ANALYTICAL SOLUTION OF BIOT CONSOLIDATION FOR A HOMOGENEOUS SATURATED SOIL UNDERGOING STAGED EXCAVATION
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摘要:
基坑开挖带来的卸荷作用不可避免地导致坑底土体发生逆固结变形。基于Biot固结理论，建立了基坑分级开挖作用下均质饱和地基逆固结模型，利用Laplace-Fourier变换法进行求解，得到地基土体的位移和超静孔压解析解。通过与数值模拟结果和现场监测数据的对比，验证了解答的正确性。参数分析表明：地基水平渗透系数越大，则固结速率越快，开挖结束时的坑底回弹量越大；地基回弹模量的增大会减小坑底回弹量，加快固结速率，能够有效地控制基坑稳定性；地基泊松比对基坑开挖期间的坑底回弹量几乎无影响；开挖结束时的坑底回弹量会随开挖工期的增加而增大；在工期不变的多级开挖情况下，最后一级的开挖速率越大则开挖结束时的坑底回弹量越小，累积的负超静孔压越大。
Abstract:The rebound at the bottom of a foundation pit inevitably occurs due to the excavation’s unloading effect. This effect induces reverse consolidation deformation in the bottom soil. Based on the Biot’s consolidation theory, the reverse consolidation model of a homogeneous saturated foundation subjected to staged excavation is established. The Laplace-Fourier transform method is employed to solve the model, yielding analytical solutions for displacement and excess pore-water pressure of foundation soils. The solutions are validated by comparing them with numerical simulation results and field monitoring data. Parameter analysis shows that a larger horizontal permeability coefficient accelerates consolidation and increases rebound after excavation. An increased foundation rebound modulus reduces rebound and speeds up consolidation, effectively enhancing foundation pit stability. The Poisson's ratio of the foundation has minimal influence on soil rebound during excavation. The total rebound at the end of excavation increases with the construction period’s duration. In multi-stage excavation with the same total construction period, a higher excavation rate in the last stage results in a smaller rebound and a larger accumulated negative excess pore-water pressure.
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近年来，在我国城市建设中涌现了大量的基坑工程，并且正朝着深、大、复杂的趋势发展，这给基坑工程的设计和施工带来了极大挑战。基坑开挖卸荷是土体进行应力释放的过程，在该过程中土体将产生负的超静孔压[1 − 2]，并且随着负超静孔压的消散，土体随之发生逆固结变形[3 − 4]。尤其是在渗透性较小的黏土地基中，开挖卸荷引起的土体逆固结效应更为显著，这必定会给基坑的稳定性以及周围建筑的变形带来较大影响[5]。因此，研究基坑卸荷情况下地基的逆固结响应非常有必要。
目前分析基坑开挖引起的土体应力与位移普遍基于总应力法进行[6 − 9]，该方法将开挖作用等效为反向的加载(即卸荷载)作用在坑底土体上，然后根据弹性理论中的Boussinesq解或Mindlin解计算土体的附加应力。显然，总应力法没有考虑基坑开挖过程中土体的超静孔压消散问题，从而无法反映地基回弹变形的时间响应。CLOUGH等[10]则建议采用快慢分析法来确定基坑工程中开挖变形的上、下限值，但快慢分析法只是一种粗略的预估方法，并不能严格界定时间的长短[11 − 12]。因此，更为准确的做法便是在基坑开挖中引入土体固结理论进行分析。土体固结理论最早由TERZAGHI[13]基于一系列假定而建立，随后众多学者针对这些假定进行了改进，以更加贴近实际工程，例如，非线性固结[14 − 16]，阻碍型边界[17 − 19]，成层地基[20 − 22]等。上述改进使固结理论得到了极大地完善和发展，并且在软土地基处理和设计中得到了大量应用。而对于基坑开挖引起的土体逆固结问题，李玉岐等[23 − 24]根据一维Terzaghi固结理论和有效应力原理，求解得到了基坑瞬时卸荷引起周围地基中的超静孔压解答以及坑底回弹变形计算公式。进一步地，ZHANG等[25]考虑基坑开挖过程的影响，推导了基坑分级卸荷下地基土的一维逆固结解析解。事实上，基坑开挖引起的地基逆固结响应是一个多维固结问题，将其简化为一维问题会带来较大误差，应采用Biot三维固结理论[26]对其进行分析。OSAIMI等[27]基于Biot固结理论建立有限元分析程序，对基坑开挖过程和开挖结束后土体的超静孔压消散规律进行了研究。应宏伟等[28]将Biot固结有限元法用于饱和软黏土地基的深基坑性状研究，分析了土体负超静孔压的分布以及分步开挖的逆固结效应。李玉岐等[29]根据Biot固结理论编制相应的有限元程序，分析了基坑开挖卸载引起的超静孔压以及基坑变形的时间效应。然而，上述基坑开挖工况下的Biot固结分析均是结合数值模拟手段开展的，当前缺乏相关解析理论方面的研究。由于数值模拟方法存在建模复杂、耗时长且成本较高等问题，不便于工程设计的初步评估。而理论解析法简单实用，可以快速预测不同工况下基坑的回弹变形、超静孔压等结果，这在工程初步评估环节中具有重要意义。
为此，本文基于Biot固结理论，建立了基坑分级卸荷作用下均质饱和地基的逆固结模型，利用Laplace-Fourier积分变换法对固结模型进行求解，得到了地基土体的位移和超静孔压解析解。通过与数值模拟结果和工程实测数据进行对比，验证了本文解答的正确性。最后，根据所得解析解，分析了地基物理性质和基坑开挖过程等因素对坑底土体回弹变形和逆固结性状的影响。
1 基坑开挖逆固结模型
1.1 模型描述及假定
基坑开挖卸荷作用下地基土体的逆固结分析模型如图1所示。为简化问题的复杂性，以坑底所在平面作为地基上表面，仅考虑坑底面以下土体的固结。由于开挖卸荷的影响范围有限，因此以基坑为中心取有限长方体区域进行研究。基坑的宽度为b，长度为l，开挖深度为h，开挖卸荷的水平影响宽度和长度分别为B和L。基坑周围地基为均质饱和土体，其坑底面以下的厚度为H，浮重度、回弹模量和泊松比(有效应力条件下)分别为γ′、E′r、μ′，水平向和竖向渗透系数分别为kh、kv。关于水平影响范围B、L的取值，根据丁勇春[30]的研究，可取为基坑长度(宽度)与8倍~10倍开挖深度之和，或者根据各地区的基坑工程经验取值。假定如下：1)土体为线弹性体；2)不考虑基坑降水以及围护结构的影响；3)土中孔隙水的流动符合达西定律；4)不考虑土颗粒和孔隙水本身的变形；5)逆固结过程中土体的渗透系数、回弹模量和泊松比均保持不变。
1.2 控制方程组
根据Biot固结理论[26]，地基土体满足如下方程：
∇2u−η∂εv∂x−1G∂p∂x=0 (1) ∇2v−η∂εv∂y−1G∂p∂y=0 (2) ∇2w−η∂εv∂z−1G∂p∂z=0 (3) khγw(∂2p∂x2+∂2p∂y2)+kvγw∂2p∂z2=−∂εv∂t (4) εv=−(∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z) (5) 式中：∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2；u、v、w分别为开挖卸荷作用引起的x、y、z方向的位移；p为开挖卸荷作用引起的超静孔压，以压为正；εv为体积应变；η=1/(1−2μ′)；G=E′r/(2+2μ′)，为土体剪切模量；γw为孔隙水的容重。
1.3 求解条件
在初始时刻基坑还未进行开挖，故初始条件为：
u|t=0=v|t=0=w|t=0=p|t=0=0 (6) 考虑基坑开挖过程的影响，地基表面受到随时间变化的开挖等效均布荷载作用，且为完全透水边界；地基底面处于开挖影响范围外，其任意时刻的位移和超静孔压恒为零，则有：
σz|z=0={−q(t),x,y∈Ω0,其它 (7) τzx|z=0=τzy|z=0=p|z=0=0 (8) u|z=H=v|z=H=w|z=H=p|z=H=0 (9) 式中：σz为土体竖向总应力；τzx、τzy为土体剪切应力；q(t)为基坑不同开挖阶段的等效卸荷载，一般基坑施工过程可分为土方开挖期和间歇期，故可将其简化为图2所示的n级线性卸荷形式；Ω={(x,y)||x|⩽b/2,|y|⩽l/2}，为基坑开挖范围。
地基四周也处于开挖影响范围外，其任意时刻的竖向位移和超静孔压恒为零，即：
w|x=±B2=w|y=±L2=p|x=±B2=p|y=±L2=0 (10) 为能够与后文积分变换相匹配以简化求解过程，四周边界处的水平位移取定为如下形式：
∂u∂x|x=±B2=v|x=±B2=0 (11) u|y=±L2=∂v∂y|y=±L2=0 (12) 2 求解过程
积分变换法在求解固结问题中是强有力的数学工具，它可将偏微分方程(组)的初边值问题转化为简单的常微分方程(组)问题。因此，本文利用Laplace变换和有限Fourier正余弦变换对上述定解问题进行求解。
根据初始条件式(6)和边界条件式(10)~式(12)，对控制方程式(1)~式(5)分别进行时间t的Laplace变换和x、y方向的双重有限Fourier变换，经过整理可得：
∂2˜¯u∂z2+ηM∂˜¯w∂z−(ηM2+α2)˜¯u−ηMN˜¯v−MG˜¯p=0 (13) ∂2˜¯v∂z2+ηN∂˜¯w∂z−ηMN˜¯u−(ηN2+α2)˜¯v−NG˜¯p=0 (14) (η+1)∂2˜¯w∂z2−ηM∂˜¯u∂z−ηN∂˜¯v∂z−1G∂˜¯p∂z−α2˜¯w=0 (15) kv∂2˜¯p∂z2−γws∂˜¯w∂z+γws(M˜¯u+N˜¯v)−khα2˜¯p=0 (16) 式中：
˜¯u=∫+∞0∫L/2−L/2∫B/2−B/2u(x,y,z,t)e−stCS(x,y)dxdydt;˜¯v=∫+∞0∫L/2−L/2∫B/2−B/2v(x,y,z,t)e−stSC(x,y)dxdydt;˜¯w=∫+∞0∫L/2−L/2∫B/2−B/2w(x,y,z,t)e−stSS(x,y)dxdydt;˜¯p=∫+∞0∫L/2−L/2∫B/2−B/2p(x,y,z,t)e−stSS(x,y)dxdydt;CS(x,y)=cos[M(x+B/2)]sin[N(y+L/2)];SC(x,y)=sin[M(x+B/2)]cos[N(y+L/2)];SS(x,y)=sin[M(x+B/2)]sin[N(y+L/2)];M=mπ/B，N=nπ/L;α=√M2+N2; s为拉普拉斯变换变量。
在求解常微分方程式(13)~式(16)之前，需要对变换后的位移˜¯u、˜¯v、˜¯w进行解耦，为此引入中间函数F(z)、H(z)、W(z)，并令：
{˜¯u=MF+NHα˜¯v=NF−MHα˜¯w=W (17) 将式(17)代入式(13)~式(16)中，可得到解耦后的方程为：
d2Fdz2+ηαdWdz−(η+1)α2F−αG˜¯p=0 (18) (η+1)d2Wdz2−ηαdFdz−1Gd˜¯pdz−α2W=0 (19) kvd2˜¯pdz2−γwsdWdz+γwsαF−khα2˜¯p=0 (20) d2Hdz2−α2H=0 (21) 将式(18)~式(20)写成矩阵形式如下：
{{\boldsymbol{A}}_1}{\boldsymbol{X''}} + {{\boldsymbol{A}}_2}{\boldsymbol{X'}} + {{\boldsymbol{A}}_3}{\boldsymbol{X}} = 0 (22) 式中：
\begin{split} & {{\boldsymbol{A}}_1} = \left[ \begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&{\eta + 1}&0 \\ 0&0&{{k_{\mathrm{v}}}} \end{matrix} \right];{{\boldsymbol{A}}_2} = \left[ \begin{matrix} 0&{\eta \alpha }&0 \\ { - \eta \alpha }&0&{ - {1 / G}} \\ 0&{ - {\gamma _w}s}&0 \end{matrix} \right];\\& {{\boldsymbol{A}}_3} = \left[ \begin{matrix} { - \left( {\eta + 1} \right){\alpha ^2}}&0&{ - {\alpha / G}} \\ 0&{ - {\alpha ^2}}&0 \\ {{\gamma _{\mathrm{w}}}s\alpha }&0&{ - {k_{\mathrm{h}}}{\alpha ^2}} \end{matrix} \right];\\& {\boldsymbol{X}} = {\{ {F\left( {\textit{z}} \right)}\;\;{W\left( {\textit{z}} \right)}\;\;{\tilde {\overline p}\left( {\textit{z}} \right)}\}^{\text{T}}}; \end{split} {\boldsymbol{X}}'、{\boldsymbol{X}}''分别为{\boldsymbol{X}}的一阶导和二阶导。
令{\boldsymbol{Y}} = {\boldsymbol{X}}'，{{\boldsymbol{D}}_1} = - {\boldsymbol{A}}_1^{ - 1}{{\boldsymbol{A}}_3}，{{\boldsymbol{D}}_2} = - {\boldsymbol{A}}_1^{ - 1}{{\boldsymbol{A}}_2}，可将常微分方程组式(22)转换为一阶形式：
\frac{{{\mathrm{d}}{\boldsymbol{J}}}}{{{\mathrm{d}}{\textit{z}}}} = {\boldsymbol{\varPhi J}} (23) 式中：{\boldsymbol{J }}= {\left\{ {\boldsymbol{X}}\;\;\;{\boldsymbol{Y}} \right\}^{\text{T}}}；{\boldsymbol{\varPhi}} = \left[\begin{matrix} {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{E }}\\ {{{\boldsymbol{D}}_1}}&{{{\boldsymbol{D}}_2}} \end{matrix}\right]为系数矩阵，其中E为3阶单位矩阵。
由\left| {\lambda {\boldsymbol{E}} - {\boldsymbol{\varPhi}} } \right| = 0求得系数矩阵的特征值分别为：
\begin{split} & {\lambda _1} = {\lambda _2} = - {\lambda _3} = - {\lambda _4} = \alpha ,\\& {\lambda _5} = - {\lambda _6} = \sqrt {\frac{{{k_{\mathrm{h}}}{\alpha ^2}}}{{{k_{\mathrm{v}}}}} + \frac{{{\gamma _{\mathrm{w}}}s}}{{{k_{\mathrm{v}}}G\left( {\eta + 1} \right)}}} \end{split} (24) 采用待定系数法进行方程求解，对于二重特征值 {\lambda _1} = {\lambda _2} = \alpha ，设解的形式为{\boldsymbol{J}}\left( {\textit{z}} \right) = \left( {{{\boldsymbol{a}}_0} + {{\boldsymbol{a}}_1}{\textit{z}}} \right){{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}}，其中列向量{{\boldsymbol{a}}_0}、{{\boldsymbol{a}}_1}为待定系数，它们满足如下关系：
\left\{ \begin{aligned} & {\left( {{\boldsymbol{\varPhi}} - \alpha {\boldsymbol{E}}} \right){{\boldsymbol{a}}_0} = {{\boldsymbol{a}}_1}} \\ & {{{\left( {{\boldsymbol{\varPhi}} - \alpha {\boldsymbol{E}}} \right)}^2}{{\boldsymbol{a}}_0} = {\boldsymbol{0}}} \end{aligned}\right. (25) 求解式(25)可得到二重特征值 {\lambda _1} = {\lambda _2} = \alpha 所对应的两个线性无关解分别为：
{{\boldsymbol{J}}_1}\left( {\textit{z}} \right) = \left\{ \begin{matrix} {\alpha {\textit{z}}} \\ {\alpha {\textit{z}} + \beta } \\ \psi \\ {{\alpha ^2}{\textit{z}} + \alpha } \\ {{\alpha ^2}{\textit{z}} + \alpha \beta + \alpha } \\ {\alpha \psi } \end{matrix} \right\}{{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}},\;{{\boldsymbol{J}}_2}\left( {\textit{z}} \right) = \left\{ \begin{matrix} {\alpha {\textit{z}} - \beta } \\ {\alpha {\textit{z}}} \\ \psi \\ {{\alpha ^2}{\textit{z}} - \alpha \beta + \alpha } \\ {{\alpha ^2}{\textit{z}} + \alpha } \\ {\alpha \psi } \end{matrix} \right\}{{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}}\;, (26) 式中：\beta = \dfrac{{\left( {{k_{\mathrm{v}}} - {k_{\mathrm{h}}}} \right)\left( {\eta + 2} \right)G{\alpha ^2} - {\gamma _{\mathrm{w}}}s}}{{{\gamma _{\mathrm{w}}}s - \left( {{k_{\mathrm{v}}} - {k_{\mathrm{h}}}} \right)\eta G{\alpha ^2}}}；\psi = \dfrac{{2G\alpha {\gamma _{\mathrm{w}}}s}}{{{\gamma _{\mathrm{w}}}s - \left( {{k_{\mathrm{v}}} - {k_{\mathrm{h}}}} \right)\eta G{\alpha ^2}}}。
同理，可求得特征值 {\lambda _3} = {\lambda _4} = - \alpha 所对应的两个线性无关解分别为：
{{\boldsymbol{J}}_3}\left( {\textit{z}} \right) = \left\{ \begin{matrix} {\alpha {\textit{z}}} \\ { - \alpha {\textit{z}} + \beta } \\ { - \psi } \\ { - {\alpha ^2}{\textit{z}} + \alpha } \\ {{\alpha ^2}{\textit{z}} - \alpha \beta - \alpha } \\ {\alpha \psi } \end{matrix} \right\}{{\rm e}^{ - \alpha {\textit{z}}}},\;\; {{\boldsymbol{J}}_4}\left( {\textit{z}} \right) = \left\{ \begin{matrix} {\alpha {\textit{z}} + \beta } \\ { - \alpha {\textit{z}}} \\ { - \psi } \\ { - {\alpha ^2}{\textit{z}} - \alpha \beta + \alpha } \\ {{\alpha ^2}{\textit{z}} - \alpha } \\ {\alpha \psi } \end{matrix} \right\}{{\rm e}^{ - \alpha {\textit{z}}}} (27) 对于特征值{\lambda _5}和{\lambda _6}，求得对应的解分别为：
{{\boldsymbol{J}}_5}\left( {\textit{z}} \right) = \left\{ \begin{matrix} {{\alpha / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {{{{\lambda _5}} / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {\lambda _5^2 - {\alpha ^2}} \\ {{{{\lambda _5}\alpha } / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {{{\lambda _5^2} / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {{\lambda _5}\left( {\lambda _5^2 - {\alpha ^2}} \right)} \end{matrix} \right\}{{\rm e}^{{\lambda _5}{\textit{z}}}}, {{\boldsymbol{J}}_6}\left( {\textit{z}} \right) = \left\{ \begin{matrix} {{\alpha / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ { - {{{\lambda _5}} / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {\lambda _5^2 - {\alpha ^2}} \\ { - {{{\lambda _5}\alpha } / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {{{\lambda _5^2} / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ { - {\lambda _5}\left( {\lambda _5^2 - {\alpha ^2}} \right)} \end{matrix} \right\}{{\rm e}^{ - {\lambda _5}{\textit{z}}}} (28) 根据常微分方程组理论[31]，式(23)的通解为：
J\left( {\textit{z}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^6 {{C_i}{J_i}} \left( {\textit{z}} \right) (29) 于是，进而可得到二阶常微分方程组式(22)的通解为：
\begin{split} \left\{ \begin{matrix} {F\left( {\textit{z}} \right)} \\ {W\left( {\textit{z}} \right)} \\ {\tilde {\overline p}\left( {\textit{z}} \right)} \end{matrix} \right\} = &{{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}}\left[ \begin{matrix} {\alpha {\textit{z}}}&{\alpha {\textit{z}} - \beta } \\ {\alpha {\textit{z}} + \beta }&{\alpha {\textit{z}}} \\ \psi &\psi \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{C_1}} \\ {{C_2}} \end{matrix} \right\} + \\ & {{\rm e}^{ - \alpha {\textit{z}}}}\left[ \begin{matrix} {\alpha {\textit{z}}}&{\alpha {\textit{z}} + \beta } \\ {\beta - \alpha {\textit{z}}}&{ - \alpha {\textit{z}}} \\ { - \psi }&{ - \psi } \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{C_3}} \\ {{C_4}} \end{matrix} \right\} + \end{split} \left\{ \begin{matrix} {{\alpha / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {{{{\lambda _5}} / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {\lambda _5^2 - {\alpha ^2}} \end{matrix} \right\}{C_5}{{\rm e}^{{\lambda _5}{\textit{z}}}} + \left\{ \begin{matrix} {{\alpha / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {{{ - {\lambda _5}} / {\left[ {G\left( {\eta + 1} \right)} \right]}}} \\ {\lambda _5^2 - {\alpha ^2}} \end{matrix} \right\}{C_6}{{\rm e}^{ - {\lambda _5}{\textit{z}}}} (30) 对于式(21)，其通解可以直接写出，即：
H\left( {\textit{z}} \right) = {C_7}\alpha {{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}} + {C_8}\alpha {{\rm e}^{ - \alpha {\textit{z}}}} (31) 将式(30)、式(31)代回式(17)中，可得到式(13)~式(16)的通解为：
\begin{split} \tilde {\overline u} = &\left[ {{C_1}M{\textit{z}} + {C_7}N + {C_2}M\left( {{\textit{z}} - \frac{\beta }{\alpha }} \right)} \right]{{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}} + \\& \left[ {{C_3}M{\textit{z}} + {C_8}N + {C_4}M\left( {{\textit{z}} + \frac{\beta }{\alpha }} \right)} \right]{{\rm e}^{ - \alpha {\textit{z}}}} + \\& \frac{{{C_5}M{{\rm e}^{{\lambda _5}{\textit{z}}}}}}{{G\left( {\eta + 1} \right)}} + \frac{{{C_6}M{{\rm e}^{ - {\lambda _5}{\textit{z}}}}}}{{G\left( {\eta + 1} \right)}} \end{split} (32) \begin{split} \tilde {\overline v} = &\left[ {{C_1}N{\textit{z}} - {C_7}M + {C_2}N\left( {{\textit{z}} - \frac{\beta }{\alpha }} \right)} \right]{{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}} + \\& \left[ {{C_3}N{\textit{z}} - {C_8}M + {C_4}N\left( {{\textit{z}} + \frac{\beta }{\alpha }} \right)} \right]{{\rm e}^{ - \alpha {\textit{z}}}} + \\& \frac{{{C_5}N{{\rm e}^{{\lambda _5}{\textit{z}}}}}}{{G\left( {\eta + 1} \right)}} + \frac{{{C_6}N{{\rm e}^{ - {\lambda _5}{\textit{z}}}}}}{{G\left( {\eta + 1} \right)}} \end{split} (33) \begin{split} \tilde {\overline w} = &\left[ {{C_1}\left( {\alpha {\textit{z}} + \beta } \right) + {C_2}\alpha {\textit{z}}} \right]{{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}} + \left[ {{C_3}\left( {\beta - \alpha {\textit{z}}} \right) - {C_4}\alpha {\textit{z}}} \right]{{\rm e}^{ - \alpha {\textit{z}}}} + \\& \frac{{{C_5}{\lambda _5}{{\rm e}^{{\lambda _5}{\textit{z}}}}}}{{G\left( {\eta + 1} \right)}} - \frac{{{C_6}{\lambda _5}{{\rm e}^{ - {\lambda _5}{\textit{z}}}}}}{{G\left( {\eta + 1} \right)}} \end{split} (34) \begin{split} \tilde {\overline p} =& ( {{C_1} + {C_2}} )\psi {{\rm e}^{\alpha {\textit{z}}}} - ( {{C_3} + {C_4}} )\psi {{\rm e}^{ - \alpha {\textit{z}}}} +\\& ( {\lambda _5^2 - {\alpha ^2}} )( {{C_5}{{\rm e}^{{\lambda _5}{\textit{z}}}} + {C_6}{{\rm e}^{ - {\lambda _5}{\textit{z}}}}} ) \end{split} (35) 式中，{C_1}~{C_8}为待定系数，需通过上下表面的边界条件确定。
由于上边界条件式(7)、式(8)为应力边界条件，需将其转化为位移边界条件，根据弹性力学中的物理方程和几何方程，有：
\left.\left[{b}_{1}\frac{\partial w}{\partial {\textit{z}}}+{b}_{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)+p\right]\right|_{{\textit{z}}=0} = \left\{\begin{aligned} & -q\left(t\right),& x,y\in \varOmega \\& 0,& 其它 \end{aligned}\right. (36) {\left. {\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial {\textit{z}}}} + \frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)} \right|_{{\textit{z}} = 0}} = {\left. {\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial {\textit{z}}}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)} \right|_{{\textit{z}} = 0}} = {\left. p \right|_{{\textit{z}} = 0}} = 0 (37) 式中：{b_1}、{b_2}为弹性常数，分别为{b_1} = - G\left( {\eta + 1} \right)、{b_2} = - G\left( {\eta - 1} \right)。
对边界条件式(36)、式(37)和式(9)进行Laplace变换和双重有限Fourier变换后代入式(32)~式(35)中，可得：
\left[ \begin{matrix} {{Q_{11}}}& \cdots &{{Q_{18}}} \\ {{Q_{21}}}& \cdots &{{Q_{28}}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{Q_{81}}}& \cdots &{{Q_{88}}} \end{matrix} \right]\left\{ \begin{matrix} {{C_1}} \\ {{C_2}} \\ \vdots \\ {{C_8}} \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} {\overline q\left( s \right){\varphi _{mn}}} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right\} (38) 式中：{\varphi _{mn}} = \dfrac{4}{{GMN}}\sin \left(\dfrac{{MB}}{2}\right)\sin \left(\dfrac{{Mb}}{2}\right)\sin \left(\dfrac{{NL}}{2}\right)\cdot \sin \left(\dfrac{{Nl}}{2}\right)；\overline q\left( s \right) = \displaystyle\int_0^{ + \infty } {q\left( t \right){{\rm e}^{ - st}}} {\mathrm{d}}t；限于篇幅，矩阵元素{Q_{ij}}不一一列举。
由式(38)得到待定系数{C_1}~{C_8}后，再代入通解式(32)~式(35)中便得到了变换域内的位移和超静孔压解析解。基坑开挖引起的坑底回弹变形和超静孔压是工程中较为关心的两个问题，对二者进行有限Fourier逆变换，得到：
\overline w = \frac{4}{{BL}}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\tilde {\overline w}} } \left( {m,n,{\textit{z}},s} \right)SS\left( {x,y} \right) (39) \overline p = \frac{4}{{BL}}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\tilde {\overline p}\left( {m,n,{\textit{z}},s} \right)SS\left( {x,y} \right)} } (40) 由于上述解答比较复杂，直接进行Laplace逆变换会比较困难，因此，本文采用ABATE方法[32]对上述解答进行Laplace数值反演，最终得到时域上的竖向位移和超静孔压解答为：
w\left( {x,y,{\textit{z}},t} \right) = \frac{{{{10}^{{{{N_s}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{N_{\mathrm{s}}}} 3}} \right. } 3}}}}}{t}\sum\limits_{k = 0}^{2{N_{\mathrm{s}}}} {{\eta _k}} {Re} \left\{ {\overline w\left( {x,y,{\textit{z}},\frac{{{\delta _k}}}{t}} \right)} \right\} (41) p\left( {x,y,{\textit{z}},t} \right) = \frac{{{{10}^{{{{N_s}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{N_s}} 3}} \right. } 3}}}}}{t}\sum\limits_{k = 0}^{2{N_s}} {{\eta _k}} {Re} \left\{ {\overline p\left( {x,y,{\textit{z}},\frac{{{\delta _k}}}{t}} \right)} \right\} (42) 其中：
{\eta _k} = {\left( { - 1} \right)^k}{\beta _k},\;{{\delta _k} = \frac{{{N_{\mathrm{s}}}\ln 10}}{3} + k\pi {\text{i}}} (43) \begin{split} & {{\beta _0} = {2^{ - 1}},}\;{{\beta _{2{N_s}}} = {2^{ - {N_s}}},}\;{\beta _k} = 1\;\;\left( {1 {\leqslant} k {\leqslant} {N_{\mathrm{s}}}} \right), \\ & {\beta _{2{N_{\mathrm{s}}} - k}} = {\beta _{2{N_{\mathrm{s}}} - k + 1}} + {2^{ - {N_{\mathrm{s}}}}}\left( \begin{matrix} {{N_{\mathrm{s}}}} \\ k \end{matrix} \right) \;\;\left( {0 < k < {N_{\mathrm{s}}}} \right) \end{split} (44) 式中：{N_{\mathrm{s}}}为项数；{\text{i}}为虚数单位；{Re} \left\{ {\;} \right\}表示\left\{ {\;} \right\}中内容的实部。
3 算例验证
3.1 数值模拟验证
为验证本文方法的准确性，采用有限元软件建立基坑开挖逆固结分析模型，将分析结果与本文解析解进行对比验证。假设基坑尺寸为长30 m、宽30 m、深15 m。考虑到边界效应的影响，将三维模型尺寸取为180 m×180 m×45 m。模型除顶面自由外，其余各表面均为固定约束，且排水条件与本文边界条件一致，均为排水面。为了与理论方法的假定条件一致，采用线弹性模型来模拟土体，其天然容重为18.5 kN/m3，饱和容重为20 kN/m3，回弹模量、泊松比分别为12 MPa、0.2，渗透系数为10−3 m/d。模拟过程中，基坑设置为连续开挖方式，开挖速率为0.75 m/d，开挖完成总共耗时20 d。
图3给出了本文方法与有限元法得到的基坑底面中心处回弹量随时间对数的发展曲线。从图中可知，二者得到的坑底中心回弹量随时间变化趋势具有较好的一致性。在数值方面，本文方法得到的回弹量稍微偏大，但二者的偏差最大为5.8%，能够满足实际工程应用的误差要求。可见，通过与数值模拟案例的对比，说明了本文方法具有较好的准确性。
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图 3 本文方法与有限元法的结果对比Figure 3. Comparison between the proposed method and the finite element results3.2 案例验证
以上海环球金融中心塔楼基坑工程为例进行验证。主塔基坑为直径100 m、深约18 m~26 m的圆柱形竖井。该场地范围的土层参数见表1[33 − 34]，其中渗透系数取自TAN等[33]的研究。基坑采用顺作法施工，先开挖至地表以下约18 m，然后进行基坑中央局部开挖，最终开挖至地表以下约26 m，具体施工流程见表2。开挖过程中对坑底回弹变形进行了监测，测点布置如图4所示，其中测点L1位于圆形基坑的边缘，测点L2位于基坑中心，监测数据详见李德宁[35]的研究。
土层名称 厚度/
m容重/
(kN/m3)回弹模量/
MPa泊松比 渗透系数/
(m/d)粘土夹粉质粘土 2.95 19.6 3.00 0.35 − 淤泥质粉质粘土 4.05 19.0 8.00 0.30 − 淤泥质粘土 10.00 17.8 10.00 0.30 − 粉质粘土 6.00 19.2 30.00 0.25 0.0002 粉质粘土 5.00 19.2 20.00 0.25 0.0002 砂质粉土夹粉细砂 9.60 20.0 20.65 0.25 − 表 2 施工流程[35]Table 2. Construction process工况 施工起止时间 工况描述 工期/d Stage1 2004年5月18日—
2004年6月29日第一层土开挖，第一道围檩施工 42 Stage2 2004年6月30日—
2004年7月28日第二层土开挖，第二道围檩施工 28 Stage3 2004年7月29日—
2004年8月20日第三层土开挖，第三道围檩施工 22 Stage4 2004年8月21日—
2004年9月08日第四层土开挖，浅基坑垫层施工 18 Stage5 2004年9月09日—
2004年11月15日垫层养护、坑内桩基处理 67 Stage6 2004年11月15日—
2005年1月29日中央深基坑开挖及大底板施工 75 按照面积等效原则，将圆形基坑尺寸转化为边长为88.6 m的正方形基坑。根据楼晓明等[36]的研究，计算深度为1倍开挖深度，本文取为20 m。由表1可得到计算深度内加权平均后的回弹模量、泊松比分别为23 MPa、0.25。由表2的施工流程可知，直至第四阶段基坑开挖至−18 m时共耗时110 d，因此，将基坑开挖过程简化为以开挖速率0.16 m/d进行连续开挖。利用本文方法对基坑中心处的坑底回弹变形进行计算，并与测点L2的监测数据进行对比，结果如图5所示。
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图 5 坑底回弹量理论值与实测值对比Figure 5. Comparison between theoretical value and monitoring data of pit bottom rebound amount从图5可以看出，在基坑开挖的前两个阶段，本文方法计算得理论值与实测值吻合较好，坑底回弹量随着开挖的进行不断增大。在第三、四阶段，坑底回弹量理论值与实测值表现出一定的偏差，这主要是由于在第二阶段的实际开挖过程中对承压层进行了降水措施，而且第四阶段进行了垫层施工，这些因素对坑底土体的回弹变形均起到了一定的抑制作用。总体而言，通过与实测数据的对比，验证了本文解答的正确性。
4 参数分析
假定基坑开挖长度l = 24 m，宽度b = 20 m，开挖深度h = 10 m，卸荷水平影响范围B \times L = 100 m×150 m。基坑底面以下为均质饱和粉质粘土，其厚度H = 25 m ，浮重\gamma ' = 9.6 kN/m3，回弹模量{E'_{\mathrm{r}}} = 15 MPa，泊松比\mu ' = 0.3，渗透系数{k_{\mathrm{v}}} = {k_{\mathrm{h}}} = 0.001 m/d。基坑采用连续开挖方式，开挖速率为0.5 m/d，开挖完成总共耗时20 d。根据以上基本参数，从地基物理性质以及基坑开挖过程两方面进行坑底土体回弹变形和逆固结性状的影响分析。
4.1 地基物理性质
4.1.1 土体渗透各向异性影响
天然地基不仅在变形和强度上呈现出各向异性特征，在渗透性上也往往呈现各向异性，即水平向渗透系数与竖直方向不同。为研究地基渗透各向异性给坑底土体回弹带来的影响，在保持竖向渗透系数不变情况下，选取四种水平渗透系数分别为10−4 m/d、10−3 m/d、10−2 m/d、10−1 m/d进行分析。图6、图7分别给出了这四种情况下坑底中心处回弹量和坑底中心以下5 m处超静孔压随时间对数的变化曲线。可以看出，当水平渗透系数较小时，土体逆固结效应显著，坑底回弹量在开挖结束后仍保持增长趋势，但增长速率相比开挖阶段有所减缓。在基坑开挖卸荷作用下，坑底土体产生负的超静孔压，且负超静孔压在开挖阶段不断增大，开挖结束时达到峰值，随后便逐渐消散。随着水平渗透系数的增大，每个时间点的坑底回弹量随之增大，回弹量达到稳定所需的时间大幅度减少，且负超静孔压消散速率加快，达到的峰值也随之减小，坑底土体固结效应则逐渐减弱。当水平渗透系数大于10−1 m/d时，土中产生的负超静孔压比较小且消散较快，开挖结束后坑底回弹量几乎保持不变，土体逆固结效应基本消失。
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图 6 不同土体水平渗透系数下坑底中心回弹量发展曲线Figure 6. Development of rebound at the center of the pit bottom under different soil horizontal permeability coefficients![]()
图 7 不同土体水平渗透系数下坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线Figure 7. Development of excess pore-water pressure at 5m below the center of pit bottom under different soil horizontal permeability coefficients4.1.2 土体回弹模量影响
选取土体回弹模量分别为15 MPa、30 MPa、45 MPa、60 MPa，并保持其它参数不变，根据本文解析解计算坑底土体的回弹量和超静孔压。图8、图9分别给出了不同土体回弹模量下坑底中心处回弹量和坑底中心以下5 m处超静孔压随时间对数的变化曲线。从图中可以看出，随着回弹模量的增大，每个时间点的坑底回弹量均减小，且基坑开挖结束后回弹量的变化量和达到稳定所需时间也随之减少。此外，负超静孔压在开挖阶段达到的峰值随回弹模量的增大而减小，开挖结束后的消散速率随回弹模量的增大而加快。由此说明，土体回弹模量的增大不仅会减小坑底的回弹量，还会使得坑底土体的固结速率加快，能够有效地控制基坑稳定性。
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图 8 不同土体回弹模量下坑底中心回弹量发展曲线Figure 8. Development of rebound at the center of the pit bottom under different soil rebound modulus![]()
图 9 不同土体回弹模量下坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线Figure 9. Development of excess pore-water pressure at 5m below the center of pit bottom under different soil rebound modulus4.1.3 土体泊松比影响
选取土体泊松比分别为0.10、0.20、0.30、0.40、0.49，并保持其它参数不变，根据本文解析解计算坑底土体的回弹量和超静孔压。图10、图11分别给出了不同土体泊松比情况下坑底中心处回弹量和坑底中心以下5 m处超静孔压随时间对数的变化曲线。从图中可以发现，在不同土体泊松比(\mu ' = 0.1~0.4)下，基坑开挖阶段和开挖结束时的坑底回弹量几乎保持一致，但开挖结束后的坑底回弹量变化幅度随泊松比的增大而减小，回弹量达到稳定所需的时间也随泊松比的增大而减少。而且土体泊松比越大，土中负超静孔压达到的峰值越小，开挖结束后的消散速率越快。由此说明，当土体泊松比处于0.1~0.4之间变化时，泊松比主要对基坑开挖结束之后的坑底回弹量变化有一定的影响，而对于开挖期间(包括开挖结束时)的坑底回弹量几乎不受其影响。特别地，当泊松比为0.49时，基坑施工的整个过程中土体接近处于不吸水状态，土体基本不发生逆固结，因此，坑底回弹量在开挖结束后保持不变。
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图 10 不同土体泊松比下坑底中心回弹量发展曲线Figure 10. Development of rebound at the center of the pit bottom under different soil Poisson's ratios![]()
图 11 不同土体泊松比下坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线Figure 11. Development of excess pore-water pressure at 5m below the center of pit bottom under different soil Poisson's ratios4.2 基坑开挖过程
4.2.1 开挖工期影响
为探究基坑开挖时间对坑底土体性状的影响，设计了四种连续开挖工况，如图12所示。各工况的开挖工期分别为10 d、20 d、40 d、60 d，开挖深度均为10 m，故相应的开挖速率依次为1.00 m/d、0.50 m/d、0.25 m/d、0.17 m/d。
图13、图14分别给出了四种开挖工期下坑底中心回弹量和坑底中心以下5 m处超静孔压随时间对数的变化曲线。可以看出，随着基坑开挖工期的增加，开挖结束时的坑底回弹量逐渐增大，负超静孔压峰值逐渐减小，且随后时间里的回弹量变化幅度逐渐减小，逆固结效应减弱。这主要是由于开挖时间的增加，土体内负超静孔压得到更充足的时间消散，致使开挖过程中的逆固结变形增加，开挖结束后的逆固结变形相应减小。另外，开挖阶段坑底回弹量的增长速率和负超静孔压的增长幅度与开挖速率相对应，开挖速率越大则回弹量增长速率和负超静孔压增长幅度越大。在实际工程中，应选择合理的开挖工期以及开挖速率，避免产生过大的回弹量以及过快的位移增长速率。
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图 13 不同基坑开挖工期下坑底中心回弹量发展曲线Figure 13. Development of rebound at the center of the pit bottom under different excavation periods![]()
图 14 不同基坑开挖工期下坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线Figure 14. Development of excess pore-water pressure at 5 m below the center of pit bottom under different excavation periods4.2.2 开挖方式影响
为探究不同基坑开挖过程对坑底土体性状的影响，设计了图15所示的五种基坑开挖工况，每种工况的开挖总工期均为40天。其中，工况1~工况4为两级开挖，它们的间歇期均为5天，但间歇期依次分布于基坑开挖过程的前、中、后期；工况5为三级开挖，其第一、二次间歇期分别为10 d和4 d。对于最后一级的开挖速率，工况1~工况3依次增大，工况1、工况4以及工况2、工况5分别相同。
图16、图17分别为这五种基坑开挖工况下坑底中心回弹量和坑底中心以下5 m处超静孔压随时间对数的变化曲线。从图中可以看出，在基坑开挖总工期相同的条件下，基坑采用不同的方式开挖，坑底回弹量和负超静孔压的变化规律是不同的。在基坑开挖结束时，工况1~工况3的坑底回弹量依次减小，工况1、工况4的坑底回弹量几乎一致，工况2、工况5的坑底回弹量也比较接近。这些规律与工况1~工况5的最后一级开挖速率相对应，即：最后一级的开挖速率越大则开挖结束时的坑底回弹量越小。从负超静孔压的变化规律也可以看出，在工况1、工况4的最后一级开挖期间，由于开挖速率比较小，卸荷引起的负超静孔压的增长速率要小于或接近于消散速率，导致这期间负超静孔压不增加甚至减小，所以直至开挖结束时累积的负超静孔压相比其它工况要小。这相当于工况1、工况4在基坑开挖过程中负超静孔压的消散程度较大，逆固结变形增加，故而开挖结束时达到的坑底回弹量要比其他工况大。
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图 16 工况1~工况5的坑底中心回弹量发展曲线Figure 16. Development of rebound at the center of the pit bottom under working conditions 1~ conditions 5![]()
图 17 工况1~工况5的坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线Figure 17. Development of excess pore-water pressure at 5m below the center of pit bottom under working conditions 1~ conditions 55 结论与展望
本文在Biot固结理论的基础上，通过Laplace-Fourier积分变换法，分析了基坑分级开挖作用下均质饱和地基的逆固结问题，利用本文解答可以对基坑开挖过程中的坑底回弹量和超静孔压响应进行预测。通过参数分析，主要得到以下结论：
(1) 地基水平渗透系数越大，则开挖结束时的坑底回弹量越大，土中负超静孔压的消散速率越快，土体逆固结效应越弱。当水平渗透系数大于10−1 m/d时，可忽略土体的逆固结效应。
(2) 地基回弹模量对坑底土体回弹量和固结速率的影响显著，回弹模量的增大不仅会减小坑底的回弹量，还会使得坑底土体的固结速率加快，能够有效地控制基坑稳定性。
(3) 地基泊松比主要影响基坑开挖结束之后的坑底回弹量变化，而对基坑开挖期间(包括开挖结束时)的坑底回弹量几乎无影响。泊松比越大，土中负超静孔压的消散速率越快。
(4) 基坑开挖工期的增加会使得开挖过程中的逆固结程度增加，开挖结束时的坑底回弹量增大。在开挖工期不变的条件下，不同的基坑开挖方式，其坑底回弹量和负超静孔压的变化规律不同，最后一级的开挖速率越大则开挖结束时的坑底回弹量越小，累积的负超静孔压越大。
需要说明的是，本文方法暂未考虑承压层降水以及成层地基等复杂情况，对于这些方面的研究还需作进一步探讨完善。
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图 3 本文方法与有限元法的结果对比
Figure 3. Comparison between the proposed method and the finite element results
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图 5 坑底回弹量理论值与实测值对比
Figure 5. Comparison between theoretical value and monitoring data of pit bottom rebound amount
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图 6 不同土体水平渗透系数下坑底中心回弹量发展曲线
Figure 6. Development of rebound at the center of the pit bottom under different soil horizontal permeability coefficients
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图 7 不同土体水平渗透系数下坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线
Figure 7. Development of excess pore-water pressure at 5m below the center of pit bottom under different soil horizontal permeability coefficients
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图 8 不同土体回弹模量下坑底中心回弹量发展曲线
Figure 8. Development of rebound at the center of the pit bottom under different soil rebound modulus
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图 9 不同土体回弹模量下坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线
Figure 9. Development of excess pore-water pressure at 5m below the center of pit bottom under different soil rebound modulus
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图 10 不同土体泊松比下坑底中心回弹量发展曲线
Figure 10. Development of rebound at the center of the pit bottom under different soil Poisson's ratios
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图 11 不同土体泊松比下坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线
Figure 11. Development of excess pore-water pressure at 5m below the center of pit bottom under different soil Poisson's ratios
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图 13 不同基坑开挖工期下坑底中心回弹量发展曲线
Figure 13. Development of rebound at the center of the pit bottom under different excavation periods
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图 14 不同基坑开挖工期下坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线
Figure 14. Development of excess pore-water pressure at 5 m below the center of pit bottom under different excavation periods
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图 16 工况1~工况5的坑底中心回弹量发展曲线
Figure 16. Development of rebound at the center of the pit bottom under working conditions 1~ conditions 5
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图 17 工况1~工况5的坑底中心以下5 m处超静孔压变化曲线
Figure 17. Development of excess pore-water pressure at 5m below the center of pit bottom under working conditions 1~ conditions 5
土层名称 厚度/
m容重/
(kN/m3)回弹模量/
MPa泊松比 渗透系数/
(m/d)粘土夹粉质粘土 2.95 19.6 3.00 0.35 − 淤泥质粉质粘土 4.05 19.0 8.00 0.30 − 淤泥质粘土 10.00 17.8 10.00 0.30 − 粉质粘土 6.00 19.2 30.00 0.25 0.0002 粉质粘土 5.00 19.2 20.00 0.25 0.0002 砂质粉土夹粉细砂 9.60 20.0 20.65 0.25 − 
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表 2 施工流程[35]
Table 2 Construction process
工况 施工起止时间 工况描述 工期/d Stage1 2004年5月18日—
2004年6月29日第一层土开挖，第一道围檩施工 42 Stage2 2004年6月30日—
2004年7月28日第二层土开挖，第二道围檩施工 28 Stage3 2004年7月29日—
2004年8月20日第三层土开挖，第三道围檩施工 22 Stage4 2004年8月21日—
2004年9月08日第四层土开挖，浅基坑垫层施工 18 Stage5 2004年9月09日—
2004年11月15日垫层养护、坑内桩基处理 67 Stage6 2004年11月15日—
2005年1月29日中央深基坑开挖及大底板施工 75
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