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平面SV波入射下山体地形中双线隧道动力响应

张海 杜雪姣 刘中宪 徐颖 杨国岗

张海, 杜雪姣, 刘中宪, 徐颖, 杨国岗. 平面SV波入射下山体地形中双线隧道动力响应[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
引用本文: 张海, 杜雪姣, 刘中宪, 徐颖, 杨国岗. 平面SV波入射下山体地形中双线隧道动力响应[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
Hai ZHANG, Xue-jiao DU, Zhong-xian LIU, Ying XU, Guo-gang YANG. Dynamic responses of double mountain tunnels under SV waves[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
Citation: Hai ZHANG, Xue-jiao DU, Zhong-xian LIU, Ying XU, Guo-gang YANG. Dynamic responses of double mountain tunnels under SV waves[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404

平面SV波入射下山体地形中双线隧道动力响应

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
基金项目: 国家自然科学基金项目(51678390);天津市自然科学基金项目(17JCYBJC21700);天津市自然科学基金重点项目(No. 18JCZDJC39200)
详细信息
    作者简介:

    张 海(1977−),男,河北人,教授,博士,主要从事工程波动理论及城市综合防灾减灾方面的教学与研究(E-mail: zhangahi@tju.edu.cn)

    杜雪姣(1993−),女,河北人,硕士生,主要从事复杂场地地震波动研究(E-mail: dxj911007@163.com)

    徐 颖(1992−),女,河北人,硕士生,主要从事含裂隙山体地震波动研究(E-mail: 664982280@qq.com)

    杨国岗(1989−),男,河北人,硕士生,主要从事山体隧道场地地震波动研究(E-mail: gang96007@163.com)

    通讯作者: 刘中宪(1982−),男,河南人,教授,博士,主要从事地震工程及工程防护方面的教学与研究(E-mail: zhongxian1212@163.com)
  • 中图分类号: U231

Dynamic responses of double mountain tunnels under SV waves

  • 摘要: 根据弹性波动理论,结合“分区契合”思想,采用间接边界元方法,考察SV波入射下隧道—山体系统整体地震反应特征和相互作用规律。通过参数分析讨论入射波频率和角度、衬砌隧道位置等因素对山体表面及附近地表的地面运动、山体内部衬砌隧道本身应力、位移的影响。计算结果表明:山体中衬砌隧道的存在对附近地震波有显著的放大作用。整体上看,随着无量纲频率η增大,隧道环向应力逐渐减小,地表位移幅值震荡更为剧烈,空间分布更复杂;山体与隧道尺寸的比值较小时,隧道内环向应力集中比较显著,随着山体与隧道尺寸比的增加,环向应力峰值呈现减小的整体趋势,应力集中区域显著减少;随SV波入射角度α的增大,两隧道衬砌内部环向应力均有增加的趋势。另外,隧道间距越小,衬砌动应力集中效应越发显著。
  • 图  1  山体隧道模型图(双向六车道)

    Figure  1.  Mountain-tunnel model (two-way six-lane)

    图  2  计算模型的区域划分

    Figure  2.  Area division of calculation model

    图  3  精度验证

    Figure  3.  Accuracy verification

    图  5  不同隧道间距D影响的地表位移幅值($\alpha = $30°)

    Figure  5.  Surface displacement amplitude of mountain affected by different tunnel spacings D ($\alpha = $30°)

    图  6  SV波入射下山体地表不同点位移幅值谱

    Figure  6.  Displacement spectra of different points of mountain surface under SV wave incidence

    图  7  不同隧道间距D影响的隧道水平位移云图

    Figure  7.  Horizontal displacement contours of tunnel affected by different tunnel spacings D

    图  4  不同隧道间距D影响的地表位移幅值($\alpha = $0°)

    Figure  4.  Surface displacement amplitude of mountain affected by different tunnel spacings D ($\alpha = $0°)

    图  8  SV波入射下不同隧道间距时右山岭隧道环形应力云图($\alpha = $0°)

    Figure  8.  Circular stress contours of right mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ($\alpha = $0°)

    图  9  SV波入射下不同隧道间距时右山岭隧道环形应力云图($\alpha = $30°)

    Figure  9.  Circular stress contours of right mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ($\alpha = $30°)

    图  10  SV波入射下不同隧道间距时左山岭隧道环形应力云图($\alpha = $30°)

    Figure  10.  Circular stress contours of left mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ($\alpha = $30°)

    表  1  山体模型尺寸参数

    Table  1.   Size parameter of mountain model

    形状几何形状
    高斯山体$|x| \geqslant a,y = 0$$\begin{array}{l} - a < x \leqslant 0,y = - 0.5a[ { - 2{{(x/a)}^3} - 3{{(x/a)}^2} + 1} ] \\ 0 < x < a,y = - 0.5a[ {2{{(x/a)}^3} - 3{{(x/a)}^2} + 1} ] \\ \end{array} $
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-07-25
  • 修回日期:  2020-03-24
  • 网络出版日期:  2020-05-21

平面SV波入射下山体地形中双线隧道动力响应

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
    基金项目:  国家自然科学基金项目(51678390);天津市自然科学基金项目(17JCYBJC21700);天津市自然科学基金重点项目(No. 18JCZDJC39200)
    作者简介:

    张 海(1977−),男,河北人,教授,博士,主要从事工程波动理论及城市综合防灾减灾方面的教学与研究(E-mail: zhangahi@tju.edu.cn)

    杜雪姣(1993−),女,河北人,硕士生,主要从事复杂场地地震波动研究(E-mail: dxj911007@163.com)

    徐 颖(1992−),女,河北人,硕士生,主要从事含裂隙山体地震波动研究(E-mail: 664982280@qq.com)

    杨国岗(1989−),男,河北人,硕士生,主要从事山体隧道场地地震波动研究(E-mail: gang96007@163.com)

    通讯作者: 刘中宪(1982−),男,河南人,教授,博士,主要从事地震工程及工程防护方面的教学与研究(E-mail: zhongxian1212@163.com)
  • 中图分类号: U231

摘要: 根据弹性波动理论,结合“分区契合”思想,采用间接边界元方法,考察SV波入射下隧道—山体系统整体地震反应特征和相互作用规律。通过参数分析讨论入射波频率和角度、衬砌隧道位置等因素对山体表面及附近地表的地面运动、山体内部衬砌隧道本身应力、位移的影响。计算结果表明:山体中衬砌隧道的存在对附近地震波有显著的放大作用。整体上看,随着无量纲频率η增大,隧道环向应力逐渐减小,地表位移幅值震荡更为剧烈,空间分布更复杂;山体与隧道尺寸的比值较小时,隧道内环向应力集中比较显著,随着山体与隧道尺寸比的增加,环向应力峰值呈现减小的整体趋势,应力集中区域显著减少;随SV波入射角度α的增大,两隧道衬砌内部环向应力均有增加的趋势。另外,隧道间距越小,衬砌动应力集中效应越发显著。

English Abstract

张海, 杜雪姣, 刘中宪, 徐颖, 杨国岗. 平面SV波入射下山体地形中双线隧道动力响应[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
引用本文: 张海, 杜雪姣, 刘中宪, 徐颖, 杨国岗. 平面SV波入射下山体地形中双线隧道动力响应[J]. 工程力学. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
Hai ZHANG, Xue-jiao DU, Zhong-xian LIU, Ying XU, Guo-gang YANG. Dynamic responses of double mountain tunnels under SV waves[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
Citation: Hai ZHANG, Xue-jiao DU, Zhong-xian LIU, Ying XU, Guo-gang YANG. Dynamic responses of double mountain tunnels under SV waves[J]. Engineering Mechanics. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.07.0404
  • 为满足我国“一带一路”及西部开发战略需要,近年来西部交通基础设施飞速发展,山岭隧道建设数量也不断增多。如国家最新批复的川藏铁路,全线隧道占比在80%以上。同时,中国西部地区强震频发,对既有或在建隧道结构安全存在较大威胁。如在2008年汶川地震时,位于震区都汶公路上的11座隧道均出现不同程度的损毁[1-2],其中,36.2%的隧道出现中等及以上破坏,包括洞口边坡崩塌与滑塌、衬砌及围岩坍塌、衬砌开裂错位、初期支护变形及开裂等。另一方面,凸起地形对地震波有显著的放大作用,而山体中隧道的存在会产生明显的动应力集中。

    国内外学者对凸起地形或山体-隧道地震反应已有较多研究。首先,在凸起地形地震动放大效应方面,袁晓铭等[3]、Tsaur等[4]、Liang等[5]、梁建文等[6]和杨在林等[7]给出了凸起及凹陷地形对地震波散射的解析解;考虑到实际复杂场地特征,刘晶波等[8-9]采用有限元法给出了山体地形地震反应问题的数值解;巴振宁等[10-11]结合“分区契合”技术,采用间接边界元方法研究了凸起地形对平面P波及SH波的散射问题。在隧道反应方面,Liu等[12]研究了弹性半空间浅埋隧道对平面P波、SV波的散射,王冬等[13]采用快速多级间接边界元法揭示了P波、SV波入射下三维孔洞群周围位移场和应力场的分布规律;在山体-隧道整体反应方面,李敏等[14]根据辅助函数的思想,利用复变函数、多级坐标法的方法研究了SH波入射时含圆形孔洞的半圆形凸起地形与其附近的圆形空洞的相互作用。罗昊等[15]采用波函数展开法针对凸起地形中衬砌隧道对平面SH波的散射进行了研究;Amornwongpaibun等[16]研究了含单个椭圆隧道的凸起地形对平面SH波的散射;Liu等[17]采用间接边界元法(IBEM)研究了平面SV波作用下衬砌隧道与山体的动力相互作用。巴振宁等[18]采用间接边界元法研究了山岭-单个隧道在平面P-SV波入射下的地震动力响应问题。

    本文基于弹性波动理论,结合“分区契合”思想,利用间接边界元方法,研究了SV波入射下山体-双线隧道整体动力响应特征。通过大量参数分析,揭示了山体中双线隧道地震动应力集中及山体表面地震动放大效应,所得结论对于实际山岭隧道抗震设计、地震安全性评价具有参考价值。

    • 图1所示,以弹性半空间上一高斯形山体中含两马蹄形衬砌隧道为例,假设山体及隧道中为均匀各向同性、完全弹性介质。取$R_1 = 22\;{\rm m}$$R_2 = 8.4\;{\rm m}$$R_3 = 3\;{\rm m}$,衬砌厚度为$t = 0.6\;{\rm m}$,高斯山体高度为$h$,宽度为$2a$图2为双马蹄形山岭隧道整体计算模型的分区图,基于“分区契合[6]”的思想,将整个计算模型划分成半空间凹陷域$\varTheta $、山体凸起域$\varOmega $和左右隧道域$\varPsi_1$$\varPsi_2$四个区域。其中,半空间凹陷域$\varTheta $是由水平地表$L_1$和虚拟凹陷边界$L_2$围成的半空间无限区域;山体凸起域$\varOmega $是由虚拟凹陷边界$L_2$、凸起边界$L_3$及左右隧道外边界$L_4$$L_6$围成的区域;左右隧道域$\varPsi_1$$\varPsi_2$分别由隧道内外壁边界$L_4$$L_5$$L_6$$L_7$围成。

      图  1  山体隧道模型图(双向六车道)

      Figure 1.  Mountain-tunnel model (two-way six-lane)

      图  2  计算模型的区域划分

      Figure 2.  Area division of calculation model

    • 本文以半空间中二维水平和竖向均布力为基本解,采用间接边界元法求解双山岭隧道对SV波的二维散射问题。以边界面上虚拟均布荷载分别构造衬砌内外的散射波场,由衬砌内外表面的边界条件建立积分方程,通过离散求解得到虚拟荷载密度,进而求得总波场。设平面简谐SV波传播到山体中,经两隧道内外壁或者凸起地表及水平地表散射后可以得到的平面内位移${u^{(t)}}$,极坐标$o - \theta $中需满足波动方程:

      $$\frac{{{\partial ^2}{u_{}}^{(t)}}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {u_{}}^{(t)}}}{{\partial r}} + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}{u_{}}^{(t)}}}{{\partial {\theta ^2}}} = \frac{1}{{{\beta ^2}}}\frac{{{\partial ^2}{u_{}}^{(t)}}}{{\partial {t^2}}}$$ (1)

      V代表一个质地均匀、各向同性和完全弹性的区域,S表示该区域的边界或者表面。地震波入射下,弹性区域内每一点的位移都能用Somigliana积分表达式[19]表示为:

      $$ \begin{split} c{u_{_i}}(\xi ) = &\int_V {{G_{ij}}(y,\xi )} {f_j}(y)dV + \int_S {[{G_{ij}}(x,\xi )} \\& {t_j}(x) - {T_{ij}}(x,\xi ){u_j}(x)]{\rm d}S \end{split} $$ (2)

      式中:${f_i}(y)$为区域Vy点的体力;${u_j}(x)$为区域V中任一点x的位移;${t_i}(x)$为任意点x的应力;${G_{ij}}(x,\xi )$${T_{ij}}(x,\xi )$分别为任一点x的位移、应力格林函数[19]

      基于单层位势理论,按照间接边界元法基本原理,各点位移、应力[19]可表示如下:

      $${u_i}\left( x \right) = \int_V {{G_{ij}}{\rm{(}}x{\rm{,}}\xi {\rm{)}}{f_j}{\rm{(}}\xi {\rm{)}}{\rm d}{V_\xi }} + \int_S {{G_{ij}}(x,\xi ){\phi _j}{\rm{(}}\xi {\rm{)}}{\rm d}{S_\xi }} $$ (3)
      $$ \begin{split} {t_i}(x) =& \frac{1}{2}{\delta _{ij}}{\phi _i}(x) + \int_V {{T_{ij}}(x,\xi )} {f_j}(\xi ){\rm d}{V_\xi } + \\& \int_S {{T_{ij}}} (x,\xi ){\phi _j}(\xi ){\rm d}{S_\xi } \end{split} \quad\quad\quad\quad\quad\; $$ (4)

      式(4)中,${\phi _i}(x)$表示为区域边界上的虚拟荷载分布。进行数值计算,必须先离散所求计算模型的边界面,求解过程中,通过忽略简谐波的时间因子${{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}}$来构造格林函数,其中,i为虚数单位,${{\rm{i}}^2} = - 1$$t$代表时间;$\omega $代表圆频率,对非均布荷载作用单元,采用单点高斯积分,集中力位移和应力格林函数可以表达为:

      $$ G_{ij}^{} = \frac{1}{{i8\rho }}\left[ {{\delta _{ij}}A - (2{\gamma _i}{\gamma _j} - {\delta _{ij}})B} \right],i,j = 1,3\quad\quad\; $$ (5)
      $$\begin{split}{T_{ij}} =& \dfrac{{i\mu }}{{2\rho r}}\Bigg\{ { \left[ {B + \dfrac{{\lambda D(qr)}}{{2\mu {\alpha ^2}}}} \right]{\gamma _j}{n_j} + \left[ {B + \dfrac{{D(kr)}}{{2{\beta ^2}}}} \right] \times }\Bigg.\\&\Bigg.{ \left[ {{\gamma _j}{n_j} + {\gamma _k}{n_k}{\delta _{ij}}} \right] + (C - 4B){\gamma _i}{\gamma _j}{\gamma _k}{n_k} } \Bigg\}\end{split}$$ (6)

      式(5)、式(6)中:$A = \dfrac{{H_0^{(2)}(qr)}}{{{\alpha ^2}}} + \dfrac{{H_0^{(2)}(kr)}}{{{\beta ^2}}}$$B = \dfrac{{H_2^{(2)}(qr)}}{{{\alpha ^2}}} + \dfrac{{H_2^{(2)}(kr)}}{{{\beta ^2}}}$$C = \dfrac{{D(qr)}}{{{\alpha ^2}}} - \dfrac{{D(kr)}}{{{\beta ^2}}}$$D(p) = $$pH_1^{(2)}(p)$$\alpha = \sqrt {(\lambda + 2\mu )/\rho } $$\beta = \sqrt {\mu /\rho } $分别为P波、SV波在介质中的波速;$q = \omega /\alpha $$k = \omega /\beta $分别为P波、SV波在介质中的波数;${\delta _{ij}}$表示Delta函数(${\delta _{ij}} = 1,i \ne j$);$\mu $为介质剪切模量;${\gamma _j} = ({x_j} - {\xi _j})/r$$r = \sqrt {{{({x_1} - {\xi _1})}^2} + {{({x_3} - {\xi _3})}^2}} $${n_j}$是法向量;$H_n^{(2)}(.)$表示n阶第二类Hankel函数。

    • 根据单层位势理论和IBEM原理,散射场的产生是由于在各个区域边界施加虚拟均布单元荷载,即把虚拟波源置于离散边界单元上,在这里散射场引起散射体内任一点的位移应力积分表达式为:

      半空间凹陷域$\varTheta $内:

      $$u_i^{(s,\varTheta )}(x) = \int_{S_1} {{\phi _j}(\xi ){G_{ij}}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} $$ (7)
      $$t_i^{(s,\varTheta )}(x) = \int_{S_1} {{\phi _j}(\xi ){T_{ij}}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} $$ (8)

      凸起山体域$\varOmega $内:

      $$u_i^{(s,\varOmega )}(x) = \int_{S_2} {{\phi _j}(\xi ){G_{ij}}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} $$ (9)
      $$t_i^{(s,\varOmega )}(x) = \int_{S_2} {{\phi _j}(\xi ){T_{ij}}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} $$ (10)

      左右衬砌隧道域${\varPsi _1}$${\varPsi _2}$内:

      $$u_i^{(s,{\varPsi _1}({\varPsi _2}))}(x) = \int_{S_3} {{\phi _j}(\xi ){G_{ij}}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} $$ (11)
      $$t_i^{(s,{\varPsi _1}({\varPsi _2}))}(x) = \int_{S_3} {{\phi _j}(\xi ){T_{ij}}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} $$ (12)

      式中:${\phi _j}{\rm d}{S_\xi }$$(i,j = x,y)$为离散边界单元的应力;${G_{ij}}(x,\xi )$${T_{ij}}(x,\xi )$分别代表位移和应力格林函数,指的是单位力向量j作用在$\xi $引起$x$$i$向的应力和位移,格林函数自动满足水平地表边界上应力为零的边界条件,同时满足波动方程。

    • 由于采用弹性半空间动力基本解,自由地表边界条件可自动满足。故只需考虑隧道与山体交界面的位移、应力连续性条件及隧道内壁等的零应力条件,具体为:

      1) 自由水平地表边界${L_1}$上应力为0自动满足:

      $$\tau _{_{\varTheta ,ij}}^{(t)} = \mu \frac{{\partial {u^{(t)}}}}{{r\partial r}} = 0,\;\;\;\;\;i,j = x,y$$ (13)

      2) 虚拟凹陷边界${L_2}$上的位移和应力连续:

      $$u_{\varTheta ,ij}^{(f)} + u_{\varTheta ,ij}^{(s)} = u_{\varOmega ,ij}^{(s)},\;\;\;\;\;i,j = x,y$$ (14)
      $$\tau _{_{\varTheta ,ij}}^{(f)} + \tau _{_{\varTheta ,ij}}^{(s)} = \tau _{_{\varOmega ,ij}}^{(s)},\;\;\;\;\;i,j = x,y\quad$$ (15)

      3) 凸起山体域$\varOmega $内凸起边界${L_3}$上应力为0:

      $$\tau _{_{\varOmega ,ij}}^{(t)} = \mu \frac{{\partial {u^{(t)}}}}{{r\partial r}} = 0,\;\;\;\;\;i,j = x,y$$ (16)

      4) 凸起山体域$\varOmega $和左右隧道${\varPsi _1}$${\varPsi _2}$域间的公共边界L4L6上应力连续:

      $$u_{\varOmega ,ij}^{(f)} + u_{\varOmega ,ij}^{(s)} = u_{\varPsi 1(\varPsi 2),ij}^{(s)},\;\;\;\;\;\;i,j = x,y$$ (17)
      $$\tau _{_{\varOmega ,ij}}^{(f)} + \tau _{_{\varOmega ,ij}}^{(s)} = \tau _{_{\varPsi 1(\varPsi 2),ij}}^{(s)},\;\;\;\;\;\;i,j = x,y\quad$$ (18)

      5) 左右隧道${\varPsi _1}$${\varPsi _2}$域中的隧道衬砌内边界L5L7应力为0:

      $$\tau _{_{\varPsi 1(\varPsi 2),ij}}^{(t)} = \mu \frac{{\partial {u^{(t)}}}}{{r\partial r}} = 0,\;\;\;\;\;\;i,j = x,y$$ (19)

      根据计算模型边界条件式(13)~式(19)和散射场位移应力表达式(7)~式(12),边界条件的积分表达式为:

      $$\int_S {\phi _j^\varTheta (\xi )T_{ij}^\varTheta (x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} = - t_\varTheta ^{(f)},\;\;\;\;\;i,j = x,y$$ (20)
      $$\begin{split}& \int_S {\phi _j^\varTheta (\xi )G_{ij}^\varTheta (x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} - \\&\int_S {\phi _j^\varOmega (\xi )G_{ij}^\varOmega (x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} = - u_\Theta ^{(f)},\;\;\;\;\;i,j = x,y \end{split} $$ (21)
      $$\begin{split}& \int_S {\phi _j^\varTheta (\xi )T_{ij}^\varTheta (x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} - \\&\int_S {\phi _j^\varOmega (\xi )T_{ij}^\varOmega (x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} = - t_\varTheta ^{(f)},\;\;\;\;\;i,j = x,y \end{split} \;\;$$ (22)
      $$\int_S {\phi _j^\varOmega (\xi )T_{ij}^\varOmega (x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} = 0,\;\;\;\;\;i,j = x,y\quad\;\;\;$$ (23)
      $$\begin{split}& \int_S \begin{array}{l} \phi _j^\varOmega (\xi )G_{ij}^\varTheta (x,\xi ) \\ {\rm d}{S_\xi } \\ \end{array} - \\&\int_S \begin{array}{l} \phi _j^{\varPsi 1 + \varPsi 2}(\xi )G_{ij}^{\varPsi 1 + \varPsi 2}(x,\xi ) \\ {\rm d}{S_\xi } \\ \end{array} = 0,\;\;\;\;\;i,j = x,y \end{split} $$ (24)
      $$\begin{split}& \int_S \begin{array}{l} \phi _j^\varOmega (\xi )T_{ij}^\varTheta (x,\xi ) \\ {\rm d}{S_\xi } \\ \end{array} -\\& \int_S \begin{array}{l} \phi _j^{\varPsi 1 + \varPsi 2}(\xi )T_{ij}^{\varPsi 1 + \varPsi 2}(x,\xi ) \\ {\rm d}{S_\xi } \\ \end{array} = 0,\;\;\;\;\;i,j = x,y \end{split} \;\;$$ (25)
      $$\int_S {\phi _j^{\varPsi 1(\varPsi 2)}(\xi )T_{ij}^{\varPsi 1(\varPsi 2)}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi }} = 0,\;\;\;\;\;i,j = x,y$$ (26)

      实际计算时,首先,离散山体附近部分地表、凸起边界和左右隧道内外壁边界,再将虚拟波源置于每个离散边界单元上,波源强度保持不变。考虑散射波的空间衰减特征,取水平地表的离散范围大致为隧道附近波长的5倍~8倍,首先将所有边界L1~L7对应离散成N1~N7,假设$\phi _j^{}(\xi )$在每一个离散的单元上的强度保持不变,式(20)~式(26)可转化为线性方程组:

      $$\begin{split}& \displaystyle\sum\limits_{l = 1}^{{N_1} + {N_2} + {N_1}} {\phi _j^\varTheta ({\xi _l})t_{ij}^\varTheta ({x_{{n_1}}},{\xi _l})} = - t_{\varTheta ,ij}^{(f)}({x_{{n_1}}}), \\& {n_1} = 1,{N_1}\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {,\begin{array}{*{20}{l}} {} \end{array}} \end{array}} \end{array}i,j = x,y \end{split} \quad\quad\quad\quad\;\;$$ (27)
      $$\begin{split}& \sum\limits_{{l_1} = 1}^{{N_1} + {N_2} + {N_1}} {\left( \begin{array}{l} \phi _j^\varTheta ({\xi _{{l_1}}}) \\ g_{ij}^\varTheta ({x_{{n_2}}},{\xi _{{l_1}}}) \\ \end{array} \right)} - \sum\limits_{{l_2} = 1}^{{N_2} + {N_3} + {N_4} + {N_6}} {\left( \begin{array}{l} \phi _j^\varOmega ({\xi _{{l_2}}}) \\ g_{ij}^\varOmega ({x_{{n_2}}},{\xi _{{l_2}}}) \\ \end{array} \right)} = \\ & \qquad\qquad- u_{\varTheta ,ij}^{(f)},{n_2} = 1,{N_2},\begin{array}{*{20}{l}} {} \end{array}i,j = x,y \\ \end{split} $$ (28)
      $$\begin{split}& \sum\limits_{{l_1} = 1}^{{N_1} + {N_2} + {N_1}} {\left( \begin{array}{l} \phi _j^\varTheta ({\xi _{{l_1}}}) \\ t_{ij}^\varTheta ({x_{{n_2}}},{\xi _{{l_1}}}) \\ \end{array} \right)} - \sum\limits_{{l_2} = 1}^{{N_2} + {N_3} + {N_4} + {N_6}} {\left( \begin{array}{l} \phi _j^\varOmega ({\xi _{{l_2}}}) \\ t_{ij}^\varOmega ({x_{{n_2}}},{\xi _{{l_2}}}) \\ \end{array} \right)} = \\& \qquad\qquad- u_{\varTheta ,ij}^{(f)},{n_2} = 1,{N_2},\begin{array}{*{20}{l}} {} \end{array}i,j = x,y \\ \end{split} \;\;$$ (29)
      $$\begin{split}& \sum\limits_{l = 1}^{{N_2} + {N_3} + {N_4} + {N_6}} {\phi _j^\varOmega ({\xi _l})t_{ij}^\varOmega ({x_{{n_3}}},{\xi _l})} = 0, \\& {n_3} = 1,{N_3}\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {,\begin{array}{*{20}{l}} {} \end{array}} \end{array}} \end{array}i,j = x,y \\ \end{split}\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ (30)
      $$\begin{split}& \sum\limits_{{l_1} = 1}^{{N_2} + {N_3} + {N_4} + {N_6}} {\left( \begin{array}{l} \phi _j^\varOmega ({\xi _{{l_1}}}) \\ g_{ij}^\varOmega ({x_{{n_4}}},{\xi _{{l_1}}}) \\ \end{array} \right)} - \\&\qquad\qquad\sum\limits_{{l_2} = 1}^{{N_4} + {N_5}} {\left( \begin{array}{l} \phi _j^{\varPsi 1}({\xi _{{l_2}}})g_{ij}^{\varPsi 1}({x_{{n_4}}},{\xi _{{l_2}}}) \\ \displaystyle\sum\limits_{{l_3} = 1}^{{N_6} + {N_7}} {\phi _j^{\varPsi 2}({\xi _{{l_3}}})g_{ij}^{\varPsi 2}({x_{{n_6}}},{\xi _{{l_3}}})} \\ \end{array} \right)} = 0,\\&\qquad\qquad {n_4} = 1,{n_6} = 1,{N_4}{\rm{ + }}{N_6},\begin{array}{*{20}{l}} {} \end{array}i,j = x,y \\ \end{split} \quad\quad\quad\quad$$ (31)
      $$\begin{split}& \sum\limits_{{l_1} = 1}^{{N_2} + {N_3} + {N_4} + {N_6}} {\left( \begin{array}{l} \phi _j^\varOmega ({\xi _{{l_1}}}) \\ t_{ij}^\varOmega ({x_{{n_4}}},{\xi _{{l_1}}}) \end{array} \right)} -\\&\sum\limits_{{l_2} = 1}^{{N_4} + {N_5}} \Bigg( \phi _j^{\varPsi 1}({\xi _{{l_2}}})t_{ij}^{\varPsi 1}({x_{{n_4}}},{\xi _{{l_2}}}) \!- \Bigg.\\&\Bigg. \displaystyle\sum\limits_{{l_3} = 1}^{{N_6} + {N_7}} {\phi _j^{\varPsi 2}({\xi _{{l_3}}})t_{ij}^{\varPsi 2}({x_{{n_6}}},{\xi _{{l_3}}})} \Bigg) = 0, \\& {n_4} = 1,{n_6} = 1,{N_4}{\rm{ + }}{N_6},\;i,j = x,y \end{split} \quad\quad\quad\quad $$ (32)
      $$\begin{split}& \sum\limits_{l = 1}^{{N_4} + {N_5}({N_6} + {N_7})} {\phi _j^{\varPsi 1(\varPsi 2)}({\xi _l})t_{ij}^{\varPsi 1(\varPsi 2)}({x_{{n_6}}},{\xi _l})} = 0,\\& {n_5}({n_7}) = 1,{N_5}({N_7}),\;i,j = x,y \end{split}\quad\quad\quad\quad$$ (33)

      根据弹性波动理论,总波场等于自由场和散射场的叠加,散射场由散射体表面离散单元上施加虚拟荷载来构造:

      $${u_i} = u_i^{(0)} + u_i^{(d)}$$ (34)

      式中,$u_i^{(0)}$表示由入射简谐波引起的自由场(除去任意截面形式浅埋隧道后的部分)位移。

      基于上述讨论,忽略重力对计算结果的影响,式(3)、式(4)可简化为式(35)、式(36),即:

      $$u_i^{(d)}(x) = \int_S {{\phi _j}(\xi )} {G_{ij}}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi }\quad\quad\quad\quad\quad\;$$ (35)
      $$\frac{1}{2}{\delta _{ij}}{\phi _j}(x) + \int_S {{\phi _j}(\xi )} {T_{ij}}(x,\xi ){\rm d}{S_\xi } = - t_i^{(0)}(x)$$ (36)

      将散射体表面边界S离散成N个均等的小单元,每个小单元的的尺寸用$\Delta S$代表,则线性方程可表示为:

      $$\sum\limits_{l = 1}^N {{\phi _j}({\xi _i})} {t_{ij}}({x_n},{\xi _l}) = - t_i^{(0)}({x_n}),n = 1,N,\quad$$ (37)
      $${t_{ij}}({x_n},{\xi _l}) = \frac{1}{2}{\delta _{ij}}{\xi _{nl}} + \int_{\xi l - \frac{{\Delta S}}{2}}^{\xi l + \frac{{\Delta S}}{2}} {{T_{ij}}({x_n},\xi )} {\rm d}{S_\xi }$$ (38)

      式(37)中,如果$x \ne {\rm{\xi }}$,可直接利用高斯积分求解${t_{ij}}({x_n},{\xi _l})$,反之需要利用格林函数展开来得到解析解,式(38)表示为:

      $${t_{ij}}({x_n},{\xi _n}) = \frac{1}{2}{\delta _{ij}}$$ (39)

      联立式(37)、式(38)可求解出离散边界上的虚拟均布波源密度${\phi _j}({\xi _i})$,进而可求解散射场位移。

    • 由于自由地表边界条件处理上的困难,半空间中山岭隧道对SV波的散射问题至今还没有精确的解析解,只能通过边界条件验算及退化到半圆形凸起山体动力响应与现有结果的比较来考察计算精度。

      首先定义一无量纲频率$\eta $:

      $$\eta = \frac{{2R}}{\lambda } = \frac{{kR}}{\pi } = \frac{{\omega R}}{{\pi \beta }}$$ (40)

      式中:R为隧道的宽度;$\lambda $为剪切波波长;k为剪切波波数;$\beta $为入射波剪切波速。

      现考虑退化为单一隧道,利用本文的方法计算了隧道内表面的半空间位移幅值和动应力集中系数。图3(a)为本文方法结果与Luco和De Barros[20]关于SV波垂直入射的弹性半空间的结果比较。计算参数:密度比${\rho _2}/{\rho _1}$=1.0;波速比${c_{\beta 2}}/{c_{\beta 1}}$=1.0;阻尼比$\zeta $=0.001;泊松比$\nu $=1/3;无量纲频率$\eta $=0.5。另外,考虑退化为单一半椭圆山体,计算山体周围的频率响应,图3(b)为本文方法和Álvarez-Rubio[21]等人关于SV波入射角为30°时的结果比较。计算参数:阻尼比$\zeta $=0.01;泊松比$\nu $=0.25。对比两者吻合程度良好,从而验证了本文方法的正确性。

      图  3  精度验证

      Figure 3.  Accuracy verification

    • 山体模型尺寸参数如表1,其中,取山体、隧道半径比a/a1=10,高斯山体地形和隧道衬砌材料泊松比分别均取0.25和0.2,剪切波速分别取1000 m/s(微风化岩)和2667 m/s,材料粘滞阻尼比均取0.001。图4图5分别给出了不同隧道间距D对应的山体地表水平位移幅值和竖向位移幅值。图6给出了SV波不同角度入射下山体地表不同点位移幅值谱。计算参数:双隧道间距D/a1=3、4、5、6;无量纲频率$\eta $=1、2、5、10;入射角度$\alpha = $0°、30°。

      表 1  山体模型尺寸参数

      Table 1.  Size parameter of mountain model

      形状几何形状
      高斯山体$|x| \geqslant a,y = 0$$\begin{array}{l} - a < x \leqslant 0,y = - 0.5a[ { - 2{{(x/a)}^3} - 3{{(x/a)}^2} + 1} ] \\ 0 < x < a,y = - 0.5a[ {2{{(x/a)}^3} - 3{{(x/a)}^2} + 1} ] \\ \end{array} $

      图  5  不同隧道间距D影响的地表位移幅值($\alpha = $30°)

      Figure 5.  Surface displacement amplitude of mountain affected by different tunnel spacings D ($\alpha = $30°)

      图  6  SV波入射下山体地表不同点位移幅值谱

      Figure 6.  Displacement spectra of different points of mountain surface under SV wave incidence

      图  7  不同隧道间距D影响的隧道水平位移云图

      Figure 7.  Horizontal displacement contours of tunnel affected by different tunnel spacings D

    • 本文给出了稳态平面SV波入射下,山体表面及附近地表表面位移幅值图。分析不同隧道间距D及不同入射频率对山体表面及地表水平位移的影响程度。图4图5中横、纵轴坐标分别对应地表点位x/a和地表位移幅值(已由入射波的位移幅值标准化)。

      图  4  不同隧道间距D影响的地表位移幅值($\alpha = $0°)

      Figure 4.  Surface displacement amplitude of mountain affected by different tunnel spacings D ($\alpha = $0°)

      图4图5可以看出,无量纲频率$\eta $、入射角度$\alpha $、双隧道间距D对地表位移幅值具有重要影响。1)当$\eta $较小时($\eta $= 1, 2),山体表面及附近地表位移幅值空间变化简单;当入射频率逐渐增大时,地表位移幅值也随之增大且震荡更为剧烈,空间分布特征更为复杂;当$\alpha = $0°,山体表面以及附近水平地表位移幅值由$\eta $=1时的2.76增大到$\eta $=10时的4.85,竖向地表位移幅值则由0.94增大到2.31;当以$\alpha = $30°斜入射时,水平位移由$\eta $=1时的2.34增大到$\eta $=10时的3.28,竖向位移则由2.29增大到3.16。2)接近垂直入射时,山体表面及附近地表位移幅值表现出来很强对称性,随着入射角度$\alpha $的增大,迎波面地表位移幅值震荡加剧。值得注意的是高频SV波入射时,迎波面地表位移震荡剧烈,但位移幅值出现在背波面,实际工程中应当适当提高隧道沿线建筑物的抗震设防等级。3)双隧间距D也是重要影响因素:当入射波频率较小时,隧道间距D变化对地表位移影响不大,如图中当无量纲频率$\eta $=1时,隧道间距D/a1由3增加到6,4条地表位移曲线基本重合,随着$\eta $的增大,双隧间距D变化对位移幅值的影响增强;由图易知当$\eta > 5$时,双隧道间距D增大地表位移幅值随之增大,当$\alpha $=0°时,山顶水平位移幅值由D/a1=3时的3.49增加到D/a1=6时的4.62。

      为全面反映散射的频谱特性,分析SV波入射下不同入射角度$\alpha $、不同入射频率$\eta $、不同双隧间距D对山体地表典型点位的位移幅值谱的影响。考虑地震波入射角度$\alpha = $0°、30°,在山体地表选择x/a=0、0.5、1、2、4这5个观察点。其它地质条以及几何参数同上,入射波无量纲频率$\eta $取值范围为0~10。

      图6可看出,无量纲频率$\eta $、入射角度$\alpha $、双隧间距D对高斯山体地表位移频谱特征具有显著影响:1)当SV波垂直入射($\alpha = $0°)时,山顶位置(x/a=0)水平位移幅值明显大于其他点位,最大位移幅值${u_{\max }}$=6.67($\eta = 4.53$,山顶处);而山顶位置的竖向位移幅值明显小于其他点位,山顶附近(x/a=0.5)位置的地震响应更为明显。随入射角度$\alpha $增加,水平位移整体上有减小的趋势,竖向位移有增大的趋势,且地表竖向位移幅值谱曲线震动加剧;2)山体及其附近地表幅值谱曲线对频率变化较为敏感,会出现明显的“波峰”和“波谷”,频率$\eta $增加,位移幅值有增大趋势,如最大位移幅值由$\eta = 0$时的1.87增加到$\eta = 4.53$时的6.67;3)整体上看,SV波入射下,最大地表位移幅值出现在山顶处,随着地表点位到山顶距离x/a增大,地表位移幅值显著减小,当距离x/a>2后,位移幅值谱逐步趋于稳定。

    • 为了更加直观的表示凸起山体地形中双隧道由于入射波特性、双隧间距D等地震参数对其动力响应的影响,本文分别给出了不同地震参数下隧道上的位移幅值云图和动应力幅值云图。定义隧道衬砌内部环向应力和入射波应力幅值的比值为动应力集中因子,即$\sigma _{\alpha \alpha }^* = \left| {{\sigma _{\alpha \alpha }}/\mu k_\beta ^2} \right|$。为了考虑双隧道间距D对隧道动力响应的影响,取D/a1=3、4、5。考虑入射波特性对隧道动力响应的影响,取无量纲频率$\eta $=1、2、5、10。入射角度$\alpha = $0°、30°。

    • 图7给出了SV波垂直入射下弹性半空间中凸起山体地形中含双马蹄形衬砌隧道的水平位移分布云图情况,鉴于垂直入射时,两隧道的位移云图关于Y轴对称,因此,仅画出右侧隧道的位移云图(下文同)。图7中的位移幅值已由入射波的位移幅值标准化。

      图7(a)图7(b)图7(c)分别表示D/a1=3、4、5,纵向对比可知,随着双隧道间距D的增大,山岭隧道衬砌内部的位移幅值整体上有减小的趋势,以$\eta $=1.0为例,最大位移幅值由D/a1=3时的0.85减小到D/a1=5时的0.75,隧道的空间位移有关于隧道中心线对称的趋势,两隧道间的相互作用减弱;当入射频率较低时,山岭隧道水平位移最大值出现在右隧道顶部,如$\eta $=1.0时,右山岭隧道水平位移为0.8;随着无量纲频率的增大,地震波波长减小,隧道内部对地震波的散射更加强烈,山岭隧道衬砌内部位移幅值整体上逐渐增大,$\eta $=10.0时,右山岭隧道水平位移为1.4,隧道位移的空间分布特征也更为复杂。

    • 图8~图10分别给出了凸起山体地形中双山岭隧道在SV波入射下,双隧道间距不同时左右衬砌隧道内部动应力集中因子分布情况。SV波垂直入射时仍仅给出右隧道应力云图。可以看出,双隧道衬砌内部的应力幅值及空间状态分布主要与入射波的特性(入射波频率和入射角)和隧道间距D有关。

      图  8  SV波入射下不同隧道间距时右山岭隧道环形应力云图($\alpha = $0°)

      Figure 8.  Circular stress contours of right mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ($\alpha = $0°)

      图  9  SV波入射下不同隧道间距时右山岭隧道环形应力云图($\alpha = $30°)

      Figure 9.  Circular stress contours of right mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ($\alpha = $30°)

      图  10  SV波入射下不同隧道间距时左山岭隧道环形应力云图($\alpha = $30°)

      Figure 10.  Circular stress contours of left mountain tunnel with different tunnel spacings under SV wave incidence ($\alpha = $30°)

      分析图8可得,SV波垂直($\alpha = $0°)入射,$\eta $=1.0时,右隧道的环向应力空间分布比较均匀,关于隧道中心线对称,主要是因为在低频段两隧道间的相互作用比较弱,此时应力峰值出现在隧道上部左右两侧与竖向夹角约为45°及隧道下部左右两侧与水平夹角约为30°的位置,其值约为25;随入射频率$\eta $增大,对于右隧道,环向应力峰值逐渐向隧道右侧移动,在$\eta $=10时,隧道内部应力分布更加复杂,应力集中区域增加但隧道衬砌内部环向应力幅值逐渐减小,动应力集中因子衰减到20;纵向对比可知,随隧道间距D增大,隧道应力空间分布关于隧道中心线对称,说明隧道间相互影响减弱,故实际工程中,双隧道间距D增大到一定值后,可忽略隧道间相互作用。

      观察图9图10可得,随着双隧间距D的增加,隧道内部衬砌环向应力有减小的趋势,这与分析图8得出的结论相一致。左右两侧隧道应力计算结果表明,随着入射角度$\alpha $的增大,两隧道衬砌内部环向应力均有增加的趋势,由于山体对地震波复杂的反射作用,左隧道的应力幅值整体上小于右隧道,实际工程设计时应注意远离地震波入射一侧隧道的强度破坏。另外,隧道的内外壁的应力数值差别较大,故实际工程设计中要多加注意。

    • 本文采用间接边界元法研究了SV波入射下弹性半空间中双线隧道—山体系统动力响应,着重考察了隧道存在对山体表面及附近地表散射的影响规律,分析了入射波角度、频率、隧道间距等参数对散射的影响,得到如下有益结论:

      (1)入射角度、无量纲频率、山体高宽比、双隧间距等都是影响山体表面、附近地表地面运动、山体隧道本身应力及位移的主要因素。

      (2)当无量纲频率$\eta $较小时($\eta $=1, 2),山体表面及其附近地表位移幅值的空间变化比较简单,双隧道间距D变化对地表位移幅值影响不大;当入射频率$\eta $逐渐增大时,地表位移幅值也随之增大,同时地表位移幅值震荡更为剧烈,空间分布特征更为复杂。

      (3)随隧道间距D增大,山岭隧道衬砌隧道内部位移幅值整体上有减小的趋势,隧道空间位移有关于隧道中心线对称的趋势,两隧道间相互作用减弱。当入射频率较低时,山岭隧道水平位移最大值出现在右隧道顶部,竖向位移最大值出现在隧道右端(两隧道外侧)。

      (4)随隧道间距D减小,隧道内部衬砌环向应力有增大趋势。随入射角度$\alpha $增大,两隧道衬砌内部环向应力均有增加趋势,靠近地震波入射一侧隧道应力幅值整体上小于远侧隧道,实际工程设计时应注意远离波入射一侧隧道强度破坏。

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