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FRP层合板自由边效应的变分渐近降维模型

王鹏 钟轶峰 罗丹 彭啸

王鹏, 钟轶峰, 罗丹, 彭啸. FRP层合板自由边效应的变分渐近降维模型[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 157-163. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
引用本文: 王鹏, 钟轶峰, 罗丹, 彭啸. FRP层合板自由边效应的变分渐近降维模型[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 157-163. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
Peng WANG, Yi-feng ZHONG, Dan LUO, Xiao PENG. A VARIATIONAL ASYMPTOTIC DIMENSIONAL-REDUCED MODEL FOR FREE-EDGE EFFECT OF FRP LAMINATES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 157-163. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
Citation: Peng WANG, Yi-feng ZHONG, Dan LUO, Xiao PENG. A VARIATIONAL ASYMPTOTIC DIMENSIONAL-REDUCED MODEL FOR FREE-EDGE EFFECT OF FRP LAMINATES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 157-163. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027

FRP层合板自由边效应的变分渐近降维模型

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
基金项目: 国家自然科学基金项目(51778088);重庆市自然科学基金项目(cstc2017jcyjBX00036)
详细信息
    作者简介:

    王 鹏(1995−),男,黑龙江人,硕士生,主要从事复合材料力学研究(E-mail: 605279894@qq.com)

    罗 丹(1991−),男,江西人,博士生,主要从事复合材料力学研究(E-mail: 2263008247@qq.com)

    彭 啸(1993−),男,江西人,博士生,主要从事复合材料力学研究(E-mail: 1198397727@qq.com)

    通讯作者: 钟轶峰(1975−),男,重庆人,教授,博士,博导,主要从事复合材料力学研究(E-mail: zhongjy58@sina.com)
  • 中图分类号: TU31;TB332

A VARIATIONAL ASYMPTOTIC DIMENSIONAL-REDUCED MODEL FOR FREE-EDGE EFFECT OF FRP LAMINATES

  • 摘要: 为准确预测因相邻层弹性性能不同产生的自由边应力,避免分层或横向开裂等过早破坏,基于变分渐近法构建FRP层合板的多尺度模型。利用板厚宽比很小的特点,严格将原三维各向异性弹性问题分解为代表单胞分析和二维板宏观分析。前者可提供板宏观分析所需的本构关系和三维重构关系。基于最小势能原理,通过对二维板能量泛函中主导变分项的渐近分析,得到表征板几何非线性的系列波动函数解;通过本构关系和求解得到的翘曲函数解重构自由边附近的局部三维应力场分布。通过拉伸、弯曲和扭矩共同作用下的对称铺设层合板算例表明:构建降维模型可准确预测沿自由边厚度方向和层间界面的应力分布,且计算效率大为提高,为结构设计人员在初步设计阶段对FRP层合板性能评估提供了一种简洁的途径。
  • 图  1  FRP层合板降维分析及坐标系(以三维单胞为例)

    Figure  1.  Multiscale analysis and coordinate system of FRP laminates (3D unit cell)

    图  2  三维有限元计算的[45/−45]s层合板沿路径方向 ${\sigma _{13}}$ 云图

    Figure  2.  Cloud picture of ${\sigma _{13}}$ in [45/−45]s laminates along the analysis path calculated by 3D finite element analysis

    图  3  FRP层合板降维模型的二维截面和二维板有限元网格划分

    Figure  3.  Mesh pattern of the 2D cross-section and 2D plate in the dimensional-reduced model of the FRP laminate

    图  4  拉伸下沿自由边路径B的层间应力分布比较

    Figure  4.  Comparison of interlaminar stress distributin along the free-edge path B under tension

    图  5  拉伸下沿界面层间路径A的层间应力分布比较

    Figure  5.  Comparison of interlaminar stress distributin along the interface path A under tension

    图  6  拉-弯-扭联合加载下FRP层合板坐标系和几何构型

    Figure  6.  Coordinate system and geometric configuration of FRP laminates under tension-bending-torsional loading

    图  7  复合力下FRP层合板三维有限元网格划分和三维有限元ABAQUS计算得到的[45/−45]s铺层 ${\sigma _{13}}$ 分布云图

    Figure  7.  3D FEM mesh pattern and stress distribtuin cloud map of the [45/−45]s FRP laminate under combined loading

    图  8  拉-弯-扭联合作用下FRP层合板沿路径A宽度方向层间应力分布 (x1=80 mm)

    Figure  8.  Distribution of the interlaminar stresses along the width Path A of the FRP laminate under combined loading: extension, bending, and twisting (x1=80 mm)

    图  9  拉-弯-扭联合作用下FRP层合板自由边沿路径B厚度方向层间应力分布 (x1=80 mm)

    Figure  9.  Through-the-thickness distribution of the interlaminar stress along the free-edge Path B of the FRP laminate under combined loading: extension, bending, and twisting (x1=80 mm)

  • [1] Pipes R B, Pagano N J. Interlaminar stresses in composite laminates-An approximate elasticity solution [J]. Journal of Applied Mechanics, 1974, 41(3): 668 − 672. doi:  10.1115/1.3423368
    [2] Hsu P W, Herakovich C T. Edge effects in angle-ply composite laminates [J]. Journal of Composite Materials, 1977, 11(4): 422 − 428. doi:  10.1177/002199837701100405
    [3] Tang S, Levy A. A boundary layer theory - part ii: Extension of laminated finite strip [J]. Journal of Composite Materials, 1975, 9(1): 42 − 52. doi:  10.1177/002199837500900105
    [4] Wang A S D, Crossman F W. Some new results on edge effect in symmetric composite laminates [J]. Journal of Composite Materials, 1977, 11(1): 92 − 106. doi:  10.1177/002199837701100110
    [5] Zhang J, Fan J, Herrmann K P. Delaminations induced by constrained transverse cracking in symmetric composite laminates [J]. International Journal of Solids & Structures, 1999, 36(6): 813 − 846.
    [6] Pagano N J. On the calculation of interlaminar normal stress in composite laminate [J]. Journal of Composite Materials, 1974, 8(1): 65 − 81. doi:  10.1177/002199837400800106
    [7] Tahani M, Nosier A. Edge effects of uniformly loaded cross-ply composite laminates [J]. Materials & Design, 2003, 24(8): 647 − 658.
    [8] Nosier A, Maleki M. Free-edge stresses in general composite laminates [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2008, 50(10-11): 1435 − 1447. doi:  10.1016/j.ijmecsci.2008.09.002
    [9] Tahani M, Nosier A. Free edge stress analysis of general cross-ply composite laminates under extension and thermal loading [J]. Composite Structures, 2003, 60(1): 91 − 103. doi:  10.1016/S0263-8223(02)00290-8
    [10] 孙雪坤, 甄立东, 杜善义. 复合材料圆筒自由边效应的有限元分析[J]. 力学与实践, 1998, 20(5): 34 − 36. doi:  10.6052/1000-0992-1999-332

    Sun Xuekun, Zhen Lidong, Du Shanyi. Finite element analysis for free edge effect of composite cylinder [J]. Mechanics & Engineering, 1998, 20(5): 34 − 36. (in Chinese) doi:  10.6052/1000-0992-1999-332
    [11] 徐铮, 吴振. 增强型整体-局部高阶理论四边形单元层合板自由边分析[J]. 沈阳航空航天大学学报, 2013, 30(3): 55 − 60. doi:  10.3969/j.issn.2095-1248.2013.03.012

    Xu Zheng, Wu Zhen. Quadrilateral element based on the enhanced global-local higher-order theory for the extension problem of the free-edge in laminates [J]. Journal of Shenyang Aerospace University, 2013, 30(3): 55 − 60. (in Chinese) doi:  10.3969/j.issn.2095-1248.2013.03.012
    [12] 钟轶峰, 陈磊, 余文斌, 等. 复合材料层合壳体热弹耦合简化模型[J]. 土木建筑与环境工程, 2012, 34(4): 53 − 58. doi:  10.11835/j.issn.1674-4764.2012.04.009

    Zhong Yifeng, Chen Lei, Yu Wenbin, et al. A simplified thermoelastic model for composite laminated shells [J]. Journal of Civil, Architectural and Environmental Engineering, 2012, 34(4): 53 − 58. (in Chinese) doi:  10.11835/j.issn.1674-4764.2012.04.009
    [13] 钟轶峰, 周小平, 张亮亮. 压电圆柱棒基于变分渐近法的广义Timoshenko模型[J]. 工程力学, 2014, 31(10): 14 − 20. doi:  10.6052/j.issn.1000-4750.2013.04.0327

    Zhong Yifeng, Zhou Xiaoping, Zhang Liangliang. A new generalized timoshenko model for piezoelectric cylindrical rods by using the variational asymptotic method [J]. Engineering Mechanics, 2014, 31(10): 14 − 20. (in Chinese) doi:  10.6052/j.issn.1000-4750.2013.04.0327
    [14] Dhanesh N, Kapuria S, Achary G G S. Accurate prediction of three-dimensional free edge stress field in composite laminates using mixed-field multiterm extended kantorovich method [J]. Acta Mechanica, 2017, 228(8): 2895 − 2919. doi:  10.1007/s00707-015-1522-0
  • [1] 杨海峰, 邓志恒, 覃英宏.  钢筋锈蚀后与再生混凝土间粘结-滑移本构关系研究 . 工程力学, 2015, 32(10): 114-122. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2014.03.0242
    [2] 李响, 谢剑, 吴洪海.  超低温环境下混凝土本构关系试验研究 . 工程力学, 2014, 31(增刊): 195-200. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2013.04.S008
    [3] 钟轶峰, 周小平, 张亮亮.  压电圆柱棒基于变分渐近法的广义Timoshenko模型 . 工程力学, 2014, 31(10): 14-20. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2013.04.0327
    [4] 蒋德稳, 邱洪兴.  重复荷载下钢筋与混凝土粘结本构关系 . 工程力学, 2012, 29(5): 93-100.
    [5] 宋 良, 刘卫群, 靳翠军.  考虑端面摩擦效应的煤样统计损伤尺度本构模型 . 工程力学, 2012, 29(11): 344-349. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2011.03.0163
    [6] 钟轶峰, 余文斌.  压电复合材料层合板的热压电弹性简化模型研究 . 工程力学, 2012, 29(6): 314-319. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2010.09.0653
    [7] 钟轶峰, 余文斌.  基于变分渐近法的功能梯度板高保真简化模型 . 工程力学, 2012, 29(10): 211-217. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2011.02.0066
    [8] 张敏思, 王述红, 杨 勇.  节理岩体本构模型数值模拟及其验证 . 工程力学, 2011, 28(5): 26-030.
    [9] 李同春, 杨志刚.  混凝土变参数等效应变损伤模型 . 工程力学, 2011, 28(3): 118-122.
    [10] 詹小丽, 张肖宁, 王端宜, 卢 亮.  改性沥青非线性粘弹性本构关系研究及应用 . 工程力学, 2009, 26(4): 187-191.
    [11] 康希良, 程耀芳, 张 丽, 赵鸿铁.  钢管混凝土粘结-滑移本构关系理论分析 . 工程力学, 2009, 26(10): 74-078.
    [12] 郑健龙, 钱国平, 应荣华.  沥青混合料热粘弹性本构关系试验测定及其力学应用 . 工程力学, 2008, 25(1): 0-041.
    [13] 蔡 健, 孙 刚.  带约束拉杆L形截面钢管混凝土的本构关系 . 工程力学, 2008, 25(10): 0-179.
    [14] 蔡 健, 龙跃凌.  带约束拉杆矩形钢管混凝土的本构关系 . 工程力学, 2008, 25(2): 0-143.
    [15] 王焕然, 谢书港, 陈大年, 俞宇颖, 刘国庆.  试论镁铝合金高应变率单轴压缩拟合本构关系的代入校核 . 工程力学, 2006, 23(9): 179-183.
    [16] 蔡健, 何振强.  带约束拉杆方形钢管混凝土的本构关系 . 工程力学, 2006, 23(10): 145-150.
    [17] 尹显俊, 王光纶, 张楚汉.  岩体结构面切向循环加载本构关系研究 . 工程力学, 2005, 22(6): 97-103,.
    [18] 金伟良, 袁伟斌, 干钢.  离心钢管混凝土的等效本构关系 . 工程力学, 2005, 22(2): 110-115.
    [19] 马建勋, 苏清波.  含随机参数的散粒体增量型内时本构关系 . 工程力学, 2004, 21(6): 97-101.
    [20] 任青文, 余天堂.  块体单元法的理论和计算模型 . 工程力学, 1999, 16(1): 67-77.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-04-26
  • 修回日期:  2020-01-11
  • 网络出版日期:  2020-06-01
  • 刊出日期:  2020-06-01

FRP层合板自由边效应的变分渐近降维模型

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
    基金项目:  国家自然科学基金项目(51778088);重庆市自然科学基金项目(cstc2017jcyjBX00036)
    作者简介:

    王 鹏(1995−),男,黑龙江人,硕士生,主要从事复合材料力学研究(E-mail: 605279894@qq.com)

    罗 丹(1991−),男,江西人,博士生,主要从事复合材料力学研究(E-mail: 2263008247@qq.com)

    彭 啸(1993−),男,江西人,博士生,主要从事复合材料力学研究(E-mail: 1198397727@qq.com)

    通讯作者: 钟轶峰(1975−),男,重庆人,教授,博士,博导,主要从事复合材料力学研究(E-mail: zhongjy58@sina.com)
  • 中图分类号: TU31;TB332

摘要: 为准确预测因相邻层弹性性能不同产生的自由边应力,避免分层或横向开裂等过早破坏,基于变分渐近法构建FRP层合板的多尺度模型。利用板厚宽比很小的特点,严格将原三维各向异性弹性问题分解为代表单胞分析和二维板宏观分析。前者可提供板宏观分析所需的本构关系和三维重构关系。基于最小势能原理,通过对二维板能量泛函中主导变分项的渐近分析,得到表征板几何非线性的系列波动函数解;通过本构关系和求解得到的翘曲函数解重构自由边附近的局部三维应力场分布。通过拉伸、弯曲和扭矩共同作用下的对称铺设层合板算例表明:构建降维模型可准确预测沿自由边厚度方向和层间界面的应力分布,且计算效率大为提高,为结构设计人员在初步设计阶段对FRP层合板性能评估提供了一种简洁的途径。

English Abstract

王鹏, 钟轶峰, 罗丹, 彭啸. FRP层合板自由边效应的变分渐近降维模型[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 157-163. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
引用本文: 王鹏, 钟轶峰, 罗丹, 彭啸. FRP层合板自由边效应的变分渐近降维模型[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 157-163. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
Peng WANG, Yi-feng ZHONG, Dan LUO, Xiao PENG. A VARIATIONAL ASYMPTOTIC DIMENSIONAL-REDUCED MODEL FOR FREE-EDGE EFFECT OF FRP LAMINATES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 157-163. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
Citation: Peng WANG, Yi-feng ZHONG, Dan LUO, Xiao PENG. A VARIATIONAL ASYMPTOTIC DIMENSIONAL-REDUCED MODEL FOR FREE-EDGE EFFECT OF FRP LAMINATES[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 157-163. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S027
  • 纤维复材(Fiber-reinforced polymers, FRP)因其轻质、高强、耐腐蚀的特点在工程结构中得到了广泛的应用。除了结构加固修补中大量采用的FRP片材和筋材外,FRP层合板作为建筑材料在新建结构中的应用也日益受到工程界的重视。一方面,FRP层合板具有高强度重量比,并且能通过改变层板的纤维取向实现特定的设计目标。另一方面,在层合结构的自由边处由于材料和几何不连续,在小区域上的层间界面处产生较大的面外应力,并迅速向内层区域衰减。由于层间界面强度较弱,自由边效应可导致层合板分层[1]、横向开裂等过早破坏。准确预测自由边附近的三维应力场对优化设计和防止层合板过早破坏至关重要。

    自由边效应的早期研究包括Hsu和Herakovich[2]的摄动技术、Tang和Levy[3]的边界层理论以及Wang和Crossman[4]基于有限元分析的准三维(quasi-3D,Q3D)数值方法。由于应用Q3D时须满足广义平面变形状态[5],仅对特定的铺层方式和加载情况有效,限制了该方法的应用范围。Pagano[6]应用位移基等效单层板理论(Equivalent Single Layer, ESL),将层合板从力学角度视为等同于经典板理论的等效单层板,但最大的缺陷是界面处的层间应力不连续。为求解连续性问题,Tahani和Nosier[7]提出位移基层合理论研究对称和不对称正交铺设层合板在热力耦合下的自由边效应。Nosier和Maleki[8]结合层合理论和改进一阶剪切变形理论分析层合板在拉伸下的自由边应力。Tahani 和Nosier[9]随后将该方法推广到拉、扭和弯曲下层合板的层间应力分析。孙雪坤等[10]也对层状圆筒在内压作用下的自由边效应进行有限元分析,讨论了叠层顺序对自由边效应的影响。徐铮等[11]基于增强整体-局部高阶理论构建四边形单元分析层合结构自由边拉伸问题。

    本文为准确预测自由边附近的三维应力场,基于变分渐近法[12-13]建立FRP层合板自由边效应的降维模型(ADRM, Asymptotic Dimensional Reduced Model)。利用板厚宽比很小的特点,严格将原三维各向异性弹性问题分解为截面分析和二维板分析。前者可提供板宏观分析所需的本构关系和三维重构关系。基于最小势能原理,通过对二维板能量泛函中主导变分项的渐近分析,得到表征板几何非线性的系列翘曲函数解,并重构出自由边附近的局部三维应力场分布。最后,通过拉伸、弯曲和扭矩共同作用下的对称铺设层合板算例验证构建降维模型的准确性和有效性。

    • 考虑如图1所示的层合板,长为 $L$ ,宽为2b,厚为h,由n层厚为h0的薄层构成。不失一般性,选择正交坐标系的原点在x1-x2平面内,为层合板截面的几何中心。层合板顶、底面的自由边处无外荷载作用。根据材料结构的周期性,单胞可以是一维、二维或三维的,这里以三维单胞为例说明利用变分渐近法构建降维模型的步骤。

      图  1  FRP层合板降维分析及坐标系(以三维单胞为例)

      Figure 1.  Multiscale analysis and coordinate system of FRP laminates (3D unit cell)

      引入两组坐标系:全局坐标系 ${x_i}$ 和局部坐标系 ${y_i}$ 。对于降维后的板结构,场变量是定义在参考面上 $\left( {{x_1},{x_2}} \right)$ 的函数, ${x_3}$ 消失(如图1所示)。全局和局部坐标的关系可表示为 ${y_i} = {x_i}/\eta $ ( $\eta $ 为小参数,文中下标ij=1, 2, 3;α=1, 2)。在降维模型中,原非均质体的场变量可用剩余宏观坐标 ${x_\alpha }$ 和局部坐标 ${y_j}$ 表示,其偏导数为:

      $$ \begin{split} \dfrac{{\partial f\left( {{x_\alpha };{y_j}} \right)}}{{\partial {x_\alpha }}} = &{\left. {\dfrac{{\partial f\left( {{x_\alpha };{y_j}} \right)}}{{\partial {x_i}}}} \right|_{{y_j} = {\rm{const}}}} +\\& {\left. {\dfrac{1}{\eta }\dfrac{{\partial f\left( {{x_\alpha };{y_j}} \right)}}{{\partial {y_i}}}} \right|_{{x_k} = {\rm{const}}}} \equiv {f_{,\alpha }} + \dfrac{1}{\eta }{f_{;j}} \end{split} $$ (1)

      为使用变分渐近法分析自由边效应,首先需用二维应变量表示原结构的三维位移场:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1}\left( {{x_\alpha }\!;{y_i}} \right)\! =\! \underline {{{\bar u}_1}\left( {{x_\alpha }} \right) - \eta {y_3}{{\bar u}_{3,1}}\left( {{x_\alpha }} \right)} \! +\! \eta {w_1}\left( {{x_\alpha };{y_i}} \right)}\\ {{u_2}\left( {{x_\alpha };\!{y_i}} \right) \!= \!\underline {{{\bar u}_2}\left( {{x_\alpha }} \right) - \eta {y_3}{{\bar u}_{3,2}}\left( {{x_\alpha }} \right)} \!+\!\! \eta {w_2}\left( {{x_\alpha };{y_i}} \right)}\\ {{u_3}\left( {{x_\alpha };\!{y_i}} \right) \!=\! \underline {{{\bar u}_3}\left( {{x_\alpha }} \right)} \!+ \!\eta {w_3}\left( {{x_\alpha };{y_i}} \right) } \end{array}} \right. $$ (2)

      式中: ${u_i}{\text{、}}{\bar u_i}$ 分别表示原三维板和二维板的位移; ${w_i}$ 为待求波动函数(表征不能由经典板模型描述的位移);下划线项为参考面(中面)产生的位移,需满足如下条件:

      $$ h{\bar u_3}\left( {{x_\alpha }} \right) = \left\langle {{u_3}} \right\rangle ,h{\bar u_\alpha }\left( {{x_\alpha }} \right) = \left\langle {{u_\alpha }} \right\rangle + \left\langle {\eta {y_3}} \right\rangle {\bar u_{3,2}} $$ (3)

      式中, $\left\langle \cdot \right\rangle $ 表示对单胞体积域积分。

      式(3)意味着对波动函数存在以下约束:

      $$ \left\langle {{w_i}} \right\rangle = 0 $$ (4)

      三维线弹性理论的应变场可表示为:

      $$ {\varepsilon _{ij}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) $$ (5)

      将式(5)代入式(2),并根据变分渐近法忽略高阶小项,得到三维应变场为:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\varepsilon _{11}} = {\gamma _{11}} + \eta {y_3}{\kappa _{11}} + {w_{1,1}}}\\ {2{\varepsilon _{12}} = 2{\gamma _{12}}{\rm{ + }}2\eta {y_3}{\kappa _{12}} + {w_{1,2}} + {w_{2,1}}}\\ {{\varepsilon _{22}} = {\gamma _{22}} + \eta {y_3}{\kappa _{22}} + {w_{2,2}}}\\ {2{\varepsilon _{13}} = {w_{1,{\rm{3}}}}{\rm{ + }}{w_{3,1}}}\\ {2{\varepsilon _{23}} = {w_{2,{\rm{3}}}}{\rm{ + }}{w_{3,2}}}\\ {{\varepsilon _{33}} = {w_{3,3}}} \end{array}} \right. $$ (6)

      式中:

      $${\gamma _{\alpha \beta }}\left( {{x_1},{x_2}} \right) = \left( {{{\bar u}_{\alpha ,\beta }} + {{\bar u}_{\beta ,\alpha }}} \right)/2,{\kappa _{\alpha \beta }}\left( {{x_1},{x_2}} \right) = - {\bar u_{3,\alpha \beta }}$$ (7)

      三维应变场可表示为如下矩阵形式:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{\varepsilon}}_{\rm {e}}} = {\left[ {{\varepsilon _{11}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\varepsilon _{22}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\varepsilon _{12}}} \right]^{\rm{T}}}{\rm{ = }}{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ }} + {{{I}}_\alpha }{{{w}}_{||,\alpha }}}\\ {2{{{\varepsilon}}_{\rm {s}}} = {\left[ {2{\varepsilon _{13}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\varepsilon _{23}}{\kern 1pt} } \right]^{\rm{T}}}{\rm{ = }}{{{w}}_{||,3}} + {{{e}}_\alpha }{w_{3,\alpha }}}\\ {{{{\varepsilon}}_{\rm {t}}} = {\varepsilon _{33}} = {w_{3,3}}} \end{array}} \right. $$ (8)

      式中: ${\left( {} \right)_{||}} = {\left[ {{{\left( {} \right)}_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\left( {} \right)}_2}} \right]^{\rm{T}}}$

      $$ \begin{split} &{{\gamma}} = {\left[ {{\gamma _{11}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\gamma _{12}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\gamma _{22}}{\kern 1pt} } \right]^{\rm{T}}},{\\text{κ }} = {\left[ {{\kappa _{11}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kappa _{12}}{\rm{ + }}{\kappa _{21}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kappa _{22}}{\kern 1pt} } \right]^{\rm{T}}},\\& {{{I}}_1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}},{{{I}}_2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]^{\rm{T}}},\\&{{{e}}_1} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right\},{{{e}}_2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right\} \end{split} $$

      应变能可表示为:

      $$\begin{split} 2U = &\left\langle {{{{\varepsilon }}^{\rm{T}}}{{D\varepsilon }}} \right\rangle {\rm{ = }}\\&\left\langle {{{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\varepsilon }}_{\rm {e}}}}\\ {2{{{\varepsilon }}_{\rm {s}}}}\\ {{{{\varepsilon }}_{\rm {t}}}} \end{array}} \right\}}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{D}}_{\rm {e}}}}&{{{{D}}_{\rm {es}}}}&{{{{D}}_{\rm {et}}}}\\ {{{D}}_{\rm {es}}^{\rm{T}}}&{{{{D}}_{\rm {s}}}}&{{{{D}}_{\rm {st}}}}\\ {{{D}}_{\rm {et}}^{\rm{T}}}&{{{D}}_{\rm {st}}^{\rm{T}}}&{{{{D}}_{\rm {t}}}} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\varepsilon }}_{\rm {e}}}}\\ {2{{{\varepsilon }}_{\rm {s}}}}\\ {{{{\varepsilon }}_{\rm {t}}}} \end{array}} \right\}} \right\rangle \end{split} $$ (9)

      板端部边界面力和体力所做虚功为:

      $$\overline {\delta W} = \int_\Omega {\left\langle {{\phi _i}\delta {w_i}} \right\rangle } {\rm{d}}\Omega {\rm{ + }}\int_S {\left\langle {\bar p\delta {u_1}} \right\rangle } {\rm{d}}s$$ (10)

      式中: $S$ 表示层合板端部边界面; $\bar p$ 表示作用在S上的面力矢量; ${\phi _i}$ 表示体力集度; $\Omega $ 表示二维板面域。

      最终的层合板弹性行为受如下泛函表达式控制:

      $$\delta U - \overline {\delta W} = 0$$ (11)

      式中,仅波动函数 ${w_i}$ 是变化的。

    • 根据最小总势能原理,零阶波动函数可通过式(4)约束下最小化零阶近似应变能求解:

      $$\delta {U_0} = 0$$ (12)

      式中:

      $$\begin{split}&2{U_0} =\\& \left\langle {{{\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}}} \right)}^{\rm{T}}}{{D}}_{\rm e}^k\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}} } \right) + w_{\left\| {,3} \right.}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm s}^k{w_{\left\| {,3} \right.}} + w_{3,3}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm t}^k{w_{3,3}}+ } \right.\\&\left. {2{{\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {{{D}}_{\rm es}^k{w_{\left\| {,3} \right.}} + {{D}}_{\rm et}^k{w_{3,3}}} \right) + 2w_{\left\| {,3} \right.}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm st}^k{w_{3,3}}} \right\rangle\end{split}$$ (13)

      相应的Euler-Lagange方程组为:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{[ {{{\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}}} \right)}^{\rm{T}}}{{D}}_{\rm {es}}^k + w_{||,3}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm s}^k + w_{3,3}^{}{{D}}_{\rm {st}}^k} ]_{,3}}{\rm{ = }}{\lambda _{||}}}\\ {{[ {{{\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}}} \right)}^{\rm{T}}}{{D}}_{\rm {et}}^k + w_{||,3}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm {st}}^k + w_{3,3}^{}{{D}}_{\rm t}^k} ]_{,3}}{\rm{ = }}{\lambda _3}} \end{array}} \right. $$ (14)

      式中: ${\lambda _{||}} = {\left[ {{\lambda _1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\lambda _2}} \right]^{\rm{T}}}$ ${\lambda _3}$ 分别为施加面内和面外约束引入的Lagrange乘子;上标k表示第k层的函数, $k = 1,2,\cdot \cdot \cdot,N$ (图1)。

      根据自由表面条件,式(14)方括号内的表达式在板顶、底面应为零,可定义板顶、底面边界条件为:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{[ {{{\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}}} \right)}^{\rm{T}}}{{D}}_{\rm {es}}^k + w_{||,3}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm{s}}^k + w_{3,3}^{}{{D}}_{\rm {st}}^k} ]^{{\rm{ + /}} - }}{\rm{ = }}0}\\ {{[ {{{\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}}} \right)}^{\rm{T}}}{{D}}_{\rm {et}}^k + w_{||,3}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm {st}}^k + w_{3,3}^{}{{D}}_{\rm{t}}^k} ]^{{\rm{ + /}} - }}{\rm{ = }}0} \end{array}} \right. $$ (15)

      式中,上标“+/−”表示板顶、底面上的量。

      将上述条件代入式(14),可求解 ${{w}}_{||}^{}{\text{、}}{w_3}$

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{w}}_{||}^{} = {\left\langle { - \left( {{{\gamma}}{\rm{ + }}{x_3}{\\text{κ}}} \right){\bar{ D}}_{\rm {es}}^k{{\left( {{{D}}_{\rm{s}}^k} \right)}^{ - 1}}} \right\rangle ^{\rm{T}}}}\\ {w_3^{} = \left\langle { - \left( {{{\gamma}}{\rm{ + }}{x_3}{\\text{κ}}} \right){\bar{ D}}_{\rm {et}}^k{{\left( {{{D}}_{\rm{t}}^k} \right)}^{ - 1}}} \right\rangle } \end{array}} \right. $$ (16)

      式中:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\bar{ D}}_{\rm {es}}^k{\rm{ = }}{{D}}_{\rm {es}}^k - {\bar{ D}}_{\rm {et}}^k{{\left( {{{D}}_{\rm {st}}^k} \right)}^{\rm{T}}}{{( {{\bar{ D}}_{\rm{t}}^k} )}^{ - 1}}}\\ {{\bar{ D}}_{\rm {et}}^k{\rm{ = }}{{D}}_{\rm {et}}^k - {{D}}_{\rm {es}}^k{{\left( {{{D}}_{\rm{s}}^k} \right)}^{ - 1}}{{D}}_{\rm {st}}^k}\\ {{{\bar{ D}}_{\rm{t}}^k{\rm{ = }}{{D}}_{\rm{t}}^k - {{\left( {{{D}}_{\rm {st}}^k} \right)}^{\rm{T}}}{{\left( {{{D}}_{\rm{s}}^k} \right)}^{ - 1}}{{D}}_{\rm {st}}^k}} \end{array}} \right. $$ (17)

      将求解的波动函数代入式(13),得到:

      $$\begin{split} 2{U_0} = &\left\langle {{{\left( {{{\gamma}}{\rm{ + }}{x_3}{\\text{κ}}} \right)}^{\rm{T}}}{{{\bar{ D}}}_{\rm {e}}}\left( {{{\gamma}}{\rm{ + }}{x_3}{\\text{κ}}} \right)} \right\rangle {\rm{ = }}\\&{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma}}\\ {\\text{κ}} \end{array}} \right\}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A}}&{{B}}\\ {{{{B}}^{\rm{T}}}}&{{D}} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma}}\\ {\\text{κ}} \end{array}} \right\} \end{split} $$ (18)

      式中:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{\bar{ D}}}_{\rm {e}}} = {{{D}}_{\rm {e}}} - {{{\bar{ D}}}_{\rm {es}}}{{D}}_{\rm{s}}^{ - 1}{{D}}_{\rm {es}}^{\rm{T}} - {{{\bar{ D}}}_{\rm {et}}}{{D}}_{\rm {et}}^{\rm{T}}/{{{\bar{ D}}}_{\rm {t}}}}\\ {{{A}} = \left\langle {{{{\bar{ D}}}_{\rm {e}}}} \right\rangle ,{{B}} = \left\langle {{x_3}{{{\bar{ D}}}_{\rm {e}}}} \right\rangle ,{{D}} = \left\langle {x_3^2{{{\bar{ D}}}_{\rm {e}}}} \right\rangle } \end{array}} \right. $$ (19)

      零阶近似三维应变场可重构为:

      $${{\varepsilon }}_{\rm{e}}^0 = {{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}},2{{\varepsilon }}_{\rm{s}}^0 = - {{{w}}_{||,3}},{{\varepsilon }}_{\rm{t}}^0 = {w_{3,3}}$$ (20)

      对于实际工程中使用的层合板大多数为对称铺层,材料矩阵由13个独立元素表征, $ {{{D}}_{\rm {es}}} ={{{D}}_{\rm {st}}} =$ $ {0}$ ,此时零阶翘曲函数可简化为:

      $${{{w}}_{||}} = { 0},{w_3} = {{{D}}_ \bot }{{\chi}} $$ (21)

      式中:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{D}}_ \bot } = \left[ { - {{{D}}^*}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} - {x_3}{{{D}}^*}} \right],{{{D}}^*} = \left\langle {{{\left( {{{D}}_{\rm {et}}^k} \right)}^{\rm{T}}}{{\left( {{{D}}_{\rm{t}}^k} \right)}^{ - 1}}} \right\rangle}\\ {{{\chi }} = {\left[ {{{\gamma}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\\text{κ}}}\right]^{\rm{T}}},\left\langle {{{{D}}_ \bot }} \right\rangle = 0} \end{array}} \right. $$ (22)

      应力场重构为:

      $${{\sigma}}_{\rm{e}}^0 = {{\bar{ D}}_{\rm {e}}}\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}}} \right),{{\sigma}}_{\rm{s}}^0 = 0,{{\sigma}}_{\rm{t}}^0 = 0$$ (23)
    • 由式(23)可知零阶近似只能得到平面应力,为得到对分析自由边效应至关重要的面外应力,需进行下阶近似。为此,可将零阶翘曲函数摄动为:

      $${{w}}_{||}^{} = {{{v}}_{||}},{w_3} = {v_3} + {{{D}}_ \bot }{{\chi }}$$ (24)

      将式(24)代入式(13),得到一阶近似主导项为:

      $$\begin{split}2{\Pi _1} = &\left\langle { {{v}}_{||,3}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm{s}}^k{{{v}}_{||,3}} + {{D}}_{\rm{t}}^kv_{3,3}^2 + 2{{v}}_{{\rm{||}}}^{\rm{T}}{{C}}_{\alpha ,3}^k{\chi _{,\alpha }} + }\right.\\&\left.{ 2{{v}}_{||,3}^{\rm{T}}{{D}}_{\rm{s}}^k{{{e}}_\alpha }{{D}}_ \bot ^k{\chi _{,\alpha }} - 2{{v}}_{||}^{\rm{T}}{{{\phi}} _{||}}} \right\rangle \end{split}$$ (25)

      式中, ${{{\phi}} _{||}} = {\left[ {{\phi _1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\phi _2}} \right]^{\rm{T}}}$

      式(25)的Euler-Lagrange方程为:

      $${\left( {{{D}}_{\rm{s}}^k{{{v}}_{||,3}} + {{D}}_{\rm{s}}^k{{{e}}_\alpha }{{D}}_ \bot ^k{{{\chi }}_{,\alpha }}} \right)_{,3}} = {{C}}_{\alpha ,3}^k{{{\chi }}_{,\alpha }}{\rm{ + }}{{{g}}_{,3}} + {\lambda _{||}}$$ (26)

      式中: ${{C}}_\alpha ^k{\rm{ = }}\left\langle { - {{I}}_\alpha ^{\rm{T}}\left[ {{{D}}_\parallel ^k{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x_3}{{D}}_\parallel ^k} \right]} \right\rangle $ ${{{g}}_{,3}} = - {{{\phi}} _{||}}$

      ${v_3}$ ${{{v}}_{{\rm{||}}}}$ 完全独立,由式(6)可知 ${v_3}$ 仅有平凡解。求解式(26)和式(6),得到翘曲函数 ${{{v}}_{{\rm{||}}}}$ 解为:

      $${{{v}}_{{\rm{||}}}} = {\bar{ C}}_\alpha ^k{{{\chi }}_{_{,\alpha }}} + {{\bar{ g}}^k}$$ (27)

      式中:

      $$\begin{split} &{\bar{ C}}_\alpha ^k{\rm{ = }}\left\langle {{{\left( {{{D}}_{\rm{s}}^k} \right)}^{ - 1}}{\tilde{ C}}_\alpha ^k} \right\rangle ,{\tilde{ C}}_\alpha ^k = {{C}}_\alpha ^k + \dfrac{{{x_3}}}{h}{{C}}_\alpha ^ \mp - \dfrac{1}{2}{{C}}_\alpha ^ \pm - {{D}}_{\rm{s}}^k{{{e}}_\alpha }{{{D}}_ \bot },\\& {\bar{ g}}_{}^k = \left\langle {{{\left( {{{D}}_{\rm{s}}^k} \right)}^{ - 1}}{\tilde{ g}}_{}^k} \right\rangle ,{\tilde{ g}}_{}^k = {{g}}_{}^k + \dfrac{{{x_3}}}{h}{{g}}_{}^ \mp - \dfrac{1}{2}{{g}}_{}^ \pm \end{split}$$

      其中: ${\left( {} \right)^ \pm }{\rm{ = }}{\left( {} \right)^{\rm{ + }}}{\rm{ + }}{\left( {} \right)^ - },{\left( {} \right)^ \mp }{\rm{ = }}{\left( {} \right)^ - } - {\left( {} \right)^ + }$

      至此,修正到一阶的近似能量为:

      $$2{\Pi _1} = {{{\chi }}^{\rm{T}}}{{A\chi }} + {{\chi }}_{,\alpha }^{\rm{T}}{{{B}}_{\alpha \beta }}{{{\chi }}_{,\beta }} - 2{{{\chi }}^{\rm{T}}}F$$ (28)

      式中:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{B}}_{\alpha \beta }} = \left\langle {{D_{{s_{\alpha \beta }}}}{{D}}_ \bot ^{\rm{T}}{{{D}}_ \bot }{\bar{ C}}_\alpha ^{\rm{T}}{{{C}}_{\beta ,3}} + {\bar{ C}}_\alpha ^{\rm{T}}{{{e}}_\beta }{{{D}}_ \bot }} \right\rangle}\\ {{{F}}\!\! =\!\! \left\langle {{{D}}_ \bot ^{\rm{T}}{\phi _3}} \right\rangle \!+ \!\dfrac{1}{2}\left( {\left\langle {{{D}}_ \bot ^{\rm{T}}{{e}}_\alpha ^{\rm{T}}{{{\tilde{ g}}}_{,\alpha }}} \right\rangle \!+\! {{C}}_{\alpha ,3}^{\rm{T}}{{{\bar{ g}}}_{,\alpha }} \!-\! {\bar{ C}}_\alpha ^{\rm{T}}{{{\phi}} _{||,\alpha }}} \right)} \end{array}} \right. $$ (29)
    • 降维模型的可靠性取决于其对原三维结构位移、应力和应变场重构的准确性。因此,有必要提供重构关系以完善降维模型,即用二维变量和x3表征三维位移、应力和应变场。

      由式(4),可重构三维位移场为:

      $${U_i} = {u_i} + {x_3}\left( {{C_{3i}} - {\delta _{3i}}} \right) + {C_{ji}}{w_j}$$ (30)

      式中: ${U_i}{\text{、}}{u_i}$ 分别为三维位移和二维位移; ${w_\alpha }{\rm{ = }}{v_\alpha }; $ ${w_3} = {{{D}}_ \bot }{{\chi}} $

      由式(12)重构三维应变场为:

      $${{{\varepsilon }}_{\rm {e}}} = {{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}},2{{{\varepsilon }}_{\rm {s}}} = {{{v}}_{||,3}} + {{{e}}_\alpha }{{{D}}_ \bot }{{{\chi }}_{,\alpha }},{{{\varepsilon }}_{\rm {t}}} = {{{D}}_{ \bot ,3}}{{\chi }}$$ (31)

      三维应力场可重构为:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{\sigma }}_{\rm {e}}} = {\left[ {{\sigma _{{\rm{11}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\sigma _{{\rm{12}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\sigma _{{\rm{22}}}}} \right]^{\rm{T}}} =}\\ {{{{D}}_{||}}\left( {{{\gamma}} + {x_3}{\\text{κ}}} \right) + {{{D}}_{\rm {e}}}{{{I}}_\alpha }{{{v}}_{{\rm{||,}}\alpha }}}\\ {2{{{\sigma }}_{\rm {s}}} = {\left[ {{\sigma _{{\rm{13}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\sigma _{23}}} \right]^{\rm{T}}} = {{{D}}_{\rm {s}}}\left( {{{{v}}_{||,3}} + {{{e}}_\alpha }{{{D}}_ \bot }{{{\chi }}_{,\alpha }}} \right)}\\ {{{{\sigma }}_{\rm {t}}} = {\sigma _{33}} = {{D}}_{\rm {et}}^{\rm{T}}{{{I}}_\alpha }{{{v}}_{||,\alpha }}} \end{array}} \right. $$ (32)
    • 考虑均匀轴向应变 $\varepsilon = 0.01$ 下常用的对称铺设层合板[45/−45]s[90/0]s[0/90]s $b/{h_0} = 8$ 。CFRP材料属性为: ${E_{11}} = 137.895$ GPa, ${E_{22}} = {E_{33}} = $ $ 14.479$ GPa, ${G_{12}} = {G_{13}} = {G_{23}} = $ 5.861 GPa, $ {v_{12}} = {v_{13}} =$ $ {v_{23}} = $ 0.21。利用构建的降维模型计算沿自由边厚度方向路径B(0, b, x3)和沿界面层间路径A(0, x2, h0)的层间应力分布(如图1所示),并与三维有限元ABAQUS得到的计算结果进行比较,以验证模型的有效性和准确性。

      根据FRP层合板的周期性,三维有限元模型需要250 000个C3D8R实体单元,计算时间为750 s,计算的典型[45/−45]s层合板沿路径方向的 ${\sigma _{13}}$ 云图如图2所示。而降维模型为二维截面(9520个S8R壳单元)+二维板模型(6920个S4R壳单元)(见图3),计算时间仅为5 s,计算效率大大提升。

      图  2  三维有限元计算的[45/−45]s层合板沿路径方向 ${\sigma _{13}}$ 云图

      Figure 2.  Cloud picture of ${\sigma _{13}}$ in [45/−45]s laminates along the analysis path calculated by 3D finite element analysis

      图  3  FRP层合板降维模型的二维截面和二维板有限元网格划分

      Figure 3.  Mesh pattern of the 2D cross-section and 2D plate in the dimensional-reduced model of the FRP laminate

      图4给出层间应力 ${\sigma _{13}}{\text{、}}{\sigma _{23}}{\text{、}}{\sigma _{33}}$ 沿自由边厚度方向(路径B)的变化,可看出:基于构建模型得到的应力分布与三维有限元相一致,说明构建模型分析层合板自由边效应的有效性。在三种铺层方式中,[45/−45]s铺层变化最显著,越接近铺层方向改变的界面层间,变化越剧烈,其中剪应力 ${\sigma _{13}}{\text{、}}{\sigma _{23}}$ 因各层纤维铺设角度变化呈正负对称分布,但数值大小没有变化。[90/0]s和[0/90]s铺层中的剪应力 ${\sigma _{13}}{\text{、}}{\sigma _{23}}$ 在±10 MPa范围内变化,可忽略不计;正应力 ${\sigma _{33}}$ 在最外层数值很小,可忽略不计,但在中间两层的变化较大,这主要与铺层倾角与外载的方向性有关,需引起重视。

      图5给出层间应力 ${\sigma _{13}}{\text{、}}{\sigma _{23}}{\text{、}}{\sigma _{33}}$ 沿界面层间(路径A)的变化,可看出:构建的降维模型预测结果与三维有限元结果相一致;层间应力在x2/b=0.5之前基本为零,一旦超过0.5倍后应力迅速增大,在板自由边缘处达到峰值。在三种铺层方式中,[45/−45]s铺层变化最显著;而正应力 ${\sigma _{33}}$ 在靠近板边时由正应力急剧变化到负应力,需引起特别重视。由上述分析可看出:自由边效应存在的主要范围为距离板边1倍板厚范围内,并且距离板边越近自由边效应越大,该规律与Dhanesh等[14]研究结果相一致。

      图  4  拉伸下沿自由边路径B的层间应力分布比较

      Figure 4.  Comparison of interlaminar stress distributin along the free-edge path B under tension

      图  5  拉伸下沿界面层间路径A的层间应力分布比较

      Figure 5.  Comparison of interlaminar stress distributin along the interface path A under tension

    • 为验证更复杂载荷条件下构建模型的有效性,考虑如图6所示复合力作用下的FRP层合板。各铺层倾角和材料属性与算例1相同,层合板总厚度为h=4 mm,L=160 mm。x1=0处固定,x1=L处承受复合载荷:N=100 N,F3=1 N,扭矩M1=0.1 N·m,弯矩M2=−0.1 N·m。降维模型和三维有限元模型的网格划分规模和计算效率与算例1相似。典型三维模型网格划分和三维有限元ABAQUS计算得到的[45/−45]s铺层 ${\sigma _{13}}$ 分布云图如图7所示,其中为得到跨中(x1=80 mm)处沿分析路径的应力分布,对该区域网格划分进行了加密。

      图  6  拉-弯-扭联合加载下FRP层合板坐标系和几何构型

      Figure 6.  Coordinate system and geometric configuration of FRP laminates under tension-bending-torsional loading

      图  7  复合力下FRP层合板三维有限元网格划分和三维有限元ABAQUS计算得到的[45/−45]s铺层 ${\sigma _{13}}$ 分布云图

      Figure 7.  3D FEM mesh pattern and stress distribtuin cloud map of the [45/−45]s FRP laminate under combined loading

      图8绘出层间应力 ${\sigma _{13}}{\text{、}}{\sigma _{23}}{\text{、}}{\sigma _{33}}$ 沿界面层间(路径A)的变化,可看出:构建的降维模型预测的复合力下层间应力分布结果与三维有限元结果相一致,说明构建模型分析复合受力下层合板自由边效应的有效性。与单轴拉伸情况类似,当x2/b<0.5时,层间应力基本不受铺层倾角的影响;一旦超过0.5倍后应力迅速增大。[45/−45]s铺层的层间正应力 ${\sigma _{33}}$ 在与单轴拉伸下的层合板类似,靠近板边时产生正负颠倒的现象。

      图  8  拉-弯-扭联合作用下FRP层合板沿路径A宽度方向层间应力分布 (x1=80 mm)

      Figure 8.  Distribution of the interlaminar stresses along the width Path A of the FRP laminate under combined loading: extension, bending, and twisting (x1=80 mm)

      图9绘出了层间应力 ${\sigma _{13}}{\text{、}}{\sigma _{23}}{\text{、}}{\sigma _{33}}$ 沿自由边厚度方向(路径B)的变化,可看出:在三种铺层方式中,[45/−45]s铺层的应力变化最显著,其分布越接近铺层方向改变的界面层间,变化越剧烈。[90/0]s铺层中的剪应力 ${\sigma _{13}}$ 在90°铺层为零,在0°铺层内数值较大;而[0/90]s铺层中的应力分布正好相反,原因同样与铺层倾角与外载的方向性有关。剪应力 ${\sigma _{23}}$ 也有类似分布规律,有必要采取相应措施加以预防。

      图  9  拉-弯-扭联合作用下FRP层合板自由边沿路径B厚度方向层间应力分布 (x1=80 mm)

      Figure 9.  Through-the-thickness distribution of the interlaminar stress along the free-edge Path B of the FRP laminate under combined loading: extension, bending, and twisting (x1=80 mm)

    • 基于变分渐近法构建FRP层合板的多尺度模型。利用板厚宽比很小的特点,严格将原三维各向异性弹性问题分解为代表单胞分析和二维板宏观分析,得出以下结论。

      (1) 通过四层对称铺设FRP层合板在拉-弯-扭载荷作用下与三维有限元结果对比,验证了构建模型的准确性,且分解后的降维模型所需的单元数相较三维有限元模型明显减少,计算效率大为提高,为FRP层合板的应用提供快速高效的解决方案。

      (2) 单轴拉伸和拉-弯-扭联合作用下的FRP层合板以 [45/−45]s铺层沿自由边厚度方向分布的应力变化最显著,[90/0]s和[0/90]s铺层在单轴拉伸中仅正应力 ${\sigma _{33}}$ 中变化较大,而在拉弯扭作用下各应力分量在界面处均呈急剧变化。沿界面层间的应力分布中,同样以[45/−45]s铺层变化最显著,而层间正应力 ${\sigma _{33}}$ 在靠近板边时产生正负颠倒的现象,需引起特别重视。

      (3) 由本文分析可知:自由边效应在单轴拉伸下层合板和悬臂板中距板边1倍板厚范围内,并且距离板边越近自由边效应越大,可为FRP层合板的优化设计和实际应用提供技术支撑。

参考文献 (14)

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