留言板

尊敬的读者、作者、审稿人, 关于本刊的投稿、审稿、编辑和出版的任何问题, 您可以本页添加留言。我们将尽快给您答复。谢谢您的支持!

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

T型截面拱在拱顶集中力作用下的平面外弯扭失稳

刘璐璐 刘爱荣 卢汉文

刘璐璐, 刘爱荣, 卢汉文. T型截面拱在拱顶集中力作用下的平面外弯扭失稳[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 151-156. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
引用本文: 刘璐璐, 刘爱荣, 卢汉文. T型截面拱在拱顶集中力作用下的平面外弯扭失稳[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 151-156. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
Lu-lu LIU, Ai-rong LIU, Han-wen LU. FLEXURAL-TORSIONAL BUCKLING OF PIN-ENDED ARCHES WITH T-SECTION UNDER A CENTRAL RADIAL CONCENTRATED LOAD[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 151-156. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
Citation: Lu-lu LIU, Ai-rong LIU, Han-wen LU. FLEXURAL-TORSIONAL BUCKLING OF PIN-ENDED ARCHES WITH T-SECTION UNDER A CENTRAL RADIAL CONCENTRATED LOAD[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 151-156. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026

T型截面拱在拱顶集中力作用下的平面外弯扭失稳

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
基金项目: 国家自然科学基金项目(51578188);广东市科技计划国际合作项目(201807010021)
详细信息
    作者简介:

    刘璐璐(1995−),女,广东人,博士生,主要从事拱的稳定性研究(E-mail: 1111916027@e.gzhu.edu.cn)

    卢汉文(1990−),男,广东人,讲师,博士,主要从事拱的静动力稳定性研究(E-mail: luhanwen@e.gzhu.edu.cn)

    通讯作者: 刘爱荣(1972−),女,山西人,教授,博士,主任,主要从事新型桥梁结构的静动力稳定性研究(E-mail: liuar@gzhu.edu.cn)
  • 中图分类号: TU312

FLEXURAL-TORSIONAL BUCKLING OF PIN-ENDED ARCHES WITH T-SECTION UNDER A CENTRAL RADIAL CONCENTRATED LOAD

图(5)
计量
  • 文章访问数:  21
  • HTML全文浏览量:  3
  • PDF下载量:  15
  • 被引次数: 0
出版历程
  • 收稿日期:  2019-04-26
  • 修回日期:  2019-12-23
  • 网络出版日期:  2020-06-01
  • 刊出日期:  2020-06-01

T型截面拱在拱顶集中力作用下的平面外弯扭失稳

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
    基金项目:  国家自然科学基金项目(51578188);广东市科技计划国际合作项目(201807010021)
    作者简介:

    刘璐璐(1995−),女,广东人,博士生,主要从事拱的稳定性研究(E-mail: 1111916027@e.gzhu.edu.cn)

    卢汉文(1990−),男,广东人,讲师,博士,主要从事拱的静动力稳定性研究(E-mail: luhanwen@e.gzhu.edu.cn)

    通讯作者: 刘爱荣(1972−),女,山西人,教授,博士,主任,主要从事新型桥梁结构的静动力稳定性研究(E-mail: liuar@gzhu.edu.cn)
  • 中图分类号: TU312

摘要: 该文以在拱顶径向集中力作用下T型截面两端铰接圆弧拱为研究对象,考虑了剪切变形的影响,推导了适用于单轴对称截面的应变与位移函数关系。求解了拱屈曲前精确的内力。再根据势能驻值原理和Rayleigh-Ritz法推导了T型截面圆弧拱弯扭屈曲荷载解析解,并与有限元数值结果进行了比较,二者吻合较好,证明了理论解的正确性。研究发现,单轴对称参数βx对弯扭屈曲荷载的影响明显,且剪切变形对较浅的拱影响较为明显。

English Abstract

刘璐璐, 刘爱荣, 卢汉文. T型截面拱在拱顶集中力作用下的平面外弯扭失稳[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 151-156. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
引用本文: 刘璐璐, 刘爱荣, 卢汉文. T型截面拱在拱顶集中力作用下的平面外弯扭失稳[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 151-156. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
Lu-lu LIU, Ai-rong LIU, Han-wen LU. FLEXURAL-TORSIONAL BUCKLING OF PIN-ENDED ARCHES WITH T-SECTION UNDER A CENTRAL RADIAL CONCENTRATED LOAD[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 151-156. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
Citation: Lu-lu LIU, Ai-rong LIU, Han-wen LU. FLEXURAL-TORSIONAL BUCKLING OF PIN-ENDED ARCHES WITH T-SECTION UNDER A CENTRAL RADIAL CONCENTRATED LOAD[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 151-156. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S026
    • 拱在面内荷载的作用下可能会发生平面外弯扭失稳。许多学者对双轴对称截面拱的稳定性开展了系统研究。如Bradford和Pi[1]得到了在均匀轴向压缩下拱的平面外屈曲理论解。Pi等[2-3]通过精确的前屈曲分析,得到了在拱顶集中力作用下平面外铰接拱的弯扭屈曲荷载。Liu等[4]研究了在拱顶集中力作用下两端固接圆弧拱的弯扭稳定性问题。Liu等[5]研究了在拱顶任意径向集中力作用下圆弧拱的弯扭失稳。但极少数是针对单轴对称截面拱的弯扭失稳展开研究的。如:Trahair等[6]推导了单轴对称工字型截面圆弧拱非线性应变与位移的函数关系,得到了单轴对称截面圆弧拱在端弯矩和均布荷载作用下的弯扭屈曲闭合解。Pi等[7]考虑了屈曲前面内变形的影响,得到了单轴对称工字型截面拱在均匀弯矩作用下的弯扭屈曲闭合解。Ryu等[8]在考虑初始曲率和面内高阶变形的影响下得到了单轴对称工字型截面拱的弯扭失稳弯矩解。Papangelis和Trahair[9]对拱顶集中力作用下的单轴对称工字型截面圆弧拱进行了平面外弯扭失稳的有限元模拟,并用实验进行了验证。但这些研究主要的荷载作用形式都是均布荷载及端弯矩,并没有对集中力这种荷载形式进行理论研究。因为在集中力荷载作用下,精确地求解屈曲前面内内力的难度将会增加。另外,由于单轴对称截面的形心和剪切中心并不重合,所以需要结合坐标变换重新推导适用于单轴对称截面的应变函数。而且目前工程中T型截面拱的应用非常普遍,所以精确地求解T型截面拱的面外弯扭屈曲荷载十分必要。

      本文针对T型截面且面内外均为铰接的圆弧拱在拱顶集中力作用下的弯扭失稳临界荷载进行了研究。推导出了T型截面且考虑了剪切变形影响的应变与位移函数关系。进行了屈曲前精确的内力分析,再结合势能驻值原理和Rayleigh-Ritz法得到了与弯扭屈曲荷载有关的一元二次方程。研究发现,单轴对称参数对弯扭屈曲荷载的影响明显,且剪切变形对较浅的拱影响较为明显。最后运用有限元对所得的理论解进行了验证。

    • 对T型截面进行平面外弯扭失稳分析,首先要求出正确的应变与位移关系,其截面和坐标系统如图1所示。目前只有极少数的应变函数适用于单轴对称截面的圆弧拱,且未考虑剪切变形的影响。由于单轴对称截面的形心与剪切中心并不重合,且截面发生扭转时是绕着剪切中心进行的。所以,本文基于Pi等[7]和Lu等[10]的推导方法,通过对剪切中心的坐标变换,推导出了T型截面的应变与位移关系,表达式如下:

      图  1  T型截面及其坐标系

      Figure 1.  T-section and coordinate system

      $$ {\varepsilon _{xx}} = {\varepsilon _{yy}} = {\gamma _{xy}} = 0\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;\; $$ (1)
      $$\begin{split} {\varepsilon _{ss}} \approx & ({{\tilde w'}_s} - \tilde v) + \dfrac{1}{2}\psi _y^2 + \dfrac{1}{2}\psi _x^2 - x{\kappa _y} + y{\kappa _x} - \quad\\& {\textit{ω}} \left( {x,y} \right){{\kappa '}_s} + \dfrac{1}{2}\left[ {{x^2} + {{(y - {y_0})}^2}} \right]\kappa _s^2 \end{split} \;\; $$ (2)
      $$ {\gamma _{sx}} \approx - \left(y - {y_0} + \frac{{\partial {\textit{ω}} }}{{\partial x}}\right){\kappa _s} + {\vartheta _x}\left(1 - \frac{{{\theta ^2}}}{2}\right) + {\vartheta _y}\theta $$ (3)
      $$ {\gamma _{sy}} \approx \left(x - \frac{{\partial {\textit{ω}} }}{{\partial y}}\right){\kappa _s} - {\vartheta _x}\theta + {\vartheta _y}\left(1 - \frac{{{\theta ^2}}}{2}\right)\quad\quad\;\; $$ (4)

      式中: ${y_0}$ 为剪切中心相对于形心的纵坐标; ${\kappa _x}$ ${\kappa _y}$ ${\kappa _s}$ 分别是关于单位向量qxqyqs的曲率; $ v{\text{、}}{w_s}$ 分别为剪切中心的径向、轴向位移; ${\psi _x}{\text{、}}{\psi _y}$ 分别为截面x方向和y方向的转角; $\theta {\text{、}}{\vartheta _x}{\text{、}}{\vartheta _y}$ 分别为扭转角、x方向和y方向的剪切角; ${\textit{ω}} $ 为截面的翘曲函数。且(下式中u为剪切中心的横向位移,w为截面形心的轴向位移)

      $$ \begin{split} &{\tilde \psi _x} = {{{\psi _x}} / {\left( {1 + \varepsilon } \right)}},\;{\tilde \psi _y} = {{{\psi _y}} / {\left( {1 + \varepsilon } \right)}},\;{\psi _x} = \tilde u'{\rm{ - }}{\vartheta _x},\\ & {\psi _y} = \tilde v' + \tilde w - {\vartheta _y},\; \left( {} \right)\prime = d\left( {} \right)/d\phi ,\tilde u = u/R,\\ & \tilde v{\rm{ = }}{v / R},\;{\tilde w_s}{\rm{ = }}{{{w_s}} / R},\;{\hat w'_s} = (1 + {\tilde w'_s} - \tilde v)/(1 + \varepsilon ),\\ & 1 + \varepsilon = \sqrt {\psi _x^2 + \psi _y^2 + {{\left( {1 + {{\tilde w'}_s} - \tilde v} \right)}^2}} ,\\ & {w_s} = w + {y_0}\left( {{{\tilde \psi }_x}\sin \theta - {{\tilde \psi }_y}\cos \theta } \right){\text{。}} \end{split} $$
    • 本文的研究对象为T型截面圆弧拱,求解其在拱顶集中力作用下的平面外弯扭失稳临界荷载,边界条件为面内外铰接,且假设两端的铰支座位于T型截面的形心处。其几何结构如图2所示。图2中,L为跨径,f为矢高,R为半径,Q为集中力荷载,2Θ为圆心角, $\phi $ 为拱的角坐标。为求解圆弧拱的平面外弯扭失稳屈曲荷载,屈曲前平面内的内力求解十分重要。在考虑剪切变形的情况下,结合所求得的应变函数,拱结构平面内的能量方程可表示为式(5):

      图  2  拱结构的几何结构和弯扭失稳

      Figure 2.  The arch geometry and flexural-torsional buckling

      $$ \begin{split} \displaystyle\int_{{\rm{ - }}\Theta }^\Theta & {\int_A^{} {\left( {ER{\varepsilon _{ss0}}\delta {\varepsilon _{ss0}} + GR{\mu _y}{\gamma _{sy0}}\delta {\gamma _{sy0}}} \right)} } {\rm{d}}A{\rm{d}}\psi - \\ & \displaystyle\int_{ - \Theta }^\Theta {\mathop \delta \nolimits_D (\psi )QR} \delta \tilde v{\rm{d}}\psi = 0\;\;\;\forall \delta \tilde v,\delta \tilde w,\delta {\psi _y} \end{split} $$ (5)

      式中:A为截面面积; ${\mu _y}$ 为剪切常数; $\delta $ 为变分符号; $\mathop \delta \nolimits_D (\phi - c)$ 为狄拉克函数;EG分别为弹性模量和剪切模量; ${\varepsilon _{ss0}}{\text{、}}{\gamma _{sy0}}$ 分别为拱失稳前的轴向应变和剪切应变,如式(6)所示:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\varepsilon _{ss0}} = \tilde w' - \tilde v- \dfrac{y}{R}{\psi '_y}}\\ {{\gamma _{sy0}} = {\vartheta _y} = \tilde v' + \tilde w - {\psi _y}} \end{array}} \right.$$ (6)

      将式(6)代入式(5),则平面内总能量方程的一阶变分为:

      $$ \begin{split} \delta \Pi = & \int_{ - \Theta }^\Theta {\left[ {NR\left( {\delta \tilde w' - \delta \tilde v} \right) + M\delta \psi '} \right]{\rm {d}}\psi } + \\ & \int_{ - \Theta }^\Theta {{Q_y}R\left( {\delta \tilde v' + \delta w - \delta \psi } \right){\rm {d}}\psi } +\\ & \int_{ - \Theta }^\Theta {\mathop \delta \nolimits_D (\psi )QR\delta \tilde v{\rm {d}}\psi } = 0 \end{split} $$ (7)

      对式(7)进行分部积分,可得与弯矩、轴力和剪力有关的一阶微分方程组,再联立求解这个微分方程组,可得轴力、弯矩和剪力的表达式如式(8)~式(10):

      $$ \begin{split} N = & - AE(\tilde w' - \tilde v) = \\ & \dfrac{1}{R}\left[ {\left( {QRH\left( \phi \right) - {E_3}} \right)\sin \phi - {E_2}\cos \phi } \right] \end{split} \quad\;\;\; $$ (8)
      $$ \begin{split} M = & - \dfrac{{E{I_x}\psi' _y}}{R} =\\ & [ - QRH\left( \phi \right) + {E_3}]\sin\phi + {E_2}\cos \phi + {E_1} \end{split} \; $$ (9)
      $$ \begin{split} {Q_y} = & - \dfrac{{E{I_x}}}{{\beta {r_x}^2}}{\theta _y} =\\ & \dfrac{1}{R}\left\{ {[QRH\left( \phi \right) - {E_3}]\cos \phi + {E_2}\sin \phi } \right\} \end{split}\;\; $$ (10)

      式中:

      $$ H\left( \phi \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0,\;\;&{\phi < 0} \\ 1,\;\;&{\phi > 0} \end{array}} \right. $$ (11)

      求解式(8)~式(10),可得位移 $\tilde v{\text{、}}\tilde w$ ${\psi _y}$ 的表达式,并结合拱面内铰接的边界条件:

      $$ {\text{当}}\phi = \pm {\rm{\Theta }}{\text{时}},\;\tilde v = 0,\;\tilde w = 0,{\psi '_y}{\rm{ = }}0 $$ (12)

      可求得弯矩、轴力和剪力中的常数E1E2E3的表达式如式(13)~式(15):

      $$ \begin{split} {E_1} = & QR\Bigg\{ {R^2}\cos (2\Theta ) + [{R^2} + {r_x}(\beta + 1)] \cdot \Bigg.\\[-3pt] & \Bigg.\sin (\Theta )\Theta - 2\left[\cos (\Theta ) - \dfrac{1}{2}\right]{R^2} \Bigg\} /\\[-3pt] & \left\{ \left[ - 3{R^2} - {r_x}^2(\beta - 1)\right]\sin (2\Theta ) + 2\Theta [{R^2} \cdot \right.\\[-3pt] & \left.\cos (2\Theta ) + {r_x}^2(\beta + 1) + 2{R^2}]\right\} \end{split} $$ (13)
      $$ \begin{split} {E_2} = & QR[2{R^2}\Theta \sin (2\Theta ) + \cos (2\Theta )(\beta {r_x}^2 + \\ & 3{R^2} - {r_x}^2) - 4\cos (\Theta ){R^2} - \beta {r_x}^2 + {R^2} + \\ & {r_x}^2]/\{ 4\cos (2\Theta ){R^2}\Theta + [( - 2\beta + 2){r_x}^2 - \\ & 6{R^2}]\sin (2\Theta ) + [(4\beta + 4){r_x}^2 + 8{R^2}]\Theta \} \end{split} $$ (14)
      $$ {E_3} = \frac{{QR}}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ (15)
    • 当拱结构受到的面内集中力达到某一临界值时,拱将会发生平面外弯扭失稳。而发生失稳时,拱的轴力、弯矩和剪力将不会发生改变,因此拱结构平面内的总能量和平面外的总能量是彼此独立的,所以拱发生平面外弯扭失稳时其能量方程如式(16):

      $$\begin{split} \Pi = &\int_V {\Bigg[ \dfrac{1}{2}\left( {E\varepsilon _{ss1}^2 + G\gamma _{sy1}^2 + G\gamma _{sx1}^2} \right) +\Bigg. }\\& { \Bigg. \left( {{\sigma _{ss0}}{\varepsilon _{ss1}} + {\tau _{sy0}}{\gamma _{sx1}}} \right) \Bigg]} {\rm{d}}V \end{split} $$ (16)

      式中: ${\varepsilon _{ss1}}{\text{、}}{\gamma _{sy1}}{\text{、}}{\gamma _{sx1}}$ 分别为拱失稳时ss方向的轴向应变、sy方向的剪切应变和sx 方向的剪切应变,可由应变函数式(1)~式(4)化简得到; ${\sigma _{ss0}}{\text{、}}{\tau _{sy0}}$ 分别为拱失稳前的轴向应力和剪切应力,将它们代入式(16)可得式(17):

      $$\begin{split} {\rm{\Pi }} = & \int_{ - {\rm{\Theta }}}^{\rm{\Theta }} {\left[\dfrac{{{\mu _x}GAR}}{2}\vartheta _x^2 + \dfrac{{E{I_y}}}{{2R}}{{(\theta + {{\psi '}_x})}^2}\right]} {\rm{d}}\phi + \\ & \int_{ - {\rm{\Theta }}}^{\rm{\Theta }} {\left[\dfrac{{GJ}}{{2R}}{{(\theta ' - {\psi _x})}^2} + \dfrac{{E{I_w}}}{{2{R^3}}}{{(\theta '' - {{\psi '}_x})}^2}\right]} {\rm{d}}\phi + \\ & \int_{ - \Theta }^\Theta {M\left[{{\psi '}_x}\theta \! +\! \dfrac{{{\theta ^2}}}{2} \!+\! \dfrac{{\psi _x^2}}{2} \!+\! \dfrac{{{\beta _x}}}{{2R}}{{(\theta ' \!- \!{\psi _x})}^2}\right]} {\rm{d}}\phi \!- \\ & \int_{ - \Theta }^\Theta {NR\left[\dfrac{{\psi _x^2}}{2} + \dfrac{{{y_0}}}{R}({\psi _x}\theta ' - \dfrac{{{\theta ^2}}}{2})\right]} {\rm{d}}\phi - \\ & \int_{ - \Theta }^\Theta {NR\left[\dfrac{{r_0^2 + {y_0}^2}}{{2{R^2}}}{{\left( {\theta ' - {\psi _x}} \right)}^2}\right]} {\rm{d}}\phi + \\ & \int_{ - \Theta }^\Theta {{Q_y}R\theta {\vartheta _x}} {\rm{d}}\phi \end{split} $$ (17)

      式中, ${\beta _x}$ 为单轴对称参数[7],其表达式如式(18)所示:

      $$ {\beta _x} = \int\limits_A {\frac{{{x^2}y + {y^3}}}{{{I_x}}}} {\rm{d}}A - 2{y_0} $$ (18)

      拱发生平面外弯扭失稳时,假设面外铰接拱的横向位移 $\tilde u$ 、扭转角 $\theta $ 和面外剪切角 ${\vartheta _x}$ 如式(19)所示:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tilde u\left( \phi \right) = {{\tilde u}_1}\cos \dfrac{{\pi \phi }}{{2\Theta }}}\\ {\theta \left( \phi \right) = {\theta _1}\cos \dfrac{{\pi \phi }}{{2{\rm{\Theta }}}}}\\ {{\vartheta _x}\left( \phi \right) = \dfrac{{{\vartheta _{x1}}\pi }}{{2\Theta }}\sin \dfrac{{\pi \phi }}{{2\Theta }}} \end{array}} \right.$$ (19)

      根据式(19),截面的转角 ${\psi _x}\left( \phi \right)$ 可表示为:

      $$ {\psi _x}\left( \phi \right) = \tilde u'\left( \phi \right) - {\vartheta _x}\left( \phi \right) = - \frac{{{\psi _{x1}}\pi }}{{2{\rm{\Theta }}}}\sin \frac{{\pi \phi }}{{2{\rm{\Theta }}}} $$ (20)

      其中:

      $$ {\psi _{x1}} = {\tilde u_1} + {\vartheta _{x1}}。 $$ (21)

      将式(19)~式(20)代入式(17),忽略高阶变量,可得平面外弯扭失稳的能量方程为 ${\psi _{x1}}$ ${\theta _1}$ ${\vartheta _{x1}}$ 的函数:

      $$ \begin{split} {\rm{\Pi }} = & \dfrac{1}{2}{k_{11}}\psi _{x1}^2 + {k_{12}}{\psi _{x1}}{\theta _1} + \dfrac{1}{2}{k_{22}}\theta _1^2 + \\ & {k_{23}}{\vartheta _{x1}}{\theta _1} + \dfrac{1}{2}{k_{33}}\vartheta _{x1}^2 \end{split} $$ (22)

      式中,系数 ${k_{11}}{\text{、}}{k_{12}}{\text{、}}{k_{22}}{\text{、}}{k_{23}}{\text{、}}{k_{33}}$ 的表达式分别见式(23)~式(27):

      $$ {k_{11}} = \frac{{{\pi ^2}{N_y}R}}{{4\Theta }}\left(1 + {a^2}{b^2} + {z_1}\frac{Q}{{{N_y}}}\right) $$ (23)
      $${k_{12}} = - \frac{{{M_{ys}}{\pi ^2}}}{{4\Theta }}\left(ab + \frac{a}{b} + {z_{\rm{2}}}\frac{Q}{{{N_y}}}\right) $$ (24)
      $$ {k_{22}} = \frac{{r_0^2{N_s}{\pi ^2}}}{{4\Theta R}}\left(1 + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + {z_3}\frac{Q}{{{N_y}}}\right)\;\; $$ (25)
      $$ {k_{23}} = \frac{{{\pi ^2}{N_y}R}}{{4\Theta }}\left({z_4}\frac{Q}{{{N_y}}}\right)\quad\quad\quad\quad $$ (26)
      $$ {k_{33}} = \frac{{RGA{\mu _x}{\pi ^2}}}{{4\Theta }}\quad\quad\quad\quad\quad\;\; $$ (27)

      参数 ${z_1}{\text{、}}{z_2}{\text{、}}{z_3}{\text{、}}{z_4}$ 的表达式分别见式(28)~式(31):

      $$ \begin{split} {z_1} = & \dfrac{2}{{\pi a{R^2}( - {\pi ^2} + {\Theta ^2})}}\left\{ \dfrac{1}{2}(2{R^2} + R{\beta _x} + \right.\\ & {r_1}^2)({\pi ^2} - 2{\Theta ^2})[2{F_1}\sin (\Theta ) - \\ & \cos (\Theta )] - \left[({\pi ^2}\Theta - {\Theta ^3}){F_2} - {\pi ^2}\right]R - \\ & \left.\left({\pi ^2}{F_2}\Theta - \dfrac{1}{2}{\pi ^2} - {\Theta ^3}{F_2}\right)R{\beta _x} + \dfrac{1}{2}{\pi ^2}{r_1}^2\right\} \end{split} $$ (28)
      $$ \begin{split} {z_2} = & \dfrac{{ - 1}}{{\pi {a^2}b{R^2}({\pi ^2} - {\Theta ^2})}}\{ [ - {\pi ^2}{R^2} - ({\pi ^2} - \\ & 2{\Theta ^2})( - {y_0}R + {\beta _x}R + {r_1}^2)]\cos (\Theta )+ \\ & {\pi ^2}{r_1}^2 + 2{F_1}[{\pi ^2}{R^2} + ({\pi ^2} - 2{\Theta ^2}) \cdot\\ & ( - {y_0} + {\beta _x})R + {r_1}^2({\pi ^2} - 2{\Theta ^2})] \cdot \\ & \sin (\Theta ) + [( - 2{F_2}\Theta + 1){\pi ^2} + 2{\Theta ^3}{F_2} - \\ & 2{\Theta ^2}]{R^2} + [( - 2{F_2}\Theta {\beta _x} + {\beta _x} - \\ & {y_0}){\pi ^2} + 2{\Theta ^3}{F_2}{\beta _x}]R\} \end{split} $$ (29)
      $$ \begin{split} {z_3} = &\dfrac{{4 - {a^2}b}}{{\pi {a^3}{b^2}{R^2}\left({\pi ^2} - {\Theta ^2}\right)}}\Bigg\{ \left[ - 2{F_1}\sin \left(\Theta \right) + \quad \right.\Bigg.\\[-5pt] & \left.\cos \left(\Theta \right)\right]\left[\left({R^2} + \left( - {y_0} - \dfrac{1}{2}{\beta _x}\right)R - \right.\right.\\[-5pt] & \left.\left.\dfrac{1}{2}{r_1}^2\right){\Theta ^2} + \dfrac{1}{4}{\pi ^2}\left(R{\beta _x} + {r_1}^2\right)\right] + \\[-5pt] & 2{F_2}\left( - \dfrac{1}{4}{\beta _x} + 2R\right)R{\Theta ^3} + \left( - 2{R^2} - \right.\\[-5pt] & \left. {y_0}R - 4{y_0}^2\right){\Theta ^2} + \dfrac{1}{2}{\pi ^2}{F_2}R\Theta {\beta _x} - \\[-5pt] & \Bigg.\dfrac{1}{4}{\pi ^2}\left(R{\beta _x} + {r_1}^2\right)\Bigg\} \end{split} $$ (30)
      $$ {z_4} = \frac{{\pi a[1 + \cos (\Theta ) - 2{F_1}\sin (\Theta )]}}{{2({\pi ^2} - {\Theta ^2})}}\quad\quad\quad $$ (31)

      式(28)~式(31)中,F1F2、参数a、参数b的表达式分别见式(32)~式(33):

      $$ {F_1} = - \frac{{{E_2}}}{{QR}},\;\;{F_2} = \frac{{{E_1}}}{{QR}}\quad $$ (32)
      $$ a = \frac{S}{{\pi R}} = \frac{{2\Theta }}{\pi },\;\;b = \frac{{\pi {M_{ys}}}}{{{N_y}S}} $$ (33)

      式(23)~式(27)中,NyMysNs表达式分别见式(34)~式(36):

      $$ {N_y} = \frac{{E{I_y}{\pi ^2}}}{{{S^2}}}\quad\quad\quad\quad\; $$ (34)
      $$ {M_{ys}} = {\kern 1pt} \sqrt {r_0^2{N_y}{N_s}} \quad\quad\;\; $$ (35)
      $$ {N_s} = \frac{1}{{r_0^2}}\left( {GJ + \frac{{{\pi ^2}E{I_w}}}{{{S^2}}}} \right) $$ (36)

      根据Rayleigh-Ritz法,拱结构发生面外弯扭失稳时,其总能量应为极小值,所以 ${\psi _x}_1$ ${\theta _1}$ ${\vartheta _x}_1$ 要满足式(37):

      $$ \left\{ \begin{split} \dfrac{{{\rm {d}}\Pi \left( {{\psi _{x1}},{\theta _1},{\vartheta _{x1}}} \right)}}{{{\rm {d}}{\psi _{x1}}}} = 0 \\ \dfrac{{{\rm {d}}\Pi \left( {{\psi _{x1}},{\theta _1},{\vartheta _{x1}}} \right)}}{{{\rm {d}}{\theta _1}}} = 0 \\ \dfrac{{{\rm {d}}\Pi \left( {{\psi _{x1}},{\theta _1},{\vartheta _{x1}}} \right)}}{{{\rm {d}}{\vartheta _{x1}}}} = 0 \end{split} \right. $$ (37)

      由于拱发生弯扭失稳时,其面外剪切角 ${\vartheta _{x1}}$ 很小,其影响可以忽略不计。再联立方程组式(37)可得矩阵方程如式(38):

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{11}}}&{{k_{12}}}\\ {{k_{12}}}&{{k_{22}}} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde u'}_1}}\\ {{\theta _1}} \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right\} $$ (38)

      令矩阵的行列式等于0,即可得到发生弯扭失稳时与临界荷载 ${Q_{cr}}$ 有关的一元二次方程,见式(39):

      $$ {A_1}{\left( {\frac{{{Q_{{\rm{cr}}}}}}{{{N_y}}}} \right)^2} + {A_{\rm{2}}}\frac{{{Q_{{\rm{cr}}}}}}{{{N_y}}} + {A_{\rm{3}}} = 0 $$ (39)

      式中,系数 ${A_1}{\text{、}}{A_2}{\text{、}}{A_3}$ 的表达式分别为:

      $$ {A_1} = {z_1}{z_3} - z_2^2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;\; $$ (40)
      $$ {A_2} = {z_1}\left(1 + \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\right) - 2{z_2}\left(ab + \dfrac{a}{b}\right) + {z_3}\left(1 + {a^2}{b^2}\right) $$ (41)
      $$ {A_{\rm{3}}} = {\left( {{a^2} - 1} \right)^2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;\; $$ (42)

      选取T字型截面的尺寸为:高h=300 mm,翼缘宽b=200 mm,翼缘厚t1=17 mm,腹板厚t2=11 mm,弹性模量和泊松比分别为E=200 GPa,ν0=0.3。图3为无量纲屈曲荷载随圆心角变化的曲线图,给出了单轴对称参数和剪切变形对面外屈曲荷载的影响。由图3可知,无量纲屈曲荷载随圆心角的增大而减小。由图3(a)可知,屈曲荷载随单轴对称参数的增大而增大。由图3(b)可知,剪切变形对浅拱(长细比小于10)的屈曲荷载影响较为明显,且考虑剪切变形影响的屈曲荷载小于不考虑其影响的屈曲荷载。

      图  3  单轴对称参数和剪切变形对屈曲荷载的影响

      Figure 3.  The influences of monosymmetry parameters and shear deformations on the buckling load

    • 为了证明理论分析的正确性,本文利用ANSYS软件模拟T型截面且面内外均为铰接的圆弧拱在拱顶径向集中力作用下的平面外弯扭失稳。本文将选用Beam188单元进行模拟,因为此单元考虑了剪切变形和翘曲自由度的影响。然后对所建立的有限元模型求解,可以提取其弯矩、轴力和屈曲临界荷载。图4为无量纲轴力和弯矩理论结果与有限元结果的对比。图5为无量纲屈曲荷载理论与有限元结果的对比。由图(4)图(5)可知理论结果与有限元结果两者具有较好的吻合性,说明了理论推导求解屈曲荷载的正确性。

      图  4  无量纲拱顶轴力和弯矩理论与有限元结果的对比

      Figure 4.  Comparisons of the theoretical solutions with FE results for dimensionless central axial forces and bending moment

      图  5  无量纲屈曲荷载理论与有限元结果的对比

      Figure 5.  Comparisons of the theoretical solutions with FE results for dimensionless buckling loads

    • 本文考虑了剪切变形影响,推导了T型截面的应变与位移函数关系,然后通过拱平面内屈曲前分析,求得屈曲前平面内的内力。再将所得应变函数和内力代入平面外弯扭失稳能量方程,结合Ritz法求得T型截面圆弧拱在拱顶径向集中力作用下的平面外弯扭失稳临界荷载解析解,并用有限元软件对所得结果进行了验证,得到如下结论:

      (1) 单轴对称参数对T型截面圆弧拱平面外弯扭屈曲荷载影响明显。

      (2) 解析解与有限元数值结果吻合良好,证明了解析解的正确性。

      (3) 剪切变形对浅拱(长细比小于10)的平面外弯扭屈曲荷载影响较为明显,且考虑剪切变形影响的屈曲荷载小于不考虑其影响的屈曲荷载。

      (4) T型截面平面外弯扭屈曲荷载随圆心角的增大而减小,且当圆心角小于100°时,弯扭屈曲荷载随长细比的增大而减小。

参考文献 (10)

目录

    /

    返回文章
    返回