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并联式单向单颗粒阻尼器力学模型及优化分析

闫维明 王宝顺 何浩祥

闫维明, 王宝顺, 何浩祥. 并联式单向单颗粒阻尼器力学模型及优化分析[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
引用本文: 闫维明, 王宝顺, 何浩祥. 并联式单向单颗粒阻尼器力学模型及优化分析[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
Wei-ming YAN, Bao-shun WANG, Hao-xiang HE. MECHANICAL MODEL AND OPTIMAL ANALYSIS OF PARALLEL SINGLE-DIMENSIONAL SINGLE PARTICLE DAMPER[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
Citation: Wei-ming YAN, Bao-shun WANG, Hao-xiang HE. MECHANICAL MODEL AND OPTIMAL ANALYSIS OF PARALLEL SINGLE-DIMENSIONAL SINGLE PARTICLE DAMPER[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487

并联式单向单颗粒阻尼器力学模型及优化分析

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
基金项目: 国家自然科学基金项目(51978021,51878017);国家重点研发计划项目(2017YFC1500604,2017YFC1500603)
详细信息
    作者简介:

    闫维明(1960−),男,黑龙江人,教授,博士,主要从事结构隔震、减震与振动控制研究(E-mail: yanwm@bjut.edu.cn)

    王宝顺(1991−),男,甘肃人,博士生,主要从事结构振动控制研究(E-mail: wangbaoshun@emails.bjut.edu.cn)

    通讯作者: 何浩祥(1978−),男,辽宁人,教授,博士,主要从事结构抗震减震及健康监测研究(E-mail: hhx7856@163.com)
  • 中图分类号: TU352.1

MECHANICAL MODEL AND OPTIMAL ANALYSIS OF PARALLEL SINGLE-DIMENSIONAL SINGLE PARTICLE DAMPER

  • 摘要: 针对目前颗粒阻尼器的不足及土木工程减震的需求,提出并联式单向单颗粒阻尼器(Parallel Single-Dimensional Single Particle Damper, PSSPD)。在剖析PSSPD减振机理且全面考虑颗粒的受力状态的基础上,建立其力学模型并提出一种高效的变步长数值计算方法。针对简谐激励,获得PSSPD-单自由度结构系统处于稳定、对称、周期碰撞状态时的系统位移响应解析表达,并在该结果的基础上分析各参数对PSSPD性能的影响及颗粒运动最优间距的与其它参数的关系,对其准确性进行验证。提出PSSPD在地震动中的优化分析方法并对其合理性和准确性也进行验证,并研究在最优设计参数和不同场地地震动作用下PSSPD对结构的减震效果。结果表明:因PSSPD属于加速度(力)相关性阻尼器,只要颗粒发生碰撞就会转移受控结构的能量,而地震动频谱的丰富性和随机性增强了颗粒发生碰撞的概率,PSSPD对不同场地下的地震动均有良好的减震效果,且场地效应对其减震效果影响不明显,更加适用于中低层结构。
  • 图  1  颗粒阻尼器示意图

    Figure  1.  Schematic diagram of particle damper

    图  2  PSSPD力学模型

    Figure  2.  Mechanical model of PSSPD

    图  3  PSSPD数值分析流程

    Figure  3.  Flow chart of numerical analysis of PSSPD

    图  4  受控结构响应减振率随η的变化曲线

    Figure  4.  Relationship of damping rate and η

    图  5  工况III下受控结构响应时程曲线

    Figure  5.  Response history of controlled structural under case III

    图  6  工况III下颗粒响应时程曲线

    Figure  6.  Response history of particle response under case III

    图  7  工况III下位移功率谱

    Figure  7.  Displacement power spectrum under case III

    图  8  最优间距dop随激励强度及激励频率的变化规律

    Figure  8.  Variation of dop with excitation intensity and frequency

    图  9  S1波作用下受控结构响应时程

    Figure  9.  Response history of controlled structural subjected to S1 wave

    图  10  S1波作用下颗粒响应时程

    Figure  10.  Response history of particle subjected to S1 wave

    图  11  受控结构减震效果随η的变化曲线

    Figure  11.  Curve of damping rate of structural response with η

    图  12  S1波作用下η=1时位移功率谱

    Figure  12.  Displacement power spectrum for η=1 subjected to S1

    图  13  PSSPD对不同周期结构的减震效果

    Figure  13.  Damping effect of PSSPD on different structures

    表  1  阻尼颗粒参数

    Table  1.   Particle parameters

    工况质量
    μ
    颗粒
    半径r/mm
    颗粒
    个数np
    恢复
    系数e
    滚动
    摩擦系数
    μf/mm
    频率
    g1
    激励
    幅值
    p0/g
    颗粒运动
    最优间距
    dop/mm
    I0.0136150.60.050.90.2522.0
    II0.0236300.20.051.00.2525.6
    III0.0136150.80.051.10.2020.2
    IV0.0136300.60.051.20.2019.6
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    表  2  地震动信息

    Table  2.   Information of ground motion

    地震动测站编号发生时间震级峰值加速度/(cm/s2)持时/s
    San FernandoLA-Hollywood Stor FFS119716.6191.0379.44
    Cape-MendocinoCpm-Cape MendocinoS219927.0146.8359.98
    Northern Calif-04Ferndale City HallS319605.7106.6392.97
    下载: 导出CSV
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-08-27
  • 修回日期:  2020-02-28
  • 网络出版日期:  2020-05-21

并联式单向单颗粒阻尼器力学模型及优化分析

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
    基金项目:  国家自然科学基金项目(51978021,51878017);国家重点研发计划项目(2017YFC1500604,2017YFC1500603)
    作者简介:

    闫维明(1960−),男,黑龙江人,教授,博士,主要从事结构隔震、减震与振动控制研究(E-mail: yanwm@bjut.edu.cn)

    王宝顺(1991−),男,甘肃人,博士生,主要从事结构振动控制研究(E-mail: wangbaoshun@emails.bjut.edu.cn)

    通讯作者: 何浩祥(1978−),男,辽宁人,教授,博士,主要从事结构抗震减震及健康监测研究(E-mail: hhx7856@163.com)
  • 中图分类号: TU352.1

摘要: 针对目前颗粒阻尼器的不足及土木工程减震的需求,提出并联式单向单颗粒阻尼器(Parallel Single-Dimensional Single Particle Damper, PSSPD)。在剖析PSSPD减振机理且全面考虑颗粒的受力状态的基础上,建立其力学模型并提出一种高效的变步长数值计算方法。针对简谐激励,获得PSSPD-单自由度结构系统处于稳定、对称、周期碰撞状态时的系统位移响应解析表达,并在该结果的基础上分析各参数对PSSPD性能的影响及颗粒运动最优间距的与其它参数的关系,对其准确性进行验证。提出PSSPD在地震动中的优化分析方法并对其合理性和准确性也进行验证,并研究在最优设计参数和不同场地地震动作用下PSSPD对结构的减震效果。结果表明:因PSSPD属于加速度(力)相关性阻尼器,只要颗粒发生碰撞就会转移受控结构的能量,而地震动频谱的丰富性和随机性增强了颗粒发生碰撞的概率,PSSPD对不同场地下的地震动均有良好的减震效果,且场地效应对其减震效果影响不明显,更加适用于中低层结构。

English Abstract

闫维明, 王宝顺, 何浩祥. 并联式单向单颗粒阻尼器力学模型及优化分析[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
引用本文: 闫维明, 王宝顺, 何浩祥. 并联式单向单颗粒阻尼器力学模型及优化分析[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
Wei-ming YAN, Bao-shun WANG, Hao-xiang HE. MECHANICAL MODEL AND OPTIMAL ANALYSIS OF PARALLEL SINGLE-DIMENSIONAL SINGLE PARTICLE DAMPER[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
Citation: Wei-ming YAN, Bao-shun WANG, Hao-xiang HE. MECHANICAL MODEL AND OPTIMAL ANALYSIS OF PARALLEL SINGLE-DIMENSIONAL SINGLE PARTICLE DAMPER[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.08.0487
  • 颗粒阻尼器是将颗粒材料按某一填充率放入结构内部或特定的空腔容器中而形成的耗能装置[1-2]。在主体结构振动过程中,颗粒与腔体之间、颗粒与颗粒之间将不断地发生碰撞和摩擦,不但有动量交换,而且能够消耗系统的动能,从而达到减轻结构振动的目的[3]。颗粒阻尼器具有布置灵活、可提供分布式阻尼、减振频带宽、鲁棒性强和成本低等优点。根据颗粒阻尼器中的颗粒数目,可以分为单颗粒阻尼器[4]及多颗粒阻尼器[5],其减振机理及减振效果均存在差异。

    单颗粒阻尼器的研究始于Lieber[4]的工作,其将阻尼颗粒与腔体每次碰撞假设为完全塑性碰撞。而Grubin[6]将阻尼颗粒与腔体的碰撞视为非弹性碰撞,并将两者的碰撞恢复系数引入到该分析中,即考虑了碰撞过程中的能量损失,在此基础上建立了单颗粒阻尼器理论模型。Masri等[7-8]推导了附加单颗粒阻尼器的受控结构在周期激励下稳态振动时的解析解,并分析了其运动稳定性。上述关于单颗粒阻尼器的理论模型主要适用于机械、航空等领域,闫维明等[9-11]在Masri等所建立单颗粒阻尼器力学模型的基础上考虑了颗粒与受控结构之间摩擦的影响并对其性能进行对比研究,结果表明考虑摩擦效应之后单颗粒阻尼器的减振效果有所降低。这是因为考虑摩擦效应之后,颗粒的运动将减缓,颗粒与主体结构之间的能量交换效率会降低,因此在低频低幅的土木工程中不应忽略摩擦力对颗粒阻尼器的影响。传统单颗粒阻尼器的理论模型具有强非线性,因而只能在稳态振动且假设受控结构每个振动周期内其与颗粒发生两次对称碰撞的情况下获得解析解。数值模拟能更加准确地模拟单颗粒阻尼器的性能。文献[12]以单层钢框架结构为例,对单颗粒阻尼器性能进行数值模拟,分别研究了各性能参数对颗粒阻尼性能的影响规律。此外,研究者进行了各种单颗粒阻尼器的试验研究。Veluswami和Crossley等[13-14]采用三种不同的材料做阻尼器内部碰撞板的涂层,发现软质材料的恢复系数较小,在共振时提供的附加阻尼也小。Saeki[15]研究了简谐激励下单颗粒阻尼器的响应,确定了颗粒运动最优间距。

    由于单颗粒阻尼器在碰撞时会产生较大的噪音和冲击力,因此有研究者采用大量小颗粒来代替单颗粒,从而产生了多颗粒阻尼器。在多单颗粒阻尼器的研究方面,Friend和Kinra[16]以附加多颗粒阻尼器的悬臂梁为研究对象,通过将多颗粒模拟为一个凝聚的质量块,将各种机理引起的能量耗散整合为“有效恢复系数”,该系数可由试验结果拟合得到。Wu等[17]将多相流体理论引入颗粒阻尼器分析,建立了相关理论模型。徐志伟等[18]以附加多颗粒阻尼器的等截面梁为研究对象,从颗粒的摩擦和冲击两个方面建立其减振理论模型。也有学者将多颗粒阻尼器等效为单颗粒阻尼器[19]、Tuned Mass Damper (TMD)[20]或Double Tuned Mass Damper (DTMD)[21],并对其性能进行对比研究。多颗粒阻尼器减振机理与性能的理论研究涉及颗粒之间、颗粒与腔体之间的相互作用,由于阻尼器具有高度非线性特征,很难获得受控结构的解析解。尽管上述理论研究取得一定成果,但主要是基于试验现象,故结论普适性差、较难推广。因此,研究者主要通过数值模拟和试验来探究多颗粒阻尼器的减振机理与性能。如回归模型法[22]、恢复力曲面法[23]、功率输入法[24]、神经网络法[25]及离散单元法[3]等。数值模拟方法的确具有能够高度模拟非线性效应等优点,但目前仍存在许多不足之处,如计算参数难以确定和计算效率过低等。此外,众多学者对多颗粒阻尼器进行了大量试验研究,分析其减振机理及性能与效果。例如唐伟等[26]对附加多颗粒阻尼器的悬臂梁进行减振实验,考查了空腔尺寸对该阻尼器的影响规律,得到了二维颗粒阻尼在水平和竖直两个方向上的分量近似相等的特性。Lu等[27]将多颗粒阻尼器设置于多层结构体系中进行动力响应的振动台试验研究,结果表明附加很小质量比的颗粒阻尼器即可以减小主体结构的响应,但是其减震性能受到输入激励特性的影响,且对多自由度结构的高阶振型的控制效果明显不足。闫维明等[28]通过多颗粒阻尼器减振机理与性能的系列试验研究明晰了其减振性能以及各因素对性能的基本影响规律。同时闫维明等[29-30]也进行了附加多颗粒阻尼器的减震高架连续梁桥与长周期自锚式悬索桥的振动台试验,表明颗粒阻尼器在低频振动中具有良好的减震效果。关于颗粒阻尼器参数的优化分析,由于影响颗粒阻尼器的性能的参数较多,因此目前采用智能算法,例如粒子群算法[31]、遗传算法[32]等,但是存在计算量大、缺乏力学机理等缺点。

    尽管目前关于单颗粒阻尼器与多颗粒阻尼器减振机理、性能及减振效果的研究较丰富,但是对于体量较大的土木工程的抗震减震而言,应用单颗粒阻尼器时易因颗粒的直径太大导致颗粒难以启振或受限于工程空间而不易实现;多颗粒阻尼器虽然也有良好的减振效果,但是阻尼器腔体中颗粒数量增多时会限制有效运动,导致颗粒与受控结构之间动量交换效率降低。此外,当颗粒与受控结构发生斜碰撞时也会降低动量交换效率。因此亟需对传统的颗粒阻尼器构造进行改进并建立更加准确完备的计算方法。

    有鉴于此,本文提出一种针对土木工程减震需求的并联式单向单颗粒阻尼器(Parallel Single-Dimensional Single Particle Damper, PSSPD),首先从力学机制入手,建立了PSSPD力学模型,然后提出其数值分析,并基于PSSPD在简谐激励下的解析解获得了颗粒运动最优间距表达式,进而建立PSSPD在地震动中的参数优化方法,最后对附加PSSPD的不同受控结构在不同场地地震动作用下的减震效果进行了对比分析,最终验证了该阻尼器的特点和优势。

    • 传统的单颗粒阻尼器的构造如图1(a)所示,若将其直接应用于土木工程结构,由于颗粒直径过大,难以满足工程需求。为了减小冲击力与噪声,可将多颗粒代替单颗粒,如图1(b)所示,但其启振条件较苛刻,在振动中颗粒会产生堆积效应,限制自身运动,导致颗粒与受控结构之间动量交换的效率偏低,且理论分析与数值模拟较复杂。针对土木工程的需求及目前应用不足,本文提出了PSSPD,其构造如图1(c)图2所示。为了减小颗粒半径与增加颗粒与受控结构之间动量交换的效率,该阻尼器由多个颗粒组成,但每个颗粒均有独立腔体,且在侧壁约束下只能单向运动。该阻尼器布置位置灵活,可分散布置。

      图  1  颗粒阻尼器示意图

      Figure 1.  Schematic diagram of particle damper

      图  2  PSSPD力学模型

      Figure 2.  Mechanical model of PSSPD

      对于PSSPD,颗粒在阻尼器腔体中存在以下三种运动状态:1) 颗粒与受控结构不发生相对运动,颗粒作为附加质量参与结构振动;2) 颗粒与结构发生相对运动,但与腔体不发生碰撞,即阻尼器主要通过颗粒与腔体间的摩擦产生的阻尼效应减轻结构振动;3) 颗粒与结构间发生碰撞,阻尼器通过颗粒与腔体之间摩擦与碰撞产生的阻尼效应以及两者之间的动能调谐来减轻结构的振动。根据文献[9]的结果可认为在颗粒与腔体壁发生正碰撞时,颗粒与腔体壁之间切向碰撞刚度的影响可忽略不计。

      基于上述对PSSPD运动状态以及碰撞过程的分析,本文建立了如图2所示的力学模型。其中,m1c1k1分别为受控结构质量、阻尼系数和刚度,m2为颗粒质量,${\ddot x_g}$为地震动加速度,x1${\dot x_1}$${\ddot x_1}$分别为受控结构的位移、速度和加速度,x2${\dot x_2}$${\ddot x_2}$分别为颗粒的位移、速度和加速度,d为颗粒运动间距。

    • 由于在实际工程中可使PSSPD的各颗粒与阻尼器腔体的属性相同,因此当受控结构振动时,同一瞬时各颗粒的运动状态均相同。根据上述分析建立PSSPD在地震动作用下的运动方程。

      1) 颗粒与受控结构之间不发生相对运动,其中依据颗粒与受控结构之间是否存在运动趋势,分为两种情况:

      ① 两者之间没有相对运动趋势,即颗粒与结构运动同步,仅作为受控结构的附加质量共同振动,判断条件为:$\left| {{{\ddot x}_1}} \right| < {{\mu _{\rm {f}}g} / r}$${\dot x_1} = {\dot x_2}$,且$\left| \delta \right| = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| < {d / 2}$,其中:μf为滚动摩擦系数,g为重力加速度,r为颗粒的半径,δ为颗粒与受控结构的相对位移。该情况下,附加PSSPD的受控结构运动方程为:

      $$( {{m_1} + {n_p}{m_2}} ){\ddot x_1} + {c_1}{\dot x_1} + {k_1}{x_1} = - ( {{m_1} + {n_p}{m_2}} ){\ddot x_g}$$ (1)

      式中,np为颗粒个数。

      ② 两者之间存在相对运动趋势,颗粒与结构之间会产生静摩擦力,判断条件为:$\left| {{{\ddot x}_1}} \right| < {{{\mu _{\rm {f}}}g} / r}$${\dot x_1} \ne {\dot x_2}$,且$\left| \delta \right| < {d / 2}$。该情况下,附加PSSPD的受控结构运动方程为:

      $$\left\{ \begin{array}{l} {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {k_1}{x_1} + {n_p}{f_{\rm {s}}} = - {m_1}{{\ddot x}_g} \\ {m_2}{{\ddot x}_2} - {f_{\rm {s}}} = 0 \\ \end{array} \right.$$ (2)

      式中,fs为颗粒与受控结构之间的静摩擦力,应对其取值及方向进行判断,具体情况如下:

      当颗粒与受控结构的运动方向相同时,且受控结构的速度大于颗粒的速度时(两者皆不为0),即${\dot x_1}{\dot x_2} > 0$${\dot x_1} > {\dot x_2}$,此时,${\ddot x_2} = {{{{\ddot x}_1}{{\dot x}_2}} / {\left| {{{\dot x}_2}} \right|}}$${f_{\rm{s}}} = - {m_2}{\ddot x_2}$

      当颗粒与受控结构的运动方向相同时,且受控结构的速度小于颗粒的速度时(两者皆不为0),即${\dot x_1}{\dot x_2} > 0$${\dot x_1} < {\dot x_2}$,此时${\ddot x_2} = {{ - {{\ddot x}_1}{{\dot x}_2}} / {\left| {{{\dot x}_2}} \right|}}$${f_{\rm{s}}} = {m_2}{\ddot x_2}$

      当颗粒与受控结构的运动方向相反时(两者皆不为0),即${\dot x_1}{\dot x_2} < 0$,此时${\ddot x_2} = {{ - {{\ddot x}_1}{{\dot x}_2}} / {\left| {{{\dot x}_2}} \right|}}$${f_{\rm{s}}} = {m_2}{\ddot x_2}$

      当颗粒的速度为0,而受控结构的速度不为0时,即${\dot x_2} = 0$${\dot x_1} \ne 0$,此时${\ddot x_2} = {{{{\ddot x}_1}{{\dot x}_{\rm{1}}}} / {\left| {{{\dot x}_{\rm{1}}}} \right|}}$${f_{\rm{s}}} = {m_2}{\ddot x_2}$

      当颗粒的速度不为0,而受控结构的速度为0时,即${\dot x_2} \ne 0$${\dot x_1} = 0$,此时${\ddot x_2} = {{ - {{\ddot x}_1}{{\dot x}_2}}/ {\left| {{{\dot x}_2}} \right|}}$${f_{\rm{s}}} = - {m_2}{\ddot x_2}$

      2) 颗粒与受控结构之间发生相对运动,判断条件为:$\left| {{{\ddot x}_1}} \right| \geqslant {{{\mu _{\rm{f}}}g} / r}$$\left| \delta \right| < {d / 2}$。该情况下,附加PSSPD的受控结构运动方程为:

      $$\left\{ \begin{array}{l} {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {k_1}{x_1} + {n_p}{f_{\rm cr}} = - {m_1}{{\ddot x}_g} \\ {m_2}{{\ddot x}_2} - {f_{\rm cr}} = 0 \\ \end{array} \right.$$ (3)

      式中,fcr为克服滚动摩擦所需要的力。

      $$ {f_{\rm cr}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{ - {\mu _{\rm{f}}}{m_2}g\dot \delta } / {\left( {r\left| {\dot \delta } \right|} \right)}}},&{{\kern 1pt} \dot \delta \ne 0}\\ 0,&{\dot \delta = 0} \end{array}} \right. $$

      式中,$\dot \delta $为颗粒与受控结构的相对速度。

      3) 颗粒与受控结构发生碰撞时,通过动量调谐和碰撞耗能减轻受控结构的振动,判断条件为:$\left| \delta \right| \geqslant {d / 2}$。在颗粒与受控结构正碰撞过程中,颗粒与受控结构在碰撞过程的位移变化可以忽略不计,且满足动量守恒定律。即:

      $${m_1}{\dot x_{1 - }} + {n_p}{m_2}{\dot x_{2 - }} = {m_1}{\dot x_{1 + }} + {n_p}{m_2}{\dot x_{2 + }}$$ (4)

      式中:${\dot x_{1 - }}$${\dot x_{1 + }}$分别为受控结构碰撞前与碰撞后的速度;${\dot x_{2 - }}$${\dot x_{2 + }}$分别为颗粒碰撞前与碰撞后的速度。

      通过经典力学法可以表征PSSPD中颗粒与受控结构的非完全塑性碰撞过程[33]。由恢复系数e的定义可知:

      $$e = \left| {\frac{{{{\dot x}_{1 + }} - {{\dot x}_{2 + }}}}{{{{\dot x}_{1 - }} - {{\dot x}_{2 - }}}}} \right|$$ (5)

      为了简化式(5),对颗粒与受控结构在碰撞前后的状态进行讨论,由前述假设颗粒与受控结构不会发生连续两次及两次以上的碰撞并结合各种碰撞情况化简式(5)可得:

      $$e = \frac{{{{\dot x}_{1 + }} - {{\dot x}_{2 + }}}}{{{{\dot x}_{2 - }} - {{\dot x}_{1 - }}}}$$ (6)

      联立式(5)与式(6)可得:${\dot x_{1 + }} = {\dot x_{1 - }} - \dfrac{{\left( {1 + e} \right){n_p}\mu }}{{1 + {n_p}\mu }}\cdot$$\left( {{{\dot x}_{1 - }} - {{\dot x}_{2 - }}} \right)$${\dot x_{2 + }} = {\dot x_{2 - }} + \dfrac{{1 + e}}{{1 + {n_p}\mu }}\left( {{{\dot x}_{1 - }} - {{\dot x}_{2 - }}} \right)$,其中μ=m2/m1

      当采用经典力学法求解碰撞问题时如果迭代时间步过长,则会遗漏某些碰撞时间点,甚至计算不收敛,如果时间步长过小,则计算效率低,迭代时间的选择至关重要,因此本文采用变步长的迭代算法。采用积分步长为Δt,假定ti时刻$\left| \delta \right| < {d / 2}$(没有接触),而ti+1时刻$\left| \delta \right| \geqslant {d / 2}$(已经接触),说明接触时刻ti+γ介于ti时刻与ti+1时刻之间,其中γ为碰撞时间步长。通过Newmark-β法已经解出ti时刻受控结构的位移x1i、速度${\dot x_{1i}}$、加速度${\ddot x_{1i}}$以及颗粒的位移x2i、速度${\dot x_{2i}}$、加速度${\ddot x_{2i}}$,也得到了ti+1时刻受控结构的位移x1i+1、速度${\dot x_{1i + 1}}$、加速度${\ddot x_{1i + 1}}$以及颗粒的位移x2i+1、速度${\dot x_{2i + 1}}$、加速度${\ddot x_{2i + 1}}$。假定ti时刻与ti+1时刻加速度按线性变化,则位移变化为三次曲线形式。ti+γ时刻的位移表达式为:

      $${x_{{t_i} + \gamma }} = {x_{{t_i}}} + {\dot x_{{t_i}}}\gamma + {\ddot x_{{t_i}}}\frac{{{\gamma ^2}}}{2} + \frac{{{{\ddot x}_{{t_i} + 1}} - {{\ddot x}_{{t_i}}}}}{{\Delta t}}\frac{{{\gamma ^3}}}{6}$$ (7)

      假定ti+γ时刻发生碰撞,即满足$\left| \delta \right| = {d / 2}$的条件:

      $$\begin{split} {\mathop{\rm sgn}} (\delta )&\left[ {\left( {{x_{1{t_i}}} - {x_{2{t_i}}}} \right) + \left( {{{\dot x}_{1{t_i}}} - {{\dot x}_{2{t_i}}}} \right)\gamma + \left( {{{\ddot x}_{1{t_i}}} - {{\ddot x}_{2{t_i}}}} \right)\frac{{{\gamma ^2}}}{2}+ } \right.\\& \left. {\frac{{\left( {{{\ddot x}_{1{t_i} + 1}} - {{\ddot x}_{2{t_i} + 1}} + {{\ddot x}_{2{t_i}}} - {{\ddot x}_{1{t_i}}}} \right)}}{{\varDelta t}}\frac{{{\gamma ^3}}}{6}} \right] = {d / 2} \end{split} $$ (8)

      式中:

      $$ {\rm{sgn}} (\delta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 1},&{\delta \leqslant - {d / 2}}\\ 1,&{\delta \geqslant {d / 2}} \end{array}} \right. $$

      式(8)为一元三次方程,可以利用牛顿迭代法求解γ在区间[0, Δt]内的解,ti+γ为碰撞时刻。再使用Newmark-β法计算从ti+γ时刻到ti+1时刻受控结构与颗粒的运动状态,重新计算得到ti+1时刻受控结构与颗粒的位移如果满足条件$\left| \delta \right| < {d / 2}$,则进行下一步的迭代。如果不满足该条件,重新使用式(7)及式(8)进行计算,直至满足条件$\left| \delta \right| < {d / 2}$为止。基于MATLAB对附加PSSPD的受控结构在地震动下的动力响应进行模拟,其数值分析流程如图3所示。

      图  3  PSSPD数值分析流程

      Figure 3.  Flow chart of numerical analysis of PSSPD

      通过PSSPD的数值分析可以明确受控结构的减震效果,也可以方便获得各性能参数对减震效果的影响,但由于影响PSSPD性能与机理的参数之间相互制约和耦合,仅通过数值分析只能定性分析单个参数对PSSPD性能的影响规律,不能实现定量分析和优化分析。下文将通过对影响PSSPD性能的参数与其减震效果之间关系的解析解,定量分析影响参数对其性能的影响规律。

    • 在随机激励下无法定量求得影响PSSPD性能的参数与其减振控制效果之间关系的解析解,因此首先可将地震动简化为简谐激励,进行解析求解。在求解过程中,可以将颗粒与受控结构的振动过程分为碰撞过程和非碰撞过程。

      颗粒与腔体壁在相邻两次碰撞之间(即非碰撞过程)的运动方程为:

      $$\left\{ \begin{array}{l} {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {k_1}{x_1}{\rm{ + }}{n_p}{f_{\rm {cr}}} = {p_0}\sin \omega t \\ {m_2}{{\ddot x}_2} = {f_{\rm {cr}}} \\ \end{array} \right.$$ (9)

      式中:p0为简谐激励强度;ω为简谐激励频率;

      PSSPD-单自由度结构系统处于稳定、对称、周期碰撞的状态时,受控结构的位移响应表达式为:

      $$\begin{split} {x_1} = &{{\rm{e}}^{ - \zeta {\omega _n}t}}\left( {{B_1}\sin \beta {\omega _n}t + {B_2}\cos \beta {\omega _n}t} \right) + \\& A\sin \left( {\omega t + \tau } \right) - {{{n_p}{f_{\rm {cr}}}} / {{m_1}\omega _n^2}} \\ \end{split} $$ (10)

      式中:${\omega _n} \!\!=\! \!\!\sqrt {{{{k_1}} / {{m_1}}}} $${\kern 1pt} \zeta = {{{c_1}} / {( {2\sqrt {{m_1}{k_1}} } )}}{\kern 1pt}$${g_1}\!\! =\!\! {\omega / {{\omega _n}}}$$\beta \!\! =\!\! \sqrt {\left( {1 - {\zeta ^2}} \right)} $$a\!\! =\!\! - {\mu _{\rm{f}}}g\dfrac{{{{\dot x}_1}{\rm{ - }}{{\dot x}_2}}}{{r\left| {{{\dot x}_1}{\rm{ - }}{{\dot x}_2}} \right|}}$$A \!\!=\!\! {{{p_0}} / {{k_1}{{ [{{( {1 - {g_1}^2} )}^2} +}}}}$$ {{{{{4{\zeta ^2}{g_1}^2} ]}^{{1 / 2}}}}}$B1B2为待求参数;$\tau $为颗粒与结构碰撞时的相位角。

      根据文献[9]的结果,有:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_b} = {{{N_0}} / \varDelta },{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\dot x}_a} = {{{N_1}} / \varDelta }} \qquad\qquad\qquad\qquad\\ {A = {{{N_2}} / \varDelta },{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {B_1} = {{{N_3}} / \varDelta },{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {B_2} = {{{N_4}} / \varDelta }} \end{array}} \right.$$ (11)

      式中:${\dot x_b}$为受控结构碰撞前的速度;${\dot x_a}$为受控结构碰撞后的速度;$\varDelta = {f_1}\sin \tau + \omega {f_2}\cos \tau $${N_0} =\omega \cdot$${\sigma _2} \left( {{c_2}{f_3} + {c_1}{f_4}} \right)\cos \tau \!-\! {\sigma _2}{f_5}\sin \tau $${N_1} \!\!= \!\!\omega {\sigma _1}( {c_2}{f_3} \!+\! {c_1}{f_4}) \cdot$$\cos \tau \!-\! {\sigma _1}{f_5}\sin \tau $${N_2}\! = \!{c_2}{f_1}\! +\! {c_1}{f_6}$$ {N_3} \!= \!\omega \cos \tau ( {c_2} \!-\! {c_1} + $$ {c_2}{h_2} + {c_1}{h_2})\left( {{\sigma _1} - {\sigma _2}} \right)+ 2{c_1}[ \sin \tau \left( {{\sigma _2}\zeta {\omega _n} \!-\! {\sigma _1}{\theta _2}} \right) \!+\! \omega $σ1·${\sigma _2} \cos \tau ( \zeta {\omega _n} \!-\! {\theta _2})] $$ {N_4} \!\!= \!\!\omega {c_2}{h_1}\cos \tau \left( {{\sigma _2} \!-\! {\sigma _1}} \right) \!\!+\! \!\omega {c_1}\cos \tau \cdot$[σ1$ \left. {\left( {2{\sigma _2}\beta {\omega _n} - {h_1} + 2{\sigma _2}{\theta _1}} \right)+ {\sigma _2}{h_1}} \right] + 2{c_1}\sin \tau \left( {{\sigma _2}\beta \omega +}\right.$$ \left.{{\sigma _1}{\theta _1}} \right) $,其中,$a = - {\mu _{\rm{f}}}g\dfrac{{{{\dot x}_1}{\rm{ - }}{{\dot x}_2}}}{{r\left| {{{\dot x}_1}{\rm{ - }}{{\dot x}_2}} \right|}}$${h_1} = {{\rm{e}}^{ - {{\pi \zeta } / g}}}\sin \dfrac{{\pi \beta }}{{{g_1}}}$${h_2} = {{\rm{e}}^{ - {{\pi \zeta } / g}}}\cos \dfrac{{\pi \beta }}{{{g_1}}}$${c_1} = \dfrac{{ - {n_p}{f_{\rm {cr}}}}}{{{m_1}\omega _n^2}}$${c_2} = - \dfrac{d}{2} + \dfrac{{a{\pi ^2}}}{{4{\omega ^2}}}$${\sigma _1}\! =\! \dfrac{\pi }{{2\omega }}\dfrac{{1 \!+ \!e}}{{1 - e + 2{n_p}\mu }}$${\sigma _2} = \dfrac{\pi }{{2\omega }}\dfrac{{1 + e}}{{1 - e - 2{n_p}\mu e}}$${\theta _1} = {\omega _n}\cdot$${{\rm{e}}^{ - {{\pi \zeta } / g}}} \left( { - \zeta \sin \dfrac{{\pi \beta }}{{{g_1}}} + \beta \cos \dfrac{{\pi \beta }}{{{g_1}}}} \right)$${\theta _2}\!\! =\!\! {\omega _n}{{\rm{e}}^{ - {{\pi \zeta } / g}}}\left( { \!- \!\zeta \cos \dfrac{{\pi \beta }}{{{g_1}}} - }\right.$$ \left.{\beta \sin \dfrac{{\pi \beta }}{{{g_1}}}} \right)$${f_1} \!=\! {\sigma _2}{\omega _n}\left[ {\beta \left( {1\! +\! {h_2}} \right) \!+\! {h_1}\zeta } \right]\! +\! {\sigma _1}\left( {{h_2}{\theta _1} \!-\!{h_1}{\theta _2} +}\right.$$ \left.{ {\theta _1}} \right) $${f_2} = {h_1}\left( {{\sigma _2} - {\sigma _1}} \right) + {\sigma _1}{\sigma _2}[\left( {\beta {\omega _n} + {\theta _1}} \right)\left( {1 + {h_2}} \right) + {h_1}\cdot$$( \zeta {\omega _n} - {\theta _2})] $${f_3} = \left( {\beta {\omega _n} + {\theta _1}} \right)\left( {1 + {h_2}} \right) + {h_1}\left( {\zeta {\omega _n} - {\theta _2}} \right)$$ {f_4} =$$ \left( {\beta {\omega _n}\! + \!{\theta _1}} \right)\left( {{h_2}\! -\! 1} \right) \!+ \!{h_1}\left( {\zeta {\omega _n}\! -\! {\theta _2}} \right)$${f_5}\!=\! 2{c_1}{\omega _n}\left( {\beta {\theta _2} \!+ \!\zeta {\theta _1}} \right)$f6=$ {\sigma _2}{\omega _n}\left[ {{h_2}\beta + {h_1}\zeta - \beta + 2{\sigma _1}\left( {\beta {\theta _2} + \zeta {\theta _1}} \right)} \right]{\kern 1pt} + {\sigma _1}\left( {{h_2}{\theta _1} - }\right.$$\left.{{h_1}{\theta _2} +{\theta _1}} \right) $

      下面对受控结构在简谐激励下的位移响应进行分析。在式(10)中,当受控结构响应达到稳态时,第一项值趋近于0,第三项为常数且对结果的影响小,故其结果主要是由第二项决定的。第二项中幅值是由激励力的幅值与频率比所决定,如果在地震动下则为加速度的幅值与频谱特性所决定。结构的动力响应越大,颗粒与结构之间的碰撞次数会越多,两者之间的动量交换效率会提高。若只考虑第二项对响应的影响,则位移及速度峰值减振率均为(A0A1)/A0(A0A1分别为未控结构与无控结构峰值),即两者的减振率相同,即使考虑式(10)中其他项对结果的影响,两者的差别也很小,即PSSPD对结构位移与速度峰值的减振效果相近。虽然受控结构的加速度响应在颗粒与结构碰撞的瞬间会增大,但考虑到PSSPD对位移与速度的控制效果良好,其仍然是性能优良的加速度(力)相关型阻尼器。

      由式(11)可获得碰撞前后结构能量的变化为:

      $$\begin{split} \varDelta E =& \frac{1}{2}{m_1}x_b^2 - \frac{1}{2}{m_1}x_a^2 = \frac{{{m_1}}}{{2{\varDelta ^2}}}( {\sigma _2^2 - \sigma _1^2} ) \cdot \\& {\left[ {\omega \left( {{c_2}{f_3} + {c_1}{f_4}} \right)\cos \tau - {f_5}\sin \tau } \right]^2} \end{split} $$ (12)

      $\Delta E$取值越大,PSSPD的减振效果越佳。通过对式(12)的分析,可知当$\tau={\text{π}} $时,$\Delta E$取得最大值,这与Lieber[4]分析得出的研究结果一致,即当$\tau ={\text{π}}$时,受控结构与颗粒的运动速度在碰撞前正好相反,此时能量交换越大。

      通过上述理论推导,要使PSSPD对受控结构的减振效果达到最优,即满足颗粒与结构碰撞时的相位角$\tau={\text{π}} $,由式(11)可得参数$\tau $的三角方程为:

      $$A\left( {{f_1}\sin \tau + \omega {f_2}\cos \tau } \right) = {c_2}{f_1} + {c_1}{f_6}$$ (13)

      在式(13)中,影响$\tau $取值的参数可以分成三部分:1)输入荷载,包括激励强度p0和激励频率ω,其与震源和场地类别等因素密切相关;2)结构动力性能参数,根据结构动力特性而确定;3)阻尼器自身参数,对于颗粒质量m2,可以借鉴TMD的质量取值,已有研究表明颗粒半径r对PSSPD减振效果的影响较小;至于恢复系数e与滚动摩擦系数μf,当颗粒材料与阻尼器腔体材料选定时,两者也随之确定;而颗粒运动间距则d主要决定颗粒与受控结构的碰撞次数和碰撞相位,其取值对PSSPD能否充分发挥减振效果至关重要。根据式(13)及相关参数可获得颗粒运动间距d与其他参数的表达式为:

      $$d = \frac{{ - 2A\left( {{f_1}\sin \tau + \omega {f_2}\cos \tau } \right){f_2} + 2{c_1}{f_6}}}{{{f_1}}} + 2{f_7}$$ (14)

      式中,${f_7} = {{a{\pi ^2}} / {( {4{\omega ^2}} )}}$

      由前述分析可知,当PSSPD的减振效果最佳时,颗粒与受控结构碰撞时的相位角$\tau={\text{π}} $,可求得颗粒运动最优间距为:

      $${d_{op}} = \frac{{2{p_0}\omega {f_2}}}{{{k_1}{f_1}\sqrt {( {1 - g_1^2} ) + 4{\zeta ^2}g_1^2} }} + \frac{{2{c_1}{f_6}}}{{{f_1}}} + 2{f_7}$$ (15)

      式(15)的最优间距是通过对PSSPD-单自由度结构系统处于稳定、对称、周期碰撞的状态时分析获得的,有必要通过数值分析对其准确性进行数值验证。本文选取一单层单跨钢结构,其楼板尺寸为3.2 m×2 m,板厚50 mm,四根矩形柱的尺寸为100 mm×100 mm,层高为3 m。PSSPD在对结构进行减震时,主要是对受控结构的第一阶振型进行减振控制,因此将多自由度结构可以按第一阶振型等效为单自由度结构。等效结构参数为:m1=2300 kg,k1=691.5 kN/m,ζ=0.02。阻尼颗粒为实心钢珠,各工况颗粒相关参数选取如表1所示。表1也给出了各工况下dop结果,四种工况下腔体在振动方向上的长度分别是94.0 mm、97.6 mm、92.2 mm、91.6 mm,正交于振动方向的宽度为38 mm,高度为50 mm,腔体碰撞壁厚度为4 mm,其余部件均为2 mm。腔体附加质量比最大为0.35%,因质量小且与结构固结,可忽略其对结构动力特性影响。定义最优间距比η=d/dop,四种工况下受控结构减振率随η的变化规律如图4所示,其中减振率为减振前位移(速度)峰值与减振后位移(速度)峰值的差值除以减振前位移(速度)峰值。可以明显看出,当ddop时,确实获得了最优减震率,且PSSPD对受控结构位移与速度峰值的减振效果相近,验证了前文结论。值得说明的是PSSPD在结构共振下减振效果显著优于其他工况的减振效果,这与文献[9]的研究结果一致。当d=dopt时,受控结构在非共振下的确获得了最优减振率,而在共振下当d=1.2dopt时获得最优减振率,两种颗粒运动间距的取值虽然相差20%,但是减振效果却相差8.8%,差值较小,也可以接受。

      表 1  阻尼颗粒参数

      Table 1.  Particle parameters

      工况质量
      μ
      颗粒
      半径r/mm
      颗粒
      个数np
      恢复
      系数e
      滚动
      摩擦系数
      μf/mm
      频率
      g1
      激励
      幅值
      p0/g
      颗粒运动
      最优间距
      dop/mm
      I0.0136150.60.050.90.2522.0
      II0.0236300.20.051.00.2525.6
      III0.0136150.80.051.10.2020.2
      IV0.0136300.60.051.20.2019.6

      图  4  受控结构响应减振率随η的变化曲线

      Figure 4.  Relationship of damping rate and η

      为了深入剖析η取值不同使减振效果产生差异的原因,对工况III下受控结构与颗粒在稳态下的时程结果进行对比,如图5图6所示。经分析可知,当取dop时,颗粒所含有的能量最大,并且是每周期发生两次对称碰撞,这与文献[7]得到的结论相同。此外,受控结构的加速度值在未碰撞时降低,但在碰撞瞬间会突变,但是由于碰撞时间短,因此不会对受控结构造成显著影响。

      图  5  工况III下受控结构响应时程曲线

      Figure 5.  Response history of controlled structural under case III

      图  6  工况III下颗粒响应时程曲线

      Figure 6.  Response history of particle response under case III

      对无控结构、受控结构与颗粒的位移以及简谐激励进行频谱分析,工况III下的分析结果如图7所示。在最优情况下,颗粒的能量最大,即转移受控结构的能量越多。图7(c)中因d过大,颗粒没有与受控结构发生碰撞。需要指出的是:为了便于对比,进行功率谱分析时,将激励加速度功率谱幅值调至同其他量的幅值在同一数量级。

      图  7  工况III下位移功率谱

      Figure 7.  Displacement power spectrum under case III

    • 通过对附加PSSPD受控结构在简谐激励下减振效果的分析可知,在不同激励强度及激励频率下均有相对应的dop能使其减振效果达到最佳,然而计算dop的方法是否适用于地震动下的结构减震优化尚需在分析中进一步验证。地震动三个主要特征包括持时、振幅和频谱。持时对PSSPD的减震效果影响较小,只要颗粒与受控结构发生碰撞,两者之间就会产生动量交换,随着持时增长减震效果保持稳定。地震动的幅值和频谱会显著影响dop,且通过对式(15)的分析可知:在影响dop的参数中,激励幅值与激励频率对其影响效果最显著。通过计算不同频率比ω/ωn和不同激励强度下的最优间距dop,探讨幅值和频谱对减震效果的影响规律。主体结构仍选择钢结构,颗粒参数的取值为:μ=0.01,r=36 mm,e=0.50,μf=0.1 mm,np=15。结果如图8所示,可知当${\omega / {{\omega _n}}}$接近1时或激励强度越大时dop越大,且其随激励强度呈现线性变化。

      图  8  最优间距dop随激励强度及激励频率的变化规律

      Figure 8.  Variation of dop with excitation intensity and frequency

      不同场地类型下的地震动在频谱特性、幅值及持时方面都存在非平稳性和随机性。对于具体地震波,应用式(15)确定最优间距dop时,需要确定地震波的等效频率,其确定方法有以下两种:可以依据抗震设计规范中场地的卓越周期确定;亦可以借鉴Rathje等[34]的研究对平均周期的定义方式,考虑地震动整体频谱特征频率参数,定义平均频率为:

      $$\bar f = {{\sum {C_i^2} } / {\sum {\left( {{{C_i^2} / {{f_i}}}} \right)} }}$$ (16)

      式中:$\bar f$为地震动平均频率;fi为0.01 Hz~10 Hz的离散频率点;Ci为频率点fi所对应的离散傅里叶变换幅值。地震强度可以取地震动加速度峰值${\ddot x_{g\max }}$,则式(15)中${p_0} = {m_1}{\ddot x_{g\max }}$。最终将确定的各参数代入式(15)中获得dop值。

      PSSPD不受限于工程空间、能实现分布式布置、减震机理明确且减震效果良好,通过颗粒与受控结构之间发生碰撞而进行动量交换,减轻结构的振动。虽然地震动的幅值及频谱会影响PSSPD的参数取值,但是在最优设计参数下其减震效并不依赖于地震动的特性,能实现对地震动整个时间历程的减震控制,下文将通过具体算例对其进行说明。

    • 为了验证上述PSSPD优化方法的合理性及其在实际地震动下对受控结构的减震效果,本文仍以上述单层钢结构为例进行分析,该结构第一周期Ts=0.362 s。阻尼颗粒自身参数为μ=0.05,e=0.5,μf=0.05 mm,r=65 mm,np=15。本文共选取了3条实际地震波,具体信息如表2所示。分析时将以上3条地震波的加速度峰值均调整为0.2 g

      表 2  地震动信息

      Table 2.  Information of ground motion

      地震动测站编号发生时间震级峰值加速度/(cm/s2)持时/s
      San FernandoLA-Hollywood Stor FFS119716.6191.0379.44
      Cape-MendocinoCpm-Cape MendocinoS219927.0146.8359.98
      Northern Calif-04Ferndale City HallS319605.7106.6392.97

      利用对PSSPD在地震动中的参数优化方法最终获得颗粒运动最优间距dopg,其中S1波、S2波及S3波的最优间距分别为19.0 mm、17.0 mm、18.8 mm,即三条地震波作用下阻尼器腔体在振动方向上的长度分别是149.0 mm、147.0 mm、148.8 mm,其在正交于振动方向的宽度为65 mm,高度可为80 mm,腔体碰撞壁厚度为6 mm,其余部件均为2 mm。腔体附加质量比最大为0.5%,与前文相同,也可忽略其对结构动力特性影响。该颗粒运动间距与阻尼器腔体尺寸均可在实际工程中实现。利用本文所提出的PSSPD性能数值模拟方法对受控结构在所选地震动作用下的响应进行计算,当d=dopt时,S1波作用下结构和颗粒的时程结果分别如图9图10所示。分析图9可知,在最优设计参数下PSSPD中颗粒与受控结构在首次碰撞之后,受控结构的速度和位移都会降低,减震效果显著。再结合图10(b)中阻尼颗粒的速度时程可知,在地震动最剧烈的时间段,颗粒与受控结构发生剧烈碰撞,颗粒的运动也剧烈。在地震动的后期,颗粒与受控结构也会发生碰撞,剧烈程度降低,但是也会转移受控结构的输入能量,而在颗粒与受控结构不发生碰撞时,通过两者之间的摩擦效应降低主体结构的动力响应,在S2波与S3波作用下也有同样的规律。因此在最优设计参数下PSSPD的减震效并不依赖于地震动的特性,能实现对地震动整个时间历程的减震控制。图9(c)中显示当颗粒与受控结构发生碰撞时,受控结构的加速度会瞬间增大,但是由于碰撞时间短,且在颗粒与受控结构未发生碰撞时,受控结构的加速度值降低,因此不会对受控结构造成显著的影响,并且考虑到位移和速度减震率较高,颗粒阻尼器整体的减震性能和工程实用性比较显著,因此具有很好的研究意义和应用价值。为了更加直观地评价PSSPD对受控结构在地震动下的减震效果,进一步获取三条地震动的位移与速度峰值减震率如图11所示。在等效频率的确认方面,根据式(16)求得的dop值能够使结构具有最大减震率,因而的确为颗粒运动最优间距,而按照规范场地卓越周期(Tg=0.35 s)计算的颗粒运动最优间距则会使减震率略低,表明通过地震动平均频率求dopg值的计算方法更加合理且具有可行性。

      图  9  S1波作用下受控结构响应时程

      Figure 9.  Response history of controlled structural subjected to S1 wave

      图  10  S1波作用下颗粒响应时程

      Figure 10.  Response history of particle subjected to S1 wave

      图  11  受控结构减震效果随η的变化曲线

      Figure 11.  Curve of damping rate of structural response with η

      图11分析可知,PSSPD对受控结构在地震动下均具有良好的减震效果,且当d=dopg时,其减震效果最佳,同时也证明了按本文方法求颗粒运动最优间距的准确性。对图4图11进行比较分析可知PSSPD对地震动的控制效果优于简谐激励,这是因为颗粒阻尼器本质上是冲击阻尼器或力(加速度)相关型阻尼器,阻尼颗粒没有固定的频率,只要与受控结构发生碰撞就会转移受控结构的能量,并且通过图5(c)图9(b)相比较可知,PSSPD在简谐激励下颗粒与受控结构每周期发生两次碰撞时的减振效果最优,而PSSPD在最优设计参数下,对地震动的控制确实能达到最优,此时在结构一个振动周期内受控结构与颗粒碰撞的次数为2次或3次,甚至达到4次,所以地震动频谱的丰富性和随机性增强了颗粒发生碰撞的概率。为了进一步对PSSPD的减震机理进行剖析,对无控结构的位移、受控结构的位移和颗粒位移以及地震动加速度进行功率谱分析,其中S1波作用下的分析结果如图12所示,分析可得颗粒在宽频带范围内都能转移和耗散受控结构的能量,验证了PSSPD具有减震频带宽的优点。

      图  12  S1波作用下η=1时位移功率谱

      Figure 12.  Displacement power spectrum for η=1 subjected to S1

      为了研究PSSPD对不同结构在不同类型地震动下减震效果的差异性,本文选择了12种不同周期的受控结构,其周期范围为0.1 s~6 s。地震动按照场地类别进行选取,每类场地选取5条地震动,峰值均调至110 cm/s2,其他结构参数为:m1=2300 kg,ζ=0.02,颗粒自身参数为μ=0.05,r=60 mm,e=0.5,μf=0.5 mm,np=15。计算不同周期受控结构在各类场地地震动下的平均减震效果,结果如图13所示,分析可得,PSSPD的减震率随受控结构周期的变化曲线与地震动加速度反应谱的曲线形状相似,这是因为结构的动力响应越大,两者之间转移的能量越多,动量交换效率越高,且位移与速度峰值的减振效果相近,这两种现象均验证了前文所述结论。此外,结果表明PSSPD对周期小于2 s的结构具有良好的减震效果,受控结构周期越小,减震效果越佳,而其对周期大于2.5 s的结构的减震效果较差,即PSSPD对于中低层结构更适用。在最优参数条件下,场地效应对其减震效果影响不明显,PSSPD对不同场地下的地震动均有良好的减震效果。

      图  13  PSSPD对不同周期结构的减震效果

      Figure 13.  Damping effect of PSSPD on different structures

    • 针对目前颗粒阻尼器在土木工程结构中的应用需求、特点以及目前理论研究的不足,本文提出PSSPD及其构造,建立相关力学模型并提出其数值模拟方法及参数优化分析方法。在此基础上对PSSPD的减振性能进行了深入研究。得到的主要结论为:

      (1) 针对目前单颗粒阻尼器与多颗粒阻尼器的不足及土木工程减震的需求,提出并联式单向单颗粒阻尼器(PSSPD)及其构造,通过对PSSPD减振机理的分析,并全面考虑颗粒的受力状态,建立其力学模型,并提出相应的变步长数值分析方法,该方法具有计算效率高的优点。

      (2) 基于PSSPD-单自由度结构系统在简谐激励下处于稳定、对称、周期碰撞的状态时获得了该系统的位移响应结果,在该解析结果的基础上分析各参数对PSSPD性能的影响及获得颗粒运动最优间距的与其他参数的关系,并对其合理性及准确性进行了验证。

      (3) 在分析地震动主要特征对PSSPD性能影响的基础上,提出其在地震动中的优化分析方法,经过对比分析可得,与场地卓越周期确定的地震动等效频率相比,平均频率计算获得颗粒运动最优间距的计算方法更加合理且具有可行性。

      (4) 在PSSPD最优设计参数下,通过对不同周期结构在不同场地地震动下减震效果的对比分析,可知PSSPD更加适用于中低层结构(周期小于2 s),且场地效应对其减震效果影响不明显,PSSPD对不同场地下的地震动均有良好的减震效果。

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