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地震动加速度、速度和位移时程的构成

李文博 刘铁林 王宇

李文博, 刘铁林, 王宇. 地震动加速度、速度和位移时程的构成[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 164-167. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
引用本文: 李文博, 刘铁林, 王宇. 地震动加速度、速度和位移时程的构成[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 164-167. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
Wen-bo LI, Tie-lin LIU, Yu WANG. COMPOSITIONS OF TIME HISTORIES OF ACCELERATION AND VELOCITY AND DISPLACEMENT OF GROUND MOTION[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 164-167. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
Citation: Wen-bo LI, Tie-lin LIU, Yu WANG. COMPOSITIONS OF TIME HISTORIES OF ACCELERATION AND VELOCITY AND DISPLACEMENT OF GROUND MOTION[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 164-167. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029

地震动加速度、速度和位移时程的构成

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
基金项目: 国家自然科学基金项目(11672190)
详细信息
    作者简介:

    李文博(1992−),男,辽宁人,博士生,主要从事结构工程研究(E-mail: lwb921001@163.com)

    王 宇(1977−),男,河北人,副教授,博士生,主要从事结构地震响应分析方法研究(E-mail: wyasyn@163.com)

    通讯作者: 刘铁林(1963−),男,辽宁人,教授,博士,博导,主要从事波动方法与应用研究(E-mail: cetlliu@sjzu.edu.cn)
  • 中图分类号: P315

COMPOSITIONS OF TIME HISTORIES OF ACCELERATION AND VELOCITY AND DISPLACEMENT OF GROUND MOTION

图(3)
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-04-23
  • 修回日期:  2019-10-31
  • 网络出版日期:  2020-06-01
  • 刊出日期:  2020-06-01

地震动加速度、速度和位移时程的构成

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
    基金项目:  国家自然科学基金项目(11672190)
    作者简介:

    李文博(1992−),男,辽宁人,博士生,主要从事结构工程研究(E-mail: lwb921001@163.com)

    王 宇(1977−),男,河北人,副教授,博士生,主要从事结构地震响应分析方法研究(E-mail: wyasyn@163.com)

    通讯作者: 刘铁林(1963−),男,辽宁人,教授,博士,博导,主要从事波动方法与应用研究(E-mail: cetlliu@sjzu.edu.cn)
  • 中图分类号: P315

摘要: 该文研究地震动加速度时程、速度时程和位移时程的构成。将地震动加速度时程表示成正弦级数并对其积分,给出速度通项构成的地震动速度时程的计算公式。积分上述地震动速度时程,给出位移通项构成的地震动位移时程的计算公式。在PEER数据库中选取Landers、Taft和El-centro波的加速度时程,利用该文给出地震动加速度、速度和位移时程的计算公式分别得到三种地震动的加速度、速度和位移时程曲线,并通过与数据库提供的三种地震动的加速度、速度和位移时程曲线进行对比,验证了地震动加速度、速度和位移时程计算公式的正确性。得到以下结论:给出了加速度通项、速度通项和位移通项,三种通项分别求和可构成地震动加速度时程、速度时程和位移时程。

English Abstract

李文博, 刘铁林, 王宇. 地震动加速度、速度和位移时程的构成[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 164-167. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
引用本文: 李文博, 刘铁林, 王宇. 地震动加速度、速度和位移时程的构成[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 164-167. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
Wen-bo LI, Tie-lin LIU, Yu WANG. COMPOSITIONS OF TIME HISTORIES OF ACCELERATION AND VELOCITY AND DISPLACEMENT OF GROUND MOTION[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 164-167. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
Citation: Wen-bo LI, Tie-lin LIU, Yu WANG. COMPOSITIONS OF TIME HISTORIES OF ACCELERATION AND VELOCITY AND DISPLACEMENT OF GROUND MOTION[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 164-167. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S029
  • 任意周期函数可通过傅里叶变换表示为三角级数展开式[1-2]。针对实际地震记录进行离散傅里叶变换,可将地震波分解为有限个不同频率的简谐振动之和[3-5]。文献[6]根据2008年汶川地震广元曾家台的强震记录,将离散的加速度记录转化为包含了50组不同频率的正弦波和余弦波,由此,确定了地震波加速度的主要构成。

    本文将地震动加速度时程表示成正弦级数,将其积分给出速度通项构成的地震动速度时程的计算公式,将上述地震动速度时程再积分给出位移通项构成的地震动位移时程的计算公式。在PEER数据库中选取Landers、Taft和El-centro波的加速度时程,利用本文给出的地震动加速度、速度和位移时程的公式分别计算该三种地震动的加速度、速度和位移时程,并与数据库提供的这三种地震动的加速度、速度和位移时程进行对比,验证本文给出的加速度、速度和位移时程计算公式的正确性。

    • 地震动加速度时程 ${\ddot U_g}\left(t \right)$ 是定义在区间 $\left[ {0,T} \right]$ 上的非周期性离散型函数,其中T为地震动持续时间。在区间 $\left[ { - T,0} \right]$ 上对 ${\ddot U_g}\left(t \right)$ 进行奇延拓并周期延拓,可得地震动加速度时程展开成正弦级数构成的计算公式为:

      $${\ddot U_g}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{A_{gi}}\sin {\theta _i}} t,\;\;\;\;\;\;\;t \in \left[ {0,T} \right]$$ (1)

      式中: ${A_{gi}}\sin {\theta _i}t$ 为加速度通项;Agiθi分别为第i个加速度通项系数和激励频率,具体计算公式如下:

      $${A_{gi}} = \frac{2}{T}\int_0^T {{{\ddot U}_g}\left( t \right)} \sin {\theta _i}t{\rm{d}}t,\;\;\;\;\; {i = 1,2,3 \cdots } $$ (2)
      $${\theta _i} = \frac{{{\rm i}\pi }}{T},\;\;\;\;\;\;\; {i = 1,2,3 \cdots } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ (3)

      利用式(2)和式(3)给出一系列Agiθi,进而给出加速度通项 ${A_{gi}}\sin {\theta _i}t$ ,再利用式(1)将加速度通项求和即可构成地震动加速度时程。

    • 将式(1)进行积分,可得地震动速度时程为;

      $${\dot U_g}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty { - \frac{{{A_{gi}}}}{{{\theta _i}}}\cos {\theta _i}} t + {C_1},\;\;\;\;\;t \in \left[ {0,T} \right]$$ (4)

      式中,C1为积分常数。

      利用地震动初速度为零的条件,得:

      $${C_1} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{{{A_{gi}}}}{{{\theta _i}}}} $$ (5)

      将式(5)代入式(4),得地震动速度时程构成的计算公式:

      $${\dot U_g}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left[ { - \frac{{{A_{gi}}}}{{{\theta _i}}}\cos {\theta _i}t + \frac{{{A_{gi}}}}{{{\theta _i}}}} \right]}, \;\;\;\;t \in \left[ {0,T} \right]$$ (6)

      式(6)中 ${\rm{}}\left({ - {A_{gi}}/{\theta _i}} \right)\cos {\theta _i}t + {A_{gi}}/{\theta _i}$ 为速度通项。由式(6)可见,速度通项包含余弦项和常数项,速度通项求和构成地震动速度时程。

    • 将式(6)进行积分,可得地震动位移时程为:

      $${U_g}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left[ { - \frac{{{A_{gi}}}}{{\theta _i^2}}\sin {\theta _i}t + \frac{{{A_{gi}}}}{{{\theta _i}}}t} \right]} + {C_2},\;\;t \in \left[ {0,T} \right]$$ (7)

      式中,C2为积分常数。

      利用地震动初位移为零的条件,易得C2=0,则地震动位移时程构成的计算公式为:

      $${U_g}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left[ { - \frac{{{A_{gi}}}}{{\theta _i^2}}\sin {\theta _i}t + \frac{{{A_{gi}}}}{{{\theta _i}}}t} \right]} ,\;\;\;t \in \left[ {0,T} \right]$$ (8)

      式(8)中, $\left({ - {A_{gi}}/\theta _i^2} \right)\sin {\theta _i}t + \left({{A_{gi}}/{\theta _i}} \right)t$ 为位移通项。由式(8)可见,位移通项包含正弦项和线性项,位移通项求和构成地震动位移时程。

    • 利用PEER数据库分别选取Landers(RSN879-H1)、Taft(RSN15-H1)和El-centro(RSN6-H1)波的加速度时程,该三种地震动的持续时间分别为48.12 s、54.34 s和57.31 s,其中Landers为含速度脉冲的近场地震动。由式(1)、式(6)和式(8)可见,为了得到这三种地震动加速度、速度和位移时程需要计算Agiθi,可采用矩形法[7]、梯形法或者辛普森法[8-9]计算式(2)中的定积分以获得Agi。本文采用辛普森法,利用MATLAB[10]软件编程实现定积分的计算,最后由式(1)、式(6)和式(8)分别给出前3000项叠加的该三种地震动的加速度、速度和位移时程,并与数据库中这三种地震动的加速度、速度和位移时程曲线进行对比,以验证式(1)、式(6)和式(8)的正确性。

      图1图2图3分别为计算公式给出的Landers、Taft和El-centro地震动加速度、速度和位移时程与数据库中三种地震动加速度、速度和位移时程的对比曲线。

      图  1  Landers波加速度、速度和位移时程对比曲线

      Figure 1.  Time history comparisons of acceleration 、velocity and displacement of Landers wave

      图  2  Taft波加速度、速度和位移时程对比曲线

      Figure 2.  Time history comparisons of acceleration、velocity and displacement of Taft wave

      图  3  El-centro波加速度、速度和位移时程对比曲线

      Figure 3.  Time history comparisons of acceleration、velocity and displacement of El-centro wave

      图1(a)图2(a)图3(a)可见,式(1)计算给出的Landers、Taft和El-centro的加速度时程曲线与数据库中对应的加速度时程曲线完全一致,表明式(1)给出的地震动加速度时程构成计算公式正确。由图1(b)图2(b)图3(b)可见,式(6)计算给出的Landers、Taft和El-centro的速度时程曲线与数据库中对应的速度时程曲线完全一致,表明式(6)给出的地震动速度时程构成计算公式正确。由图1(c)图2(c)图3(c)可见,式(8)计算给出的Landers和Taft的位移时程曲线与数据库中对应的位移时程曲线完全一致,而El-centro位移时程曲线除末端略有差别外,其它处的位移时程曲线与数据库中对应的位移时程曲线完全一致,表明式(8)给出的地震动位移时程构成计算公式正确。

    • 本文将地震动加速度时程表示成正弦级数,将其积分得到由速度通项构成的地震动速度时程的计算公式,积分地震动速度时程得到由位移通项构成的地震动位移时程的计算公式。在PEER数据库中分别选取Landers、Taft和El-centro波的加速度时程,采用本文给出的地震动加速度、速度和位移时程构成计算公式分别计算三种地震动的加速度、速度和位移时程曲线,并与数据库中三种地震动的加速度、速度和位移曲线分别进行对比,得到以下结论:

      (1) 采用正弦级数形式的地震动加速度时程,给出了构成地震动加速度时程的加速度通项 ${A_{gi}}\sin {\theta _i}t$ ,加速度通项之和即为地震动加速度时程;

      (2) 给出了构成地震动速度时程的速度通项 $({ - {A_{gi}}/{\theta _i}} )\cos {\theta _i}t + {A_{gi}}/{\theta _i}$ ,速度通项之和即为地震动速度时程;

      (3) 给出了构成地震动位移时程的位移通项 $({ - {A_{gi}}/\theta _i^2} )\sin {\theta _i}t + ({{A_{gi}}/{\theta _i}} )t$ ,位移通项之和即为地震动位移时程。

参考文献 (10)

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