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集中荷载作用下弹性扭转约束层合浅拱的非线性面内稳定

张紫祥 刘爱荣 黄永辉 钟丽聪

张紫祥, 刘爱荣, 黄永辉, 钟丽聪. 集中荷载作用下弹性扭转约束层合浅拱的非线性面内稳定[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 13-19, 31. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
引用本文: 张紫祥, 刘爱荣, 黄永辉, 钟丽聪. 集中荷载作用下弹性扭转约束层合浅拱的非线性面内稳定[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 13-19, 31. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
Zi-xiang ZHANG, Ai-rong LIU, Yong-hui HUANG, Li-cong ZHONG. NONLINEAR IN-PLANE BUCKLING OF ROTATIONALLY RESTRAINED SHALLOW LAMINATED ARCHES UNDER A CENTRAL CONCENTRATED LOAD[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 13-19, 31. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
Citation: Zi-xiang ZHANG, Ai-rong LIU, Yong-hui HUANG, Li-cong ZHONG. NONLINEAR IN-PLANE BUCKLING OF ROTATIONALLY RESTRAINED SHALLOW LAMINATED ARCHES UNDER A CENTRAL CONCENTRATED LOAD[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 13-19, 31. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048

集中荷载作用下弹性扭转约束层合浅拱的非线性面内稳定

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
基金项目: 国家自然科学基金项目(51878188);广州大学研究生创新能力培养资助计划项目(2019GDJC-D12)
详细信息
    作者简介:

    张紫祥(1994−),男,内蒙古人,博士生,从事新型材料拱的稳定性研究(E-mail: zhangzixiang@e.gzhu.edu.cn)

    黄永辉(1982−),男,湖南人,副研究员,博士,硕导,从事新型材料拱的稳定性研究(E-mail: huangyh@gzhu.edu.cn)

    钟丽聪(1993−),女,广东人,硕士生,从事新型材料拱的稳定性研究(E-mail: 739376854@qq.com)

    通讯作者: 刘爱荣(1972−),女,山西人,教授,博士,博导,从事拱的静动力稳定研究(E-mail: Liuar@gzhu.edu.cn)
  • 中图分类号: TU311.3;TU312

NONLINEAR IN-PLANE BUCKLING OF ROTATIONALLY RESTRAINED SHALLOW LAMINATED ARCHES UNDER A CENTRAL CONCENTRATED LOAD

  • 摘要: 该文研究了集中荷载作用下弹性扭转约束层合拱的非线性面内稳定,基于虚功原理建立了拱的微分平衡方程及屈曲平衡方程,追踪了拱的平衡路径,获得了屈曲临界荷载的解析表达,提出了修正长细比参数及柔度系数以表征拱的失稳模式,通过有限元模拟验证了解析结果的正确性,着重分析了铺层模式及边界条件对层合拱的屈曲及后屈曲的影响。研究结果表明:当长细比及柔度系数给定,层合拱的屈曲临界荷载随着开口角及修正长细比的增大而增大;铺层模式显著影响拱的屈曲临界荷载,随着90°铺层逐渐远离中面,拱的承载能力明显降低。
  • 图  1  集中荷载作用下扭转约束层合拱力学模型

    Figure  1.  Rotationally restrained shallow laminated arch under a central concentrated load

    图  2  层合拱极值点失稳及分岔失稳平衡路径

    Figure  2.  Equilibrium path of limit point buckling and bifurcation buckling

    图  3  层合拱极值点失稳及分岔失稳周力荷载曲线

    Figure  3.  Circumferential force-dimensionless buckling load curves of limit point buckling and bifurcation buckling

    图  4  层合拱极值点失稳与非失稳的临界平衡路径

    Figure  4.  Critical equilibrium path between no buckling and limit point buckling

    图  5  层合拱极值点失稳与非失稳的临界周力荷载曲线

    Figure  5.  Critical circumferential force-dimensionless buckling load curve between no buckling and limit point buckling

    图  6  柔度参数对层合拱失稳模式的影响

    Figure  6.  Modified slenderness ratios versus flexibility limits

    图  7  层合拱的有限元模型

    Figure  7.  Finite element model of laminated arch

    图  8  理论与数值失稳平衡路径对比

    Figure  8.  Comparisons of analytical solutions and finite element analysis results of equilibrium paths

    图  9  开口角对层合拱失稳荷载的影响

    Figure  9.  Buckling loads versus included angle

    图  10  修正长细比对层合拱失稳荷载的影响

    Figure  10.  Buckling loads versus modified slenderness ratio

    表  1  铺层模式对弹性扭转约束层合拱的失稳临界荷载的影响    /(×105 N)

    Table  1.   layer-ups versus critical buckling load of arch with elastic rotational restraint

    柔度系数 铺层条件 解析解 有限元解 相对误差/(%)
    0 [0/90]2 0.697 0.683 2.01
    [0/90]s 1.112 1.082 2.70
    [02/902] 0.469 0.460 1.92
    0.5 [0/90]2 0.665 0.653 1.80
    [0/90]s 1.100 1.072 2.55
    [02/902] 0.434 0.427 1.61
    1 [0/90]2 0.649 0.637 1.85
    [0/90]s 1.073 1.050 2.14
    [02/902] 0.425 0.418 1.65
    注:弧长S = 7 m,开口角2Θ = 20°。
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  • [1] Eroglu U. Large deflection analysis of planar curved beams made of functionally graded materials using variational iterational method [J]. Composite Structures, 2016, 136: 204 − 216. doi:  10.1016/j.compstruct.2015.10.017
    [2] Kim D, Chaudhuri R A. Postbuckling behavior of symmetrically laminated thin shallow circular arches [J]. Composite Structures, 2009, 87(1): 101 − 108. doi:  10.1016/j.compstruct.2008.01.005
    [3] Luu A T, Kim N I , Lee J. Bending and buckling of general laminated curved beams using NURBS-based isogeometric analysis [J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2015, 54: 218 − 231. doi:  10.1016/j.euromechsol.2015.07.006
    [4] Fraternali F, Spadea S, Ascione L. Buckling behavior of curved composite beams with different elastic response in tension and compression [J]. Composite Structures, 2013, 100: 280 − 289. doi:  10.1016/j.compstruct.2012.12.021
    [5] She G L, Ren F G, Yuan F G. Thermal buckling and post-buckling analysis of functionally graded beams based on a general higher-order shear deformation theory [J]. Applied Mathematical Modelling, 2017, 47: 340 − 357. doi:  10.1016/j.apm.2017.03.014
    [6] Kiss L P. Nonlinear stability analysis of FGM shallow arches under an arbitrary concentrated radial force [J]. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2020, 16: 91 − 108.
    [7] Yang Z, Huang Y, Liu A, Fu J, Wu D. Nonlinear in-plane buckling of fixed shallow functionally graded graphene reinforced composite arches subjected to mechanical and thermal loading [J]. Applied Mathematical Modelling, 2019, 70: 315 − 327. doi:  10.1016/j.apm.2019.01.024
    [8] Bateni M, Eslami M R. Non-linear in-plane stability analysis of FG circular shallow arches under uniform radial pressure [J]. Thin-Walled Structures, 2015, 94: 302 − 313. doi:  10.1016/j.tws.2015.04.019
    [9] Liu Z, Yang C, Gao W, et al. Nonlinear behavior and stability of functionally graded porous arches with graphene platelets reinforcements [J]. International Journal of Engineering Science, 2019, 137: 37 − 56. doi:  10.1016/j.ijengsci.2018.12.003
    [10] Zhang Z, Liu A, Yang J, et al. Nonlinear in-plane elastic buckling of a laminated circular shallow arch subjected to a central concentrated load [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2019, 161: 105023.
    [11] Pi Y L, Bradford M A, Tin-Loi F. Non-linear in-plane buckling of rotationally restrained shallow arches under a central concentrated load [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2008, 43(1): 1 − 17. doi:  10.1016/j.ijnonlinmec.2007.03.013
    [12] 康厚军, 易壮鹏, 曾有艺. 非理想边界拱的面内失稳模式与屈曲荷载[J]. 湖南大学学报(自然科学版), 2015, 42(5): 58 − 64.

    Kang Houjun, Yi Zhangpeng, Zeng Youyi. Planar buckling mode and critical load for arch structure with non-ideal boundary [J]. Journal of Hunan University (Natural Sciences), 2015, 42(5): 58 − 64. (in Chinese)
    [13] 曾有艺, 易壮鹏, 颜东煌. 跨中集中荷载作用下弹性约束圆弧拱的稳定性分析[J]. 应用力学学报, 2016, 33(5): 909.

    Zeng Youyi, Yi Zhuangpeng, Yan Donghuang. Analysis of buckling for a circular arch with rotational elastic constraints under a central concentrated load [J]. Chinese journal of applied mechanics, 2016, 33(5): 909. (in Chinese)
    [14] 潘权, 易壮鹏, 曾有艺, 等. 集中荷载作用下弹性支撑浅拱屈曲特性求解[J]. 长安大学学报(自然科学版), 2017, 37(4): 112 − 118.

    Pan Quan, Yi Zhuangpeng, Zeng Youyi, et al. Solving of buckling characteristic of elastically supported shallow arch under concentrated load [J]. Journal of Chang'an University (Natural Science Edition), 2017, 37(4): 112 − 118. (in Chinese)
    [15] 李萍, 金福松, 简方, 等. 含脱层单向铺设层合梁非线性后屈曲分析[J]. 工程力学, 2019, 36(11): 230 − 240.

    Li Ping, Jin Fusong, Jian Fang, et al. Nonlinear post-buckling analysis of unidirectional laminated beams with delamination [J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(11): 230 − 240. (in Chinese)
    [16] 刘述伦, 薛江红, 王璠, 等. 含脱层纤维增强复合材料层合板在湿热环境下的屈曲分析[J]. 工程力学, 2015, 32(3): 1 − 8.

    Liu Shulun, Xue Jianghong, Wang Fan, et al. Buckling analysis of fiber-reinforced laminated composite plate with delamination under hygrothermal environment [J]. Engineering Mechanics, 2015, 32(3): 1 − 8. (in Chinese)
  • [1] 钟子林, 刘爱荣.  携带集中质量的矩形薄板面外非线性动力失稳研究 . 工程力学, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
    [2] 李萍, 金福松, 简方, 夏飞, 薛江红, 熊颖.  含脱层单向铺设层合梁非线性后屈曲分析 . 工程力学, 2019, 36(11): 230-240. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2018.04.0237
    [3] 李莉, 陈万吉, 郑楠.  修正偶应力理论层合薄板稳定性模型及尺度效应 . 工程力学, 2013, 30(5): 1-7. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2011.11.0750
    [4] 刘爱荣, 汪荷玲, 禹奇才, 张俊平.  悬链线斜靠式拱肋系侧倾失稳临界荷载 . 工程力学, 2013, 30(10): 162-170. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.06.0460
    [5] 张文志, 富明慧, 林敬华.  层合梁脱层分析的精细解法 . 工程力学, 2012, 29(7): 35-41. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2010.10.0764
    [6] 叶康生, 陆天天, 袁 驷.  结构几何非线性分析中分叉失稳的直接求解 . 工程力学, 2011, 28(8): 1-008.
    [7] 刘爱荣, 申富林, 邝钜滔, 张俊平, 禹奇才.  斜靠式拱肋系侧倾失稳临界荷载计算方法 . 工程力学, 2011, 28(12): 166-172.
    [8] 韦建刚, 陈宝春, 吴庆雄.  钢管混凝土压弯拱非线性临界荷载计算的等效梁柱法 . 工程力学, 2010, 27(10): 104-109.
    [9] 董会丽.  基于遗传算法的复合材料层合壳荷载识别 . 工程力学, 2009, 26(8): 26-029.
    [10] 王 蕴.  压电层合圆板驻波振动的非线性动力学分析 . 工程力学, 2009, 26(11): 46-052.
    [11] 邹新军, 赵明华, 刘光栋.  基于无单元Galerkin法的软土区高承台超长嵌岩基桩屈曲分析 . 工程力学, 2009, 26(1): 125-130.
    [12] 董会丽, 郑世杰.  基于RBF神经网络的复合材料层合壳荷载识别 . 工程力学, 2008, 25(3): 0-067.
    [13] 傅衣铭, 高正强.  层合中厚浅球壳受撞击时的非线性动力响应分析 . 工程力学, 2008, 25(3): 0-013.
    [14] 罗建辉, 陈政清, 刘光栋.  大跨度缆索承重桥梁非线性静风扭转失稳机理的研究 . 工程力学, 2007, 24(增刊Ⅱ): 0-154.
    [15] 董 科, 王 熙, 王 虹.  波在考虑热载荷和转动惯量效应的非线性大变形多层压电层合壳内的传播研究 . 工程力学, 2007, 24(1): 0-161.
    [16] 童根树, 邢国然.  框架弹塑性失稳的层稳定系数 . 工程力学, 2007, 24(3): 0-019.
    [17] 王元博, 王肖钧, 胡秀章, 王峰.  Kevlar层合材料抗弹性能研究 . 工程力学, 2005, 22(3): 76-81.
    [18] 程鹏, 童根树.  圆弧拱平面内弯曲失稳一般理论 . 工程力学, 2005, 22(1): 93-101.
    [19] 修英姝, 崔德刚.  复合材料层合板稳定性的铺层优化设计 . 工程力学, 2005, 22(6): 212-216.
    [20] 许功明, 沈大荣.  用加权残数法分析各向异性层合薄板的几何非线性问題 . 工程力学, 1985, 2(3): 20-29.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-04-26
  • 修回日期:  2020-01-16
  • 网络出版日期:  2020-06-01
  • 刊出日期:  2020-06-01

集中荷载作用下弹性扭转约束层合浅拱的非线性面内稳定

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
    基金项目:  国家自然科学基金项目(51878188);广州大学研究生创新能力培养资助计划项目(2019GDJC-D12)
    作者简介:

    张紫祥(1994−),男,内蒙古人,博士生,从事新型材料拱的稳定性研究(E-mail: zhangzixiang@e.gzhu.edu.cn)

    黄永辉(1982−),男,湖南人,副研究员,博士,硕导,从事新型材料拱的稳定性研究(E-mail: huangyh@gzhu.edu.cn)

    钟丽聪(1993−),女,广东人,硕士生,从事新型材料拱的稳定性研究(E-mail: 739376854@qq.com)

    通讯作者: 刘爱荣(1972−),女,山西人,教授,博士,博导,从事拱的静动力稳定研究(E-mail: Liuar@gzhu.edu.cn)
  • 中图分类号: TU311.3;TU312

摘要: 该文研究了集中荷载作用下弹性扭转约束层合拱的非线性面内稳定,基于虚功原理建立了拱的微分平衡方程及屈曲平衡方程,追踪了拱的平衡路径,获得了屈曲临界荷载的解析表达,提出了修正长细比参数及柔度系数以表征拱的失稳模式,通过有限元模拟验证了解析结果的正确性,着重分析了铺层模式及边界条件对层合拱的屈曲及后屈曲的影响。研究结果表明:当长细比及柔度系数给定,层合拱的屈曲临界荷载随着开口角及修正长细比的增大而增大;铺层模式显著影响拱的屈曲临界荷载,随着90°铺层逐渐远离中面,拱的承载能力明显降低。

English Abstract

张紫祥, 刘爱荣, 黄永辉, 钟丽聪. 集中荷载作用下弹性扭转约束层合浅拱的非线性面内稳定[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 13-19, 31. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
引用本文: 张紫祥, 刘爱荣, 黄永辉, 钟丽聪. 集中荷载作用下弹性扭转约束层合浅拱的非线性面内稳定[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 13-19, 31. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
Zi-xiang ZHANG, Ai-rong LIU, Yong-hui HUANG, Li-cong ZHONG. NONLINEAR IN-PLANE BUCKLING OF ROTATIONALLY RESTRAINED SHALLOW LAMINATED ARCHES UNDER A CENTRAL CONCENTRATED LOAD[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 13-19, 31. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
Citation: Zi-xiang ZHANG, Ai-rong LIU, Yong-hui HUANG, Li-cong ZHONG. NONLINEAR IN-PLANE BUCKLING OF ROTATIONALLY RESTRAINED SHALLOW LAMINATED ARCHES UNDER A CENTRAL CONCENTRATED LOAD[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 13-19, 31. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S048
  • 拱作为一种常见的结构形式,广泛应用于桥梁和建筑领域。随着现代科技的不断进步,复合材料高强、质轻、可设计等杰出性能受到设计师们的垂青,组合结构亦向轻薄、大跨方向发展,结构稳定性问题日益突出。复合材料拱的失稳往往具有突发性,严重影响结构安全,相关研究已经引起国内外诸多学者的广泛关注。由于复合材料有别于一般均质材料,层合拱失稳临界载荷的解析解往往难以求得,当前文献大多仍采用数值方法进行求解。Eroglu[1]利用变分迭代法,分析了功能梯度圆弧铰接拱的跳跃及分叉失稳,指出平衡路径线上分岔点的位置与截面厚度无关。Kim和Chaudhuri[2]基于瑞利-李兹原理,探究了对称铺层条件下层合浅拱的非线性面内失稳,采用修正长细比参数表征拱的失稳模式;然而,由于非对称铺层引起的压弯耦合效应未被考虑,其数值结果的应用范围相对受限;Luu等[3]利用等几何法,研究了集中荷载作用下变曲率层合曲梁的面内稳定,分析了长细比、高跨比、几何线形等因素对失稳临界荷载的影响。Fraternali等[4]基于有限元法,开展了均布荷载作用下双模量层合拱的面内稳定研究,发现拉压模量比显著影响拱的屈曲和后屈曲形态。She等[5]基于高阶剪切变形理论,建立了功能梯度拱的非线性微分平衡方程,通过二阶摄动法,给出了拱的平衡路径曲线;但是,其研究成果未对拱结构可能发生的失稳类型进行甄别,失稳临界荷载的解析显式仍无法得出。近期,Kiss[6]、Yang等[7]及Bateni和Eslami[8]基于最小势能原理开展了集中荷载作用下功能梯度拱的非线性面内稳定研究,获得了失稳临界荷载的解析表达,分析了材料分布、边界条件及几何参数等对失稳临界荷载的影响;Liu等[9]考虑孔隙分布模式及增强相的体积分数对结构失稳的影响,推导了均布荷载作用下梯度孔隙拱面内失稳的临界荷载的解析式。Zhang等[10]基于虚功原理给出了集中荷载作用下层合圆弧浅拱面内失稳的临界解析显式,通过位移加载试验及有限元模拟验证了解析结果的正确性,明确了物理中面与几何中面概念,分析了约束位置对拱的平衡路径曲线的影响。

    纵观前人研究,虽然复合材料领域成果丰硕,但是目前尚无公开文献研究弹性约束层合拱的面内非线性稳定。为了揭示层合拱的失稳机理,破解工程技术难题,本文开展了集中荷载作用下弹性扭转约束层合拱的非线性面内稳定研究,基于虚功原理构建了拱的微分平衡方程及屈曲平衡方程,追踪了拱的平衡路径,获得了屈曲临界荷载的解析表达,提出了修正长细比参数以表征拱的失稳模式,通过有限元软件验证了解析结果的正确性,着重分析了铺层模式及边界条件对层合拱的屈曲及后屈曲相应的影响。

    • 图1给出了集中荷载作用下弹性约束层合拱的力学简化模型,假设层合拱采用矩形叠合截面,截面高度为 $h$ ,宽度为 $b$ ,总层数为 $n$ ,且各层等厚;拱的计算跨径为 $L$ ,开口角为 $2\varTheta $ ,矢高为 $f$ ,坐标系 $yoz$ 位于中面, $oy$ 轴与横截面的主轴重合,其方向沿着拱周向变化且始终指向圆心, ${h_k}$ ${h_{k - 1}}$ 分别表示第 $k$ 层顶、底面的坐标。为便于公式推导,本文引入如下假设:1) 各铺层之间粘接牢固,形变过程中各层不发生相对滑动;2) 形变过程满足直法线假设,且法线长度保持不变;3) 忽略侧向泊松效应;4) 材料在形变过程中保持弹性。

      图  1  集中荷载作用下扭转约束层合拱力学模型

      Figure 1.  Rotationally restrained shallow laminated arch under a central concentrated load

      考虑失稳前非线性应变项影响,截面上任意一点 $P(r,\theta )$ 的周向应变可表示为式(1)[11-14]

      $${\varepsilon _P} = \varepsilon _x^0 + z\kappa = \tilde w' - \tilde v + \frac{1}{2}{(\tilde v')^2} - z\frac{{\tilde v''}}{R}$$ (1)

      式中: $\varepsilon _x^0$ $\kappa $ 分别为中面薄膜应变和曲率; $\tilde w = {w/R}$ $\tilde v = {v/R}$ 分别表示无量纲周向和径向位移;参数 $\tilde w' = $ ${{\partial w}/{\partial \theta }}$ $\tilde w' = {{\partial w}/{R\partial \theta }}$ $\tilde v' = {{\partial v}/{R\partial \theta }}$ $\tilde v'' = $ ${{{{\partial ^2}v}/{R\partial \theta }}^2}$

      基于能量原理,建立系统的能量泛函,并对泛函求解一阶变分见式(2):

      $$\begin{split} \delta W =& \int_{ - \varTheta }^\varTheta {\{ NR\delta \varepsilon _x^0 - MR\delta \kappa + {\delta _D}} ({\theta _0})QR\delta \tilde v\} {\rm{ d}}\theta {\rm{ }} + \\ &\sum\limits_{i = \pm \varTheta } {K\tilde v'\delta \tilde v} = 0 \end{split}$$ (2)

      式中, ${\delta _D}(\theta )$ 为狄拉克阶跃函数定义如式(3)和式(4):

      $$\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\delta _D}(\theta )f(\theta )} {\rm{ d}}\theta = f(0)$$ (3)
      $${\delta _D}(\theta ) = \left\{ \begin{array}{l} + \infty \;\;\;\;\;\theta = 0\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta \ne 0 \end{array} \right.$$ (4)

      拱的轴力 $N$ 和弯矩 $M$ 表示为式(5):

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - N}\\ M \end{array}} \right\} = \sum\limits_{k = 1}^n {\int_{{A_k}} {{\sigma _k}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ z \end{array}} \right\}} } {\rm{d}}{A_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ B&D \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _x^0}\\ \kappa \end{array}} \right\}$$ (5)

      式中:参数 $A{\text{、}}{\rm{ }}B{\text{、}}{\rm{ }}D$ 分别表示截面的轴压刚度、压弯耦合刚度及弯曲刚度;参数 $Q_{11}^{(k)}$ 为第k层非弹性主方向上的等效弹性模量;符号 ${E_1}$ ${E_2}$ ${G_{{\rm{12}}}}$ 分别表示材料在弹性主方向上的横、纵向弹性模量和面内剪切模量; ${\nu_{12}}$ ${\nu_{2{\rm{1}}}}$ 分别为材料的横纵泊松比及纵横泊松比[15-16]

      $$\begin{split} &\{ A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D\} = \sum\limits_{k = 1}^n {\int_{{h_{k - 1}}}^{{h_k}} {b{\rm{ }}Q_{11}^{(k)}{\rm{ }}\{ 1,{\rm{ }}z,\;{z^2}\} {\rm{ d}}z} } \\ &Q_{11}^{(k)} = 2({Q_{12}} + 2{Q_{66}}){\cos ^2}{\vartheta _k}{\sin ^2}{\vartheta _k}{\rm{ }} + \\ &\quad\quad\;\;{Q_{22}}{\sin ^4}{\vartheta _k} + {Q_{11}}{\cos ^4}{\vartheta _k}\\ &{Q_{11}} = \frac{{{E_1}}}{{1 - {\nu _{12}}{\nu _{21}}}},{Q_{22}} = \frac{{{E_2}}}{{1 - {\nu _{12}}{\nu _{21}}}}\\ &{Q_{12}} = \frac{{{\nu _{12}}{E_1}}}{{1 - {\nu _{12}}{\nu _{21}}}} = \frac{{{\nu _{21}}{E_2}}}{{1 - {\nu _{12}}{\nu _{21}}}},{Q_{66}} = {G_{12}} \end{split}$$ (6)

      拱的弹性扭转边界可表示为:

      $$ {\text{当}}\theta = \pm \varTheta {\text{时}},\tilde w = \tilde v = - M \pm K\tilde v' = 0 $$ (7)

      对式(2)进行分布积分运算,考虑式(7)给定约束边界条件,求解周向与径向的微分控制方程得:

      $$ - N' = 0\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\;$$ (8)
      $$NR + NR\tilde v'' - M'' - {\delta _D}(\theta )QR = 0$$ (9)

      联立式(5)和式(7),拱的弯矩表达式可进一步整理为:

      $$M = - \frac{B}{A}N + \left(D - \frac{{{B^2}}}{A}\right)\kappa = - EI\frac{{\psi {\mu ^2}}}{{{R^2}}} - EI\frac{{\tilde v''}}{R}$$ (10)

      将式(10)引入式(9),拱的径向控制方程可化简为:

      $$\frac{{{{\tilde v}^{(iv)}}}}{{{\mu ^2}}} + \tilde v'' = \frac{{{\delta _D}(\theta - {\theta _0})Q{R^2}}}{{{\mu ^2}(D - {B^2}/A)}} - 1$$ (11)

      式中,周力参数 $\mu $ $\psi $ 定义如下:

      $${\mu ^2} = \frac{{N{R^2}}}{{D - {B^2}/A}} = \frac{{N{R^2}}}{{EI}},\psi = \frac{B}{A}$$ (12)

      将式(7)代入式(11),求解集中荷载作用下弹性约束层合拱的径向位移如式(13):

      $$\begin{split} \tilde v =& \frac{P}{{{\mu ^2}}}[({\xi _1} + 2\alpha \mu \varTheta {\xi _2})\cos (\mu \varTheta ) + {\xi _4} + {\xi _5} + {\xi _6}{\rm{ }} +\\ &({\xi _2} + {\xi _3})\sin (\mu \varTheta )] - (2\alpha + 1){\varTheta ^2}\sin (\mu \theta ){\rm{ }} + \\ &\frac{\varTheta }{2}(\alpha {\xi _7} + 2\alpha + 1)\cos (\mu \varTheta ) + \frac{{\varTheta {\xi _7}}}{{2\mu }}\sin (\mu \varTheta ){\rm{ }} + \\ &\frac{{2\alpha \psi {\xi _4}{{(\mu \varTheta )}^2}}}{R} \end{split}$$ (13)

      式中:

      $$\begin{split} & {\xi _1} = \frac{{2\alpha \mu \varTheta \sin (\mu \theta ) - \cos (\mu \theta )}}{{\mu \varTheta [2\alpha \mu \varTheta \cos (\mu \varTheta ) + \sin (\mu \varTheta )]}},\\ & {\xi _2} = \frac{{ - (\mu \theta + \mu \varTheta )}}{{\mu \varTheta [2\alpha \mu \varTheta \cos (\mu \varTheta ) + \sin (\mu \varTheta )]}},\\ & {\xi _3} = \frac{{2\alpha \mu \varTheta \cos (\mu \theta ) + \sin (\mu \theta )}}{{\mu \varTheta [2\alpha \mu \varTheta \cos (\mu \varTheta ) + \sin (\mu \varTheta )]}},\\ & {\xi _4} = \frac{{\cos (\mu \theta ) - \cos (\mu \varTheta )}}{{\mu \varTheta [2\alpha \mu \varTheta \cos (\mu \varTheta ) + \sin (\mu \varTheta )]}},\\ & {\xi _5} = \frac{1}{{\mu \varTheta [2\alpha \mu \varTheta \cos (\mu \varTheta ) + \sin (\mu \varTheta )]}},\\ & {\xi _6} = \frac{{2{\rm{Heaviside(}}\theta {\rm{)}}[\mu \theta - \sin (\mu \theta )]}}{{\mu \varTheta }},\\ & {\xi _7} = \frac{{{{(\mu \varTheta )}^2} - {{(\mu \theta )}^2}}}{{\mu \varTheta [2\alpha \mu \varTheta \cos (\mu \varTheta ) + \sin (\mu \varTheta )]}} \end{split}$$ (14)

      周力参数 $\beta $ ,无量纲荷载 $P$ ,及柔度系数 $\alpha $ 定义如式(15):

      $$\beta = \mu \varTheta ,P = \frac{{Q{R^2}\varTheta }}{{2EI}},\alpha = \frac{{EI}}{{KS}}$$ (15)

      由式(13)可知,层合拱的径向位移 $\tilde v$ 同为周力参数 $\mu $ ,无量纲荷载 $P$ 及开口角 $\theta$ 的函数。为了求解径向位移的显式表达,考虑式(8)即浅拱的周力恒为常数的条件,在式(5)两侧沿拱轴进行积分:

      $$\begin{split} & - 2\varTheta N = \int_{ - \varTheta }^\varTheta {\left\{ {A\left[\tilde w' - \tilde v + \frac{1}{2}{{(\tilde v')}^2}\right] - B\frac{{\tilde v''}}{R}} \right\}} {\rm{ d}}\theta \\ &{\rm{ }} \Rightarrow \frac{{2{\mu ^2}{\varTheta ^5}}}{{{\lambda ^2}}} - \int_{ - \varTheta }^\varTheta {\left(\tilde v + \frac{1}{2}{{(\tilde v')}^2} + \psi \frac{{\tilde v''}}{R}\right)} {\rm{ d}}\theta = 0 \end{split}$$ (16)

      式中,拱的修正长细比 $\lambda $ 定义如式(17):

      $$\lambda = \frac{{R{\varTheta ^2}}}{{{r_x}}} = \frac{{R{\varTheta ^2}}}{{\sqrt {(D - {B^2}/A)/A} }}$$ (17)

      进一步整理式(16),求得周力参数 $\mu $ 与无量纲荷载 $P$ 间的函数关系如式(18):

      $${A_1}{P^2} + {B_1}P + {C_1} = 0$$ (18)

      式中:

      $$\begin{split} {A_1} =& (2\alpha {\beta ^2} - 3){R^2}\sin \beta - (8\alpha + 1){R^2}\beta \cos \beta {\rm{ }} + \\ &(4{\alpha ^2}{\beta ^2} + 10\alpha - 1){\cos ^2}\beta + 2\alpha (\alpha {\beta ^2} - 1){\rm{ }}{\rm{ }} + \\ &(4\alpha {\beta ^2} - 6{\alpha ^2}{\beta ^2} + 3){R^2}\sin \beta \cos \beta + 2 \end{split}$$ (19)
      $$\begin{split} {B_1} =& {\beta ^2}{R^2}(2\alpha + 1)(1 - \cos \beta )(\sin \beta - \beta ){\rm{ }} + \\ &2\alpha \psi R{\mu ^2}{\beta ^2}(1 - \cos \beta )(\beta + \sin \beta ){\rm{ }} - \\ &{\rm{2}}\alpha R{\beta ^4}\sin \beta (2\alpha R - 2\alpha \psi {\mu ^2} + R){\rm{ }} + \\ &4{\alpha ^3}{\beta ^3}\cos \beta (2\alpha + 1)(1 - \cos \beta ) \end{split}\quad\quad$$ (20)
      $$\begin{split} {C_1} =& \frac{1}{3}R{\beta ^5}{\cos ^2}\beta [R(1 - 4{\beta ^2}) + 24\psi {\mu ^2}]{\rm{ }} - \\ &\frac{{16}}{9}{\alpha ^2}{\beta ^4}[{R^2} + \psi {\mu ^2}(2R - 3{\mu ^2})]\sin \beta \cos \beta {\rm{ }} - \\ &\frac{2}{3}\alpha R{\beta ^4}[R(2{\beta ^2} + 3) - 9\psi {\mu ^2}]\sin \beta \cos \beta {\rm{ }} + \\ &4\psi {\mu ^2}(R - \psi {\mu ^2}){\beta ^3}{\cos ^2}\beta {\rm{ }} + \\ &2{R^2}{(2\alpha \beta \cos \beta + \sin \beta )^2}\frac{{{\beta ^7}}}{{{\lambda ^2}}}{\rm{ }} - \\ &\frac{1}{2}{R^2}{\beta ^4}\sin \beta \cos \beta \end{split}$$ (21)
    • 由于非线性平衡路径上极值点处的切线斜率为零,故极值点处的临界荷载可由式(18)对周力参数 $\mu $ 求导得出:

      $${A_2}{P^2} + {B_2}P + {C_2} = 0\qquad\qquad\;\;$$ (22)
      $${A_2} = \frac{{\partial {A_1}}}{{\partial \mu }},{B_2} = \frac{{\partial {B_1}}}{{\partial \mu }},{C_2} = \frac{{\partial {C_1}}}{{\partial \mu }}$$ (23)

      根据能量驻值定理,当总势能的二阶变分为零时,系统处于随遇平衡状态,即:

      $$\begin{split} {\delta ^2}W =& \int_{ - \varTheta }^\varTheta {({N_{\rm b}}\delta \varepsilon _x^0 + N{\delta ^2}\varepsilon _x^0 - M{\delta ^2}\kappa } {\rm{ }} - \\ &{M_{\rm b}}\delta \kappa + {\delta _D}(\theta )Q{\delta ^2}\tilde v{\rm{ }}R{\rm{d}}\theta = 0 \end{split}$$ (24)

      式中, ${N_{\rm b}}$ ${M_{\rm b}}$ 分别为屈曲周力和屈曲弯矩。

      对式(24)进行分布积分运算,忽略二阶变分项 ${\delta ^2}( \cdot )$ ,并考虑式(7)约束条件,求得周向和径向的屈曲微分方程见式(25)和式(26):

      $$ - {N'_{\rm b}} = - (A\varepsilon _{x{\rm b}}^0 + B{\kappa _{\rm b}})' = 0\qquad\quad\;\;$$ (25)
      $$\frac{{\tilde v_{\rm b}^{({\rm i}v)}}}{{{\mu ^2}}} + {\tilde v''_{\rm b}} = \frac{{{R^2}(1 + \tilde v'')(A\varepsilon _{x{\rm b}}^0 + B{\kappa _{\rm b}})}}{{{\mu ^2}(D - {B^2}/A)}}$$ (26)

      式中: ${\tilde w_{\rm b}}$ ${\tilde v_{\rm b}}$ 表示无量纲失稳周向及径向位移; $\varepsilon _{x{\rm b}}^0 = {\tilde w'_{\rm b}} - {\tilde v_{\rm b}} + \tilde v'{\tilde v'_{\rm b}}$ $ {\kappa _{\rm b}} = {{ - {{\tilde v_{\rm b}''}}}/R} $ 分别为屈曲薄膜应变和中面曲率。

      假定层合拱处于失稳前平衡状态与分岔失稳的临界位置,则分岔点既在原始平衡路径 $\{ \tilde v,\tilde w,N,M,P\} $ 上又在分岔路径 $\{ \tilde v + {\tilde v_b},\tilde w + {\tilde w_b},N,M,P\} $ 上。此时,拱的非线性微分平衡方程满足式(27):

      $$\frac{{{{\tilde v}^{(iv)}} + \tilde v_b^{(iv)}}}{{{\mu ^2}}} + \tilde v'' + {\tilde v''_b} = \frac{{{\delta _D}(\theta - {\theta _0})Q{R^2}}}{{{\mu ^2}(D - {B^2}/A)}} - 1$$ (27)

      将式(11)代入式(27),拱的分岔屈曲方程可表示为式(28):

      $$\frac{{\tilde v_{\rm b}^{({\rm i}v)}}}{{{\mu ^2}}} + {\tilde v''_{\rm b}} = 0$$ (28)

      将式(7)代入式(28),经整理得:

      $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\varTheta &S&C \\ 1&{ - \varTheta }&{ - S}&C \\ 0&K&T&{ - U} \\ 0&{ - K}&{ - T}&{ - U} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{E_1}} \\ {{E_2}} \\ {{E_3}} \\ {{E_4}} \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right\}$$ (29)

      式中:

      $$\begin{split} &U = - \mu K\sin (\mu \varTheta ) - \frac{{{\mu ^2}EI\cos (\mu \varTheta )}}{R},\\ &T = \mu K\cos (\mu \varTheta ) - \frac{{{\mu ^2}EI\sin (\mu \varTheta )}}{R},\\ &S = \sin (\mu \varTheta ),C = \cos (\mu \varTheta ) \end{split}$$ (30)

      若式(29)存在非零解,则系数矩阵的行列式恒为零,进一步整理式(29)得:

      $$[\beta - (1 + 2\alpha {\beta ^2})\tan \beta ](2\alpha \beta + \tan \beta ) = 0$$ (31)

      当扭转柔度系数 $\alpha $ 给定,且式(31)的首项为零时,分岔失稳对应的周力参数 ${\beta _b}$ 及周力如式(32):

      $$\begin{split} &{\beta _{\rm b}} = {\mu _{\rm b}}\varTheta = {\eta _{\rm b}}\pi ,\\ &{N_{E2}} = \frac{{{{({\eta _{\rm b}}\pi )}^2}EI}}{{{{(S/2)}^2}}} \end{split}$$ (32)

      将式(32)代入式(18),求得层合拱的无量纲分岔失稳荷载 ${P_{\rm b}}$ , 如式(33):

      $${P_{\rm b}} = \mathop {\lim }\limits_{\mu \varTheta \to (1 + 2\alpha \mu \varTheta )\tan (\mu \varTheta )} \frac{{ - {B_1} \pm \sqrt {B_1^2 - 4{A_1}C} }}{{2{A_1}}}$$ (33)

      当层合拱的铺层模式给定,且满足求根公式 $B_1^2 - 4{A_1}C \geqslant 0$ 时,根据式(33)即可求得层合拱分叉失稳时的最小修正长细比 ${\lambda _{\rm{b}}}$

      特殊的,以铺层为 ${[{0/{90}}]_{\rm{s}}}$ 的层合拱为例,当 $\alpha = + \infty $ ,拱脚两侧铰接,拱的分岔周力参数 $\beta _{\rm {b}}^P = \pi $ ,最小分岔长细比 $\lambda _{\rm{b}}^P{\rm{ = 7}}{\rm{.979}}$ ;当 $\alpha = {\rm{0}}$ ,拱脚两侧固接,拱的分岔周力参数 $\beta _{\rm{b}}^F = 1.4303\pi $ ,最小分岔长细比 $\lambda _{\rm{b}}^F{\rm{ = 38}}{\rm{.172}}$

      当式(31)的次项为零时,层合拱的周力参数 $\beta _l^b$ 如式(34):

      $${\beta _l} = {\mu _l}\varTheta = {\eta _l}\pi$$ (34)

      将式(34)代入式(18),求得层合拱临界极值点失稳时对应的无量纲荷载 $P_l^b$

      $${P_l} = {\left. {\mathop {\lim }\limits_{\tan \mu \varTheta \to - 2\alpha \mu \varTheta } \frac{{ - {B_1} \pm \sqrt {B_1^2 - 4{A_1}C} }}{{2{A_1}}}} \right|_{\mu \varTheta = {\eta _l}\pi }}$$ (35)

      将式(35)代入式(13),整理后令 $\varTheta = 0$ ,求得集中荷载作用下层合拱极值点失稳引起的拱顶位移 $\tilde v_c^l$

      $$J = \mathop {\lim }\limits_{\tan (\mu \varTheta ) \to - 2\alpha \mu \varTheta } \frac{{(B_1^2 - 4{A_1}C){\zeta ^2}}}{{4A_1^2{\mu ^4}}} \geqslant 0\qquad\quad$$ (36)
      $$\zeta = 1 - \frac{{\alpha \mu \varTheta \sin (\mu \varTheta ) + 1 - \cos (\mu \varTheta )}}{{2\mu \varTheta [2\alpha \mu \varTheta \cos (\mu \varTheta ) + \sin (\mu \varTheta )]}}\quad\quad$$ (37)

      当修正长细比 ${\lambda _l}$ 满足式(36)及式(37)条件,层合拱即发生极值点失稳。

      ${[{0/{90}}]_{\rm{s}}}$ 拱为例,当 $\alpha = + \infty $ 时,铰接拱极值点失稳对应的周力参数 $\beta _l^P = {{\rm{\pi }}/2}$ ,最小修正长细比 $\lambda _l^P{\rm{ = 3}}{\rm{.905}}$ ;当 $\alpha = 0$ 时,固接拱极值点失稳对应的周力参数 $\beta _l^F = {\rm{\pi }}$ ,最小修正长细比 $\lambda _l^F{\rm{ = 11}}{\rm{.073}}$

      若平衡路径线上的极值点和分岔点恰好重合,即式(18)和式(22)在分岔周力参数 ${\beta _{\rm{b}}} = {\eta _{\rm{b}}}\pi $ 上具有同解,联立式(18)和式(22),求得拱的临界修正长细比 ${\lambda _{\rm s}}$ 。当柔度系数 $\alpha = 0$ 且铺层为 ${[{0/{90}}]_{\rm{s}}}$ 时, $\lambda _{\rm s}^F = 22.520$ ;当柔度系数 $\alpha = + \infty $ $\lambda _{\rm s}^P = 10.250$

      图2给出了集中荷载作用下弹性扭转约束层合拱的原始平衡路径及分岔路径,图3描绘了层合拱极值点失稳及分岔失稳时的周力荷载曲线。假设拱的铺层为 ${{\rm{[}}{0/{90}}{\rm{]}}_2}$ ,长细比 ${S/{{r_{\rm x}}}}{\rm{ = 150}}$ ,柔度系数 $\alpha {\rm{ = 1}}{\rm{.5}}$ ,由图可知,当层合拱的修正长细比 $\lambda \geqslant {\lambda _{\rm{b}}}$ 时,无量纲荷载 $P$ 随着无量纲拱顶位移 ${{{v_{\rm c}}}/f}$ 的增大而增大,并在抵达上分岔点后,沿分岔路径线急速减小至下分岔点,随后再次沿原始路径,随着拱顶位移的增大而持续增大;对于拱的周力荷载曲线,无量纲荷载 $P$ 首先沿原始平衡路径线,随无量纲周向力 ${N/{{N_{E2}}}}$ 的增大而增大,然后保持无量纲周力 ${N/{{N_{E2}}}} = 1$ ,并急速跳跃至下分岔点,最终随着周力参数的减小而进一步增大。

      图  2  层合拱极值点失稳及分岔失稳平衡路径

      Figure 2.  Equilibrium path of limit point buckling and bifurcation buckling

      图  3  层合拱极值点失稳及分岔失稳周力荷载曲线

      Figure 3.  Circumferential force-dimensionless buckling load curves of limit point buckling and bifurcation buckling

      图4图5分别给出了层合拱极值点失稳与非失稳的临界平衡路径曲线及周力荷载曲线,由图可知,当层合拱的修正长细比 $\lambda = {\lambda _l}$ 时,曲线的上下极值点恰好重合。

      图  4  层合拱极值点失稳与非失稳的临界平衡路径

      Figure 4.  Critical equilibrium path between no buckling and limit point buckling

      图  5  层合拱极值点失稳与非失稳的临界周力荷载曲线

      Figure 5.  Critical circumferential force-dimensionless buckling load curve between no buckling and limit point buckling

      图6描绘了不同柔度参数下,长细比为 ${S/{{r_x}}} = $ $ 200$ ,铺层为 ${[{0/{90}}]_{\rm{2}}}$ 的层合拱的最小分岔修正长细比 ${\lambda _{\rm b}}$ ,最小失稳修正长细比 ${\lambda _l}$ 及极值点失稳与分岔点失稳临界修正长细比 ${\lambda _s}$ ,根据拱的失稳类型将其划为四个区域。由图可知,层合拱的修正长细比随着柔度参数的增大而显著减小,且当 $\lambda < {\lambda _l}$ 时(Ⅰ区),层合拱的力学行为与层合曲梁类似,无明显失稳现象;当 ${\lambda _l} < \lambda < {\lambda _{\rm b}}$ (Ⅱ区),层合拱仅能发生极值点失稳;当 ${\lambda _{\rm b}} < \lambda < {\lambda _{\rm s}}$ (Ⅲ区),层合拱的分岔点位于平衡路径线的下降段,故极值点失稳现象先于分岔点失稳发生;而当 $\lambda \geqslant {\lambda _{\rm s}}$ (Ⅳ区)时,层合拱仅发生分岔失稳现象。

      图  6  柔度参数对层合拱失稳模式的影响

      Figure 6.  Modified slenderness ratios versus flexibility limits

    • 为了验证解析结果的正确性,本节开展了集中荷载作用下弹性扭转约束层合拱的非线性面内弹性失稳数值分析。通过Ansys软件Solid46单元,建立了图7所示有限元模型,跟踪了拱的平衡路径,研究了铺层情况和边界条件对失稳临界荷载的影响。模型共计328个单元,截面宽度 $b = 0.15$ m,高度 $h = 0.1$ m,弹性模量 ${E_1} = 60.1$ GPa, ${E_2} = 8.2$ GPa,剪切模量 ${G_{12}} = 2.97$ GPa,主泊松比 ${\nu_{12}} = 0.37$ 。建模时,通过MPC184单元将拱脚截面上的节点进行连接,形成刚域,并释放了面内扭转自由度;随后利用Combine14单元连接刚域及拱轴两侧预留的固定节点,实现了弹性扭转边界的模拟。在完成施加拱顶集中荷载,开启大变形开关,激活弧长法等一系列流程后,记录了拱的平衡路径及分岔路径。

      图  7  层合拱的有限元模型

      Figure 7.  Finite element model of laminated arch

      图8将式(18)、式(22)及式(32)求得的层合拱的解析平衡路径及分岔路径与有限元模拟结果进行比较,可以发现解析解与数值解吻合良好,本文提出的理论公式能够预测弹性扭转约束层合拱的失稳。图中层合拱的长细比 ${S/{{r_{\rm x}}}} = 200$ ,铺层为 ${[0/90]_2}$ ,柔度参数 $\alpha = 1.5$ ,修正长细比 $\lambda = 17.45$

      图  8  理论与数值失稳平衡路径对比

      Figure 8.  Comparisons of analytical solutions and finite element analysis results of equilibrium paths

      为了进一步验证解析结果的正确性,图9图10分别给出了不同开口角及修正长细比条件下,柔度参数 $\alpha = 0.2$ ,铺层为 ${[0/90]_2}$ 的层合拱的失稳临界荷载。数值结果表明,当层合浅拱的铺层模式及柔度参数给定,失稳临界荷载随着开口角及修正长细比的增大而增大,解析失稳荷载与有限元结果亦十分吻合。

      图  9  开口角对层合拱失稳荷载的影响

      Figure 9.  Buckling loads versus included angle

      图  10  修正长细比对层合拱失稳荷载的影响

      Figure 10.  Buckling loads versus modified slenderness ratio

      为了研究铺层模式对层合拱失稳临界荷载的影响,表1列出了正交铺层弹性约束拱的失稳临界荷载的解析解与数值解。研究结果表明,铺层模式显著径向层合拱的失稳临界荷载,三种铺层条件下,对称铺层 ${[0/90]_{\rm{s}}}$ 拱的承载能力最高,反对称铺层 ${[0/90]_2}$ 拱的承载能力次之,非对称铺层 $[{0_2}/{90_2}]$ 拱的承载能力最弱,即随着90度铺层逐渐远离中面,层合拱的承载能力明显降低。

      表 1  铺层模式对弹性扭转约束层合拱的失稳临界荷载的影响    /(×105 N)

      Table 1.  layer-ups versus critical buckling load of arch with elastic rotational restraint

      柔度系数 铺层条件 解析解 有限元解 相对误差/(%)
      0 [0/90]2 0.697 0.683 2.01
      [0/90]s 1.112 1.082 2.70
      [02/902] 0.469 0.460 1.92
      0.5 [0/90]2 0.665 0.653 1.80
      [0/90]s 1.100 1.072 2.55
      [02/902] 0.434 0.427 1.61
      1 [0/90]2 0.649 0.637 1.85
      [0/90]s 1.073 1.050 2.14
      [02/902] 0.425 0.418 1.65
      注:弧长S = 7 m,开口角2Θ = 20°。
    • 本文研究了集中荷载作用下弹性扭转约束层合拱的面内非线性失稳,基于虚功原理推导了拱的平衡微分方程及屈曲平衡方程,跟踪了拱的平衡路径,获得了失稳临界荷载的解析表达,提出了拱的修正长细比参数以表征层合拱的失稳模式,最后通过有限元模拟验证了解析结果的正确性。

      (1) 当柔度系数 $\alpha \ne 0$ 且修正长细比 $\lambda < {\lambda _l}$ 时,层合拱不发生失稳;当修正长细比 ${\lambda _l} < \lambda < {\lambda _{\rm b}}$ 时,层合拱仅发生正对称极值点失稳,当 ${\lambda _{\rm b}} < \lambda < {\lambda _{\rm s}}$ 时,由于层合拱的分岔点位于平衡路径的下降段,故拱先发生极值点失稳后发生分岔失稳;而当 $\lambda > {\lambda _{\rm s}}$ 时,层合拱仅发生反对称分岔失稳。

      (2) 铺层模式显著影响层合拱的失稳临界荷载,随着90°铺层逐渐远离中面,层合拱的承载能力明显降低。

      (3) 当层合拱的长细比及柔度参数给定,其失稳临界荷载随着开口角及修正长细比的增大而增大。

      (4) 失稳荷载的解析解与数值解吻合良好,本文提出的解析式能够准确预测弹性扭转约束层合拱的失稳。

参考文献 (16)

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