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岩石的高压状态方程是认识岩石介质中冲击波传播规律和岩石强动载破坏机制的关键，也是岩石在爆炸、超高速撞击等极端动荷载作用下毁伤效应数值计算的基础。近年来，随着数值模拟技术的迅速发展，岩石状态方程在岩石爆破、陨石撞击数值模拟方面的应用愈加广泛，对强动载作用下岩石的动力学响应研究也提出了更高的要求。近60年来，爆炸平面波、气体炮等动高压加载实验技术发展迅速，有力推动了材料状态方程的研究。许多材料的状态方程参数被实验测定[1-5]，一些岩石的状态方程已有研究[6-10]。然而，岩石类材料由于其均匀性不如金属材料，高压实验难度相对较大，关于岩石高压状态方程的研究还不多。
Hugoniot曲线是冲击作用下材料的状态曲线，能很好地反映冲击载荷作用下材料的动力学响应。根据冲击波理论，冲击波在固体介质中传播时，在冲击高压下固体材料可视为流体[11]。冲击波作用前，材料处于初始静止状态，其密度、压力和质点速度分别为
${\rho _0}$ 、${P_0}$ 和${u_0}$ ，且${u_0} = 0$ ；冲击波作用后，材料密度、压力和质点速度分别变为$\rho $ 、$P$ 和$u$ ，冲击波速度为$D$ ，冲击波前后内能差为$\Delta e$ 。如果将参考坐标系建在冲击波波阵面上并随波阵面一起运动，可建立Rankine—Hugoniot方程[12]：$$\rho = \frac{{{\rho _0}}}{{1 - u/D}}\quad\quad\quad\;\;$$ (1) $$P = {P_0} + {\rho _0}Du\quad\quad\quad$$ (2) $$\Delta e = \frac{{\left( {P - {P_0}} \right)\left( {\rho - {\rho _0}} \right)}}{{2\rho {\rho _0}}}$$ (3) 式(1)~式(3)中共有5个变量，还需用实验测得上述5个变量中某2个，一般测量运动学量
$D$ 和$u$ ，然后再用Rankine—Hugoniot方程计算材料状态方程中的一个点。通过实验获得一组状态点，则可确定冲击波作用下材料从初始状态到达最终状态的轨迹，即Hugoniot冲击压缩关系，一般用$P - v$ ($v$ 为比体积)或$D - u$ 平面上的一条曲线表示。对于大多数固体材料，在比较宽广的压强范围内，材料中的冲击波速度
$D$ 与质点速度$u$ 的关系(常称为固体材料的$D - u$ 冲击绝热线)一般可表示为：$$D = C + \lambda u$$ (4) 式中，一般
$C$ 、$\lambda $ 等均为由实验数据确定的材料常数。利用式(1)、式(2)和式(4)得到Hugoniot状态方程：
$$P(v) = \frac{{{\rho _0}{C^2}(1 - v/{v_0})}}{{{{[1 - \lambda (1 - v/{v_0})]}^2}}}$$ (5) 定义体应变：
$$\mu \equiv 1 - \frac{{{\rho _0}}}{\rho } = 1 - \frac{v}{{{v_0}}} = \frac{u}{D}$$ (6) 则Hugoniot状态方程可表示为：
$$P(\mu ) = \frac{{{\rho _0}{C^2}\mu }}{{{{(1 - \lambda \mu )}^2}}}$$ (7) 固体的Hugoniot状态方程可以用多项式来描述，即：
$$P = \sum\limits_{j = 1}^m {{A_j}{\mu ^j}} $$ (8) 式中，
${A_j}$ 为材料常数。当
$m$ 取3时，则由式(8)，可得到常见的多项式状态方程：$$P = {A_1}\mu + {A_2}{\mu ^2} + {A_3}{\mu ^3}$$ (9) 通过实验获得材料的
$D - u$ 冲击绝热线即可得到材料高压物态参数并建立其状态方程。本文采用二级轻气炮加载技术测量花岗岩的Hugoniot曲线并建立其多项式状态方程，为花岗岩材料在岩石爆破、陨石撞击等领域的应用提供参考。 -
实验中所用的花岗岩取自桐柏山区，呈浅灰白色，带有星散状分布的暗斑，岩体呈粒状结构，颗粒均匀细密，结构致密，节理发育规律，如图1所示，其主要矿物组分如表1所示，基本性能参数如表2所示。
图 1 花岗岩微观结构照片 /μm
Figure 1. Microphotograph of granite
表 1 花岗岩的主要矿物组分
Table 1. Mineral components of granite
钠长石 石英 黑云母 歪长石 正长石 13.4% 54.4% 12.7% 14.3% 5% 表 2 花岗岩的物理力学性能
Table 2. Mechanical and physical properties of granite
天然密度/
(g/cm−3)孔隙率/
(%)单轴抗压强度/
MPa抗折强度/
MPa弹性模量/
GPa泊松比 2.589 0.77 131.24 4.24 35.55 0.25 -
用取芯钻头从花岗岩块状原石中钻取规定外缘尺寸的圆柱芯，并用岩石切割机将圆柱芯切割成所需厚度圆片样品，通过抛光砂纸研磨表面，最后制备出所需的实验样品。样品的直径为17 mm，厚度为4 mm，误差在±0.2 mm以内，圆片两平面的平行度误差在±0.1°以内。
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该实验是在西南交通大学高压物理实验室二级轻气炮上完成的。整个实验装置由气炮、探针测速装置、靶架以及测试系统组成，如图2所示，其实验示意图如图3所示，实验时气炮中高压气体突然释放驱动实验弹体沿炮管加速运动，飞片粘贴于实验弹体前端面上，以某一确定速度撞击样品实现对样品的一维平面冲击加载，在样品中产生冲击波，通过炮口的电探针测试飞片(弹丸)的撞击速度，利用光线探针测试冲击波到达的时间间隔，计算靶板中冲击波速度。图4是前端面粘合飞片的实验弹和装在靶架上的样品实物照片，图5是实验样品安装到位后的实物照片。
图 2 二级轻气炮实验装置
Figure 2. Two-stage light gas gun test device
图 3 实验示意图
Figure 3. Schematic of test technology
图 4 实验弹、飞片、样品及靶架实物
Figure 4. Sabot, flyer, sample, and target support
图 5 安装到位的实验样品
Figure 5. Installed sample
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实验中需要测量飞片的速度
$W$ 以及材料中的冲击波速度$D$ ，然后通过飞片与样品的界面条件计算出冲击波波后质点速度$u$ ，最后通过对(${D_i}$ ，${u_i}$ )数据进行最小二乘法拟合得到材料的Hugoniot冲击绝热参数$C$ 、$\lambda $ 。实验中，利用测速探针测得飞片速度$W$ ，利用光纤探针测量冲击波在样品前后界面的到达时刻，计算冲击波在样品中的传播时间$\Delta t$ ，结合试样厚度$\Delta h$ ，通过下式可求出冲击波速度$D$ ：$$D = \frac{{\Delta h}}{{\Delta t}}$$ (10) 测量到飞片速度和冲击波速度后，利用Rankine—Hugoniot方程、阻抗匹配原理和界面连续条件：
$${P_{\rm{f}}} = {\rho _{0{\rm{f}}}}\left[ { - {C_{\rm{f}}} + {\lambda _{\rm{f}}}({u_{\rm{f}}} - W)} \right]({u_{\rm{f}}} - W)$$ (11) $${P_{\rm {s}}} = {\rho _{0{\rm{s}}}}Du\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;$$ (12) $${u_{\rm{f}}} = u{\rm{ , }}{P_{\rm{f}}} = {P_{\rm {s}}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ (13) 式中，
${P_{\rm {s}}}$ 、${P_{\rm{f}}}$ 、$D$ 、$W$ 、${\rho _{0{\rm{s}}}}$ 、${\rho _{0{\rm{f}}}}$ 、${C_{\rm{f}}}$ 和${\lambda _{\rm{f}}}$ 分别表示样品和飞片的冲击波波后压力、待测样品中的冲击波速度、飞片速度、样品和飞片的初始密度、飞片的Hugoniot参数。由式(11)~式(13)可得到：
$$a{u^2} + bu + c = 0$$ (14) 式中：
$$ a = {\rho _{0{\rm{f}}}}{\lambda _{\rm{f}}}{u^2},\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ $$ \begin{array}{*{20}{l}} {b = - ({\rho _{0{\rm{s}}}}D + {\rho _{0{\rm{f}}}}{C_{\rm{f}}} + 2{\rho _{0{\rm{f}}}}{\lambda _{\rm{f}}}W),}\\ {c = {\rho _{0{\rm{f}}}}W({C_{\rm{f}}} + {\lambda _{\rm{f}}}W)}。 \end{array} $$ 由式(14)，可求得质点速度
$u$ ：$$u = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$$ -
实验中，飞片选用2024Al，厚度2.4 mm，其基本参数为
${\rho _{0{\rm f}}}$ =2.785 g/cm3，${C_{\rm f}}$ =5.328 km/s，${\lambda _{\rm f}}$ =1.338。为了得到花岗岩材料的高压Hugoniot参数，飞片速度控制在1.3 km/s~4.5 km/s，且基本均匀分布。图6为实验过程中光纤探针得到的典型冲击波传播历时信号。通过5次有效撞击实验，得到了飞片速度$W$ ，冲击波速度$D$ 、波后质点速度$u$ 、波后压力$P$ 等有效数据，如表3所示。根据表3列出的实验结果，拟合得到花岗岩的Hugoniot线性关系为：
$$D = 5.0245 + 0.3507u$$ (15) 
图 6 光线探针信号测得的典型冲击波传播历时信号
Figure 6. Typical shock wave propagation time signal measured by fiber optic probe
表 3 实验结果
Table 3. Experimental results
实验编号 样品厚度/mm 飞片厚度/mm 撞击速度W/ (km/s) 冲击波历时 /ns 质点速度u/ (km/s) 冲击波速度D/ (km/s) 波后压力P/ GPa 体应变μ 1 3.50 2.38 4.47 575.0 2.54 6.09 42.4 0.4171 2 3.76 2.44 3.49 681.0 2.00 5.52 30.3 0.3623 3 3.79 2.26 2.68 690.0 1.50 5.49 22.6 0.2732 4 3.98 2.40 1.84 742.0 1.01 5.36 14.9 0.1884 5 3.86 2.40 1.30 718.0 0.70 5.38 10.3 0.1301 拟合相关系数R=0.8674。图7是花岗岩的
$D - u$ 关系曲线。
图 7 花岗岩的
$D - u$ 关系Figure 7. Linear Hugoniot relation of granite
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根据表3列出的实验结果，用式(9)可以得到花岗岩的压力
$P$ 和体应变$\mu $ 的关系，由实验值拟合得的花岗岩高压多项式状态方程为：$$P = 114.08\mu - 318.45{\mu ^2} + 681.98{\mu ^3}$$ (16) 式中：压力
$P$ 的单位为GPa；拟合相关系数R=0.9985。图8是花岗岩的的$P - \mu $ 关系。
图 8 花岗岩的
$P - \mu $ 关系Figure 8. Curve of pressure versus bulk strain for granite
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本文通过二级轻气炮驱动飞片(超)高速撞击靶片实验，对花岗岩的Hugoniot冲击关系和高压状态方程进行了研究。撞击速度范围为1.3 km/s~4.5 km/s，相应的撞击压力范围为10.3 GPa~42.4 GPa。对有效撞击实验数据进行拟合，得到花岗岩的冲击波速度
$D$ 与质点速度$u$ 之间的Hugoniot线性方程为：$$D = 5.0245 + 0.3507u$$ 拟合得到花岗岩的压力
$P$ 与体应变$\mu $ 之间的高压多项式状态方程为：$$P = 114.08\mu - 318.45{\mu ^2} + 681.98{\mu ^3}$$ 建立的Hugoniot关系和高压状态方程，可为花岗岩材料在岩石爆破、陨石撞击等领域的数值计算和工程应用提供参考。
EXPERIMENTAL RESEARCH ON THE EQUATION OF STATE OF GRANITE AT HIGH PRESSURE
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摘要: 通过二级轻气炮开展了花岗岩的飞片高速、超高速撞击实验，研究了花岗岩的Hugoniot冲击关系和高压状态方程。实验样品中的平均冲击波速度由光纤探针测量，实验最大撞击速度为4.47 km/s，对应的最高撞击压力为42.4 GPa。通过对有效实验结果进行拟合，得到了高压下花岗岩的Hugoniot关系、Hugoniot参数C和λ以及多项式状态方程。研究结果可为花岗岩材料在岩石爆破、陨石撞击等领域的应用提供参考。Abstract: The equation of state and the Hugoniot shock relationship of granite at high pressure were studied by experiments of high- and hyper-velocity flyer impact using a two-stage light gas gun. The average shock wave velocity in the experimental sample was measured by a fiber optic probe. The maximum impact velocity was 4.47 km/s, and the corresponding maximum impact pressure was 42.4 GPa. By fitting the effective experimental results, the Hugoniot linear relationship, Hugoniot parameters C and λ, and polynomial equations of the granite at high pressure were obtained. The results provided a reference for the application of granite in rock blasting, meteorite impact and other fields.
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Key words:
- mechanics of explosion /
- equation of state /
- experiment /
- shock /
- Hugoniot relation /
- granite
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图 6 光线探针信号测得的典型冲击波传播历时信号
Figure 6. Typical shock wave propagation time signal measured by fiber optic probe
表 1 花岗岩的主要矿物组分
Table 1. Mineral components of granite
钠长石 石英 黑云母 歪长石 正长石 13.4% 54.4% 12.7% 14.3% 5% 
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表 2 花岗岩的物理力学性能
Table 2. Mechanical and physical properties of granite
天然密度/
(g/cm−3)孔隙率/
(%)单轴抗压强度/
MPa抗折强度/
MPa弹性模量/
GPa泊松比 2.589 0.77 131.24 4.24 35.55 0.25
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表 3 实验结果
Table 3. Experimental results
实验编号 样品厚度/mm 飞片厚度/mm 撞击速度W/ (km/s) 冲击波历时 /ns 质点速度u/ (km/s) 冲击波速度D/ (km/s) 波后压力P/ GPa 体应变μ 1 3.50 2.38 4.47 575.0 2.54 6.09 42.4 0.4171 2 3.76 2.44 3.49 681.0 2.00 5.52 30.3 0.3623 3 3.79 2.26 2.68 690.0 1.50 5.49 22.6 0.2732 4 3.98 2.40 1.84 742.0 1.01 5.36 14.9 0.1884 5 3.86 2.40 1.30 718.0 0.70 5.38 10.3 0.1301
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图(8) / 表 (3)
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