是观测数据向量，其概率密度函数p(y|)θ依赖于参数
同时参数θ的概率密度函数为p(θ)，则根据条件概率公式：张家瑞1，魏 凯1，秦顺全1,2
(1．西南交通大学土木工程学院桥梁工程系，四川，成都 610031；2．中铁大桥勘测设计院集团有限公司，湖北，武汉 430056)
摘 要：海洋环境中的深水桥墩长期受到不规则随机波浪动力作用。传统设计规范中采用的特征波浪计算方法，虽然简单高效，但是无法充分考虑波浪随机性和动力效应对结构的影响。该文以深水桥墩在波浪作用下的动力响应与静力响应之间的概率关系为研究对象，应用贝叶斯更新理论建立简单有效的深水桥墩波浪动力响应概率模型。通过对比深水桥墩动力时程分析结果，验证模型的有效性，并对样本数量和模型形式进行讨论。研究表明：基于贝叶斯更新理论的深水桥墩波浪动力响应概率模型可以快速准确地计算波浪作用下深水桥墩的动力响应，能够有效修正传统静力方法存在的偏差，并可在样本数据非常有限的情况下对深水桥墩的动力响应进行较好估计。
关键词：贝叶斯更新；深水桥墩；概率模型；波浪作用；动力响应
近年来，我国沿海地区修建大量跨海大桥。与内陆桥梁不同，跨海桥梁所处的海洋环境水深、浪大、流急，给桥梁结构安全带来新的挑战[1]。其中，桥梁结构受到的波浪作用一直是研究的热点问题。Huang和 Xiao[2]、郭保臣等[3]国内外学者先后对波浪作用下的桥梁结构响应问题开展研究。已有研究表明，跨海桥梁自振频率通常较小，很可能落入波浪显著部分的频率范围内，此时，波浪和结构的动力效应对结构响应的影响不能轻易忽略，需对波浪作用下结构的动力响应进行深入分析。
过去为简化计算，常从统计意义上选择某一具有代表性的规则波，采用静力方法计算结构在波浪作用下的响应[4]。这种方法计算简便，但无法考虑结构动力特性、波浪不规则性等因素。计算机技术的发展为波浪作用下结构的动力分析提供了有效手段。雷欣欣[5]采用软件FLUENT建立三维数值波浪水槽，研究了群桩在波浪作用下的水动力特性。Wei等[6]应用有限元软件USFOS研究了波浪作用下近岸风力发电机动、静力响应之间的关系。虽然采用动力时程分析可以考虑复杂的波浪特性，但时程分析通常费时费力，而且随着结构复杂程度的增加，计算效率将大幅下降。因此，如果能够建立一种概率模型，建立结构在波浪作用下的动力响应与静力响应之间的关系，则可以快速地根据结构静力计算结果对其动力响应进行评估和计算。
近年来，基于贝叶斯更新理论的概率模型在土木工程领域广泛应用。Gardoni等[7]应用贝叶斯更新理论建立混凝土弹性模量的概率模型。Mardfekri和Gardoni[8]在有限元分析的基础上，应用贝叶斯更新理论建立近岸风力发电机动力响应的概率模型。吴涛等[9]基于混凝土构件试验数据，在多国规范基础上建立了钢筋混凝土柱受剪承载力的概率模型。Sun等[10]根据多组风洞试验数据建立桥梁断面颤振稳定概率模型。Yu等[11]应用贝叶斯更新理论和马尔科夫链蒙特卡洛法建立混凝土电阻率的概率预测模型。余波等[12]在变角桁架-拱模型基础上，综合考虑多种因素的影响，建立钢筋混凝土柱抗剪承载力概率模型。
该文以深水桥墩在波浪作用下的动力响应与静力响应之间的概率关系为研究对象，应用贝叶斯更新理论建立深水桥墩波浪动力响应概率模型，并对模型参数进行剔除简化。通过与深水桥墩的动力时程结果进行对比，验证概率模型的有效性，并探讨了样本数量与模型具体形式等问题。
假设是观测数据向量，其概率密度函数p(y|)θ依赖于参数同时参数θ的概率密度函数为p(θ)，则根据条件概率公式：
已知观测数据的情况下未知参数的条件概率分布为：
式(2)被称为贝叶斯更新理论[13]。其中p(θ)可视为先验分布，反映了在获取观测数据前对于参数θ最初的认识，则p(θ|y)是在获得观测数据后参数θ的后验分布，即体现了通过观测数据对 θ的新认识。这是一种更新过程，反映了数据的获取更新对于参数的认识与理解。
根据贝叶斯更新理论，基于贝叶斯更新的概率模型如式(3)所示：
式(3)满足如下基本假设[14]：
1)σ与参数 x相互独立；
2)ε服从标准正态分布。
根据文献[7]，对建立的概率模型进行变换，可得如式(4)所示概率模型。
式中：以本研究关注的深水桥墩动、静力响应为例，
为结构动力响应(弯矩、剪力、位移等)向量，x代表材料特性、结构尺寸、边界条件等，w为波高、周期等波浪参数，Θ=(θ,)σ其中
是未知参数；σ为模型总体误差的标准差，反映模型的精确程度；
为结构静力响应(弯矩、剪力、位移等)向量；ε为一个服从标准正态分布的随机变量；
为针对
的修正项，其具体形式一般可表示为：
式中：
是为提高概率模型精度并且反映χˆ(x,w)偏差的函数；k为函数 (,)iβxw的个数，其数值由根据力学原理、专家意见等方式选取的
函数数量决定。
利用贝叶斯更新理论将结构响应数据与式(4)结合起来，可以得到参数Θ的后验分布，然后进行参数估计。由贝叶斯更新理论可得参数Θ的后验分布 f(Θ)为：
式中：p(Θ)为参数Θ的先验分布；L(Θ)为似然函数；
为归一化常数[14]。先验分布p(Θ)通常反映实践与工程经验等信息。当参数Θ的先验分布未知时，可选用无信息的先验分布，即：
根据基本假设式(2)，似然函数L(Θ)如式(8)所示：
式中：
表示标准正态分布的概率密度函数。
根据式(3)～式(8)，参数θ的边缘后验分布服从多元t分布[14]，其均值与协方差矩阵分别为：
参数σ的边缘后验分布服从逆卡方分布[14]，其均值与方差分别为：
式中：χ为 n维的结构动力响应向量，
为 n×k维矩阵，
如图1所示，针对图1中的圆柱形深水桥墩结构进行研究。桥墩高H*=42 m，水深d=30 m。截面采用空心圆形，外直径D=8 m，壁厚2 m。桥墩采用混凝土材料，墩顶设置总质量500 t的质量块以模拟桥梁上部结构的影响，忽略上部结构对桥墩的约束。
图1 桥墩结构示意图
Fig.1 Diagram of bridge pier
该文选择在工程领域中被广泛应用的JONSWAP谱[15]生成不规则波浪。JONSWAP谱的输入参数主要包括有效波高 Hs与谱峰周期 Tp，二者之间采用式(13)建立关系[16]：
该文根据桥墩所处的海洋环境，选择有效波高范围Hs∈[5,12]m，谱峰周期Tp∈[7.92,12.28]s。
进行桥墩波浪力计算前，首先需要根据波长L与桥墩直径D的关系确定波浪力计算方法。图2给出了波长L与谱峰周期Tp的关系曲线，图中方框为本研究考虑的D/L范围，即在所关注的波浪条件下，桥墩直径D与波长L的比值始终满足D/L＜0.2，属于小尺度结构。因此，该文采用Morison方程[17]计算该圆柱形桥墩的波浪力是合理的。
图2 波长与谱峰周期的关系
Fig.2 Relationship between wave length and peak spectrum period
作用于图1所示的直径为D的直立桥墩任意时刻t、高度z处的波浪力dFH为：
式中：ux和ax分别为任意时刻t、桥墩轴线位置任意高度z处波浪水质点的水平速度和水平加速度；ρ 为海水的密度；CD为垂直于桥墩轴线方向的拖曳力系数；CM为惯性力系数。
由式(14)任意时刻t作用于单元i上波浪力为：
式中：对于圆柱形桥墩的拖曳力系数 CD与惯性力系数CM，根据港口与航道水文规范(JTS 145―2015)，分别取CD=1.2、CM=2.0。
本研究采用海洋工程结构分析软件 USFOS开展三维桥墩波浪动力响应时程分析，桥墩采用梁单元模拟，上部质量采用节点质量模拟，墩底固结，有限元计算模型如图3所示。进行动力分析时，首先根据式(15)计算该时间步的结构波浪力，以此作为外荷载，求解结构动力学方程，得到结构在该时刻的动力响应。对于静力分析，应用式(15)得到波浪作用，直接通过静力方法计算响应。
图3 USFOS中桥墩有限元模型
Fig.3 Finite element model of pier in USFOS
在结构动力计算中，为充分反映结构的动力特性，同时兼顾计算效率，设定每个不规则波浪序列动力分析时长为 600 s，时间步长 0.05 s。采用Rayleigh阻尼，阻尼比ξ=5%。结构响应通常包括剪力、弯矩、位移等，深水桥墩结构设计中主要关注墩底弯矩和墩顶位移，因此该文以墩底弯矩和墩顶位移作为结构响应进行研究，同时为便于公式表达，在后续章节将以墩底弯矩为例进行阐述。
(x,w)选取对于结构动力分析，从区间[5,12]随机抽取100个值作为有效波高 Hs, i(i = 1 ,2,… , 1 00)，应用式(13)得到对应的谱峰周期 Tp ,i(i = 1 ,2,… , 1 00)，根据Hs, i,Tp ,i生成100组不规则波浪序列，对于每一组不规则波浪，按照2.4节所述的动力分析方法计算墩底弯矩峰值Md。
对于结构静力分析，采用线性规则波，为与动力分析中的不规则波浪对比，规则波高
，周期
。其中，ηmax,i表示在第 i个不规则波浪序列中波面高度的峰值。根据Hi, Ti生成 100组规则波浪序列，对于每一组规则波浪序列，采用静力分析方法计算墩底弯矩峰值Ms。
首先选取n=20组样本建立深水桥墩波浪动力响应概率模型，其中动力
静力
该文构建式(5)所示修正项的初始函数形式如下：首先，选取β1=1以反映模型中独立于参数x的潜在偏差；选取
以反映波浪的不规则特征对结构动力响应可能的影响。其中，Tηmax表示任意不规则波浪序列中ηmax所对应的波浪周期。
根据样本数据
基于式(9)～式(12)，可对
和σ进行参数估计。为保证模型的精度并使模型所包含的参数尽可能少，需要对参数
进行筛选剔除，具体步骤[14]为：
1)应用式(9)～式(12)对
与σ进行参数估计；
2)依次计算参数θi的变异系数(COV)；
式中，μi和σi分别为θi后验分布的均值和标准差。
3)找到变异系数最大的θi，表明该参数对模型的影响最不显著，剔除该参数，并从
中剔除相应的
4)重复步骤1)～步骤3)依次剔除影响不显著的参数，直到σ的后验均值出现明显的增长。
根据上述参数剔除过程，得到简化后模型的修正项如式(17)所示：
为验证参数筛选结果的合理性，建立不同形式的概率模型，并应用式(18)评价模型精度，如图4和图5所示。r为归一化均方根误差，根据式(18)计算，r越趋近于1说明贝叶斯概率模型的结果与动力分析的结果吻合越好，概率模型精度越高。
式中：
表示由概率模型得到的桥墩响应峰值；Md,i表示动力分析得到的桥墩响应峰值；
为Md,i的平均值。
由图4和图5知，该文建立的深水桥墩波浪动力响应概率模型与动力分析结果吻合良好。基于此概率模型可以快速准确地对波浪作用下深水桥墩的动力响应峰值进行计算，从而避免进行费时的结构动力时程分析。
图4 函数β对概率模型精度的影响(墩底弯矩)
Fig.4 Effect of function β on accuracy of probabilistic models(base moment)
图5 函数β对概率模型精度的影响(墩顶位移)
Fig.5 Effect of function β on accuracy of probabilistic models(displacement at piesr top)
对比图4(a)～图4(d)和图5(a)～图5(d)可知，对于墩底弯矩以及墩顶位移响应，当取β1=1，
时(图4(d)和图5(d)所示)，即根据式(17)建立的概率模型精度最高。说明此模型能够合理地反映对深水桥墩波浪动力响应影响较为显著的因素，可以得到较为准确的结构波浪动力响应。此外，为探讨样本数量对概率模型的影响，选取不同数量的样本 n∈[5,30]，基于式(17)的形式，利用样本数据建立相应的概率模型，与动力分析结果进行对比，计算结果如图6所示。当n=7时，所得的概率模型就可以达到较高的精度。由此可知，建立基于贝叶斯更新的概率模型所需样本容量较少，在样本数量有限的情况下，就可对结构波浪动力响应进行良好的估计。
图6 样本大小对概率模型精度的影响
Fig.6 Effect of sample size on accuracy of probabilistic models
该文基于贝叶斯更新理论，通过研究深水桥墩在波浪作用下的动力响应与静力响应之间的概率关系，建立了深水桥墩波浪动力响应概率模型，主要结论如下：
1)基于贝叶斯更新理论建立的深水桥墩波浪动力响应概率模型预测结果与波浪作用动力时程分析结果吻合良好，应用概率模型可以快速准确地得到深水桥墩的动力响应。
2)概率模型修正项中函数 β是控制模型精度的关键，该文提出了一种较为合理的修正项形式，充分考虑了对深水桥墩波浪动力响应有显著影响的因素。
3)该文概率模型仅需很少的样本容量即可建立，并能够对结构波浪动力响应进行较好的估计，体现了较强的适用性。
本研究对于未来开展深水桥墩在极端波浪作用下的性能评价具有重要价值。但该文概率模型的建立主要基于线弹性数值分析，同时采用的线性波浪理论在波高较大时存在误差。未来还需要在概率模型中考虑更多结构及波浪参数，进一步深入细致地探讨深水桥墩的波浪动力响应问题。
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A BAYESIAN UPDATING BASED PROBABILISTIC MODEL FOR THE DYNAMIC RESPONSE OF DEEPWATER BRIDGE PIERS UNDER WAVE LOADING
ZHANG Jia-rui1, WEI Kai1, QIN Shun-quan1,2
(1. Department of Bridge Engineering, School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu, Sichuan 610031, China;2. China Railway Major Bridge Reconnaissance & Design Group Co., Ltd, Wuhan, Hubei 430056, China)
Abstract:Deepwater bridge piers suffer from long-term irregular and dynamic wave loading in ocean environment. Although the static wave calculation approach based on characteristic waves used in the traditional design practice is simple and efficient, the effect of randomness and dynamics on the structures cannot be considered. This paper focuses on the probabilistic relationship between dynamic response and static response of a deepwater pier under wave loading. A probabilistic model based on Bayesian updating was proposed. The accuracy of the probabilistic model was verified through the comparison with the dynamic results of time-domain analyses. The selection of sample size and the model formulations were then discussed. This research showed that the proposed probabilistic model could calculate dynamic response of the deepwater pier under wave loading quickly and efficiently and corrected the inherent bias of the conventional static method. The proposed model is also able to estimate the dynamic response of the deepwater pier even if the sample size is very small.
Key words:Bayesian updating; deepwater pier; probabilistic model; wave loading; dynamic response
中图分类号：U441+.2
文献标志码：A
doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2017.04.0299
文章编号：1000-4750(2018)08-0138-06
收稿日期：2017-04-19；修改日期：2017-12-25
基金项目：中国工程院重点咨询研究项目(2016-XZ-13)；国家自然科学基金项目(51708455)
通讯作者：魏 凯(1984―)，男，泰安人，副教授，博士，主要从事跨海桥梁防灾减灾研究(E-mail: kaiwei@home.swjtu.edu.cn);
作者简介：
张家瑞(1993―)，男，临沂人，博士生，主要从事跨海桥梁防灾减灾研究(E-mail: zhjrswjtu@foxmail.com);
秦顺全(1963—)，男，绵竹人，教授，硕士，院士，主要从事桥梁工程设计与施工(E-mail: qinsq@brdi.com.cn).