac{{\partial \delta \varphi }}{{\partial x}} + \frac{{{\partial ^2}\delta w}}{{\partial {x^2}}}\right) + {F_{\rm{s}}}\left(\delta \varphi + \frac{{\partial \delta w}}{{\partial x}}\right)}\right] {\rm{d}}x \end{split}$$ (10)

      内力由式(11)和式(12)定义并可由位移分量表示为:

      $$\left\{ \!{\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{\rm{N}}}}\\ {{M_{\rm{b}}}}\\ {{M_{\rm{s}}}} \end{array}} \!\right\} \!= \!\int_A {{\sigma _x}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\textit{z}}\\ f \end{array}} \right\}} {\rm{d}}A \!=\! \left[ \!{\begin{array}{*{20}{c}} {{S_1}}&{{S_3}}&{{S_7}}\\ {{S_2}}&{{S_5}}&{{S_{10}}}\\ {{S_3}}&{{S_6}}&{{S_8}} \end{array}}\! \right] \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{,x}}}\\ {{\varphi _{,x}}}\\ {{w_{,xx}}} \end{array}} \right\} $$ (11)
      $${F_{\rm{s}}} = \int\limits_A {g {\tau _{x{\textit{z}}}}{\rm{d}}A} = {S_0}({w_{, x}} + \varphi )\qquad\qquad\qquad\qquad$$ (12)

      式中,各弹性系数定义为$\left\{ {{S_i}} \right\} \!\!= \!\!\int_A {E({\textit{z}},T)\;\{ {1,{\textit{z}},f, {{\textit{z}}^2}, {\textit{z}}f, } }$${f^2}\}$dA,(i=1, 2,···,6),${S_0} \!\!= \!\!\int_A { \!\!G({\textit{z}},T)\,{g^2}\,{\rm{d}}A}$${S_7}\! \!=\!\!\! {S_2} \! \!- \!\!{S_3}$${S_8} = {S_6} - {S_5}$${S_9} = 2{S_5} - {S_4} - {S_6}$${S_{10}} = {S_5} - {S_4}$

      热-力耦合载荷做功的变分为:

      $$\delta V = - \int_0^L {(N + {N_{\rm{T}}})\frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial \delta w}}{{\partial x}}} {\rm{d}}x$$ (13)

      式中,${N_{\rm{T}}} = \int_A {E({\textit{z}},T)\,\alpha ({\textit{z}},T)\,} (T - {T_0}){\rm{d}}A$为热轴力。

      对系统应用Hamilton原理:

      $$\int_{ {t_{\,1}}}^{ t{\,_2}} {(\delta \, T - \delta U - \delta \, V\,)} {\rm{d}}\,t = 0$$ (14)

      将式(6)~式(13)代入式(14)并作一些变分和积分运算化简后可得由位移分量表示的多孔FGM梁自由振动微分方程:

      $$S{ _1}\frac{{{{\rm{d}}^2}u}}{{{\rm{d}} {x^2}}} + {S_{ 3}}\frac{{{{\rm{d}}^2}\varphi }}{{{\rm{d}} {x^2}}} - {S_{ 7}}\frac{{{{\rm{d}}^3}w}}{{{\rm{d}} {x^3}}} = {I_1}\ddot u + {I_3}\ddot \varphi - {I_7}\frac{{{\rm{d}} \ddot w}}{{{\rm{d}} x}}\quad\;\;$$
      $$\begin{split}& {S_3}\frac{{{{\rm{d}}^2}u}}{{{\rm{d}} {x^2}}} + {S_6}\frac{{{{\rm{d}}^2}\varphi }}{{{\rm{d}} {x^2}}} + {S_8}\frac{{{{\rm{d}}^3}w}}{{{\rm{d}} {x^3}}} - {S_0}\left(\frac{{{\rm{d}} w}}{{{\rm{d}} x}} + \varphi \right) = \\[-5pt]& \qquad\qquad{I_3}\ddot u + {I_6}\ddot \varphi + {I_8}\frac{{{\rm{d}} \ddot w}}{{{\rm{d}} x}}, \end{split}\qquad\;\;$$
      $$\begin{split}& {S_7}\frac{{{{\rm{d}}^3}u}}{{{\rm{d}} {x^3}}} - {S_8}\frac{{{{\rm{d}}^3}\varphi }}{{{\rm{d}} {x^3}}} + {S_9}\frac{{{{\rm{d}}^4}w}}{{{\rm{d}} {x^4}}} + {S_0}\left(\frac{{{{\rm{d}}^2}w}}{{{\rm{d}} {x^2}}} + \frac{{{\rm{d}} \varphi }}{{{\rm{d}} x}}\right) - \\[-4pt]& \left(N + {N_{\rm{T}}}\right)\frac{{{{\rm{d}}^2}w}}{{{\rm{d}} {x^2}}} = {I_7}\frac{{{\rm{d}} \ddot u}}{{{\rm{d}} x\,}} - {I_8}\frac{{{\rm{d}} \ddot \varphi }}{{{\rm{d}} x\,}} + {I_1}\ddot w + {I_9}\frac{{{{\rm{d}}^2}\ddot w}}{{{\rm{d}} {x^2}\,}} \end{split}$$ (15)

      式中,各惯性系数定义为$\left\{ { {I_i}} \right\} = \int_A {\rho ({\textit{z}})\,\{ { 1,\;{\textit{z}},\;f,\;{{\textit{z}}^2},\;{\textit{z}} f,\;} }$${f^2} \}\,{\rm{d}}A$i=1, 2,···,6, ${I_7}\! =\! {I_2} - {I_3}$${I_8}\! = \!{I_6} - {I_5}$${I_9} \!= \!2{I_5} -$$ {I_4} - {I_6}$

      显然,弹性系数与惯性系数项中存在拉/压-剪切-弯曲的耦合。当式(15)中与时间$t$无关时,则退化为多孔FGM梁热-力耦合屈曲的控制方程。

      由式(14)导出的梁自然边界条件由内力式(11)化简后可得由位移分量表示的以下3种边界:

      两端固支(C-C):

      $$x = 0{\text{及}}x = L,u = \varphi = w = \frac{{{\rm{d}} w}}{{{\rm{d}} x}} = 0$$ (16)

      两端简支(S-S):

      $$x = 0{\text{及}}x = L,\frac{{{\rm{d}} u}}{{{\rm{d}} x}} = \frac{{{\rm{d}} \varphi }}{{{\rm{d}} x}} = w = \frac{{{{\rm{d}}^2}w}}{{{\rm{d}} {x^2}}} = 0$$ (17)

      左端固支-右端简支(C-S):

      $$ \left\{ {\begin{aligned} & {x = 0,u = \varphi = w = \frac{{{\rm{d}} w}}{{{\rm{d}} x}} = 0}\\& {x = L,\frac{{{\rm{d}} u}}{{{\rm{d}} x}} = \frac{{{\rm{d}} \varphi }}{{{\rm{d}} x}} = w = \frac{{{{\rm{d}}^2}w}}{{{\rm{d}} {x^2}}} = 0} \end{aligned}} \right. $$ (18)
    • 对于谐振动,位移分量可设为:

      $$\begin{split} & \left\{ {\left. { u(x,t),\varphi (x,t),w(x,t)} \right\}} \right. =\\& \qquad \left\{ {\left. { U(x),\varPsi (x),W(x)} \right\}} \right.\,{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}} \end{split}$$ (19)

      式中:$\omega $为固有频率;$U(x)$$\varPsi (x)$$W(x)$为振型位移;${\rm{i}}$为虚数单位;${\rm{e}}$为自然底数。

      将式(19)代入式(15)可得多孔FGM梁热-力耦合振动及屈曲的统一控制微分方程:

      $$ \left\{ {\begin{aligned} & {{S_1}\frac{{{{\rm{d}}^2}U}}{{{\rm{d}} {x^2}}} \!\!+ \!\!{S_3}\frac{{{{\rm{d}}^2}\varPsi }}{{{\rm{d}} {x^2}}}\! - \!\!{S_7}\frac{{{{\rm{d}}^3}W}}{{{\rm{d}} {x^3}}}\!\! +\!\! {\omega ^2}\left({I_1}U \!\!+\!\! {I_3}\varPsi \!\!-\! \!{I_7}\frac{{{\rm{d}} W}}{{{\rm{d}} x}}\right) \!\!=\! \!0,}\\& {{S_3}\frac{{{{\rm{d}}^2}U}}{{{\rm{d}} {x^2}}} + {S_6}\frac{{{{\rm{d}}^2}\varPsi }}{{{\rm{d}} {x^2}}} + {S_8}\frac{{{{\rm{d}}^3}W}}{{{\rm{d}} {x^3}}} - {S_0}\left(\frac{{{\rm{d}} W}}{{{\rm{d}} x}} + \varPsi \right) + }\\& {\qquad\quad{\omega ^2}\left({I_3}U + {I_6}\varPsi + {I_8}\frac{{{\rm{d}} W}}{{{\rm{d}} x}}\right) = 0,}\\& {{S_7}\frac{{{{\rm{d}}^3}U}}{{{\rm{d}}{x^3}}} \!-\! {S_8}\frac{{{{\rm{d}}^3}\varPsi }}{{{\rm{d}}{x^3}}} \!+\! {S_9}\frac{{{{\rm{d}}^4}W}}{{{\rm{d}}{x^4}}}\! +\! {S_0}\left(\frac{{{{\rm{d}}^2}W}}{{{\rm{d}}{x^2}}} \!+\! \frac{{{\rm{d}} \varPsi }}{{{\rm{d}}x}}\right)\! -\! (N\! + }\\& {{N_{\rm{T}}})\frac{{{{\rm{d}}^2}W}}{{{\rm{d}}{x^2}}} \!+ \!{\omega ^2}\left({I_7}\frac{{{\rm{d}} U}}{{{\rm{d}}x\,}} - {I_8}\frac{{{\rm{d}} \varPsi }}{{{\rm{d}}x\,}} \!+ \!{I_1}W \!+\! {I_9}\frac{{{{\rm{d}}^2}W}}{{{\rm{d}}{x^2}\,}}\right) \!=\! 0}\end{aligned}} \right. $$ (20)
    • 不失一般性,各参数无量纲化如下:

      $$ \left\{ {\begin{aligned} & {\{ {\,\xi \,,\,\,\bar U\,,\,\bar W\,} \} = \frac{1}{L}\{ {\,x\,,\,U\,,\,W\,} \},\bar \varPsi = \varPsi ,(\lambda ,\, \eta ) = \frac{1}{h}(L ,\,z)}\\& {{{\bar N}_{\rm{T}}} = \int_{ - 1/2}^{1/2} E (\eta ,T)\alpha (\eta ,T)\Delta T(\eta ){\rm{d}}\eta , \{ { {{\bar S}_i}} \}\, = \{ { {S_i}} \}\,/{E_{\rm{c}}}}\\& {\{ { {{\bar I}_i}} \}\, = \{ { {I_i}} \}\,/{\rho _{\rm{c}}},\bar N = \frac{{N{L^2}}}{{{E_{\rm{c}}}\,I}},{N_{\rm{cr}}} = \frac{{N{L^2}}}{{{E_{\rm{c}}}I}}}\\& {\varOmega = \omega {L^2}\sqrt {\frac{{{\rho _{\rm{c}}}A}}{{{E_{\rm{c}}}I}}} }\\[-10pt] \end{aligned}} \right. $$ (21)

      式中:${N_{\rm{cr}}}$$\varOmega $分别为无量纲临界载荷及无量纲频率;$\bar N$为无量纲轴向机械力;${\bar N_{\rm{T}}}$为无量纲热轴力;$\lambda $为梁的跨厚比;$I$为惯性矩。

    • 通过引入边界控制参数以实施C-C、C-S、S-S这3种边界梁动态响应求解的MATLAB统一化编程,进而可优化GDQ法这一数值方法。首先,基于GDQ法[20],位移振型函数在离散节点$\xi = {\xi _i}$处的$k$阶导数可表示为:

      $$\frac{{{{\rm{d}}^k}}}{{{\rm{d}}{\xi ^k}}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bar U(\xi )} \\ {\bar \varPsi (\xi )} \\ {\bar W(\xi )} \end{array}} \right\}_{\xi = {\xi _i}}} = \sum\limits_{j = 1}^N {C_{ij}^{(k)}} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar U}_j}({\xi _j})} \\ {{{\bar \varPsi }_j}({\xi _j})} \\ {{{\bar W}_j}({\xi _j})} \end{array}} \right\}$$ (22)

      式中:$C_{ij}^{(k)}$为未知振型函数$k$阶导数的权系数矩阵;$N$为离散节点的数目,节点采用余弦型划分。

      其次,这里定义$\xi = 0$$\xi = 1$处任意未知函数0阶导数的权系数:

      $$C_{1j}^{(0)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,\quad \,j = 1}\\ {0,\quad \,{\text{否则}}} \end{array},} \right.C_{Nj}^{(0)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,\quad \,j = N}\\ {0,\quad \,{\text{否则}}} \end{array}} \right.$$ (23)

      据此定义,3种梁边界对应的式(16)~式(18)可由GDQ法统一离散为:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {C_{1j}^{(n_0)}{{\bar U}_j} = 0} \\ \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {C_{1j}^{(n_0)}{{\bar \varPsi }_j} = 0} \\ {{\bar W}_1} = 0 \end{array}\\ {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {C_{1j}^{(n_0 + 1)}{{\bar W}_j} = 0} } \end{array}} \right.,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {C_{Nj}^{(n_1)}{{\bar U}_j} = 0} \\ \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {C_{Nj}^{(n_1)}{{\bar \varPsi }_j} = 0} \\ {{\bar W}_N} = 0 \end{array}\\ {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {C_{Nj}^{(n_1 + 1)}{{\bar W}_j} = 0} } \end{array}} \right.$$ (24)

      式中:$n_0 =$0或1,$n_1 =$0或1,其为引入的边界控制参数。$n_0 =$0,$n_1 =$0表示C-C梁;$n_1 =$1,$n_1 =$1表示S-S梁;$n_0 =$0,$n_1 =$1表示C-S梁。

    • 应用传统GDQ离散控制方程与边界方程后,方程总数多于振型位移未知量的数目,不能直接转化为特征值问题求解。因此本文在前期研究基础之上,采用一种改进型GDQ法(MGDQ)获得数值解[20]。由式(22)及式(24)推导易得:

      $$\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {C_{i j}^{(k)}} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar U}_j}({\xi _j})} \\ {{{\bar \varPsi }_j}({\xi _j})} \\ {{{\bar W}_j}({\xi _j})} \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {P_{i j}^{(k)}{{\bar U}_j}({\xi _j})} } \\ {\displaystyle\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {Q_{i j}^{(k)}} {{\bar \varPsi }_j}({\xi _j})} \\ {\displaystyle\sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{i j}^{(k)}} {{\bar W}_j}({\xi _j})} \end{array}} \right\}$$ (25)
      $$\left\{ {\begin{aligned}& {P_{i j}^{(k)} = C_{i j}^{(k)} + \frac{{C_{i 1}^{(k)} \cdot CUK1 + C_{i N}^{(k)} \cdot CUKN}}{{CUN}}} \\ & {Q_{i j}^{(k)} = P_{i j}^{(k)}} \\ & {R_{i j}^{(k)} = C_{i j}^{(k)} + \frac{{C_{i 2}^{(k)} \cdot CWK1 + C_{i (N - 1)}^{(k)} \cdot CWKN}}{{CWN}}} \end{aligned}} \right.$$ (26)

      式中:

      $$\left\{ {\begin{aligned}& {CUK 1 = C_{1N}^{(n_0)}C_{Nj}^{(n_1)} - C_{NN}^{(n_1)}C_{1j}^{(n_0)}} \\ & {CUKN = C_{N1}^{(n_1)}C_{1j}^{(n_0)} - C_{11}^{(n_0)}C_{ N j}^{(n_1)}} \\ & {CUN = C_{11}^{(n_0)}C_{NN}^{(n_1)} - C_{1N}^{(n_0)}C_{N1}^{(n_1)}} \end{aligned}} \right.\qquad\quad\;\;$$ (27)
      $$\left\{ {\begin{aligned}& {CWK 1 = C_{1(N - 1)}^{(n_0 + 1)}C_{Nj}^{(n_1 + 1)} - C_{N(N - 1)}^{(n_1 + 1)}C_{1j}^{(n_0 + 1)}} \\ & {CWKN = C_{N2}^{(n_1 + 1)}C_{1j}^{(n_0 + 1)} - C_{12}^{(n_0 + 1)}C_{N j}^{(n_1 + 1)}} \\ & {CWN = C_{12}^{(n_0 + 1)}C_{N(N - 1)}^{(n_1 + 1)} - C_{1(N - 1)}^{(n_0 + 1)}C_{N2}^{(n_1 + 1)}} \end{aligned}} \right.$$ (28)
    • 将式(21)代入控制方程式(20)并应用MGDQ法可统一获得C-C、C-S、S-S这3种边界多孔FGM梁热-力耦合振动及屈曲问题的无量纲离散方程:

      $$\begin{split}& {\lambda ^3}{{\bar S}_1}\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {P_{ij}^{(2)}} {{\bar U}_j} + {\lambda ^2}{{\bar S}_3}\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {Q_{ij}^{(2)}} {{\bar \varPsi }_j} - {\lambda ^2}{{\bar S}_7}\sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(3)}} {{\bar W}_j} + \\& \qquad\frac{{{\varOmega ^2}}}{{12}}\left( {\lambda {{\bar I}_1}{{\bar U}_i} + {{\bar I}_3}{{\bar \varPsi }_i} - {{\bar I}_7}\sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(1)}} {{\bar W}_j}} \right) = 0,\\& \qquad i = 2\,,\,3\,,\, \cdots \,,\,N - 1\\& {\lambda ^3}{{\bar S}_3}\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {P_{ij}^{(2)}} {{\bar U}_j} + {\lambda ^2}{{\bar S}_6}\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {Q_{ij}^{(2)}} {{\bar \varPsi }_j} + {\lambda ^2}{{\bar S}_8}\sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(3)}} {{\bar W}_j} - \\& \qquad{\lambda ^4}{{\bar S}_0}({{\bar \varPsi }_i} + \sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(1)}} {{\bar W}_j}) + \\[-5pt]&\qquad \frac{{{\varOmega ^2}}}{{12}}\left( {\lambda {{\bar I}_3}{{\bar U}_i} + {{\bar I}_6}{{\bar \varPsi }_i} + {{\bar I}_8}\sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(1)}} {{\bar W}_j}} \right) = 0,\\& \qquad i = 2\,,\,3\,,\, \cdots \,,\,N - 1\\& {\lambda ^3}{{\bar S}_7}\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {P_{ij}^{(3)}} {{\bar U}_j} - {\lambda ^2}{{\bar S}_8}\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {Q_{ij}^{(3)}} {{\bar \varPsi }_j} + {\lambda ^2}{{\bar S}_9}\sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(4)}} {{\bar W}_j} +\\& \qquad {\lambda ^4}{{\bar S}_0}\left(\sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(2)}} {{\bar W}_j} + \sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {Q_{ij}^{(1)}} {{\bar \varPsi }_j}\right) - \left(\frac{{{\lambda ^2}\bar N}}{{12}} + {\lambda ^4}{{\bar N}_{\rm{T}}}\right)\cdot \\[-5pt]& \qquad \sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(2)}} {{\bar W}_j} +\frac{{{\varOmega ^2}}}{{12}}\left( {\lambda {{\bar I}_7}\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {P_{ij}^{(1)}} {{\bar U}_j} - } \right.\\[-5pt]& \qquad \left. {{\bar I}_8}\sum\limits_{j = 2}^{N - 1} {Q_{ij}^{(1)}} {{\bar \varPsi }_j} + {\lambda ^2}{{\bar I}_1}{{\bar W}_i}+{ {{\bar I}_9}\sum\limits_{j = 3}^{N - 2} {R_{ij}^{(2)}} {{\bar W}_j}} \right) = 0,\\& \qquad i = 3\,,\,4\,,\, \cdots \,,\,N - 2\\[-10pt] \end{split}$$ (29)
    • 通过应用MGDQ法离散化后,方程组式(29)可化为标准特征值:

      $$\{ {\;[ {{K}} ] - [ {{{{K}}_{\rm{N}}}} ] - [ {{{{K}}_{\rm{T}}}} ] - {\varOmega ^2}[ {{M}} ]\;} \}\,\{ {{X}} \} = \{ {\,{\bf{0}}\,} \}$$ (30)

      式中:$\left[ {{K}} \right]$为弹性刚度矩阵;$\left[ {{M}} \right]$为质量矩阵;$\left[ {{{{K}}_{\rm{T}}}} \right]$$\left[ {{{{K}}_{\rm{N}}}} \right]$分别为热载荷及轴向机械力作用对应的刚度矩阵;$\left\{ {{X}} \right\}$为节点位移列向量:

      $$\begin{split} \left\{ {{X}} \right\} = &\{ {{\bar U}_2}\,,\,{{\bar U}_3}\,,\, \cdots \,,\,{{\bar U}_{N - 1}}\,,\,\,{{\bar \varPsi }_2}\,,\,{{\bar \varPsi }_3}\,,\, \cdots \,,\,{{\bar \varPsi }_{N - 1}}\,,\,\\& {{\bar W}_3}\,,\,{{\bar W}_4}\,,\, \cdots \,,\,{{\bar W}_{N - 2}}{\} ^{\rm T}} \end{split}$$

      求解式(30)的特征值问题可获得频率和相应的振型;通过振动与屈曲的二元耦联性,编写MATLAB循环子程序可求解得出临界载荷、临界升温值及临界跨厚比等重要参数指标。

    • 首先,将问题退化,令β=0, 作为本文算例数值结果的有效性验证:考虑了LTR及NLTR这2种升温类型,表2给出了C-C、C-S及S-S这3种边界下无孔FGM梁(p=1, λ=20, ΔT=20 K, n=3)的无量纲基频$ \varOmega_1 $。本文采用MGDQ法得出的结果与文献[6]采用SSM、文献[21]采用DTM分析获得的结果基本吻合。

      表 2  FGM梁无量纲基频的结果比较

      Table 2.  Comparison of dimensionless fundamental frequencies of FGM beams.

      边界条件升温类型文献[6]文献[21]本文
      C-C LTR 13.1554 13.3671 13.2237
      NLTR 13.1579 13.3558 13.2243
      C-S LTR 9.0635 9.1227 9.11159
      NLTR 9.0669 9.1178 9.11234
      S-S LTR 5.7588 5.7114 5.76204
      NLTR 5.7632 5.7124 5.76942

      其次,图2反映了NLTR下FGM固支长梁(p=1, λ=20, ΔT=20 K)的基频$ \varOmega_1 $随GBT阶数$n$变化的关系曲线:总的来看,$ \varOmega_1 $随阶数$n$的变化波动极小,换言之,不同梁理论对FGM长梁基频的预测值相差无几;取$n = 2 , 4 , 6\,\cdots $偶数时略微高于取$n = 3 , 5, 7\,\cdots $奇数时预测的基频;$n$=2与$n$=3(TBT)预测的基频值分别为最大和最小,而CBT($n$=1)预测值介于其间,极差仅为0.06666,CBT相对TBT的预测误差为0.3363%;随着$n$的增加,基频$ \varOmega_1 $趋于FSBT的预测值。

      图3给出了NLTR下FGM固支短梁(p=1, λ=5, ΔT=20 K)的无量纲临界载荷Ncr与GBT阶数$n$之间的关系曲线:CBT相对于TBT明显高估临界载荷,相对误差可达7.05967%,其不容小觑。这是由于剪切作用对短梁影响明显,而CBT忽略了剪切变形作用的影响,故而明显高估了临界载荷。综上所述,为提高梁理论预测值的精确性并便于在工程中使用,GBT阶数宜取$n \geqslant 3$的奇数最为理想。

      图  2  NLTR升温下FGM固支梁的无量纲基频$ \varOmega_1 $与GBT阶数n的关系曲线

      Figure 2.  Curve of non-dimensional fundamental frequency $ \varOmega_1 $ of FGM C-C beam under NLTR versus order n of GBT

      图  3  NLTR升温下FGM固支梁的无量纲临界载荷Ncr与GBT阶数n的关系曲线

      Figure 3.  Curve of non-dimensional critical load Ncr of FGM C-C beam under NLTR versus order n of GBT

    • 本节重点探讨热-力耦合作用下多因素(参数)对多孔FGM梁振动与屈曲特性的影响以及这两种力学行为之间的二元耦联性(取n=3)。

      图4考虑了无孔(β=0.0)和含孔(β=0.2)两种孔隙率,刻画了3种边界FGM梁(p=1, λ=20, ΔT=0)的频率-轴向力($ \varOmega_1 $-$\bar N$)关系曲线:各$ \varOmega_1 $曲线均随轴压力$\bar N$的增加而单调减小,当$\bar N$=Ncr时,$ \varOmega_1 $=0,此时FGM梁发生屈曲;对同一孔隙率的这3种边界梁而言,C-C梁的Ncr值为最大,其最不易失稳,C-S粱次之,而S-S梁最易失稳;对同一边界梁而言:由于孔隙明显削弱了梁的整体刚度,进而含孔比无孔更易使FGM梁发生屈曲;特别地,当$\bar N$=0时,同一边界两种孔隙下$ \varOmega_1 $值基本接近,无孔比含孔梁的$ \varOmega_1 $值略微偏高。这是由于孔隙不仅削弱了梁的整体刚度,同时也降低了梁的整体质量,刚度弱化强于质量弱化。从负半轴来看:各$ \varOmega_1 $曲线值均随轴拉力$\bar N$的增加而增大,且随着轴拉力$\bar N$的增加,同一边界下含孔比无孔梁的基频$ \varOmega_1 $值反而更高。这是因为轴拉力增加削弱了梁的弯曲变形而提高了梁的整体刚度,另一方面,孔隙降低了梁的整体质量,故而含孔FGM梁的$ \varOmega_1 $值此时反而更大。

      图  4  无量纲基频Ω1与无量纲轴向载荷$\bar N$关系曲线

      Figure 4.  Curves of dimensionless fundamental frequency Ω1 versus non-dimensional axial load$\bar N$

      为了便于下文分析,图5反映了FGM梁(p=1, β=0.0)在3种不同温度分布下弹性模量系数S1随升温ΔT的变化:3种温度分布对应的S1值均随升温ΔT的增加而明显减小;升温ΔT相同时,UTR分布下S1值减小最为显著,LTR分布次之,NLTR分布最为缓和;升温值ΔT较小时(如ΔT ≤ 150 K),LTR和NLTR对应的S1值十分接近;其他各弹性系数SiTS1T具有相类似的变化关系,即各弹性系数Si随ΔT的增加而减小,进而梁的弹性刚度也就降低了。另一方面,ΔT增加,增大的热轴力弱化了梁的整体刚度。综上分析可知:FGM梁的整体刚度随升温ΔT的增加而减小了。同时注意到各惯性系数Ii并不随升温而改变,进而梁的整体等效质量也不随升温而改变,因此,无孔FGM梁的$ \varOmega_1 $Ncr都随ΔT的增加而减小;升温相同时,NLTR分布使梁的频率、屈曲临界载荷及临界升温值减小最为缓和,LTR分布次之,UTR分布使其减小则最为明显;ΔT较小时,如ΔT=20 K,LTR与NLTR分布下同一边界FGM梁的基频值相差很小,表2的数值结果则正好验证了该点。

      图  5  不同温度分布下弹性系数S1与升温ΔT关系曲线

      Figure 5.  Curves of elastic coefficient S1 versus temperature rise ΔT under different temperature distributions

      图6主要用于FGM梁在热环境中两种力学行为之间的二元耦联性探讨。图6(a)刻画了热载荷作用下无孔FGM梁(p=1, λ=20, β=0)自由振动的$ \varOmega_1 $T曲线,图6(b)则给出了该梁热-力耦合屈曲的NcrT曲线。首先,本算例中,边界条件、温度分布、升温对$ \varOmega_1 $Ncr的影响上文已有详述,这里不再赘述。其次,由$ \varOmega_1 $TNcrT两类曲线不难看出:$ \varOmega_1 $Ncr都随升温ΔT的增加而单调减小,直至达到临界升温值ΔTcr而发生热屈曲,此时,$ \varOmega_1 $=0,Ncr=0。计算结果表明:相同参数下两类曲线与横轴ΔT交于同一点,即该点的横坐标值为热屈曲ΔTcr。这是因为对梁的热-力耦合屈曲而言,随着ΔT的增加,热轴力增大,当ΔTTcr时,热轴力值刚好达到使梁发生屈曲的临界压力,临界失稳载荷此时完全由热轴力提供,进而Ncr=0。另一方面,热屈曲为临界平衡状态,故而此时$ \varOmega_1 $=0。换言之,热屈曲关联了两种力学行为,进而也表明了耦合条件下两种力学行为之间的耦联性。最后,作为ΔTcr值的有效性验证,文献[6]考虑了温度LTR分布:ΔTcr=1062.5 K (C-C)、612.5 K (C-S)、328.1 K (S-S);本文结果:ΔTcr=1065.9 K (C-C)、617.6 K (C-S)、332.9 K (S-S),两者最大相对误差不超过1.5%,吻合较好。特别注意到:C-S (LTR)比C-C (UTR),S-S (LTR)比C-S (UTR)对应的ΔTcr值偏高,这是约束边界和温度分布共同作用影响的结果。

      图  6  无量纲基频$ \varOmega_1 $及临界载荷Ncr与升温ΔT关系曲线

      Figure 6.  Curves of dimensionless fundamental frequency $ \varOmega_1 $ and critical load Ncr versus temperature rise ΔT

      图7图8考虑了LTR升温及4种孔隙率β=0.00, 0.10, 0.15, 0.20, 分别刻画了FGM C-S梁(p=2, λ=20)的$ \varOmega_1 $T曲线及NcrT曲线:两类曲线的$ \varOmega_1 $Ncr值都随ΔT的增加而单调减小,直至达到ΔTcr时发生热屈曲使$ \varOmega_1 $=Ncr=0,其ΔTcr=575.1 K (β=0.00)、628.8 K (β=0.10)、658.9 K (β=0.15)、693.6 K (β=0.20),其极差可达118.5 K。

      图  7  无量纲基频$ \varOmega_1 $与线性升温ΔT关系曲线

      Figure 7.  Curves of dimensionless fundamental frequency $ \varOmega_1 $ versus linear temperature rise ΔT

      图  8  无量纲临界载荷Ncr与线性升温ΔT关系曲线

      Figure 8.  Curves of dimensionless critical load Ncr versus linear temperature rise ΔT

      当升温值ΔT较小时(如0≤ ΔT≤ 200 K),从两类曲线的疏密程度来看,$ \varOmega_1 $曲线比较密集,Ncr曲线明显疏离,取相同的ΔT值,β越大,Ncr越小,梁越易达到热-力耦合临界失稳,但$ \varOmega_1 $减小甚微。从Ncr线的斜率来看,β越小,Ncr值减小越快,进而随着ΔT的增加,两种孔隙率β取值的Ncr线将交于一点。

      当升温ΔT值较大时(如ΔT ≥ 500 K),两类曲线明显都疏离,取相同的ΔT值,β越大,$ \varOmega_1 $Ncr值均越大,孔隙率越小的梁反而更易达到热-力耦合临界失稳。随着升温ΔT继续增加,热轴力将继续增大,直至达到各自的热屈曲临界平衡状态。不难看出,β越大,ΔTcr也越大,即孔隙越小,FGM梁更易达到热屈曲而失稳。

      综上所述,在升温的初始阶段(ΔT较小),热轴力本身较小,增大孔隙率,热轴力进一步被削弱,它对梁的整体刚度的削弱影响更小了,另一方面,孔隙率增大同时弱化了梁的整体刚度和有效质量,两者弱化程度相当时,$ \varOmega_1 $则随β的增大其影响十分有限。由于梁整体刚度的减少,这一阶段Ncrβ的增大而减小。在升温增加的后期(ΔT较大),热轴力增大将明显削弱梁的整体刚度,另一方面,孔隙率增大削弱了热轴力,则热轴力对梁整体刚度弱化的程度减小了,换言之,在该阶段升温ΔT相同条件下,对较大与较小的两种孔隙率梁而言,前者的整体刚度高于后者,进而使前者达到耦合屈曲所需额外的机械载荷值就更大一些,达到热屈曲时的热轴力也更大一些,故而β越大,Ncr和ΔTcr都越大。同时注意到前者的等效质量低于后者,故而β越大,$ \varOmega_1 $也就越大。

      在同一坐标系下,图9刻画了NLTR升温ΔT时梯度指标p对多孔FGM C-S梁(β=0.1, λ=20, $\bar N$=10) $ \varOmega_1 $Ncr的影响:首先,3种梯度指标值对应的两类曲线$ \varOmega_1 $Ncr值都随NLTR升温ΔT的增加而单调减小,直至达到各自的临界升温值ΔTcr而耦合失稳,且两类对应曲线与横轴交于同一点,该ΔTcr值分别为508.3 K (p=0)、285.4 K (p=1)、136.8 K (p=10),本算例也表明了热-力耦合屈曲与耦合振动这两类力学行为之间的二元耦联性。其次,取相同的升温值(ΔT≤ 136.8 K),p值越大,$ \varOmega_1 $Ncr值越小,即$ \varOmega_1 $Ncr值都随p的增大而减小。这是由于随着p的增大,陶瓷(Si3N4)成份减少而降低了梁的整体刚度,进而ΔTcr值也随p的增加而减小了。

      图  9  热-力耦合作用下多孔FGM C-S梁无量纲基频$ \varOmega_1 $及临界载荷Ncr与非线性升温ΔT的关系曲线

      Figure 9.  Curves of dimensionless fundamental frequency $ \varOmega_1 $ and buckling load Ncr of porous FGM C-S beam subjected to thermal-mechanical loads versus nonlinear temperature rise ΔT

      图10考虑了NLTR升温ΔT=300 K及3种梯度指标p=0, 1, 10,在同一坐标系下,刻画了热-力耦合下多孔FGM C-S梁(β=0.10, $\bar N$=10) $ \varOmega_1 $Ncr随跨厚比λ的影响关系曲线:随着λ的增加,两类曲线$ \varOmega_1 $Ncr值均先增加,随后单调减小,直至达到热-力耦合屈曲相应的临界跨厚比${\lambda _{\rm{cr}}}$而失稳,该值分别为:27.0 (p=0)、19.7 (p=1)、13.1 (p=10)。且计算结果表明:3种梯度指标p所对应曲线的驻点值$\lambda $虽有所不同,但均$\lambda $≤10,这通常定义为短梁的界限范围,换言之,对长梁来说,$ \varOmega_1 $Ncr都随λ的增大而单调减小,直至屈曲时$ \varOmega_1 $=Ncr=0。这是由跨厚比、梯度指标、热-力耦合效应共同影响导致的。此外,不难看出,p值越大,${\lambda _{\rm{cr}}}$值越小,即${\lambda _{\rm{cr}}}$也随着陶瓷(Si3N4)成份的减少而迅速降低了。

      图  10  热-力耦合作用下多孔FGM C-S梁无量纲基频$ \varOmega_1 $及临界载荷Ncr与跨厚比的关系曲线

      Figure 10.  Curves of dimensionless fundamental frequency $ \varOmega_1 $ and buckling load Ncr of porous FGM C-S beam subjected to thermal-mechanical loads versus slenderness ratios λ

    • 首先,在Hamilton体系下统一建立了描述多孔FGM梁热-力耦合振动与屈曲问题力学模型的控制方程。为了便于解耦并提高计算效率,通过引入边界控制参数,实施了3种典型边界梁动态响应MGDQ法求解的MATLAB统一化编程。基于两类问题的二元耦联性解耦,通过循环子程序求解屈曲响应,避免了再次解耦,二次提高了计算效率。问题退化后的数值结果对比表明:该分析方法行之有效,具有精度高、高效且易实施、计算工作量小、通用性好等优点。

      其次,算例结果表明:热-力耦合作用下多孔FGM梁的频率、临界载荷、临界升温值、临界跨厚比等重要指标受多因素共同的影响,其影响作用机理也表现出复杂的耦合特性。

      (1) 只有机械载荷作用时,含孔比无孔更易使FGM梁发生屈曲;考虑热-力耦合作用时,在升温值增加的前期,孔隙率越大,临界载荷明显越小,频率则略有减少;在升温值增加的后期,孔隙率越大,临界载荷及频率反而越大,达到热屈曲时,临界升温值也越大。

      (2) 热-力耦合作用下多孔FGM梁的频率和临界载荷随跨厚比的增加先增大,随后单调减小,直至达到耦合屈曲临界跨厚比时而失稳。

      最后,GBT具有重要的理论和工程应用价值,建议推广并在工程中使用。

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