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携带集中质量的矩形薄板面外非线性动力失稳研究

钟子林 刘爱荣

钟子林, 刘爱荣. 携带集中质量的矩形薄板面外非线性动力失稳研究[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
引用本文: 钟子林, 刘爱荣. 携带集中质量的矩形薄板面外非线性动力失稳研究[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
Zi-lin ZHONG, Ai-rong LIU. ANALYTICAL STUDY ON THE OUT-OF-PLANE NONLINEAR DYNAMIC INSTABILITY OF A THIN RECTANGULAR PLATE WITH A CONCENTRATED MASS[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
Citation: Zi-lin ZHONG, Ai-rong LIU. ANALYTICAL STUDY ON THE OUT-OF-PLANE NONLINEAR DYNAMIC INSTABILITY OF A THIN RECTANGULAR PLATE WITH A CONCENTRATED MASS[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018

携带集中质量的矩形薄板面外非线性动力失稳研究

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
基金项目: 国家自然科学基金项目(51578188);广东市科技计划国际合作项目(201807010021)
详细信息
    作者简介:

    钟子林(1990−),男,广东人,博士生,主要从事桥梁结构的动力稳定性研究(E-mail: zl.zhong@e.gzhu.edu.cn)

    通讯作者: 刘爱荣(1972−),女,山西人,教授,博士,博导,主要从事新型桥梁结构的静动力稳定性研究(E-mail: liuar@gzhu.edu.cn)
  • 中图分类号: O342

ANALYTICAL STUDY ON THE OUT-OF-PLANE NONLINEAR DYNAMIC INSTABILITY OF A THIN RECTANGULAR PLATE WITH A CONCENTRATED MASS

  • 摘要: 对于面内对边周期荷载作用下携带集中质量的矩形薄板,当周期荷载的激振频率在板的两倍自振频率附近时,板发生面外参数共振失稳。该文基于薄板大挠度理论,运用伽辽金法推导出携带集中质量的矩形薄板非线性动力失稳的Mathieu-Hill方程,进而求解得到板发生面外参数共振失稳时周期荷载的临界激振频率域以及非线性动力失稳曲线。运用有限元软件进行瞬态分析得到不同激振幅值作用下板发生面外参数共振失稳时周期荷载的最小与最大临界激振频率值,通过与解析解进行对比,验证了计算结果的正确性。研究结果表明:随着集中质量的增加,参数共振失稳的临界激振频率及其不稳定域的宽度逐渐减小,不稳定域的位置逐渐向低激振频率的方向移动;随着集中质量的增加,面外参数共振失稳域的临界激励幅值逐渐增加;随着集中质量所处位置的模态位移增加,不稳定域的宽度减小。
  • 图  1  板的力学简图

    Figure  1.  Mechanical diagram of a plate

    图  2  板的面外参数共振失稳域

    Figure  2.  Instability regions of out-of-plane parametric resonance

    图  3  板的面外非线性动失稳曲线, 集中质量0.204 kg位于(a/2, b/2)

    Figure  3.  Nonlinear dynamic instability curves of the plate with a mass 0.204 kg located at (a/2, b/2)

    图  4  四边简支矩形薄板的时域曲线,集中质量位于(a/2, b/2),大小为0.068 kg

    Figure  4.  Time domain curves of a simply supported rectangular thin plates, with mass of 0.068 kg at (a/2, b/2)

    表  1  临界频率比的解析解与数值结果对比

    Table  1.   Comparison between analytical and numerical critical frequency ratio

    无量纲
    激励幅值β
    最小临界激振频率比 最大临界激振频率比
    解析解 有限元 解析解 有限元
    0.9 0.979 0.972 0.995 1.080
    0.8 0.980 0.973 0.994 1.064
    0.7 0.981 0.985 0.993 1.032
    0.6 0.982 0.990 0.993 1.010
    0.5 0.983 0.992 0.992 1.005
    0.4 0.984 0.995 0.991 0.997
    0.3 0.986 0.998 0.989 0.993
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-04-26
  • 修回日期:  2019-12-13
  • 网络出版日期:  2020-06-01
  • 刊出日期:  2020-06-01

携带集中质量的矩形薄板面外非线性动力失稳研究

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
    基金项目:  国家自然科学基金项目(51578188);广东市科技计划国际合作项目(201807010021)
    作者简介:

    钟子林(1990−),男,广东人,博士生,主要从事桥梁结构的动力稳定性研究(E-mail: zl.zhong@e.gzhu.edu.cn)

    通讯作者: 刘爱荣(1972−),女,山西人,教授,博士,博导,主要从事新型桥梁结构的静动力稳定性研究(E-mail: liuar@gzhu.edu.cn)
  • 中图分类号: O342

摘要: 对于面内对边周期荷载作用下携带集中质量的矩形薄板,当周期荷载的激振频率在板的两倍自振频率附近时,板发生面外参数共振失稳。该文基于薄板大挠度理论,运用伽辽金法推导出携带集中质量的矩形薄板非线性动力失稳的Mathieu-Hill方程,进而求解得到板发生面外参数共振失稳时周期荷载的临界激振频率域以及非线性动力失稳曲线。运用有限元软件进行瞬态分析得到不同激振幅值作用下板发生面外参数共振失稳时周期荷载的最小与最大临界激振频率值,通过与解析解进行对比,验证了计算结果的正确性。研究结果表明:随着集中质量的增加,参数共振失稳的临界激振频率及其不稳定域的宽度逐渐减小,不稳定域的位置逐渐向低激振频率的方向移动;随着集中质量的增加,面外参数共振失稳域的临界激励幅值逐渐增加;随着集中质量所处位置的模态位移增加,不稳定域的宽度减小。

English Abstract

钟子林, 刘爱荣. 携带集中质量的矩形薄板面外非线性动力失稳研究[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
引用本文: 钟子林, 刘爱荣. 携带集中质量的矩形薄板面外非线性动力失稳研究[J]. 工程力学, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
Zi-lin ZHONG, Ai-rong LIU. ANALYTICAL STUDY ON THE OUT-OF-PLANE NONLINEAR DYNAMIC INSTABILITY OF A THIN RECTANGULAR PLATE WITH A CONCENTRATED MASS[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
Citation: Zi-lin ZHONG, Ai-rong LIU. ANALYTICAL STUDY ON THE OUT-OF-PLANE NONLINEAR DYNAMIC INSTABILITY OF A THIN RECTANGULAR PLATE WITH A CONCENTRATED MASS[J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(S): 6-12. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S018
  • 板在动力荷载作用下的稳定性问题已有学者开展研究:Bolotin[1]推导了单边简谐荷载作用下四边简支矩形板的Mathieu-Hill方程,求解出广义位移含单个谐波项时的不稳定域。Ostiguy和Evan-Iwanowski[2]推导出周期荷载作用下四边简支矩形板的动力稳定方程,探讨了长宽比对板失稳域的影响。Pierre和Dowell[3]求解出有阻尼和无阻尼情况下板的不稳定域与非线性曲线,分析了阻尼对不稳定域的影响。钟子林等[4]利用伽辽金法推导出四边简支矩形板的动力稳定方程,得到了板的动力不稳定域和非线性振动曲线并与有限元数值解进行了对比分析,验证了解析解的正确性,但未考虑集中质量对板动力失稳的影响。袁尚平和王庆宇[5]通过Galerkin法得到四边简支矩形板在周期荷载作用下的非线性动力方程,分析了2倍超谐激励对薄板非线性振动的影响。Chai[6] 运用瑞利阻尼法得到无集中质量与携带集中质量板的自振频率计算公式,并分析了不同边界条件下集中质量对板自振频率的影响。Cha[7]分析了集中质量对各向同性板自由振动频率的影响。陈雷和王敏庆[8]对附加集中质量的矩形薄板的强迫振动进行了分析,并探讨了不同的激励荷载对板振动响应的影响。

    综上可知,关于对边周期荷载作用下携带集中质量的矩形薄板的面外非线性动力失稳还未开展相关的研究。因此,本文运用伽辽金法推导得到携带集中质量的矩形薄板动力失稳的Mathieu-Hill方程,求解得到板发生面外参数共振失稳时周期荷载的临界激振频率域以及非线性动力失稳曲线。随后,建立有限元分析模型,通过瞬态分析得到不同激振幅值作用下板发生面外参数共振失稳时周期荷载的最小与最大临界激振频率值,验证解析解的正确性,揭示矩形薄板在周期荷载作用下面外非线性动力失稳的机理,阐明集中质量对动力不稳定域的影响。

    • 图1所示,携带集中质量Mu的四边简支矩形薄板在x方向受到平面内的周期动荷载P(t)=α0Pcr+β0Pcrcos(θt)的作用,其中,α0为静力荷载系数;β0为动力荷载系数;α0Pcr为周期动荷载的静力分量;β0Pcr为周期动荷载的动力分量;Pcr为板的屈曲荷载;O为直角坐标系的原点;UVW分别为板在xyz方向的位移;板的长度、宽度和厚度分别为abh

      图  1  板的力学简图

      Figure 1.  Mechanical diagram of a plate

      基于Von-Karman薄板大挠度理论,忽略面内小位移UV的影响,运用能量变分法得到板动力稳定的控制方程[4,9-10]

      $$ \begin{split} &D\left( {\dfrac{{{\partial ^4}W}}{{\partial {x^4}}} + 2\dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial {x^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^4}W}}{{\partial {y^4}}}} \right) + m\dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial {t^2}}} = \\ & h\left[ {\dfrac{{{\partial ^2}{\rm{\Phi }}}}{{\partial {y^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}{\rm{\Phi }}}}{{\partial {x^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial {y^2}}} - 2\dfrac{{{\partial ^2}{\rm{\Phi }}}}{{\partial x\partial y}}\dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial x\partial y}}} \right] \end{split} $$ (1)
      $$ \begin{split} \dfrac{{{\partial ^4}\Phi }}{{\partial {x^4}}} + &2\dfrac{{{\partial ^2}\Phi }}{{\partial {x^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}\Phi }}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^4}\Phi }}{{\partial {y^4}}} = \\& E\left[ {{{\left( {\dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial x\partial y}}} \right)}^2} - \dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial {y^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}W}}{{\partial {x^2}}}} \right]\quad\quad\quad\quad\;\;\; \end{split} $$ (2)

      式中:W(x, y, t)为薄板振动时的挠度函数;Φ(x, y, t)为应力函数;D=Eh3/12(1−μ2),E为薄板的弹性模量,μ为材料的泊松比。附加质量m(x,y)的作用表示为:

      $$ m(x,y) = \rho h + \sum\limits_{u = 1}^N {{M_u}\delta \left( {x - {x_u}} \right)\delta \left( {y - {y_u}} \right)} $$ (3)

      式中:ρ为板的材料密度;δ(xxu) 和δ(yyu)为狄拉克函数;xuyu表示附加集中质量Mu在板上所处的坐标。

      面外位移函数W(x, y, t)和应力函数Ф(x, y, t)假设为[4]

      $$ W\left( {x,y,t} \right) = {W_{kl}}\left( t \right){\vartheta _k}\left( x \right){\psi _l}\left( y \right)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ (4)
      $$ \Phi \left( {x,y,t} \right) = \sum\limits_p {\sum\limits_q {{\Phi _{pq}}\left( t \right)} } {X_p}\left( x \right){Y_q}\left( y \right) - \frac{{{y^2}}}{{2h}}P\left( t \right) $$ (5)

      式中:Wkl(t)为面外位移的广义坐标;Φpq(t)为面内周期动荷载系数;下标 kplq为板在xy方向的谐波数;ϑk(x)=sin(kπx/a),ψl(y)=sin(lπy/b),Xp(x)、Yq(y)为板自由振动时的特征函数,分别假设为:

      $$ \begin{split} {X_p}\left( x \right) =& \cosh \left( {{\alpha _p}\dfrac{x}{a}} \right) - \cos \left( {{\alpha _p}\dfrac{x}{a}} \right) - \\& {\gamma _p}\left[ {\sinh \left( {{\alpha _p}\dfrac{x}{a}} \right) - \sin \left( {{\alpha _p}\dfrac{x}{a}} \right)} \right] \end{split} $$ (6)
      $$ \begin{split} {Y_q}\left( y \right) =& \cosh \left( {{\alpha _q}\frac{y}{h}} \right) - \cos \left( {{\alpha _q}\frac{y}{h}} \right) - \\& {\gamma _q}\left[ {\sinh \left( {{\alpha _q}\frac{y}{h}} \right) - \sin \left( {{\alpha _q}\frac{y}{h}} \right)} \right] \end{split} $$ (7)

      其中:

      $$ 1 - {\rm{cos}}{\alpha _{p,q}}{\rm{cosh}}{\alpha _{p,q}} = 0\quad\quad $$ (8)
      $$ {\gamma _{p,q}} = \frac{{\cosh \left( {{\alpha _{p,q}}} \right) - \cos \left( {{\alpha _{p,q}}} \right)}}{{\sinh \left( {{\alpha _{p,q}}} \right) - \sin \left( {{\alpha _{p,q}}} \right)}} $$ (9)

      将式(4)和式(5)分别代入式(1)和式(2),并在式(1)和式(2)两边分别乘以4ϑi(x)ψj(y)/(ab)和Xm(x)Yn(y)/(ab),对式(1)在x方向从0到a积分,式(2)在y方向从0到b积分,得:

      $$ \begin{split} & D\left[\! {\delta _i^k\delta _j^l{W_{kl}}\left(\! {\dfrac{{{k^4}{\pi ^4}}}{{{a^4}}} \!+\! \dfrac{{{l^4}{\pi ^4}}}{{{b^4}}}} \!\right)\! +\! 2{W_{kl}}\dfrac{{{k^4}{l^4}{\pi ^4}}}{{{a^4}{b^4}}}G_1^{ik}H_1^{jl}} \!\right] \!+ \\ & \left\{ {\rho h \!+ \!\dfrac{4}{{ab}}\!\!\sum\limits_{u = 1}^N {{M_u}\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} \!{\sin \left(\! {\dfrac{{k\pi }}{a}{x_u}} \!\right)\!\sin \left(\! {\dfrac{{i\pi }}{a}{x_u}} \!\right)}\\ {\!\sin \left(\! {\dfrac{{l\pi }}{b}{y_u}} \!\right)\!\sin \left( \!{\dfrac{{j\pi }}{b}{y_u}}\! \right)} \end{array}} \!\!\!\right]} } \!\right\}\dfrac{{{\partial ^2}{W_{kl}}}}{{{\partial }t^2}}\! = \\ & h\left[ {{W_{kl}}\!\sum\limits_p {\!\sum\limits_q {{\varPhi _{pq}}\left(\! {\dfrac{{\alpha _q^2}}{{{b^2}}}\dfrac{{{k^2}{\pi ^2}}}{{{a^2}}}G_2^{ipk}H_3^{jql}\! + \!\dfrac{{\alpha _p^2}}{{{a^2}}}\dfrac{{{l^2}{\pi ^2}}}{{{b^2}}}G_3^{ipk}\cdot } \right.} } } \right.\\ & \left. {\left. H_2^{jpl} \!-\!{2\dfrac{{{\alpha _p}{\alpha _q}kl{\pi ^2}}}{{{a^2}{b^2}}}G_4^{ipk}H_4^{jql}} \!\right)\! -\! \dfrac{{P\left( t \right)}}{h}{W_{kl}}\dfrac{{{k^2}{\pi ^2}}}{{{a^2}}}G_1^{ik}} \right] \\[-19pt] \end{split} $$ (10)
      $$ \begin{split} &\delta _m^p\delta _n^q\displaystyle\sum\limits_p {\displaystyle\sum\limits_q {{\Phi _{pq}}\left[ {{{\left( {\dfrac{{{\alpha _p}}}{a}} \right)}^4} + {{\left( {\dfrac{{{\alpha _q}}}{b}} \right)}^4}} \right]} } + \\& 2{\displaystyle\sum\limits_p \!\!{\displaystyle\sum\limits_q {{\Phi _{pq}}\left(\! {\dfrac{{{\alpha _p}}}{a}} \!\right)} } ^2}{\left( \!{\dfrac{{{\alpha _q}}}{b}} \!\right)^2}G_5^{mp}H_5^{nq} \!=\! E\Bigg[ {{W_{kl}}{W_{kl}} \cdot }\Bigg. \\& \Bigg.{ \left( \dfrac{{{k^2}{l^2}{\pi ^4}}}{{{a^2}{b^2}}}G_6^{mkk}H_6^{nll}- \dfrac{{{k^2}{l^2}{\pi ^4}}}{{{a^2}{b^2}}}G_7^{mkk}H_7^{nll} \right)} \Bigg] \end{split} \quad $$ (11)

      式(10)和式(11)中:当i=k, j=l, m=p, n=q时,δik=δjl=δmp=δnp=1;当ik, jl, mp, nq时,δik=δjl=δmp=δnp=0。

      式(10)和式(11)可以写成矩阵的形式:

      $$ {{{\ddot W}}_{kl}}\left( t \right) + {{{U}}_{kl}}\left( t \right) + P\left( t \right){{{D}}_{kl}}{{{W}}_{kl}}\left( t \right) + {{{V}}_{pq}}{{{W}}_{kl}}\left( t \right) = {{0}} $$ (12)
      $$ {{{E}}_{pq}} = {{{F}}_{kl}}{{{W}}_{kl}}\left( t \right){{{W}}_{kl}}\left( t \right) $$ (13)

      整合式(12)和式(13),消去Φpq(t),得到前kl阶模态动力失稳的Mathieu-Hill方程:

      $$ \begin{split} {{{{\ddot W}}}_{kl}}\left( t \right) + & {{{U}}_{kl}}{{{W}}_{kl}}\left( t \right) + P\left( t \right){{{D}}_{kl}}{{{W}}_{kl}}\left( t \right) + \\& \dfrac{{{{{{V'}}}_{pq}}}}{{{{{{E'}}}_{pq}}}}{{{F}}_{kl}}{{W}}_{kl}^{\rm{3}}\left( t \right) = {{0}} \end{split} $$ (14)

      假设板的阻尼满足线性瑞利耗散函数,将周期荷载P(t)和阻尼代入式(14),得到周期荷载作用下含阻尼的Mathieu-Hill方程:

      $$ \begin{split} {{{{\ddot W}}}_{kl}}\left( t \right) +& {\rm{2}}{{\rm{\xi }}_{kl}}{{{{\dot W}}}_{kl}}\left( t \right) + {{\Omega }}_{kl}^2\left({{{I}}_{kl}} - {\rm{2}}{{{\varLambda }}_{kl}}{\rm{cos}}\left( {\theta t} \right) \right)\cdot\\&{{{W}}_{kl}}\left( t \right) + \dfrac{{{{{{V'}}}_{pq}}}}{{{{{{E'}}}_{pq}}}}{{{F}}_{kl}}{{W}}_{kl}^3\left( t \right) = {{0}} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! $$ (15)

      其中:

      $$ \begin{split} &{{{\Omega }}_{kl}} = {{{\omega }}_{kl}}\sqrt {1 - {\alpha _0}} ,\;{{{\omega }}_{kl}} = \sqrt {U_{ij}^{kl}} ,{\rm{ }} \\& {{{\varLambda }}_{kl}} = {{{I}}_{kl}}\left[ {{\beta _0}/2\left( {1 - {\alpha _0}} \right)} \right] \end{split} $$ (16)

      式中:Ωkl为面内周期动力荷载P(t)的静力分量作用下板的第kl阶模态的振动频率;ωkl为板的第kl阶模态的自振频率;Λkl为板的第kl阶模态的激振系数;Ikl为第kl阶模态的单位矩阵;ξklkl阶模态的阻尼系数ξkl=(1−α)0.5Δklωkl/2π,Δkl为面内周期动力荷载P(t)的静力分量作用下板的第kl阶模态的衰减率。

    • 式(15)对应于周期解为2T(T为面内荷载的激励周期)的解可以表示为[11]

      $$ {{{W}}_{kl}}\left( t \right){\rm{ }} = {\rm{diag}}\left[ {{W_{11}}\left( t \right),{W_{12}}\left( t \right),\cdots,{W_{kl}}\left( t \right)} \right] $$ (17)

      其中:

      $$ {W_{kl}}\left( t \right) = {a_{kl,1}}\sin \left( {\frac{\theta }{2}t} \right) + {b_{kl,1}}\cos \left( {\frac{\theta }{2}t} \right) = {{{C}}_s'}{{{A}}_{kl}'} $$ (18)

      式中:akl,1bkl,1为第kl阶模态周期解的傅里叶级数一阶近似的系数; ${{{C}}_s'} $ ${{{A}}_{kl}'} $ 分别为:

      $$ {{{C}}_{s}'} = \left[ {\sin \left( {\frac{\theta }{2}t} \right),\cos \left( {\frac{\theta }{2}t} \right)} \right] $$ (19)
      $$ {{{A}}_{kl}'} = {\left[ {{a_{kl,1}},{b_{kl,1}}} \right]^{\rm T}}\quad\quad\quad\; $$ (20)

      将式(18)代入式(17),运用谐波平衡法得到关于sin(θt/2)和cos(θt/2)的方程组,令sin(θt/2)和cos(θt/2)的系数方程等于零,得到一组关于akl,1(akl,1=[a11,1, a12,1,···, akl,1]T)和bkl,1(bkl,1=[b11,1, b12,1,···, bkl,1]T)的线性方程组,令其系数行列式为零,即:

      $$ \left| \begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{kl}} + {{{\varLambda }}_{kl}} - {\rm{i}}{\\text{κ}}_{kl}^2}&{ - {{{C}}_{kl}}} \\ {{{{C}}_{kl}}}&{{{{I}}_{kl}} - {{{\varLambda }}_{kl}} - {\rm{j}}{\\text{κ}}_{kl}^2} \end{array}} \right] \\ - A_{kl}^2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{D}}_{kl}}}&{{0}} \\ {{0}}&{{{{D}}_{kl}}} \end{array}} \right] \end{array} \right| = 0 $$ (21)

      式中:κkl=(ωklθ/2Ωklωkl0)Iklωkl为携带集中质量板的第kl阶自振频率,ωkl0为无集中质量板的第kl 阶自振频率。令式(21)中的Akl为零,进而求得关于外荷载激振频率与激振幅值的动力不稳定域。此外,通过求式(21)的非零解可得板的非线性动力失稳曲线。

    • 根据图1所示的力学模型,选取物理参数为:长度a为1.2 m;宽度b为1.0 m;厚度为h为0.002 m;弹性模量E=6.9×1010 Pa;质量密度为ρ=2700 kg·m3;泊松比为μ=0.33的四边简支矩形板作为研究分析的对象。为研究集中质量的大小与分布对板面外参数共振失稳的影响,选取四个不同的位置(a/2, b/2), (a/2, 5b/8), (a/3, b/3), (3a/4, 3b/4)进行相应的分析。本文只研究一阶面外参数共振失稳的情况,关于四个不同位置的集中质量随着与动力不稳定域的变化情况如图2所示,其中:横坐标的θ为周期动荷载的激振频率;Ω11为周期动荷载的静力分量作用下的一阶振动频率;纵坐标的β为无量纲激振幅值,β=β0Pcr/Pmax,其中板的一阶临界荷载Pcr =2106 N, Pmax=100 N为周期动荷载的最大值,动力荷载系数β0=0~0.0475。由图2可知,随着集中质量由0 kg增加至0.204 kg,不稳定域的宽度逐渐减小,其位置逐渐向临界激振频率比θ/2Ω11的较小值移动,即临界频率逐渐减小。表明随着集中质量的增加,板的振动频率逐渐减小,从而使得构成不稳定域的临界激振频率值减小以及无量纲激振幅值的增加。比如:当集中质量位于板的位置(a/2, b/2)时,对应于集中质量大小分别为0 kg、 0.068 kg、 0.136 kg、 0.204 kg的不稳定域的临界激振幅值β以及临界激振频率比分别为(0.218, 1)、(0.26, 0.981)、 (0.3, 0.96)、 (0.34, 0.936)。因此,集中质量可以起到稳定作用,即减轻板受到面内周期动荷载作用时发生面外参数共振失稳的可能性。同时发现,集中质量位于P1 (a/2, b/2)时对不稳定域的影响最大,即当集中质量的位置逐渐靠近位置P1 (a/2, b/2)时,集中质量对不稳定域的影响逐渐增加,因为位置P1 (a/2, b/2)具有最大的一阶模态位移。

      图  2  板的面外参数共振失稳域

      Figure 2.  Instability regions of out-of-plane parametric resonance

    • 由式(21)可得周期动力荷载作用下携带集中质量板的非线性动力失稳曲线,如图3所示。当激振频率比η小于动力不稳定域下限值时,随着激振幅值的增加,板始终处于稳定状态;当激振频率比η大于动力不稳定域下限值且小于1时,随着激振幅值的增加,不稳定解产生分叉,板发生线性动力失稳,其幅值逐渐增加,且随着集中频率比逐渐接近1,分叉点逐渐减小,即临界激振幅值β减小;当集中频率比大于1且小于动力不稳定上限值时,不稳定解产生二次分叉,非线性产生硬化效应,限制板线性动力失稳幅值的增加;当激振频率比大于动力不稳定域上限值时,非线性的硬化效应逐渐增强,只有当干扰幅值大于不稳定解时才能发生动力失稳。

      图  3  板的面外非线性动失稳曲线, 集中质量0.204 kg位于(a/2, b/2)

      Figure 3.  Nonlinear dynamic instability curves of the plate with a mass 0.204 kg located at (a/2, b/2)

    • 选取某一对边面内周期荷载作用下携带集中质量的四边简支矩形薄板的面外参数共振失稳域作为验证对象。基于推导过程中的假设,选取忽略剪切变形的壳单元Shell63以及质量单元Mass21建立如图1所示的有限元动力系统模型。运用有限元软件ANYSY 15.0进行瞬态分析,根据Bolotin法得到对应于不同激振幅值下的最小与最大临界激振频率值。为了得到不同激振幅值下的最小与最大临界激振频率值,采用两种不同的方式进行激励,即激励频率随时间的增加而增加(向上扫频激振)以及随时间的增加而减小(向下扫频激振)的两种方式。由解析解可知,当周期荷载的激振频率是携带集中质量板的振动频率的两倍左右时,板发生面外参数共振失稳。因此,对于向上扫频激振,瞬态分析的起始激振频率值和激振频率的变化速率可分别设为15.8 Hz和0.5 Hz·min;对于向下扫频激振,瞬态分析的起始激振频率值和激振频率的变化速率可分别设为16.4 Hz和0.5 Hz·min。

      图4给出了激振幅值β=0.6时板随时间变化的时域曲线。由图4可知,当向上扫频激振的时间为22 s,向下扫频激振的时间为14 s时,板的振动位移迅速增加,即板发生面外参数共振失稳,此时周期荷载的激振频率分别为15.96 Hz和16.28 Hz。因此,激振幅值为β=0.6时不稳定域的最小与最大临界频率比为临界激振频率除以两倍板的振动频率θ/2Ω11=0.990, 1.010。运用相同的方法得到其余激振幅值下不稳定域的最小与最大临界激振频率比,通过与解析解对比发现吻合较好,如表1所示。

      表 1  临界频率比的解析解与数值结果对比

      Table 1.  Comparison between analytical and numerical critical frequency ratio

      无量纲
      激励幅值β
      最小临界激振频率比 最大临界激振频率比
      解析解 有限元 解析解 有限元
      0.9 0.979 0.972 0.995 1.080
      0.8 0.980 0.973 0.994 1.064
      0.7 0.981 0.985 0.993 1.032
      0.6 0.982 0.990 0.993 1.010
      0.5 0.983 0.992 0.992 1.005
      0.4 0.984 0.995 0.991 0.997
      0.3 0.986 0.998 0.989 0.993

      图  4  四边简支矩形薄板的时域曲线,集中质量位于(a/2, b/2),大小为0.068 kg

      Figure 4.  Time domain curves of a simply supported rectangular thin plates, with mass of 0.068 kg at (a/2, b/2)

    • 本文给出了携带集中质量的板在面内对边周期动荷载的作用下发生面外参数共振失稳时周期动荷载的临界激振频率域的解析解。运用有限元软件,建立了有限元数值模型,进行瞬态分析,模拟向上和向下扫频激励,获得了相应的临界激振频率值,验证了解析解的正确性。分析了集中质量的大小和位置对板参数共振失稳的影响,结果表明集中质量对板的动力稳定性产生重要的影响:随着集中质量的增加,参数共振失稳的临界激振频率及其不稳定域的宽度逐渐减小,不稳定域的位置逐渐向低激振频率的方向移动,临界激励幅值逐渐增加;此外,随着集中质量所处位置的模态位移增加,不稳定域的宽度减小;随着激振频率比的增加,非线性振动的非稳定解发生分叉,非线性产生硬化效应,限制板线性动力失稳幅值的增加;当激振频率比大于动力不稳定域上限值时,非线性的硬化效应逐渐增强,只有当干扰幅值大于不稳定解时才能发生动力失稳。

参考文献 (11)

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